资源简介

编号：034 课题:§14.4.4 百分位数
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握k百分位数的定义．
2、理解并掌握计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤及四分位数．
3、理解并掌握百分位数的概念与计算．
4、理解并掌握集中参数与统计图的综合应用.
学科素养目标
数据能够帮助人们认识世界、作出决策和预测，而统计正是与数据打交道的科学，用一句话来概括统计：统计是用以“收集数据、整理数据、分析数据、由数据得出结论”的概念、法则和方法．由此可以看出，学习统计学有助于学生适应现代社会的需要，有助于培养学生形成数据意识以及运用数据进行推断的思考方式，有助于学生形成以数学的眼光看世界的习惯，增强学生运用数学分析问题、解决问题的能力．
在学习运用样本估计总体的过程中，要通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差．但是，如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据．由此使学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异.
本节重点难点
重点：百分位数的概念与计算；
难点：集中参数与统计图的综合应用．
教学过程赏析
基础知识积累
1.k百分位数的定义
一般地,一组数据的k百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有_______的数据小于或等于且至少有(100-k)%的数据大于或等于.
2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤
第1步,将所有数值按_______________顺序排列;
第2步,计算;
第3步,如果结果为整数,那么k百分位数位于第位和下一位之间,通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数;
第4步,如果不是整数,那么将其向上取整(即其整数部分加上1),在该位置上的数值即为k百分位数.
3. 四分位数
中位数即为50百分位数,我们也把中位数、25百分位数（下四分位数）和75百分位数（上四分位数）称为四分位数.
【思考】
(1)p百分位数有什么特点
(2)某组数据的p百分位数在此组数据中一定存在吗 为什么
【课前小题演练】
题1．某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为9.6，9.7，9.0，9.1，9.4，9.4, 9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，则该射手这次射击的成绩的75百分位数是( )
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
题2．某市2022年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25，28，30，29，31，32，28，则这周的日最高气温的75百分位数为( )
A．28 ℃ B．29 ℃ C．31 ℃ D．32 ℃
题3．顾客满意度指数是根据顾客对企业产品和服务质量的评价，通过建立模型计算而获得的一个指数，是一个测量顾客满意程度的经济指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越大表示满意程度越高，现某商场随机抽取9名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为6，9，7，4，8，9，9，7，5，则这组数据的70百分位数是________，中位数是________．
题4．一组样本数据的频率直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．
题5．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表：
每户丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5
户数 6 17 15 12
(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；
(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数．
【当堂巩固训练】
题6．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数、中位数和75百分位数分别为( )
A．84，68，83 B．84，78，83
C．84，81，84 D．78，81，84
题7．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m1，60百分位数为m2，众数为m3，则( )
A．m1C．m3题8．（多选题）下列关于一组数据的50百分位数的说法不正确的是(　　)
A．50百分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．总体数据中的任意一个数大于它的可能性一定是50%
D．它一定是这组数据中的一个数据
题9．（多选题）某班8名学生的体重(单位：kg)分别是：42，48，40，47，43，58，47，45，则下列结论正确的是(　　)
A．极差是18 B．25百分位数是42.5
C．中位数是46 D．平均数是47
题10．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的25百分位数为________，75百分位数为________．
题11．已知30个数据的60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________.
题12．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了100位顾客的相关数据：
一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.请确定x，y的值，并计算顾客一次购物的结算时间的80百分位数．
【综合突破拔高】
题13．数据12，14，15，17，19，23，27，30的70百分位数是( )
A． 14 B．17 C. 19 D．23
题14．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90百分位数是( )
A．32.5 mm B．33 mm
C．33.5 mm D．34 mm
题15．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80百分位数是( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
题16．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列选项正确的是( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的80百分位数等于乙的成绩的80百分位数
D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
题17．（多选题）下列命题是真命题的有( )
A．甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85百分位数为5
题18．(多选题)甲乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)
A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的80百分位数等于乙的成绩的80百分位数
D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
题19．树人中学高一(1)班23名男生身高的样本数据(单位：cm)按从小到大排序，排序结果如下：
164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172，
172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176.
由数据估计树人中学高一年级男生身高的50百分位数为________．
题20．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的85百分位数为________h.
题21．从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的25，75，95百分位数．
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
(3)若用25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
编号：034 课题:§14.4.4 百分位数
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1、理解并掌握k百分位数的定义．
2、理解并掌握计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤及四分位数．
3、理解并掌握百分位数的概念与计算．
4、理解并掌握集中参数与统计图的综合应用.
学科素养目标
数据能够帮助人们认识世界、作出决策和预测，而统计正是与数据打交道的科学，用一句话来概括统计：统计是用以“收集数据、整理数据、分析数据、由数据得出结论”的概念、法则和方法．由此可以看出，学习统计学有助于学生适应现代社会的需要，有助于培养学生形成数据意识以及运用数据进行推断的思考方式，有助于学生形成以数学的眼光看世界的习惯，增强学生运用数学分析问题、解决问题的能力．
在学习运用样本估计总体的过程中，要通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本数据具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定的偏差．但是，如果抽样的方法比较合理，样本信息可以比较好地反映总体的信息，从而为人们合理地决策提供依据．由此使学生认识统计思维的特点和作用，体会统计思维与确定性思维的差异.
本节重点难点
重点：百分位数的概念与计算；
难点：集中参数与统计图的综合应用．
教学过程赏析
基础知识积累
1.k百分位数的定义
一般地,一组数据的k百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有__ k%_的数据小于或等于且至少有(100-k)%的数据大于或等于.
2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤
第1步,将所有数值按____从小到大_____顺序排列;
第2步,计算;
第3步,如果结果为整数,那么k百分位数位于第位和下一位之间,通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数;
第4步,如果不是整数,那么将其向上取整(即其整数部分加上1),在该位置上的数值即为k百分位数.
3. 四分位数
中位数即为50百分位数,我们也把中位数、25百分位数（下四分位数）和75百分位数（上四分位数）称为四分位数.
【思考】
(1)p百分位数有什么特点
提示:总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p.
(2)某组数据的p百分位数在此组数据中一定存在吗 为什么
提示:不一定.因为按照计算p百分位数的步骤,第2步计算所得的i=n×p%如果是整数,则p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数,若第i项与第(i+1)项数据不相等,则p百分位数在此组数据中就不存在.
【课前小题演练】
题1．某射手在一次训练中12次射击的成绩分别为9.6，9.7，9.0，9.1，9.4，9.4, 9.8，9.9，9.4，9.6，9.6，9.7，则该射手这次射击的成绩的75百分位数是( )
A．9.5 B．9.6 C．9.7 D．9.8
【解析】选C.将这12个数从小到大排列：
9．0，9.1，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.7，9.7，9.8，9.9，这组数据有12个数，因为12×75%＝9，所以这组数据的75百分位数是第9个数据与第10个数据的平均数，即2 (9.7＋9.7)＝9.7.
题2．某市2022年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25，28，30，29，31，32，28，则这周的日最高气温的75百分位数为( )
A．28 ℃ B．29 ℃ C．31 ℃ D．32 ℃
【解析】选C.将数据由小到大排列为25，28，28，29，30，31，32，因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的75百分位数为31 ℃.
题3．顾客满意度指数是根据顾客对企业产品和服务质量的评价，通过建立模型计算而获得的一个指数，是一个测量顾客满意程度的经济指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越大表示满意程度越高，现某商场随机抽取9名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为6，9，7，4，8，9，9，7，5，则这组数据的70百分位数是________，中位数是________．
【解析】该组数据从小到大排列为4，5，6，7，7，8，9，9，9.
因为9×70%＝6.3，所以这组数据的70百分位数是9，中位数为7.
答案：9 7
题4．一组样本数据的频率直方图如图所示，试估计此样本数据的50百分位数为________．
【解析】样本数据低于10的比例为0.08＋0.32＝0.40，样本数据低于14的比例为0.40＋0.36＝0.76，所以此样本数据的50百分位数在[10，14]内，估计此样本数据的50百分位数为10＋0.36 (0.1)×4＝9 (100).
答案：9 (100)
题5．为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表：
每户丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5
户数 6 17 15 12
(1)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的平均数、中位数；
(2)求这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数．
【解析】(1)平均数＝50 (1)×(2×6＋3×17＋4×15＋5×12)＝50 (183)＝3.66.中位数是4.
(2)因为50×75%＝37.5，所以这50户居民6月5日这一天丢弃旧塑料袋的75百分位数是4.
【当堂巩固训练】
题6．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95.则这一组数据的众数、中位数和75百分位数分别为( )
A．84，68，83 B．84，78，83
C．84，81，84 D．78，81，84
【解析】选C.将所给数据按从小到大的顺序排列是68，70，77，78，79，83，84，84，85，95，显然众数为84，而本组数据共10个，中间两个数是79，83，它们的平均数为81，即中位数为81.因为10×75%＝7.5，所以这一组数据的75百分位数为84.
题7．某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m1，60百分位数为m2，众数为m3，则( )
A．m1C．m3【解析】选B.由题图知m3＝5；
由中位数的定义，知第15个数与第16个数的平均数为m1＝2 (5＋6)＝5.5；由百分位数的定义，且30×60%＝18，则第18个数与第19个数的平均数为m2＝2 (6＋6)＝6.故m3题8．（多选题）下列关于一组数据的50百分位数的说法不正确的是(　　)
A．50百分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．总体数据中的任意一个数大于它的可能性一定是50%
D．它一定是这组数据中的一个数据
【解析】选BCD.由百分位数的意义可知选项B，C，D错误．
题9．（多选题）某班8名学生的体重(单位：kg)分别是：42，48，40，47，43，58，47，45，则下列结论正确的是(　　)
A．极差是18 B．25百分位数是42.5
C．中位数是46 D．平均数是47
【解析】选ABC.因为所给数据的最大值是58，最小值是40，所以极差是58－40＝18.将所给数据按从小到大的顺序排列是40，42，43，45，47，47，48，58.因为这组数据共8个，处于中间位置的是第4个数和第5个数，故这组数据的中位数是＝46.因为8×25%＝2，所以这组数据的25百分位数是＝42.5.平均数是46.25.
题10．数据148，149，154，154，155，155，157，157，158，159，161，161，162，163的25百分位数为________，75百分位数为________．
【解析】因为14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以这组数据的25百分位数为第4个数据154，75百分位数为第11个数据161.
答案：154 161
题11．已知30个数据的60百分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是________.
【解析】由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则(7.8＋x)÷2＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.
答案：8.6
题12．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了100位顾客的相关数据：
一次购物量 1至 4件 5至 8件 9至 12件 13至 16件 17件 及以上
顾客数(人) x 30 25 y 10
结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.请确定x，y的值，并计算顾客一次购物的结算时间的80百分位数．
【解析】由已知，得25＋y＋10＝55，x＋y＝35，
所以x＝15，y＝20.
可知：将这100位顾客购物结算时间从小到大排列，第80个数据和第81个数据都是2.5，所以顾客一次购物的结算时间的80百分位数为2.5.
【综合突破拔高】
题13．数据12，14，15，17，19，23，27，30的70百分位数是( )
A． 14 B．17 C. 19 D．23
【解析】选D.因为8×70%＝5.6，故第70百分位数是第6项数据23.
题14．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．估计棉花纤维的长度的样本数据的90百分位数是( )
A．32.5 mm B．33 mm
C．33.5 mm D．34 mm
【解析】选A．棉花纤维的长度在30 mm以下的比例为(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5＝0.85＝85%，在35 mm以下的比例为85%＋10%＝95%，因此，90百分位数一定位于[30，35]内，由30＋5×0.95－0.85 (0.90－0.85)＝32.5，可以估计棉花纤维的长度的样本数据的90百分位数是32.5 mm.
题15．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80百分位数是( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
【解析】选D.由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为－3，－2，－1，－1，0，0，1, 2, 2, 2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的第80百分位数是2 (2＋2)＝2.
题16．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列选项正确的是( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的80百分位数等于乙的成绩的80百分位数
D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
【解析】选C.由题图可得，甲＝5 (4＋5＋6＋7＋8)＝6，乙＝5 (3×5＋6＋9)＝6，A项错误；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，B项错误；
甲的成绩的第80百分位数为2 (7＋8)＝7.5，乙的成绩的第80百分位数为2 (6＋9)＝7.5，所以二者相等，所以C项正确；
甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项不正确．
题17．（多选题）下列命题是真命题的有( )
A．甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30
B．数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D．一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85百分位数为5
【解析】选BCD.对于A项，乙、丙抽取的个体数分别为3，6，
则样本容量为3＋6＋9＝18，故A错误；
对于B项，平均数为6 (1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，故B正确；
对于C项，乙的平均数为5 (5＋6＋9＋10＋5)＝7，方差为s2＝5 (1)(22＋12＋22＋32＋22)＝5 (22)＜5，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；
对于D项，将该组数据按照从小到大排列1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，
由10×85%＝8.5，则该组数据的85百分位数为5，故D正确．
题18．(多选题)甲乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)
A．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的80百分位数等于乙的成绩的80百分位数
D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
【解析】选AC.由题图可知，甲成绩的平均为6，乙成绩的平均数为6，所以A选项正确；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，所以B选项错误；甲的成绩的80百分位数为(7＋8)÷2＝7.5，乙的成绩的80百分位数(6＋9)÷2＝7.5，所以二者相等，所以C选项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，所以D选项错误．
题19．树人中学高一(1)班23名男生身高的样本数据(单位：cm)按从小到大排序，排序结果如下：
164，165，165，166，167，168，168，168，170，170，170，172，
172，172，173，173，173，173，174，175，175，175，176.
由数据估计树人中学高一年级男生身高的50百分位数为________．
【解析】由23×50%＝11.5，将样本数据从小到大排列，第12个数字为172，
所以可估计树人中学高一年级男生身高的第50百分位数为172.
答案：172
题20．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的85百分位数为________h.
【解析】由频率直方图，寿命在区间[500，600]的概率(频率)为2 000 (3)×100＝0.15，
因此寿命在区间[100，500]上的概率为0.85，从而这一批电子元件中寿命的85百分位数为500.
答案：500
题21．从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1)分别求出这组数据的25，75，95百分位数．
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量．
(3)若用25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
【解析】(1)将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9，12×95%＝11.4，则25百分位数是2 (8.0＋8.3)＝8.15，
75百分位数是2 (8.6＋8.9)＝8.75，
95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9.
(3)由(1)可知样本数据的25百分位数是8.15 g，50百分位数为8.5 g，
95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，
质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，
质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．

展开更多......

收起↑