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正比例与反比例
北师版·六年级下册
新课探索
1.举例说明什么是比，什么是比例，以及它们的应用。
1.比的概念：两个数相除又叫作两个数的比。
如：3÷5＝3∶5。
2.比的应用：应用比的概念可以求比值，用比的前项除以比的后项，所得到的结果就是比值，比值可以是分数、小数或整数。如：3∶5＝3÷5＝ （或0.6）。
3.比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
4.比的基本性质的应用：应用比的基本性质可以化简比，把比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），使比的前项和后项只有公因数1。如：8∶12＝（8÷4）∶（12÷4）＝2∶3。
5.比例的概念：表示两个比相等的式子叫作比例。
如：3∶5＝6∶10。
6.比例概念的应用：判断两个比能否组成比例。
如：因为1∶5＝0.2，2∶10＝0.2，所以1∶5和2∶10能组成比例 1∶5＝2∶10。
7.比例的基本性质：一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。如：比例3∶5＝6∶10中，3×10＝5×6。
8.比例的基本性质的应用：应用比例的基本性质可以判断两个比能否组成比例，还可以解比例。
如：x∶5＝3∶6
解： 6x＝3×5
x＝15÷6
x＝2.5
2.填一填，并说一说比、分数、除法之间的联系。
3
3
5
5
a
a
b
b
联系 区别
比 前项 比号 后项 比值 表示两个数的倍比关系
分数 分子 分数线 分母 分数值 一个数
除法 被除数 除号 除数 商 一种运算
比、分数、除法之间的联系。
3.（1）说说图中的比例尺1∶6000表示什么意思。
（2）240m长的马路在图上应画多长？
（3）一个长方形住宅区在图上长1cm，宽0.5cm，它的实际占地面积是多少平方米？
4.解答
（1）图中的比例尺1∶6000表示图上1cm相当于实
际的60m。
（2）240m＝24000cm 24000÷6000＝4（cm）
答：240m长的马路在图上应画4cm。
（3）长：6000cm＝60m
宽：0.5×6000＝3000（cm） 3000cm＝30m
面积：60×30＝1800（m2）
答：它的实际占地面积是1800平方米。
举例说说生活中有哪些成正比例的量，有哪些成反比例的量。
正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用以下关系式表示：x/y=k（一定）。
例如：正方形的周长与边长是成正比例的两个量；圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高是成正比例的两个量；速度一定，路程和时间是成正比例的两个量。
反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以用以下关系式表示：xy=k（一定）。
例如：长方形的面积一定，它的长与宽是成反比例的两个量；圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高是成反比例的两个量；路程一定，速度与时间是成反比例的两个量。
时间/时 1 2 3 4 5 ---
路程/千米 100 ---
例 一辆汽车在高速路上行驶，速度保持在100千米/时，说一说汽车行驶的路程随时间变化的情况，并说说可以用哪些方式来表示这两个量之间的关系？
200
300
400
500
（1）可以列表
（2）可以画图
时间/分
　路程/千米
0
2
4
3
5
1
100
500
200
400
300
（3）可以用式子表示
如果用t表示汽车行驶的时间，
S表示汽车行驶的路程，那么
S÷t=100
你还能举出生活中或数学中一个量随另一个量变化的例子吗？
1.填一填。
(1)两个正方形的边长比是1∶3，周长比是( )，面积比是( ) 。
(2)9元可以买2kg鸡蛋，总价与数量的比是( ) ，比值是( )。
(3)汽车3时行150 km，路程与时间的比是( )，比值是( )。
1∶3
1∶9
9∶2
4.5
150∶3
50
【选自教材P84巩固与应用第1题】
随堂演练
2.化简。
1∶4
4∶3
6∶1
1∶15
5∶12
5∶32
30∶1
1∶2
【选自教材P84巩固与应用第2题】
3.
(1)量一量艺术小学平面图的长是______cm，宽是______cm，这所小学实际占地面积是__________m2。
(2)绕操场跑一圈大约是______m，花坛的占地面积是______m2。
(3)教学楼的占地面积是______m2，是学校占地面积的_____%。
14
5
28000
240
1256
4200
15
【选自教材P84巩固与应用第3题】
4.解方程。
解： 4x=5
x=8
解： 0.5x=4
x=
解： 2x=2.5×2.8
x=3.5
【选自教材P84巩固与应用第4题】
5.判断下面每题中的两个量是否成正比例或反比例。
(1)一捆100 m长的电线，用去的长度与剩下的长度。
(2)三角形的面积一定，它的底和高。
(3)一个数与它的倒数。
不成比例
成反比例
成反比例
【选自教材P84巩固与应用第5题】
6.下面表格中的两个量是否成正比例或反比例？为什么？
每分滴数/滴 60 50 40 30 ---
时间/分 20 24 30 40 ---
每分滴数与所需时间成反比例。
60×20=1200，
50×24=1200；
40×30=1200，
30×40=1200；
【选自教材P85巩固与应用第6题】
(2)妙想的身高与体重的关系如下：
身高/厘米 100 110 120 130 ---
体重/千克 17 20 25 31 ---
妙想的身高与体重不成比例。
100×17=1700，
110×20=2200，
120÷25=4.8；
130÷31≈4.19；
(3)体积一定，圆柱体的底面积和高的关系如下。
底面积/ 平方分米 300 200 150 120 100 ---
高/分米 2 3 4 5 6 ---
体积一定，圆柱体的底面积和高成反比例
300×2=600，
200×3=600，
150×4=600，
120×5=600，
7.判断下面每题中的两个量是否成正比例或反比例。
（1）出油率一定，香油质量与芝麻的质量.( )　　　　
（2）一捆100米长的电线，用去的长度与剩下的长度.
（ )　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
成正比例
不成比例
出油率(一定)=香油质量÷芝麻的质量×100%
(用去的长度+剩下的长度=100米)
（3）三角形的面积一定，它的底和高( )
（4）一个数与它的倒数。　　（ 　　 )
　　　　　　　
成反比例
成反比例
三角形面积(一定)=底×高÷2
7.判断下面每题中的两个量是否成正比例或反比例。
a× =1 (a≠0)
8.右图表示的是一根水管不停地向水箱注水，水箱内水的体积的变化情况。
注水时间/分 5 8 13
水的体积/升 10 20 46
16
10
26
23
看图填表
时间/分
　体积/升
10
50
20
40
30
60
0
10
15
25
5
20
9.磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。
时间/分 1 2 3 4 5 6 …
路程/ 千米 7 14 21 28 35 42 …
（1）图中的点A表示时间为1分时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其它他各点.
【选自教材P85巩固与应用第7题】
时间/分
路程/千米
0
2
4
3
5
1
7
35
14
28
21
42
6
7
A
（2）连接各点，它们在一条直线上吗？
时间/分
路程/千米
0
2
4
3
5
1
7
35
14
28
21
42
6
7
A
（3）列车运行2分半时，行驶的路程是多少？
7×2.5＝17.5（千米）
时间/分
路程/千米
0
2
4
3
5
1
7
35
14
28
21
42
6
7
A
10.育才小学六年级同学从学校出发，乘车0.5时，来到离学校5km的科技馆，参观1时，出馆后休息0.5时，然后乘车0.5时返回学校。下面三幅图中，哪幅图描述了他们的这一活动行程呢？选一选。
√
【选自教材P85巩固与应用第8题】
10.育才小学六年级同学从学校出发，乘车0.5时，来到离学校5km的科技馆，参观1时，出馆后休息0.5时，然后乘车0.5时返回学校。下面三幅图中，哪幅图描述了他们的这一活动行程呢？选一选。
√
【选自教材P85巩固与应用第8题】
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