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简谐振子
简谐振子
简谐振子是量子力学中最重要的问题之一，可用于解释量子力学的基本概念与方法，也在近代物理的许多分支包括分子光谱，固体物理，核结构，量子磁场，量子光学，量子统计等等领域有重要应用。历史上正是Planck提出辐射振子的分立能量单位而导致了量子概念的产生。对谐振子量子性质的深刻了解是近代物理学者所必需的。
一、能量本征态和能量本征值
谐振子的哈密顿量是
ω是经典振子的角频率，与弹性常数k的关系是
定义两非厄米算符
根据x与p的对易关系，得
定义
故有 ，H与N对易而有共同本征态。
设N的本征态 满足 ，则
即能量能征值为
二、产生、湮灭和粒子数算符
由
得
即 和 也是N的本征态,分别对应于本征值n+1和n-1
由于把n加1或减1对应于产生或减少一个能量量子 ，故称 和 分别为产生和湮灭算符。
由于
可写出
因 ，要避免出现
要求n为整数，此时 将在m>n时截断为零矢量而不出现 态。所以，N被称为粒子数算符。
最低能量状态即基矢能量为 ，激发态即正n态的能量为 .
三、激发态、粒子数表象
激发态 可由 及 的性质而写出：
……
此外有：
粒子数表象
由
可得
在n表象中，x和p均非对角（x、p与N不对易）。
四、本征波函数
用算符的方法可得出坐标空间的能量本征函数。
这里 表征振子长度。
可以解得
激发态可求出为
上式与厄米多项式 是等价的。
五、本征态的一些性质
由波函数的对称性得：
基态时： , 。
满足最小测不准关系(基态波函数具有高斯形式)。
由
得
有
六、振子的时间演化
x，p的Heisenberg运动方程可表示为
这对耦合方程等价于 和 的独立微分方程：
即
或
得解为
与经典x、p的运动形式相同。x、p算符像其经典对应量一样振荡
六、振子的时间演化（直接解法）
由算符的时间演化直接求出x(t)，p(t)：
利用Baker-Hausdorff 引理
可得
类似地，可得出与前面的结果相同的 。
注意：算符随时间变化不意味着其期待值随时间变。
对谐振子
要观测到类似于经典振子的振荡，需用能量本征态的叠加
对 ，可验证 随时间振荡。
七、相干态
对应于非厄米算符 的本征态(相干态)是形状不扩展的振荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。
一般为复数
以ω为角频率振荡且形状不随时间变
相干态的重要性质包括
1． 是某平均n
2． 可由 经原点平移一定距离而得。
3． 满足最小测不准关系。
以 为角频率振荡，与经典振子有些相象。
七、相干态
对应于非厄米算符 的本征态(相干态)是形状不扩展的振荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。
一般为复数
以ω为角频率振荡且形状不随时间变
相干态的重要性质包括
1． 是某平均n
2． 可由 经原点平移一定距离而得。
3． 满足最小测不准关系。
与 的关系
利用 这里C=[A,B],且[C,A]=[C,B]=0
有
故
由于[a,a+]=1，对由a及a+组成的函数，a与 等价，a+ 与 等价，有
故 是a的本征值为 α的本征态
考虑到并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复平面作解析延拓，记为λ，即

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