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[模拟]选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用
一、选择题（共13小题；共65分）
1. 若 ，，在直线 上，则直线 的一个方向向量为
A. B. C. D.
2. 如图，在正方体 中，以 为原点建立空间直角坐标系， 为 的中点， 为 的中点，则下列向量中，能作为平面 的法向量的是
A. B.
C. D.
3. 设 ，则“”是“”的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 若直线 ，且 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则 的值为
A. B. C. D.
5. 设 是空间一定点， 为空间内任一非零向量，满足条件 的点 构成的图形是
A. 圆 B. 直线 C. 平面 D. 线段
6. 直线 ， 的方向向量分别为 ，，则
A. B.
C. 与 相交不平行 D. 与 重合
7. 下面命题中，正确命题的个数为
① 若 ， 分别是平面 ， 的法向量，则 ；
② 若 ， 分别是平面 ， 的法向量，则 ；
③ 若 是平面 的法向量且与 共面，则 ；
④ 若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
A. B. C. D.
8. 如图，在空间直角坐标系中， 为单位正方体，给出下列结论：
①直线 的一个方向向量为 ；
②直线 的一个方向向量为 ；
③平面 的一个法向量为 ；
④平面 的一个法向量为 ．
其中正确结论的个数为
A. B. C. D.
9. 已知直线 过点 ，平行于向量 ，平面 过直线 与点 ，则平面 的法向量不可能是
A. B.
C. D.
10. 已知平面 经过点 ，，且垂直于法向量为 的另一平面，则平面 的一个法向量为
A. B. C. D.
11. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
A. B. C. D. 与 与斜交
12. 如图，在正四面体 中，点 ，， 分别是 ，， 的中点，下面四个结论中不成立的是
A. B.
C. D.
13. 已知平面 内有一点 ，平面 的一个法向量为 ，则下列点 中，在平面 内的是
A. B. C. D.
二、填空题（共7小题；共36分）
14. 若直线 ， 的方向向量分别为 ，，则 ， 的位置关系是 ．
15. 在平面内若一直线 垂直于 轴，则 的单位方向向量可表示为 ．在空间中若一直线 垂直于平面 ，则 的单位方向向量可表示为 ．
16. 已知 ，，则平面 的单位法向量为 ．
17. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“”或“”）
（）直线的方向向量是唯一确定的．（）
（）平面的单位法向量是唯一确定的．（）
（）若两平面的法向量平行，则两平面平行．（）
（）若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．（）
（）若 ，则 所在直线与 所在直线平行．（）
（）若空间向量 平行于平面 ，则 所在直线与平面 平行．（）
18. 若 ，， 是平面 内的三点，设平面 的法向量 ，则 ．
19. 已知直线 的方向向量是直线 的法向量，则实数 的值为 ．
20. 平面 的一个法向量 ，如果 ，则直线 的单位方向向量是 ．
三、解答题（共5小题；共65分）
21. 已知平面 的一个法向量 ，平面 垂直于平面 ，且通过一条坐标轴，求平面 的一个法向量．
22. 已知正方体 的棱长为 ，试建立合适的空间直角坐标系，写出下列直线的一个方向向量：
（1），，；
（2），，；
（3），．
23. 已知平面 经过点 和 ，且垂直于法向量为 的另一个平面，求平面 的一个法向量．
24. 已知长方体 的上、下底面都是边长为 的正方形，长方体的高为 ．如图建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
25. 1.已知正方体 的棱长为 ，试建立合适的空间直角坐标系，写出下列平面的一个法向量：
（1）平面 ，平面 ；
（2）平面 ，平面 ；
（3）平面 ，平面 ．
答案
第一部分
1. A
【解析】，与 共线的非零向量都可以作为直线 的方向向量，故选A．
2. B 【解析】设正方体的棱长为 ，则 ，，．
所以 ，．设向量 是平面 的法向量，则 取 ，得 ，，
则 是平面 的一个法向量．
3. A
【解析】当 时，由 得 ，得 ，此时无解，
当 时，由 得 ，得 ，
综上，不等式的解为 ，
由 得 得 ，
则“”是“”的必要不充分条件．
4. C
【解析】因为 ，
所以 与平面 的法向量垂直．
故 ，
解得 ，
故选C．
5. C
【解析】 构成的图形是经过点 ，且以 为法向量的平面．
6. A
7. C
8. C
【解析】因为 ，；，；
，；
点 的坐标为 ， 与平面 不垂直．
所以①②③正确，④错．
9. D
【解析】题意可知，平面 的法向量垂直于向量 和向量 ，而 ，，，故D中的向量不可以作为平面 的法向量．
10. B
11. B
12. C
13. A
【解析】逐一验证法，对于选项 A，，所以 ，所以 ，所以点 在平面 内，同理可验证其他三个点不在平面 内．
第二部分
14. 垂直
15.
16.
17. ，，，，，
18.
19.
20.
【解析】直线 的方向向量平行于平面 的法向量，故直线 的单位方向向量是 ．
第三部分
21. 或 或 ．
22. （1） ，，．
（2） ，，．
（3） ，．（答案不唯一）
23.
24. （1） ．
（2） ．
（3） ．
（4） ．
25. （1） ，．
（2） ，．
（3） ，．
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