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平衡态物理学简介
导引
玻耳兹曼方程
玻耳兹曼积分微分方程
Ｈ定理
导引
　　非平衡态统计物理学的任务是从微观运动规律出发，分析非平衡态系统在演变过程中的行为和性质。其中心课题是定量的讨论耗散性以及与之相联系的宏观突变现象，其中包括趋向平衡的微观基础、系统涨落的特性、正确耗散系统的获得以及具有一定耗散性质的系统的宏观行为等等。
　　本章首先导出非平衡态分布函数满足的线性方程－－玻耳兹曼方程，并应用其讨论气体的粘滞现象和金属的电导率；再具体讨论碰撞对分布函数的影响，进一步得出非平衡态分布函数满足的非线性方程－－玻耳兹曼积分微分方程，并用它讨论系统趋向平衡的问题，得到玻耳兹曼Ｈ定理。
玻耳兹曼方程
　　玻耳兹曼方程是稀薄气体处在非平衡态时的分布函数满足的方程。
　　假定单个粒子的自由运动状态可用其速度v及坐标r 来标记，Ｎ 个粒子按状态的分布，可用分布函数 f 来描述。则在时刻 ｔ、位于体积元　　　　和速度间隔　　　　　内的分子数为
经过 dt 时间后，在ｔ+dt 时刻、位于同一体积元和同一速度间隔内的分子数变为
当 dt 很小时，用泰勒级数展开，并只取头两项可得
两式相减，即得 dt 时间内　　　内增加的分子数
其中　　　为分布函数随时间的变化率。分布函数随时间变化有两个原因：一是分子的速度使其位置发生变化，当存在外场时，分子的加速度使其速度发生变化，这两者都会引起f的变化，用　　　　表示，称为漂移变化。二是分子间的碰撞引起f的变化，用　　　　表示，称为碰撞变化。
即在时间dt内，通过6对平面进入 内的净分子数为
同理，在dt 时间内，在界面x+dx处逸出 的粒子数
以x、y、z、vx、vy、vz为直角坐标，构成一个6维空间。在dt时间内，在界面x处进入 的粒子数等于以 为高、以 为底的柱体内的粒子数
首先分析由于漂移而引起的 内粒子数的变化。
若作用在一个粒子上的外力F 满足
即有
于是
再分析由碰撞引起的粒子数的变化。这里只对分布函数的碰撞变化率作唯象的讨论。当分布函数f 偏离了局域平衡的分布函数f (0)时，粒子间的相互碰撞将使系统趋向局域平衡。假定 正比于 (f –f (0))，即
于是就得到非平衡态分布函数f 随时间的演化方程
此式称为玻耳兹曼方程。
基本假定
1.假定粒子是弹性刚球，在碰撞时两球的相互作用力在两球心的连线上。
2.假定气体中稀薄的，三个或三个以上的粒子同时相碰的概率很小，可以只考虑两两分子相碰。
3.稀薄气体中，任何两个粒子的速度分布是相互独立的。
粒子碰撞前后速度的改变
假定两个粒子碰撞前后的速度分别为v1，v2，v1′，v2′。碰撞前后动量能量均守恒，可得
粒子的碰撞次数
设第二个粒子对第一个粒子的相对速度为v2-v1，与碰撞方向n之间的夹角为θ，则在dt时间内，第二个粒子要在以n为轴线的立体角 内碰到第一个粒子，它必须位于以v2-v1为轴线，以 为高， 以 为底的柱体内。其体积为
在反碰过程中，同理可得到在时间 dt 、体积元 内、速度间隔在 内的粒子与速度间隔在 内的粒子，在以n′= - n为轴线的立体角 内的碰撞次数为
根据假定3,以 表示时刻ｔ、速度v1、位于体积元 和速度间隔 内的粒子数，则在时间dt、体积元 内，速度间隔在 内的粒子与速度间隔在 内的粒子在以n为轴线的立体角 内的碰撞次数为
分布函数的碰撞变化率
由于 ，对上式中的 和 积分，再相减，便可得到在时间 dt 、体积元 内，速度间隔在 中因碰撞而增加的粒子数为
而在时间 dt 、体积元 内，速度间隔在 中因碰撞而增加的粒子数可表示为
所以
此即分布函数的碰撞变化率的表达式。
玻尔兹曼积分微分方程
将分布函数的漂移变化率和碰撞变化率代入，可得
此式称为玻尔兹曼积分微分方程。

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