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§3
二倍角的三角函数公式
第四章
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形公式.
2.能够正确认识“二倍角”的含义，并熟练应用二倍角公式进行化简、求值及相关问题的证明.
3.理解并会推导半角公式.
核心素养：数学运算，逻辑推理.
学习目标
一、二倍角公式
新知学习
在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令，便得到
.（S2α）
（C2α）
　　　＝
　　　＝
＝.（T2α）
以上公式称为二倍角的正弦、余弦、正切公式，统称为二倍角公式.
名师点析
1.在公式S2α，C2α中，是任意角，但公式T2α中，只有当π+且π（），即+且（）时才成立.
2.要理解倍角公式与两角和（差）公式的内在联系，它们的内在联系如下：
3.角的二倍关系是相对的，如是的二倍角，是2的二倍角，是的二倍角， 是的二倍角等.（“倍”是用来描述两个数量之间关系的，蕴含着换元思想）
4.一般情况下，
5.二倍角公式的变形应用
（1）公式的逆用
①S2α：，＝，＝.
②C2α：.
③T2α：＝，2.
（2）配方变形 1±sin ＝.
（3）因式分解变形 .
（4）升幂公式 .
（5）降幂公式 ＝；＝；＝.
二、半角公式
半角公式：＝±；cos＝±；＝±＝＝.
在这些公式中，根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定，若所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号.
一　利用倍角、半角公式求值
<1> 给角求值
例1　求下列各式的值：
（1）-cos2； （2）； （3）sin 10°sin 50°sin 70°； （4）·.
典例剖析
思路点拨：（1）利用降幂公式直接求解；（2）先逆用二倍角正切公式，然后利用诱导公式求解；
（3）注意多种方法的应用；（4）由式子结构，可运用＝和＝求解.
解：（1）原式＝＝＝-.
（2）原式＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝-.
（3）（方法1）原式＝＝＝＝＝＝＝.
（方法2）原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝＝＝＝＝.
（方法3）令＝sin 10°sin 50°sin 70°，＝cos 10°cos 50°cos 70°，
则＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°＝sin 20°·sin 100°·sin 140°
＝cos 70°·cos 10°·cos 50°＝cos 10°cos 50°cos 70°＝.
∵ 0，∴ ＝，即sin 10°sin 50°sin 70°＝.
（4）原式＝2··＝·tan 10°＝2.
反思感悟
反思感悟 给角求值的方法
（1）直接正用、逆用倍角及半角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可转化为特殊角的三角函数值问题.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用正、余弦函数关系配凑出使用倍角公式的条件，从而达到连用倍角公式的目的.
（3）半角公式是倍角公式的变形，二者联系密切，公式较多，但有规律可循，注意熟记公式，合理选择.
跟踪训练　
（1）下列各式的值为的是 （　　）
A.2sin215°-1 B.cos215°-sin215° C.2sin 15°cos 15° D.sin215°+cos215°
（2）1- 2cos267.5°＝（　　）
A.　　 B.-　　 C.　 　D.-
（3）tan 15°+＝　　　　.
C
C
4
<2> 条件求值
例2　已知cos＝，，求的值.
解题提示：（方法1）先求出sin，将所求式子化简整理为含与sin的表达式，再代入求解即可.
（方法2）注意到分母为“”，联想到＝tan，而其中的角正是“”；
（方法3）将所求式子先切化弦，再利用求解.
解：（方法1）∵，∴，∴.
又＝，∴＝.
∴＝＝＝＝
＝＝＝＝.
（方法2）＝＝sin ＝cos.①
∵，∴.
∵cos＝，∴＝-，∴＝-.
又-cos＝-cos＝-＝1-＝.
将上述结果代入①，得原式＝-＝-.
（方法3）＝＝，①
由已知可得＝.②
∵，∴，∴ ＝，∴ ＝，③
＝.④
将②③④代入①，得原式＝＝.
反思感悟
反思感悟
（1）整体思想是三角函数求值中的常见思想，本题的前两种方法尤为值得注意，更为重要的是本题中的角“”与“+”的变换方法，即sin ＝＝cos＝1-＝2sin2-1.此外还要熟知一些互余的角，如+与， 与等.（2）已知的某个三角函数值，求（或）的三角函数值，常见解法是先根据角的取值范围，确定（或）的取值范围，再根据已知的某个三角函数值和二倍角公式，求得2（或）的三角函数值.
跟踪训练
（1）已知∈0，，2＝+1，则＝（　）
A. B. C. D.
（2）已知＝，则＝　　　.
（3）若sin＝，∈，则＝　　　　.
B
-
二　利用倍角及半角公式化简
例3　化简：＝（　　）
A.1 B. C. D.2
解析：原式＝＝
＝＝＝＝.
答案：C
例4　化简：.
解题提示：观察式子可以发现（1）涉及的角有（需要把化为，化为）；（2）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（3）有平方项（可以进行配方）.由于侧重角度不同，出发点不同，故本题化简方法不止一种.
解：（方法1：从“角”入手，“倍角”变“单角”）
原式＝（
＝＝
＝＝1＝.
（方法2：从“名”入手，“异名”化“同名”）
原式＝
＝＝
＝＝＝-＝.
（方法3：从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式＝·+·-cos
＝（1+）+（1+）cos 2＝+＝.
（方法4：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式＝（）2+cos cos
＝cos2（）+＝cos2（）cos（）
＝cos2（）［2cos2（）-1］＝.
反思感悟
反思感悟
三角函数的化简技巧
解决三角函数的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形.可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决.一般采用切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，达到化简的目的，在化简时，要注意角的取值范围.
跟踪训练　
1.化简的结果是（　　）
A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1
C
2.化简： +.
解：原式＝2+＝2+2|cos 4|＝2|sin 4+cos 4|+2|cos 4|.
∵π<4<，∴sin 4+cos 4<0，cos 4<0，
∴ 原式＝-2（sin 4+cos 4）-2cos 4＝-2sin 4-4cos 4.
三　利用倍角、半角公式证明
例5　证明：＝.
证明：（方法1）左边＝＝
＝＝＝＝＝右边，∴ 原式成立.
（方法2）左边＝＝＝＝＝右边，∴ 原式成立.
（方法3）左边＝＝
＝＝＝＝＝右边，
∴ 原式成立.
反思感悟
反思感悟
证明三角恒等式的常用方法
（1）从左边推到右边.
（2）从右边推到左边.
（3）找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等.
跟踪训练　
求证：+＝.
证明：左边＝+＝+＝＝＝右边，故原式成立.
四　倍角、半角公式的综合应用
<1> 在三角形中的应用
例6　在中，cos ＝，tan ＝2，求tan（）的值.
解题提示：），可考虑先求tan（）的值，再用二倍角公式求tan（）的值.
解：在中，由cos ＝，0<<π，得sin＝＝，∴ tan ＝＝.
∵ ＝2，∴ ＝＝＝.
∴ ＝＝.
反思感悟
反思感悟
在三角形中讨论三角函数问题时，要注意三角形内角和定理的应用.在中，，且常用结论有，，，＝，＝.
跟踪训练　
Ａ
关于的方程cos2＝0有一个根是1，则一定是（　　）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
<2> 在三角形中的应用
例7　将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数在上的最大值和最小值分别为 （　　）
A.1， B.1，-1 C.， D.，-
解析：∵ 函数＝+-＝，∴ ＝.
∵ ∈，∴ 4+∈，
∴ 当+＝时，取得最大值1；当+＝时，取得最小值.
答案：A
反思感悟
反思感悟 倍角公式在三角函数中的应用问题的解题方法
先通过正用、逆用倍角公式并结合辅助角公式将三角函数式化简，然后研究函数的值域、最小正周期、单调区间、图象的对称轴及对称中心等性质.
跟踪训练　
已知＝+1（）.
（1）求的单调递增区间； （2）当∈时，求的值域.
解：由题意得+（21）+1＝+cos +1＝+1.
（1）由2π≤2+≤2π+（），得2π≤2≤2π+（），
∴ π≤≤π+（），∴ 函数的单调递增区间为，.
（2）∵ ∈，∴ 2+∈，∴∈，∴ ∈［0，3］.
<3> 在平面向量中的应用
例9　设向量＝（，），＝（，），∈.
（1）若||＝||，求的值；
（2）设函数＝，求的最大值.
解：（1）由题意可得＝（sin ）2+＝4，＝＝1，
由||＝||可得4＝1，∴ ＝.
∵ ∈，∴ ＝，∴ ＝.
（2）函数（）
＝sin +＝+.
∵ ∈，∴ 2∈，∴ 当2＝时，取得最大值.
反思感悟
反思感悟
二倍角公式与向量的综合通常结合数量积或向量之间的关系综合考查，需要准确记忆向量的坐标表示、坐标运算及各种位置关系对应的坐标表示.二倍角公式与三角函数的综合通常是利用二倍角公式、辅助角公式等三角函数公式将解析式化简成的形式，往往还涉及角的变换、诱导公式、三角函数的性质的考查.
跟踪训练　
若向量＝（，1），＝，且⊥，其中0°<<90°，
则sin （+10°）［1-tan （-10°）］＝　　　　.
-1
<4> 在实际问题中的应用
例10　如图所示，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC.该曲线段是函数＝sin（）在∈［-4，0］时的图象，且图象的最高点是
（-1，2）.赛道的中间部分是长为千米的直线跑道，且∥，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧.
（1）求曲线段的函数解析式和∠的大小.
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路上，一个顶点在半径上，另一个顶点在圆弧上，且∠＝.求矩形面积的最大值，以及矩形面积取最大值时的值.
解：（1）由已知条件得＝2，＝3.∵ ＝，∴ ＝.
∵ 图象过点（-1，2），∴ +＝2π+（）.
又<<π，∴ ＝，故曲线段的函数解析式为＝，∈［-4，0］.
当＝0时，＝＝，又＝，∴ ∠＝，从而∠＝.
（2）由（1）知＝，易知＝，∠＝∈，
矩形草坪的面积＝sin （cos sin ）＝6（）
＝＝-3.
∵ ∈，∴ 2+∈，∴ 当2+＝，即＝时，取得最大值-3.
跟踪训练　
如图，是半径为1的圆上任意两点，以为一边作等边，问：处于怎样的位置时，四边形的面积最大？最大面积是多少？
解：设∠＝（0<<π），四边形的面积为.
如图，取的中点，连接，则⊥.
在Rt中，＝1，∠＝，∴ ＝cos∠＝，
＝sin∠＝，∴ ＝，
∴ ＝ +＝2+＝+×
＝sin2+sin ＝·+sin＝sin cos +＝+.
∵ 0<<π，∴ <<，∴ 当＝，
即＝时取得最大值1+.
故当与的夹角为时，四边形的面积最大，最大面积是1+.
2.已知∈（0，π），若＝，则sin ＝（　　）
A.- B. C.- D.
随堂小测
1.设sin（π）＝，则cos ＝（　　）
A.± 　B. C.- D.-
Ｂ
Ｂ
3.设≤≤，则+＝（　　）
A.2　 B.2 　　 C. D.
Ａ
4将函数f（x） ＝cos2x-2sin xcos x-的图象向左平移t（t>0）个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（　　）
A. B. C. D.
Ｄ
5.函数的最小正周期是　　　　.
6.已知函数＝· cos2+（）.
（1）求f的单调递增区间；
（2）若∈，求的值域.
解：（1）＝cos - cos2+＝+cos2cos2+
＝cos sin cos2+＝sin （1+cos ）+＝sin cos ＝，
由2π≤2≤2π+，，得π≤≤π+，，
所以的单调递增区间为，.
（2）由∈，有∈，结合正弦函数的图象，得的值域为.
1.知识清单：
（1）二倍角的余弦、正弦、正切公式.
（2）半角公式.
（3）公式的应用.
2.常见误区：
忽略角的范围致误.
课堂小结
谢 谢！

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