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函数的单调性与最值
【知识梳理】
单调性
增函数、减函数的定义
1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1数学符号：： x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数
2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
数学符号：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：
(三）复合函数的单调性
y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”
单调性的应用
（一）最值 1.定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
（二）解不等式 （三）比较大小
【考点分类剖析】
考点一 无参数函数的单调性
【例1-1】（2022·辽宁大连·高三学业考试）下列函数在R上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；
在R上为增函数，选项B正确；
在上单调递减，故选项C错误；
在单调递减，在单调递减，故选项D错误.故选：B.
【例1-2】（2022·贵州·贵阳一中）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在函数中，由得或，则的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.故选：B
【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和 C．和 D． 和
【答案】B【解析】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.
【例1-4】（1）（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为
（2）（2023·荆州市沙市第四中学）函数的单调减区间为______.
（3）（2022·甘肃省民乐县第一中学）已知函数，则单调递增区间是
（4）（2022·重庆北碚区·西南大学附中）函数的单调递增区间是
【答案】（1）（2）、（4）（5）
【解析】（1）函数的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，
二次函数的对称轴是，函数的单调递减区间是 ．
（2）由知，即的定义域为，作出的图像如图所示：
由图可知： 的单调递减区间为和.故答案为：、.
（4）函数的定义域为R，
因为，所以函数是奇函数；
又，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增；
又函数连续，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.
（5）对于函数，，解得或，
所以，函数的定义域为.
内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间为.
故选：D
【变式探究】
1．（2022·上海崇明·一模）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】函数、在区间上为减函数，函数在区间上为增函数，函数在区间上不单调.故选：B.
2．（2022·全国·高三阶段练习 ）下列函数在上是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】对于选项A，在上无意义，不符合题意；对于选项B，在上是增函数，不符合题意；对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意；
对于选项D，在上是增函数，不符合题意.故选：C.
3．（2022·全国·高三阶段练习 ）下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
【答案】B【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.
4．（2023·北京师范大学珠海分校附属外国语学校）函数的单调区间为__________.
【答案】减区间为
【解析】的定义域是，是增函数，在和上都是减函数，∴的单调减区间是和．故答案为：减区间和．
5.（2022·黑龙江高考模拟）函数的单调减区间为
【答案】
【解析】函数,所以 或，所以函数的定义域为或，当时，函数是单调递减，而，所以函数的单调减区间为。
6．（2023·江苏）函数的单调增区间为___________.
【答案】
【解析】由得，函数的定义域是R，
设，则在上是减函数，在上是增函数，
∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是故答案为：
7．（2023·四川达州市）函数的单调递增区间是
【解析】由可得，解得：或，
所以函数的定义域为，
因为是由和复合而成，
因为在定义域内单调递增，
对称轴为，开口向上，
所以在单调递减，在单调递增，
根据复合函数同增异减可得：
在单调递减，在单调递增，
所以函数的单调递增区间是，
考点二 已知单调性求参数
【例2-1】（2022·山东临沂·高三阶段练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的子集，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件.
故选：A
【例2-2】（1）（2022·云南省镇雄县第四中学）若函数在上单减，则k的取值范围为__________.
（2）（2022·陕西西安市·西安一中）如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为函数在上单减，
所以，得，所以k的取值范围为.故答案为：
（2）二次函数的对称轴为，抛物线开口向上，
函数在，上单调递减，要使在区间，上单调递减，则对称轴，解得．
【变式探究】
1．（2022·四川省资中县第二中学 ）若函数，在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为的对称轴为且开口向上，且在上是减函数，所以，所以，故选：D.
2．（2022·陕西省黄陵县中学）设函数是R上的增函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数是R上的增函数,则，即 故选：A
3．（2023·广西钦州市）函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为
函数在单调递增，则，解得.故选：A.
4、（2022·四川省资中县第二中学 ）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。
【答案】
【解析】函数的对称轴方程为，
函数在区间上是增函数，所以，解得.
考点三 利用单调性解不等式
【例3-1】（2023·广西钦州市）已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由已知可得解得－33.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．故答案为：
【例3-2】（2022·陕西西安市·西安一中）设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是 。
[答案]　(－∞，2]
[解析]　易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，
∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．
【变式探究】
1．（2022·四川省资中县第二中学 ）已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是 。
【答案】
【解析】因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R） 。
【答案】(－∞，－1]∪[2，＋∞)
【解析】由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
【巩固练习】
1、（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
【答案】， ，
【解析】作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，
观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减，所以原函数的单调增区间是，，单调递减区间是，.
故答案为：，；，
2．（2022·福建龙岩·高三期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是___________
【答案】[3，）
【解析】由题意，，而函数的对称轴为：，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数的增区间为：，又因为函数在上单调递增，所以.故答案为：.
3．（2022·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））写出一个定义在R上的单调递减函数_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，构造函数定义域为R，且单调递减即可
可构造一次函数，指数型函数等故答案为：（答案不唯一）
4．（2023·上海市向明中学高三阶段练习）函数的单调递增区间是_________．
【答案】
【解析】设 ， 或
为增函数，在为增函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知：函数 的单调递增区间是.
5．（2022·陕西·西安中学高三期中）函数的单调递增区间是__________．
【答案】
【解析】函数有：,解得或.即函数的定义域为( ∞, 3)∪(1,+∞)，
令,则，∵为减函数，在( ∞, 3)上为减函数,在(1,+∞)为增函数，
∴函数的单调递增区间为，故答案为.
6．（2022·江苏课时练习）函数与的单调递增区间分别为（ ）
A．[1，+∞)，[1，+∞) B．(﹣∞，1]，[1，+∞)
C．(1，+∞)，(﹣∞，1] D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)
【答案】A
【解析】 ，在上单调递增，，在上单调递增，故选：A.
7．（2022·江苏课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，可得或，函数的定义域为，
令，则外层函数在上单调递增，内层函数在上单调递减，在上单调递增，所以，函数的单调递减区间为.故选：D.
8．（2023·北京石景山区）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，在上单调递减，所以在区间上为增函数；
由指数函数单调性知在区间上单调递增；
由在区间上为增函数， 为增函数，可知在区间上为增函数；
知在区间上为减函数.故选：D
9．（2023·江西景德镇市·景德镇一中）函数的单调递增区间是________.
【答案】
【解析】由解得，即函数的定义域为，
的对称轴为，开口向下，在单调递增，
则的单调递增区间是.故答案为：.
10．（2023·四川省绵阳南山中学高三月考（理））函数的单调递减区间是________.
【答案】
【解析】由
当时，开口向上，对称轴方程为，所以在上单调递增.
当时，开口向下，对称轴方程为
所以此时在上单调递增，在上单调递减.故答案为：
11．（2022·长宁区·上海市延安中学）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】函数在是减函数，在是增函数，
若函数在区间是增函数，则.故答案为：
12．（2023·北京石景山区）函数的单调增区间为_________.
【答案】
【解析】因为，所以或，即函数定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.故填：．
13．（2022·全国·高三专题练习）若函数在，上为增函数，则不等式的解集__________.
【答案】 函数的单调性与最值
【知识梳理】
单调性
增函数、减函数的定义
1.增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1数学符号：： x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 >0 f(x)在[a，b]上是增函数
2.减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．
数学符号：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 <0 f(x)在[a，b]上是减函数．
判断单调性的方法
1.定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.
2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.
3.导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.
4.性质法：
(三）复合函数的单调性
y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”
单调性的应用
（一）最值 1.定义：设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
（二）解不等式 （三）比较大小
【考点分类剖析】
考点一 无参数函数的单调性
【例1-1】（2022·辽宁大连·高三学业考试）下列函数在R上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2022·贵州·贵阳一中）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和 C．和 D． 和
【例1-4】（1）（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间为
（2）（2023·荆州市沙市第四中学）函数的单调减区间为______.
（3）（2022·甘肃省民乐县第一中学）已知函数，则单调递增区间是
（4）（2022·重庆北碚区·西南大学附中）函数的单调递增区间是
【变式探究】
1．（2022·上海崇明·一模）下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三阶段练习 ）下列函数在上是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三阶段练习 ）下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是(　　)
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
4．（2023·北京师范大学珠海分校附属外国语学校）函数的单调区间为__________.
5.（2022·黑龙江高考模拟）函数的单调减区间为
6．（2023·江苏）函数的单调增区间为___________.
7．（2023·四川达州市）函数的单调递增区间是
考点二 已知单调性求参数
【例2-1】（2022·山东临沂·高三阶段练习）“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2-2】（1）（2022·云南省镇雄县第四中学）若函数在上单减，则k的取值范围为__________.
（2）（2022·陕西西安市·西安一中）如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是
【变式探究】
1．（2022·四川省资中县第二中学 ）若函数，在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西省黄陵县中学）设函数是R上的增函数，则有（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·广西钦州市）函数在单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、（2022·四川省资中县第二中学 ）函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。
考点三 利用单调性解不等式
【例3-1】（2023·广西钦州市）已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【例3-2】（2022·陕西西安市·西安一中）设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是 。
【变式探究】
1．（2022·四川省资中县第二中学 ）已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是 。
2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R） 。
【巩固练习】
1、（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
2．（2022·福建龙岩·高三期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是___________
3．（2022·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））写出一个定义在R上的单调递减函数_______．
4．（2023·上海市向明中学高三阶段练习）函数的单调递增区间是_________．
5．（2022·陕西·西安中学高三期中）函数的单调递增区间是__________．
6．（2022·江苏课时练习）函数与的单调递增区间分别为（ ）
A．[1，+∞)，[1，+∞) B．(﹣∞，1]，[1，+∞)
C．(1，+∞)，(﹣∞，1] D．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)
7．（2022·江苏课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·北京石景山区）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·江西景德镇市·景德镇一中）函数的单调递增区间是________.
10．（2023·四川省绵阳南山中学高三月考（理））函数的单调递减区间是________.
11．（2022·长宁区·上海市延安中学）若函数在区间上是严格增函数，则实数a的取值范围是_________.
12．（2023·北京石景山区）函数的单调增区间为_________.
13．（2022·全国·高三专题练习）若函数在，上为增函数，则不等式的解集__________.

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