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第02讲 不等式
【考点梳理】
一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【解题方法和技巧】
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
6.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
【考点剖析】
【考点1】不等式的性质
题型一：不等式 性质
一、单选题
1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】D
【分析】取特殊值可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确.
【详解】对于A，若，当时，，故A错误；
对于B，令，此时，故B错误；
对于C，令，此时，故C错误；
对于D，若，则，故D正确.故选：D.
二、填空题
2．（2020·上海高三专题练习）已知函数(其中)满足：对任意，有，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据题意，，可得，，
且，，所以将用和表示，即可求最值.
【详解】因为，对任意，有，
所以，，即，，
所以
，
当，时最大为，
此时最小为，所以的最小值为，故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，有，可知，，由，可得，，
所以可以用和表示，再配方，根据平方数的性质求最值.
三、解答题
3．（2020·上海崇明区·高三月考）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等.
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明.
【答案】（1）；证明见解析；（2），证明见解析.
【分析】（1）作差法，判断差的符号，可得证；
（2）由（1）和基本不等式可得，可得证.
【详解】（1），证明如下：
因为，
又、是正数，所以，所以，
当且仅当时，取等号，
故；
因为，当且仅当时，取等号，
所以；
故.
（2）因为、是正数，所以
，
当仅且当，即时取等号.
所以，
所以，所以.
【点睛】本题考查运用作差法证明不等式，基本不等式的应用，属于中档题.
【考点2】一元二次不等式
题型二：一元二次不等式的解法
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A．不存在有序数组，使得
B．存在唯一有序数组，使得
C．有且只有两组有序数组，使得
D．存在无穷多组有序数组，使得
【答案】D
【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．
【详解】由题意不等式的解集为，
即的解集是，
则不等式的解是或，不等式的解集是，
设，，，
所以，，
和是方程的两根，
则，，
又，
所以是的一根，
所以存在无数对，使得．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．
2．（2022·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
【答案】C
【分析】设，根据二次函数的性质，结合题意可得，，代入计算，即可得答案.
【详解】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
根据题意可得，，解得，
因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得
，即，
解得，又
所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.
故选：C
二、填空题
3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知集合，则___________．
【答案】
【分析】求得再求交集即可
【详解】；
故答案为：
4．（2022·上海黄浦·模拟预测）不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】先将分式不等式转化为，再解一元二次不等式即可.
【详解】，解得，故解集为，
故答案为.
三、解答题
5．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时）
(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1）
【答案】(1)小时 (2)6.5
【分析】（1）由求出，分、，解不等式可得答案；
（2）当时，令，，再令，面积由基本不等式求得最值； 当时，，利用单调性可得的最大值，再比较可得答案．
(1)由于，则，
当时，，
解得，
当时，，
即产生有效作用的时间段为，
故产生有效作用的时间为小时．
(2)当时，令，则，
同时，
再令，则，
面积，
由基本不等式，，
当且仅当时等号成立，
则在上的最大值为，
当时，，
则此时在是单调递减的，
则最大值在时取到，，
综上所述，在上的最大值为6.5．
6．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知.
(1)若，，解关于的不等式；
(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.
【分析】（1）根据题意求出，将用表示，然后再把分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得出答案；
（2）利用反证法证明，若等于0，得到也等于0，所以等于，得到（2）与互为相反数，不合题意；若不为0，由，解得，代入中，求出二次函数的对称轴，假设对称轴小于或大于2，即可得到对称轴在区间的左外侧或右外侧，得到为单调函数，函数的最值在，取到，把2和代入得到最值互为相反数，不合题意，所以假设错误，综上，得证；
(1)解：因为，
所以，
又因，所以，
所以，
则不等式即为，
即，
若，则不等式的解集为；
若，则不等式的解集为；
若，
当时，则不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
(2)解：若，则，，
当时，
则无解，
所以；
若时，由，得，
对称轴为，假设，，，
区间，在对称轴的左外侧或右外侧，所以在，上是单调函数，
则的最值必在，处取到，
，，，
所以假设错误，则，
综上，得到.
7．（2022·上海·高三专题练习）设为实数，函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”.如函数是上的平均值函数，就是它的均值点.现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数；（2）；（3）.
【解析】（1）求出函数定义域，分，两种情况讨论即可；
（2）代入转化为分段函数，由二次函数求最值即可；
（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在，使得”从而转化为一元二次方程有解问题．
【详解】
（1）函数定义域为
当时，，为偶函数，
当时，且
所以为非奇非偶函数
综上：时，为偶函数；时，为非奇非偶函数
（2）当时，
所以在上的最小值为，此时
在上的最小值为，此时
因为，所以函数的最小值为
（3）因为函数是区间上的平均值函数，
所以存在，使
而，存在，使得
即关于的方程在内有解；
由得
解得，
所以，
即
故的取值范围是
【点睛】关键点点睛：本题处理函数奇偶性时，要分类讨论，含绝对值的函数求最值时要先转化为分段函数，第3问的核心在于转化为“存在，使得”从而转化为一元二次方程有解问题.
题型三：一元二次不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.
【详解】当且 时，
的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.
当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.
故选：B
2．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
【答案】B
【分析】运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断B正确，A，C，D错误．
【详解】解：对于集合，，
可得当，即，可得，
即有，可得对任意，是的子集；故C、D错误
当时，，，
可得是的子集；
当时，，且，
可得不是的子集，故A错误．
综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集．
故选：B.
二、填空题
3．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知实数满足，集合，则A的长度的取值范围是__________．（集合的长度定义为，其中）
【答案】
【分析】由实数的知识得，求得方程的两根差的绝对值，然后求出的范围后可得．
【详解】由满足，得，
所以，的解为，，
，所以，即，，
所以，
故答案为：．
4．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.
【答案】
【分析】根据题设条件画出函数的图象，结合图象可求实数的最大值.
【详解】因为，故的图象关于中心对称
当时，，
故的图象如图所示：
结合图象可得：只需当时，即可，
即，故，
故答案为：.
5．（2022·上海·高三专题练习）对数列，，如果存在正整数，使得，则称数列是数列的“优数列”，若，，并且是的“优数列”，也是的“优数列”，则的取值范围是____________．
【答案】．
【分析】根据“优数列”列不等式，再根据二次不等式有解求参数范围.
【详解】因为是的“优数列”，
所以存在正整数，
即，
显然成立，所以；
因为是的“优数列”，
所以存在正整数，
即，
当时，由于对称轴，所以必存在正整数，使得
综上，
故答案为：
【点睛】本题考查数列新定义、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.
三、解答题
6．（2022·上海·高三专题练习）关于x的不等式的解集为．
求实数a，b的值；
若，，且为纯虚数，求的值．
【答案】（1），（2）
【分析】(1)由题意可得:,b是方程的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;
(2)利用(1)的结果得为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出．
【详解】解：(1)不等式即的解集为．
,b是方程的两个实数根,由，，
解得,．
(2)由(1)知,为纯虚数，
,,
解得.
【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7．（2022·上海·高三专题练习）对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．
【答案】或.
【分析】由题设有，构造一次函数在闭区间内恒成立，再解一元二次不等式组，求解集即可.
【详解】由题设，知：，
设，则在上恒大于0，
∴，即，解得：或.
【考点3】均值不等式及其应用
题型四： 均值不等式及其应用
1．（2020·上海高三专题练习）在中，、、分别为边、、所对的角，若、、成等差数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意得出，利用余弦定理以及基本不等式求出的取值范围，再结合角的取值范围，以及余弦函数的单调性可求出角的取值范围.
【详解】由于、、成等差数列，则，
由余弦定理得，
由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，
又，，故选B.
【点睛】本题考查利用基本不等式求三角形中角的取值范围，同时也考查了余弦定理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．（2020·宝山区·上海交大附中高三月考）已知，，若，则（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
【答案】A
【分析】根据基本不等式的性质，即可求解有最小值，得到答案.
【详解】由题意，可知，，且，
因为，则，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，取得最小值，故选A．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3．（2020·上海普陀区·高三一模）若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直线经过第一象限内的点，，可得，，．．令，，再利用基本不等式计算可得．
【详解】
解：直线经过第一象限内的点，，
则，，．
．
令，
．
因为，当且仅当即时取最小值；
。即故选：．
【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式及充要条件的定义判断即可；
【详解】解：因为、均为非零实数且，所以，
因为，，所以，所以，
由，可得，，所以，当且仅当，即时取等号，
所以不等式成立的一个充要条件为；
故选：A
2．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据判定即可
【详解】对A，若，则，不成立，故AB错误；
对C，若，则不成立，故C错误；
对D，因为，故D正确；
故选：D
3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质即可求解
【详解】∵，，∴，则选项不正确；
当，时，即，∴和成立，则选项、不正确；
∵,∴，∴，则选项正确；
故选：.
二、填空题
4．（2022·上海静安·二模）若函数的反函数为，则不等式的解集是__________.
【答案】
【分析】先由反函数的定义求出，再解不等式求出解集即可.
【详解】令，由可得，则，则，
则解得，故解集为.
故答案为：.
5．（2022·上海浦东新·二模）已知x、y满足，则的最小值为________．
【答案】
【分析】画出可行域再根据截距与正相关，分析取最值时过的点求解即可
【详解】不等式组表示的可行域如图：
由可得，
由图可得当直线过点时纵截距最小，即最小，最小值为
故答案为：
6．（2022·上海虹口·二模）函数的值域为_________.
【答案】
【分析】根据基本不等式即可解出．
【详解】因为，所以，当且仅当时取等号．
故答案为：．
7．（2022·上海松江·二模）已知正实数、满足，则的最小值为_______．
【答案】
【分析】根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
解得或（舍去），
即的最小值为4，当且仅当时等号成立.
故答案为：4
8．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数在上存在零点， 且 ， 则 的取值范围是_____.
【答案】
【分析】就、分类讨论，求解时利用不等式组表示的平面上的点的集合来求范围.
【详解】，
因为，所以，
若即，由零点存在定理可得在上存在零点，
考虑不等式组即在坐标平面上所表示的点的集合，
因为表示直线及直线下方所有的点，
同理表示直线与直线围成的所有点（包含边界，如图所示），
由可得，，由图可得.
若，因为在上存在零点，
故即①，
同理可得在坐标平面中①所表示的点的集合如图所示：
由可得或（舍），
由可得，
结合图形可得，
综上，
故答案为：
【点睛】思路点睛：对于含参数的二次函数在给定范围上的零点问题，注意利用零点存在定理把问题转化为平面上的点的集合问题来处理.
9．（2022·上海·位育中学模拟预测）设全集 ， 集合 ， 则 _____.
【答案】
【分析】根据题意注意到集合元素可得，再结合补集运算求解．
【详解】∵，则
故答案为：．
10．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若实数、满足条件，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法求出的取值范围，即可得出的最大值.
【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立可得，即点，
联立可得，即点，
令，平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最小，
此时取最小值，即；
当直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，
此时取最大值，即，所以，，故，
因此，的最大值为.
故答案为：.
11．（2022·上海·模拟预测）在直角中，为直角，，M是内一点，且，若，则的最大值为_________．
【答案】
【分析】由得出，即，且由，，设，，然后利用辅助角公式可求出的最大值.
【详解】，，，，则，且，
则，
点在内，则，，设，，
，其中，
因此，的最大值为.
故答案为：.
12．（2022·上海·模拟预测）某蔬菜基地要将120吨新鲜蔬菜运往上海，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装蔬菜20吨，每辆乙型货车运输费用300元，可装蔬菜10吨，若每辆车至多只运一次，则该蔬菜基地所花的最少运输费用为_________元．
【答案】2800
【分析】根据题意，列出不等式组及目标函数，根据不等式组画出平面区域即可求解.
【详解】设分别用甲型和乙型货车辆，根据题意可得,设总费用为元，则，画出平面区域可知，当经过点时，取得最小值.
故答案为：2800元．
三、解答题
13．（2022·上海闵行·二模）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，是边长为6的等边三角形，边的中点处为固定光源，分别为边上的移动光源，且始终垂直于，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.
(1)当为边的中点时，求线段的长度；
(2)求的面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）画出符合要求的图形，求出，，相乘求出面积；（2）辅助辅助线，设，利用三角函数与相似表达出，表达出面积，利用判别式法求解最值.
(1)当为边的中点时，
因为M为边的中点，
所以MF∥AB，且，
而始终垂直于，
所以ME⊥AB，故，
由勾股定理得：
即线段的长为
(2)
过点E，F分别作EG⊥BC于点G，FH⊥BC于点H，
设，则，
，由勾股定理得：，
因为ME⊥MF，所以∠BME+∠CMF=90°，
因为∠MFH+∠CMF=90°，所以∠BME=∠MFH，
所以，
所以，即，
所以，，
因为，，
所以，
所以，
所以的面积为，
整理得：，
∴，
解得：或，
因为，所以y的最小值为
即面积的最小值为
【点睛】根据题干条件求解面积最值问题，要设出某边长，用次边长表达出其他边长，进而表达出面积，再结合式子特点，选择合适的方法来求解最值，比如基本不等式，求导，对勾函数，三角函数有界性等.
14．（2022·上海浦东新·二模）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
【答案】(1)小时 (2)小时
【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.
(1)设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得，
解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
(2)设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若，药物浓度，
解得，
若，药物浓度，
化简得，所以；
若，药物浓度，
解得，所以；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．
15．（2022·上海松江·二模）如图，农户在米、米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为，其中点、分别在长方形的边、上，监控的区域为四边形．记．
(1)当时，求、两点间的距离；（结果保留整数）
(2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数）
【答案】(1)82 (2)，4886
【分析】（1）根据，求解，再用勾股定理求解即可
（2）根据直角三角函数中的关系分别求得的面积，进而表达出四边形的面积，再令，化简再用基本不等式求解最小值即可
(1)∵，∴
∵ ∴
∴
(2)，，
所以，
所以，
令，则
∴
∴
此时，，，即时.
故当时，监控区域四边形的面积最大约为
16．（2022·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.
【答案】(1)；
(2)售价为9元时，利润最大为9万元
【分析】（1）直接由题目所给关系即可求得利润（万元）与售价的函数关系式；
（2）将函数关系式变形整理得，结合基本不等式即可求出最大值.
(1)由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为；
(2)，因为，所以，
当且仅当即时取等号，此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元.第02讲 不等式
【考点梳理】
一、等式与不等式的性质
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
二、均值不等式及其应用
1.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
【解题方法和技巧】
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.
4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
5.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
6.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
【考点剖析】
【考点1】不等式的性质
题型一：不等式 性质
一、单选题
1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
二、填空题
2．（2020·上海高三专题练习）已知函数(其中)满足：对任意，有，则的最小值为_________．
三、解答题
3．（2020·上海崇明区·高三月考）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等.
（1）判断上述三者的大小关系，并证明；
（2）定义：间距，间距，判断两者的大小关系，并证明.
【考点2】一元二次不等式
题型二：一元二次不等式的解法
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A．不存在有序数组，使得
B．存在唯一有序数组，使得
C．有且只有两组有序数组，使得
D．存在无穷多组有序数组，使得
2．（2022·上海·高三专题练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．18 C．21 D．26
二、填空题
3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知集合，则___________．
4．（2022·上海黄浦·模拟预测）不等式的解集为___________.
三、解答题
5．（2022·上海交大附中模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标．某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂．这种生物复合剂入水后每1个单位的活性随时间（单位：小时）变化的函数为，已知当时，的值为28，且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用．
(1)试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到小时）
(2)由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量关于时间的函数为，记为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出的最大值．（结果精确到0.1）
6．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知.
(1)若，，解关于的不等式；
(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.
7．（2022·上海·高三专题练习）设为实数，函数.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）对于函数，在定义域内给定区间，如果存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个“均值点”.如函数是上的平均值函数，就是它的均值点.现有函数是区间上的平均值函数，求实数的取值范围.
题型三：一元二次不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立
2．（2022·上海·高三专题练习）设集合，，，，其中，下列说法正确的是（ ）
A．对任意，是的子集，对任意的，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意的，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
二、填空题
3．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）已知实数满足，集合，则A的长度的取值范围是__________．（集合的长度定义为，其中）
4．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，若对一切恒成立，则实数的最大值为___________.
5．（2022·上海·高三专题练习）对数列，，如果存在正整数，使得，则称数列是数列的“优数列”，若，，并且是的“优数列”，也是的“优数列”，则的取值范围是____________．
三、解答题
6．（2022·上海·高三专题练习）关于x的不等式的解集为．
求实数a，b的值；
若，，且为纯虚数，求的值．
7．（2022·上海·高三专题练习）对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围．
【考点3】均值不等式及其应用
题型四： 均值不等式及其应用
1．（2020·上海高三专题练习）在中，、、分别为边、、所对的角，若、、成等差数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·宝山区·上海交大附中高三月考）已知，，若，则（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
3．（2020·上海普陀区·高三一模）若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·上海崇明·二模）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海交大附中模拟预测）已知，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022·上海静安·二模）若函数的反函数为，则不等式的解集是__________.
5．（2022·上海浦东新·二模）已知x、y满足，则的最小值为________．
6．（2022·上海虹口·二模）函数的值域为_________.
7．（2022·上海松江·二模）已知正实数、满足，则的最小值为_______．
8．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数在上存在零点， 且 ， 则 的取值范围是_____.
9．（2022·上海·位育中学模拟预测）设全集 ， 集合 ， 则 _____.
10．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）若实数、满足条件，则的最大值为__________．
11．（2022·上海·模拟预测）在直角中，为直角，，M是内一点，且，若，则的最大值为_________．
12．（2022·上海·模拟预测）某蔬菜基地要将120吨新鲜蔬菜运往上海，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装蔬菜20吨，每辆乙型货车运输费用300元，可装蔬菜10吨，若每辆车至多只运一次，则该蔬菜基地所花的最少运输费用为_________元．
三、解答题
13．（2022·上海闵行·二模）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，是边长为6的等边三角形，边的中点处为固定光源，分别为边上的移动光源，且始终垂直于，三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.
(1)当为边的中点时，求线段的长度；
(2)求的面积的最小值.
14．（2022·上海浦东新·二模）某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
15．（2022·上海松江·二模）如图，农户在米、米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为，其中点、分别在长方形的边、上，监控的区域为四边形．记．
(1)当时，求、两点间的距离；（结果保留整数）
(2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数）
16．（2022·上海静安·二模）某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元）
(1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；
(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.

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