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6.2排列与组合题型总结（答案）
一、知识梳理
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C
二、题型归纳
题型一：排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：
①选其中5人排成一排；________
②排成前后两排，前排3人，后排4人；________
③全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；________
④全体排成一排，女生必须站在一起；________
⑤全体排成一排，男生互不相邻；________
⑥全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；________
⑦全体排成一排，甲必须排在乙前面；________
⑧全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．________
解： (1)①从7个人中选5个人来排，是排列，
有A ＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
②分两步完成，先选3人排在前排，有A种方法，余下4人排在后排，有A种方法，故共有A·A＝5 040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．
③优先法：解法一：(元素分析法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种．
解法二：(位置分析法)排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A种方法，中间5个位置由余下5人进行全排列，有A种方法，共有A×A＝3 600种．
④(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，也有A种方法，故共有A×A＝576种．
⑤(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种．
⑥把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有A种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有A种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A种方法．故共有A·A·A＝720种．
⑦消序法：＝2 520.
⑧间接法：A－2A＋A＝3 720.
位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．
甲在右端的排法有A(种)排法，
甲不在右端的排法有5×5A(种)排法，
∴共有A＋25A＝3 720(种)．
方法归纳：求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
跟踪训练
1、2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛．现组委会要从小张、小赵、小李、小王、小罗五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为(　C　)
A．12 B．24
C．36 D．48
解：若小张、小赵中只有1人入选，则有选法CCA＝24种；若小张、小赵都入选，则有AA＝12种，所以共有选法12＋24＝36种，故选C．
2、六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种　　　 　　　　　 B．216种
C．240种 D．288种
解：第一类：甲在最左端，有A＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝96(种)排法．所以共有120＋96＝216(种)排法．
3、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　)
A．250个 B．249个
C．48个 D．24个
解：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．由分类加法计数原理得满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
4、将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是(　　)
A．28　　　　B．24 C．18　　　　D．16
解：选C.由限制条件确定不同放法的分类有{1，2，6}(表示3个盒子放球的数量分别为1个，2个，6个)，{1，3，5}，{2，3，4}三种情况，每种情况又有A种不同的放法，所以不同的放法种数为3×A＝18.
5、将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的排法种数为(　　)
A．240 B．144 C．480 D．288
解：选C. 将4个1和2个0视为完全不同的元素：4个1分别设为1A，1B，1C，1D，2个0分别设为0A，0B，将1A，1B，1C，1D排成一行有A种排法，再将0A，0B插空有A种排法，所以2个0不相邻的排法种数为A×A＝480.
6、把A，B，C，D四本不同的书分给3位同学，每人至少分到一本，每本书必须有人分到，则不同的分配方法共有________种．(用数字作答)
解：4本不同的书，先分成3组，然后再分给3位同学，故不同的分配方法共有C·A＝36种．
7、用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成_____100___个无重复数字的三位数，也可以组成____216____个能被5整除且无重复数字的五位数．
解：(1)第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C＝5种情况；第二步，确定另外两个数位上的数，有A＝20种情况，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．(2)被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有A＝120种情况；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C＝4种方法，然后确定其他三个数位上的数有A＝24种情况，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计数原理，可得共有120＋96＝216个数．
8、某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__72__种不同的调度方法．(用数字填写答案)
解：CCA＝72.或C·＝72.
9、电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映，在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是__16__.
解：根据题意，将两名家长、孩子全排列，有A＝24种排法，其中两个孩子相邻且在两端的情况有AAA＝8种，则每个小孩子要有家长相邻陪坐的排法有24－8＝16种，故答案为：16.
题型二：组合问题
例2 (1)从7名男生、5名女生中选取3人，则A、B不全当选的选法有__210__种，至少有2名女生的选法有__80__种，男生、女生都有的选法有__175__种．
(2)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　B　)
A．85 B．49
C．56 D．28
解:(1)C－C＝210或CC＋C＝210；
CC＋C＝80或C－C－CC＝80；
C－C－C＝175或CC＋CC＝175.
(2)∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为9个．∵甲、乙至少有1人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有C·C＝42(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有C·C＝7(种)，根据分类加法计数原理知共有42＋7＝49(种)或C－C＝49(种)(排除法)．
方法归纳：组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
跟踪练习
1、楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为(　A　)
A．10 B．15
C．20 D．24
解：问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有C＝10种．
2、我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(　D　)
A．30 B．60
C．90 D．120
解:有两种情况，①一艘航母配2艘驱逐舰和1艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和2艘核潜艇，②一艘航母配2艘驱逐舰和2艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱逐舰和1艘核潜艇，C·(CC＋CC)＝120，故选D．
3、6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种　　　　　 　　　 B．90种
C．60种 D．30种
解：选C.首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；最后剩下的3名同学去丙场馆．故不同的安排方法共有CCC＝60(种)．故选C.
4、在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为(　　)
A．4×13种 B．134种
C．A种 D．C种
解：选D.根据题意，原问题可以转为从52张桥牌中任选13张，分配给这名参赛者，则有C种情况，即参赛者可能有C种不同的牌．
5、如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为(　　)
A．30 B．42 C．54 D．56
解：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C种取法，再减去三点共线的情形即可，即C－C－C＝42.
6、甲、乙、丙、丁4位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去1个地方，周庄一定要有人去，则不同游玩方案的种数为(　　)
A．60 B．65 C．70 D．75
解：周庄去1人，则其他3人去剩下的2个地方，有C×2×2×2＝32(种)方案；周庄去2人，则其他2人去剩下的2个地方，有C×2×2＝24(种)方案；周庄去3人，剩余1人去剩下的2个地方中的一个，有C×2＝8(种)方案；周庄去4人，有1种方案．由分类加法计数原理得不同游玩方案的种数为32＋24＋8＋1＝65，故选B.
7、将6本相同的书分给8个同学，每人至多分一本，而且书必须分完，则不同的分法种数是(　　)
A．A B．C C．68 D．86
解：选B.从8人中选6人进行组合即可，则有C种选法．故选B.
8、2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传．若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有(　B　)
A．20种 B．24种
C．30种 D．36种
解：5名大学生分组有2、2、1或3、1、1两种情况，共有C＋C＝6种，再分到三个社区有CA＝4种方案，故不同的安排方案有6×4＝24种．
9、从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　C　)
A．18　　　　　　　　 B．24
C．30 D．36
10、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
解：分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．
所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．
11、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．
解：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有CC种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CC种方法．所以满足条件的不同取法有CC＋CC＝350(种)．
12、某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
解：甲、乙中裁一人的方案有CC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员方案共有CC＋C＝182(种)．
13、某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有1名女生的选法有________种．
解：恰好有1名女生，即2名男生，1名女生．从3名男生中选出2名，有C种法选，从2名女生中选1名，有C种选法．由分步乘法计数原理得，选出的人员中恰好有1名女生的选法有CC＝6(种)．
14、平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．则以这些点为顶点，可构成不同的三角形有________个．
解：方法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．
第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48(个)不同的三角形；
第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112(个)不同的三角形；
第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56(个)不同的三角形．
由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．
方法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220(种)取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4(种)．
故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216.
题型三：排列、组合的综合应用
例3 (1)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有__120__种．
(2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(　A　)
A．16 B．24
C．8 D．12
解：(1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有A×A＝48种；②当甲在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A×A＝36种；③当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种情况，共A×A＋A×A×A＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．
(2)根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有A＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有A＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16，故选A．
方法归纳：解排列组合综合问题的方法
先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．
第一步：选元素，即选出符合条件的元素；
第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；
第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．
注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”．
跟踪练习
1、中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有(　A　)
A．408种 B．240种
C．192种 D．120种
解：将六艺全排列，有A种，当“射”排在第一次有A种，“数”和“乐”两次相邻的情况有AA种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有AA种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有A－A－AA＋AA＝408种，故选A．
另解：“数”或“乐”排在第一次有CCA＝192种排法；“数”和“乐”都不排；第一次有CAA＝216种排法；∴共有192＋216＝408种不同的排法．故选A．
2、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(　　)
A．12种　　　　　　　　　 B．24种
C．48种 D．96种
解：从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B，2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以共有12×4＝48(种)不同排法．
3、2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有(　　)
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解：不考虑京剧的位置，越剧、粤剧排在一起的排列有A种，把越剧与粤剧看成一个整体“捆绑”起来，与剩余的4个剧种排列，有A种，共有AA种．根据对称性知，京剧排在前三与后三的情况是一样的，所以满足条件的演出顺序有＝120(种)．
4、将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　B　)
A．36种 B．42种
C．48种 D．60种
解:根据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种情况讨论：
①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有A＝24种不同的排法；
②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排好在剩余的三个位置上，此时共有3A＝18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有24＋18＝42种不同的排法，故选B．
5、在第九个“全国交通安全日”当天，某交警大队派出4名男交警和3名女交警到3所学校进行交通安全教育宣传，要求每所学校至少安排2人，且每所学校必须有1名女交警，则不同的安排方法有(　A　)
A．216种 B．108种
C．72种 D．36种
解：将7名交警分组有CCA＝36种，再分到3所学校有A＝6种，故不同安排方法有36×6＝216种，选A．
6、某学校开展“学雷锋践初心，向建党百年献礼”志愿活动．现有6名男同学和4名女同学，分配到4个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为(　　)
A．65 B．1 560
C．25 920 D．37 440
解：由题意得分配方案可分为两类：
第一类，1组3个男生，其余3组每组1个男生，
不同的分配方案有×A×A＝11 520(种)；
第二类，有2组每组2个男生，其余2组每组1个男生，不同的分配方案有×A×A＝25 920(种)．
所以不同的分配方案共有11 520＋25 920＝37 440(种)．故选D.
7、假如北京大学给某市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　)
A．30 B．21
C．10 D．15
解：用“隔板法”，在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，
有C＝15种分配方法．故选D.
8、将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
解：根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．
9、某城市新修建的一条道路上有11盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有(　　)
A．C B．C
C．C D．以上答案都不对
解：选C.根据题意，使用插空法分析：原来有11盏路灯，熄灭其中的4盏灯，还有7盏是亮着的，先将亮的7盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有6个符合条件的空位，进而在6个空位中，任取4个插入熄灭的4盏灯，有C种方法，故选C.
10、某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的是(　　)
A．分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B．分给甲、乙两地每地各2辆，分给丙、丁两地每地各1辆，有360种分配方式
C．分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D．分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1 080种分配方式
解：选D.对A，先从6辆工程车中分给甲地2辆，有C种方法，再从剩余的4辆工程车中分给乙地2辆，有C种方法，最后的2辆分给丙地，有C种方法，所以不同的分配方式有CCC＝90(种)，故A错误；对B，6辆工程车先分给甲、乙两地每地各2辆，有CC种方法，剩余2辆分给丙、丁两地每地各1辆，有A种方法，所以不同的分配方式有CCA＝180(种)，故B错误；对C，先把6辆工程车分成3组：4辆、1辆、1辆，有C种方法，再分给甲、乙、丙三地，所以不同的分配方式有CA＝90(种)，故C错误；对D，先把6辆工程车分成4组：2辆、2辆、1辆、1辆，有·种方法，再分给甲、乙、丙、丁四地，所以不同的分配方式有··A＝1 080(种)，故D正确．
11、把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
解：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种)．
12、有编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，要求1号车必须在3号车前出发，共有________种出发顺序．
解：编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，共有A种出发顺序，要求1号车必须在3号车前出发，所以有＝360种出发顺序．
13、某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有__84__种不同的抽调方法．
解：解法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C种．故共有C＋A＋C＝84种抽调方法．
解法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可看成将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C＝84种抽调方法．
14、秉承“新时代、共享未来”的主题，第四届“进博会”于2021年11月5至10日在上海召开，某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有__48__种．
解：任意安排有A种方案，只有男教师或女教师相邻有AAA种方案，男教师相邻且女教师相邻有AAA种方案，故符合条件的方案有A－2AAA－AAA＝48种．
15、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有____720____种．
解：将10个节目看作10个元素排列位置．在10个位置中选7个按一定顺序排列，有C种排法，其余3个位置进行全排列，有A种排法，所以共有CA＝720(种)．
16、为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，共有____1024____种分配方法，每个小区至少分配一名志愿者，则有____240____种分配方法．
解：若需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，则每个志愿者都有4种可能，根据分步乘法计数原理，则有45＝1 024 种不同的方法；若每个小区至少分配一名志愿者，则有一个小区有两名志愿者，其余小区均有1名志愿者，由部分均匀分组消序和全排列可知，把5名志愿者分成4组，有·A＝240种不同的分配方法．6.2排列与组合题型总结
一、知识梳理
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C
二、题型归纳
题型一：排列问题
例1 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：
①选其中5人排成一排；________
②排成前后两排，前排3人，后排4人；________
③全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；________
④全体排成一排，女生必须站在一起；________
⑤全体排成一排，男生互不相邻；________
⑥全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；________
⑦全体排成一排，甲必须排在乙前面；________
⑧全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．________
方法归纳：求解排列应用问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
跟踪训练
1、2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛．现组委会要从小张、小赵、小李、小王、小罗五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为(　　)
A．12 B．24
C．36 D．48
2、六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种　　　 　　　　　 B．216种
C．240种 D．288种
3、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有(　　)
A．250个 B．249个
C．48个 D．24个
4、将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是(　　)
A．28　　　　B．24 C．18　　　　D．16
5、将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的排法种数为(　　)
A．240 B．144 C．480 D．288
6、把A，B，C，D四本不同的书分给3位同学，每人至少分到一本，每本书必须有人分到，则不同的分配方法共有________种．(用数字作答)
7、用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成_______个能被5整除且无重复数字的五位数．
8、某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有____种不同的调度方法．(用数字填写答案)
9、电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映，在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是____.
题型二：组合问题
例2 (1)从7名男生、5名女生中选取3人，则A、B不全当选的选法有____种，至少有2名女生的选法有____种，男生、女生都有的选法有____种．
(2)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)
A．85 B．49
C．56 D．28
方法归纳：组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
跟踪练习
1、楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为(　　)
A．10 B．15
C．20 D．24
2、我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱逐舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(　　)
A．30 B．60
C．90 D．120
3、6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种　　　　　 　　　 B．90种
C．60种 D．30种
4、在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13张牌)组成的牌，一名参赛者可能得到的不同的牌为(　　)
A．4×13种 B．134种
C．A种 D．C种
5、如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为(　　)
A．30 B．42 C．54 D．56
6、甲、乙、丙、丁4位同学决定去巴城老街、千灯古镇、周庄游玩，每人只能去1个地方，周庄一定要有人去，则不同游玩方案的种数为(　　)
A．60 B．65 C．70 D．75
7、将6本相同的书分给8个同学，每人至多分一本，而且书必须分完，则不同的分法种数是(　　)
A．A B．C C．68 D．86
8、2020年4月22日是第51个世界地球日，今年的活动主题是“珍爱地球，人与自然和谐共生”．某校5名大学生到A，B，C三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个小区宣传．若甲、乙要求去同一个小区且不去A小区，则不同的安排方案共有(　　)
A．20种 B．24种
C．30种 D．36种
9、从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(　　)
A．18　　　　　　　　 B．24
C．30 D．36
10、某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
11、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种．
12、某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．
13、某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有1名女生的选法有________种．
14、平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．则以这些点为顶点，可构成不同的三角形有________个．
题型三：排列、组合的综合应用
例3 (1)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有____种．
(2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(　　)
A．16 B．24
C．8 D．12
方法归纳：解排列组合综合问题的方法
先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．
第一步：选元素，即选出符合条件的元素；
第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；
第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．
注意：(1)均匀分组时要除以均匀组数的阶乘；(2)相同元素的分配问题常用“隔板法”．
跟踪练习
1、中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有(　　)
A．408种 B．240种
C．192种 D．120种
2、北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(　　)
A．12种　　　　　　　　　 B．24种
C．48种 D．96种
3、2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有(　　)
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
4、将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．36种 B．42种
C．48种 D．60种
5、在第九个“全国交通安全日”当天，某交警大队派出4名男交警和3名女交警到3所学校进行交通安全教育宣传，要求每所学校至少安排2人，且每所学校必须有1名女交警，则不同的安排方法有(　　)
A．216种 B．108种
C．72种 D．36种
6、某学校开展“学雷锋践初心，向建党百年献礼”志愿活动．现有6名男同学和4名女同学，分配到4个“学雷锋志愿服务站”参加志愿活动，若每个志愿服务站至少有男、女同学各1名，则不同的分配方案种数为(　　)
A．65 B．1 560
C．25 920 D．37 440
7、假如北京大学给某市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　)
A．30 B．21
C．10 D．15
8、将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
9、某城市新修建的一条道路上有11盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有(　　)
A．C B．C
C．C D．以上答案都不对
10、某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的是(　　)
A．分给甲、乙、丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B．分给甲、乙两地每地各2辆，分给丙、丁两地每地各1辆，有360种分配方式
C．分给甲、乙、丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D．分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1 080种分配方式
11、把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
12、有编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，要求1号车必须在3号车前出发，共有________种出发顺序．
13、某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有____种不同的抽调方法．
14、秉承“新时代、共享未来”的主题，第四届“进博会”于2021年11月5至10日在上海召开，某高校派出2名女教师、2名男教师和1名学生参加前五天的志愿者服务工作，每天安排1人，每人工作1天，如果2名男教师不能安排在相邻两天，2名女教师也是如此，那么符合条件的不同安排方案共有____种．
15、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
16、为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲、乙、丙、丁4个小区开展工作，共有________种分配方法，每个小区至少分配一名志愿者，则有________种分配方法．

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