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二阶求导与隐零点设而不求法
---------------------------------------------- 知识点与方法总结--------------------------------------------------
一、二阶导函数求法
当我们一次求导数之后无法求出导函数的根，也不能直接看出导函数的正负，这时一般来说需要二次求导，判断的单调性则需判断的正负，假设的正负无法判断，通常把或者中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数，如果通过对进行求导然后求最值，若或则可判断出的正负继而判断的单调性，流程如下图所示：
(
原函数单调递增
) (
一阶导数最小值大于等于
0
)
(
一阶导数无法判断单调性
) (
我们对一阶导数或对其中不能判断符号的部分进行求导
) (
通过二阶导数求出一阶导数的最值
)
(
一阶导数最大值小于等于
0
)
(
原函数单调增增
)
二、隐零点设而不求法
1、函数零点：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”.
2、导数问题中经常遇到“隐零点”问题，通常先根据函数零点存在性定理判断零点所在区间，然后用字母表示这个零点，再判别单调性求最值，最后根据已知条件将零点方程变形整体代入最值式子求解.
--------------------------------------------------------- 题型专练 -----------------------------------------------------
【题模1】 ：二阶导数
【讲透例题】
例1、，当时，恒成立，求实数的取值范围。
2、设函数f(x)=emx+x2-mx。
（Ⅰ）证明：在单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围。
3、设函数f(x)=ex +- x。
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意x1,x2∈[-m,m]，都有，求m的取值范围。
4、已知函数f(x)=ex –ln(x+m)，当m≤2时，证明f(x)>0.
5、已知函数，若对任意，恒成立，求正整数的最大值。
【相似题练习】
1、设函数，，证明。
2、设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值； （2）求的单调区间.
3、已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
4、设函数，其中，是自然对数的底数，若是上的单调函数，求的取值范围。
5、已知函数,（e为自然对数的底数）.
（1）讨论函数g(x)的单调性;
（2）当x>0时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
【题模2】 ：隐零点设而不求法
1、已知，。
（1）当时，求f（x）的最大值。（2）若函数f（x）的零点个数为2个，求的取值范围。
2、已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【相似题练习】
1、已知函数在处的切线方程为
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若为整数，当时，恒成立，求的最大值（其中为的导函数）．
2、已知函数f(x)＝－ln x－x2＋x，g(x)＝(x－2)ex－x2＋m(其中e为自然对数的底数)．当x∈(0,1]时，f(x)>g(x)恒成立，求正整数m的最大值．二阶求导与隐零点设而不求法解析
【题模1】 ：二阶导数
【讲透例题】
例1、设函数f(x)=ex+2x2-3x，当 时，f(x)≥x2+（a-3）x+1恒成立，求实数的取值范围。
解析：由f(x)≥x2+（a-3）x+1，得 ax≤ex –x-1,
当 时，
∴（x）≥()>0,
2、设函数f(x)=emx+x2-mx。
（Ⅰ）证明：在单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围。
解：（1）方法一：证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．令f′（x）=g(x), g′(x)=m2 emx+2>0, 则g(x) 即
f′(x)在R上单调递增，又f′（0）=0, 所以当x<0时，f′（x）<0, 当x>0时， f′（x）>0 ，所以在单调递减，在单调递增；
（1）方法二：证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．
若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是
即
设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．
当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．
当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是[﹣1，1].
3、设函数f(x)=ex +- x,
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意x1,x2∈[-m,m]，都有，求m的取值范围。
解：（1）方法一：证明：f′（x）= ex+﹣1．令f′（x）=g(x), g′(x)= ex+>0, 则g(x) 即f′(x)在R上单调递增，又f′（0）=0, 所以当x<0时，f′（x）<0, 当x>0时， f′（x）>0 ，所以在单调递减，在单调递增；
（1）方法二：证明：f′（x）= ex+﹣1．
当x∈（﹣∞，0）时， f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时， f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知， f（x）在[﹣m，0]单调递减，在[0，m]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣m，m]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是, 且m>0
即, m>0, 设函数g（t）=et﹣﹣1，则g′（t）=et+．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．
故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（1）=0，g（1）= e-1, g（﹣1）=e﹣1+1＜e-1，故当t∈(0 ，1]时，g（t）≤e-1．g（-t）≤e-t +1则当m∈(0，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；
当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞e-1，即em﹣m＞e﹣1．
综上，m的取值范围是(0，1].
解：（1）证明：f′（x）= ex+﹣1．
当x∈（﹣∞，0）时， f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时， f′（x）＞0．
所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知， f（x）在[﹣m，0]单调递减，在[0，m]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x1，x2∈[﹣m，m]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是,
即 , 设函数g（t）=et-t，则g′（t）=et﹣1．
当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
又g（0）=1，g（1）=e-1，g（﹣1）=e﹣1+1< g（1），故当t∈[﹣m，m]时，g（t）≤0．
当m∈(0，1]时，g（m）≤e-1，g（﹣m）当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞e-1，即em﹣m＞e﹣1．不成立
综上，m的取值范围是(0，1].
4、已知函数f(x)=ex –ln(x+m)，当m≤2时，证明f(x)>0.
解：f(x)=ex-ln(x+m)
定义域x+m>0， x>-m
f'(x)=ex-
f''(x)=ex+ >0
f'(x)在定义域内递增，
设极值点为x ，则f'(x )=e x - ，
则 ex =, x +m=e-x , x =e-x -m
∴f(x)≥f(x )=ex -ln(x +m)=ex -lne-x
即f(x)≥ex +x =ex +e-x -m≥2-m, 当m≤2时，2-m≥0
当且仅当ex =e(-x )即x =0且m=2时等号成立 , 又x =e-x -m，所以等号不成立，
∴当m≤2时, f(x)>0.
5、已知函数f(x)=xlnx+ax，若对任意x∈(1, +∞)，f(x)>k(x-1)+ax-x恒成立，求正整数k的最大值。
【相似题练习】
1、设函数，，证明。
解：
2、设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值； （2）求的单调区间.
3、已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
解：（1）省略
（2）提示：f'(x)=ex（cosx-sinx）-1, f''(x)=ex（cosx-sinx-sinx-cosx）= ex（-2sinx）,
x∈, ∴f''(x)≤0, ∴f'(x)在上单调递减，
又 f'()=0，，，，，，∴f(x) 在[0, ]上递增，在 (,]上递减，，，，，，，
4、设函数，其中，是自然对数的底数，若是上的单调函数，求的取值范围。
5、已知函数,（e为自然对数的底数）.
（1）讨论函数g(x)的单调性;
（2）当x>0时,f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
【题模2】 ：隐零点设而不求法
1、已知，。
（1）当时，求f（x）的最大值。（2）若函数f（x）的零点个数为2个，求的取值范围。
2、已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【相似题练习】
1、已知函数在处的切线方程为
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若为整数，当时，恒成立，求的最大值（其中为的导函数）．
提示：
2、已知函数f(x)＝－ln x－x2＋x，g(x)＝(x－2)ex－x2＋m(其中e为自然对数的底数)．当x∈(0,1]时，f(x)>g(x)恒成立，求正整数m的最大值．
解　当x∈(0,1]时，f(x)>g(x)，
即m<(－x＋2)ex－ln x＋x.
令h(x)＝(－x＋2)ex－ln x＋x，x∈(0,1]，
所以h′(x)＝(1－x)，
当0设u(x)＝ex－，则u′(x)＝ex＋>0，
所以u(x)在(0,1]上单调递增．
因为u(x)在区间(0,1]上的图象是一条不间断的曲线，
且u＝－2<0，u(1)＝e－1>0，
所以存在x0∈，使得u(x0)＝0，
即＝，所以ln x0＝－x0.
当x∈(0，x0)时，u(x)<0，h′(x)<0；
当x∈(x0,1)时，u(x)>0，h′(x)>0.
所以函数h(x)在(0，x0]上单调递减，在[x0,1)上单调递增，
所以h(x)min＝h(x0)＝(－x0＋2)－ln x0＋x0
＝(－x0＋2)·＋2x0＝－1＋＋2x0.
因为y＝－1＋＋2x在x∈(0,1)上单调递减，
又x0∈，所以h(x0)＝－1＋＋2x0∈(3,4)，
所以当m≤3时，不等式m<(－x＋2)ex－ln x＋x对任意的x∈(0,1]恒成立，
所以正整数m的最大值是3.

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