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第03讲 函数及其性质
【考点梳理】
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
6.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称
偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【解题方法和技巧】
1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较．
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
【考点剖析】
【考点1】函数及其表示
题型一:函数定义域
一、双空题
1．（2022·上海·高三专题练习）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 函数的值域为_______，则与是“同域函数”的一个解析式为____________.
二、填空题
2．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为___________.
3．（2022·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2（x＜0），则其反函数 ＝_______________．
4．（2022·上海·高三专题练习）函数的定义域为__________．
5．（2021·上海市风华中学高三期中）函数的定义域为___________.
6．（2021·上海中学高三期中）已知函数在上有意义，则实数m的范围是____________．
7．（2021·上海师大附中高三期中）函数的定义域为___________
三、解答题
8．（2022·上海·高三专题练习）已知实数是常数，函数.
（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：
（i）求集合；
（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.
题型二：函数解析式
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）设函数和的定义域均为，对于下列四个命题：
①若对任意，都有，则存在且唯一；
②若为上单调函数，为周期函数，则在上既是单调函数又是周期函数；
③若对任意，都有，则当时，必有；
④若函数不存在反函数，则在上不是单调函数.
其中正确的命题为（　　）
A．①② B．②④ C．①③④ D．③④
2．（2020·上海普陀·高三阶段练习）关于函数，有下列叙述：
①存在函数满足，对任意都有；
②存在函数满足，对任意都有；
③存在函数满足，对任意都有；
④存在函数满足，对任意都有；
其中，叙述正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．
三、解答题
4．（2022·上海·高三专题练习）二次函数满足，且，
（1）求的解析式；
（2）在区间上的图象恒在图象的上方，试确定实数的范围.
题型三：函数值域
一、单选题
1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知定义在 的函数，满足：在上的解析式为，设的值域为．若存在实数，使得，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2019·上海市七宝中学高三开学考试）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：
A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”
B．函数的充要条件是有最大值和最小值
C．若函数，的定义域相同，且，，则
D．若函数有最大值，则
三、填空题
3．（2022·上海·模拟预测）若，则函数的值域为________.
4．（2021·上海市吴淞中学高三期中）用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；则正确命题的序号是___________.
5．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．
四、解答题
6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知为各项均为正数的数列且对满足的正整数p，q，n都有等式成立.
(1)判断数列是否满足等式（*）；
(2)证明的充要条件为，；
(3)证明：存在与有关的常数，使得对于每个正整数n，都有.
7．（2021·上海中学高三期中）已知函数．
(1)若，且恒成立，求实数m的最小值；
(2)若，求的值域．
【考点2】函数基本性质
题型四：函数奇偶性
一、单选题
1．（2022·上海·位育中学模拟预测）定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，若 ， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·上海静安·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为非奇非偶函数
C．在上单调递减 D．的图象关于直线对称
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）函数，，…，，…，则函数是（ ）
A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
4．（2022·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
5．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知函数为奇函数，则方程的解是________．
6．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知函数为奇函数，当时，，若，则___________.
7．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知是偶函数，则复数的模为______．
8．（2022·上海宝山·二模）如果函数是奇函数，则__．
9．（2022·上海徐汇·二模）设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是______________．
10．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）函数是以π为周期的奇函数，且，那么___________．
三、解答题
11．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a∈R，函数；
(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；
(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
题型五：函数单调性
一、单选题
1．（2022·上海市松江二中高三开学考试）定义在上的函数，若存在且，使得恒成立，则称具有“性质”.已知是上的增函数，且恒成立；是上的减函数，且存在，使得，则（ ）
A．和都具有“性质”
B．不具有“性质”，具有“性质”
C．具有“性质”，不具有“性质”
D．和都不具有“性质”
二、填空题
2．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为定义在上的增函数，且任意，均有，则_____.
3．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知，，，，.若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值范围是_______.
4．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则______．
5．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）函数的单调减区间是______．
三、解答题
6．（2022·上海静安·模拟预测）因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．
(1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．
(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
7．（2022·上海市建平中学高三期中）设实数a、bR，.
(1)解不等式:；
(2)若存在，使得，，求的值；
(3)设常数，若，，.求证:.
8．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知函数的定义域是D，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D上为不减函数．现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则．
试证明下列结论：
(1)对于，若，则；
(2)a）在上为不减函数；
b）对，都有；
(3)当时，有．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海长宁·二模）若函数存在反函数，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海虹口·二模）函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立.如果，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海市七宝中学模拟预测）函数（其中P，M为实数集R的两个非空子集）又规定,给出下列四个判断，其中正确的判断有（ ）
①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
5．（2019·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意x∈R，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．函数在区间上为增函数
C．直线是函数的一条对称轴 D．方程在区间上有4个不同的实根
三、填空题
6．（2022·上海闵行·二模）已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；
7．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．
8．（2022·上海崇明·二模）设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．
9．（2022·上海静安·二模）已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.
10．（2022·上海虹口·二模）已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值.若正数满足，则的值可以是_________.（写出一个即可）.
11．（2022·上海长宁·二模）已知函数满足：，则不等式的解集为____．
12．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
13．（2022·上海浦东新·二模）若函数的最大值为，则由满足条件的实数的值组成的集合是__________．
四、解答题
14．（2022·上海闵行·二模）对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由；
(2)若函数具有性质，且当时，，解不等式；
(3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合.
【答案】(1)不具有性质，理由见解析；具有性质，（只要满足即可）
(2)
(3)
15．（2022·上海浦东新·二模）已知函数
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)当时，在中（所对的边分别为、、），若，且的面积为，求的值．
16．（2022·上海松江·二模）对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．
(1)若，判断是否具有性质，并说明理由；
(2)若，且具有性质，求m的最大值；
(3)若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数．
17．（2022·上海黄浦·二模）设为常数，函数．
(1)若，求函数的反函数；
(2)若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
18．（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并证明在上单调递增；
(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.
19．（2022·上海长宁·二模）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质．
(1)若函数具有性质，求的值
(2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点．
20．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.
(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；
(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；
(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.第03讲 函数及其性质
【考点梳理】
1.函数的概念
设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
6.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称
偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
【解题方法和技巧】
1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2.已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较．
比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小．
4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
【考点剖析】
【考点1】函数及其表示
题型一:函数定义域
一、双空题
1．（2022·上海·高三专题练习）如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 函数的值域为_______，则与是“同域函数”的一个解析式为____________.
【答案】 ， 或者 （答案不唯一）
【分析】分别求出已知函数的定义域和值域，在本题中，求函数的值域相对有一定难度，考虑到函数的解析式中包含根式，所以不妨将其平方，再求函数的值域．只要满足定义域和值域相同，解析式不同的函数均符合题意．
【详解】解：因为，所以且，所以函数的定义域为，．
下面求函数的值域，不妨先求函数的值域，令，
令，，，所以，，
从而得出，，所以，，即函数的值域为，．
只要满足定义域为，，且值域为，的函数均符合题意，例如 或，，或，，
故答案为：； 或，，或，，或（答案不唯一）
二、填空题
2．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.
【详解】解：由，
得，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：
3．（2022·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2（x＜0），则其反函数 ＝_______________．
【答案】
【分析】先求的值域，再反解，最后互换的位置，给出其定义域.
【详解】因为f（x）＝x2（x＜0），所以的值域为，
由，解得，
所以=
故答案为：
4．（2022·上海·高三专题练习）函数的定义域为__________．
【答案】 且
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【详解】要使函数有意义，则，
得，即且，
即函数的定义域为，
故答案为： 且.
5．（2021·上海市风华中学高三期中）函数的定义域为___________.
【答案】.
【分析】根据题意列出使函数解析式有意义的不等式组，解不等式即可求解.
【详解】由题意可得：，
解得：且且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
6．（2021·上海中学高三期中）已知函数在上有意义，则实数m的范围是____________．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，使，列不等式即可求解.
【详解】要使函数有意义，则（），
解得，所以函数的定义域为，
所以，所以，解得，
所以实数m的范围是.
故答案为：
7．（2021·上海师大附中高三期中）函数的定义域为___________
【答案】
【分析】由有意义可得，解不等式可求函数的定义域.
【详解】∵ 有意义
∴ ，
∴ ，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
三、解答题
8．（2022·上海·高三专题练习）已知实数是常数，函数.
（1）求函数的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若，设，记的取值组成的集合为，则函数的值域与函数()的值域相同.试解决下列问题：
（i）求集合；
（ii）研究函数在定义域上是否具有单调性？若有，请用函数单调性定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数的最小值.
【答案】（1）定义域为，为偶函数，理由见解析；（2）（i）；（ii）在上是减函数，证明见解析，最小值为.
【分析】（1）由函数解析式，根据根式的性质列不等式组，即可求函数定义域，由函数奇偶性的定义说明的关系即可证函数的奇偶性.
（2）（i）由题设可得，由根式的性质，即可求的取值集合，（ii）任意的且，根据解析式判断大小即可确定单调性，利用与()的值域相同求最小值.
【详解】（1）实数是常数，函数，
由，解得.
函数的定义域是.
对于任意，有,，即对都成立(又不恒为零)，
∴函数是偶函数.
（2）由，有.
（i）()，则.
，，即.
.
（ii）由（i）知：的定义域为.
对于任意的且，有.
又且(这里二者的等号不能同时成立)，
，即.
函数在上是减函数.
.
又函数的值域与函数的值域相同，
函数的最小值为.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据根式的性质求定义域，利用函数奇偶性的定义说明奇偶性；
（2）由根式性质，求换元后t的范围，利用单调性定义判断的单调性，进而由的值域求的最小值.
题型二：函数解析式
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）设函数和的定义域均为，对于下列四个命题：
①若对任意，都有，则存在且唯一；
②若为上单调函数，为周期函数，则在上既是单调函数又是周期函数；
③若对任意，都有，则当时，必有；
④若函数不存在反函数，则在上不是单调函数.
其中正确的命题为（　　）
A．①② B．②④ C．①③④ D．③④
【答案】D
【分析】①举例若或判断；②不妨设函数的周期为判断；③利用函数定义判断；④根据函数具有反函数的条件判断.
【详解】若或，都满足对任意，都有，故①错误；
不妨设函数的周期为，则，故在上不是单调函数，故②错误；
∵，∴，又∵，∴；故③正确；
∵若在上是单调函数，则函数存在反函数；
∴若函数不存在反函数，则在上不是单调函数，故④正确.
故选：D.
2．（2020·上海普陀·高三阶段练习）关于函数，有下列叙述：
①存在函数满足，对任意都有；
②存在函数满足，对任意都有；
③存在函数满足，对任意都有；
④存在函数满足，对任意都有；
其中，叙述正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】根据函数的定义结合赋值法可得①②④的正误，利用换元法可得③正确.
【详解】①令，则，所以，令，则，所以，矛盾，故不存在；
②令，则，所以，令，则，所以，矛盾，故不存在；
③令，则化为，令，则，所以，正确；
④令，得，令，得，矛盾，故不存在；
所以正确的个数是1个，
故选：A．
【点睛】方法点睛：判断函数的存在性，一般依据函数的定义来判断，注意根据复合函数的形式寻找合适的赋值方法.
二、填空题
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果．
【详解】解：
当x∈时，设线段所在直线的方程为，线段过点（﹣1，0），（0，1），
根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 ，
解得 ．故当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1；
同理当x∈（0，1]时，f（x）＝x1；
当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化为：
x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．
当x∈（0，1]时，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为：
x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，
综上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为 ．
故答案为：
三、解答题
4．（2022·上海·高三专题练习）二次函数满足，且，
（1）求的解析式；
（2）在区间上的图象恒在图象的上方，试确定实数的范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，代入，待定系数即得解；
（2）转换的图象恒在图象上方为，令，转化为二次函数在定区间的最小值即得解.
【详解】（1）由题设
∵
∴又
∴
∴
∴，∴
∴
（2）当时，的图象恒在图象上方
∴时恒成立，即恒成立
令，对称轴为，故函数在上单调递减，
时，
故只要即可，实数的范围.
题型三：函数值域
一、单选题
1．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知定义在 的函数，满足：在上的解析式为，设的值域为．若存在实数，使得，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出当时， 的值域，从而得出在餐胡的取值情况，根据条件参数满足的不等式，求出参数的范围，然后同理讨论的情况，从而得出答案.
【详解】当时，当时，，则
当时，，则
所以时，
由，则时，
则时，
所以则时，
由则存在实数，使得， 即存在实数使得 ，
解得
由上可知，当时，的值域为，显然满足题意.
当时，当时，，则
当时，，则
所以时，
同理可得，当时，
由则存在实数，使得， 即存在实数使得 ，
解得
所以满足条件的是范围：，由选项可知：选项C满足
故选：A
二、多选题
2．（2019·上海市七宝中学高三开学考试）以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．例如，当，时，，．则下列命题中正确的是：
A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”
B．函数的充要条件是有最大值和最小值
C．若函数，的定义域相同，且，，则
D．若函数有最大值，则
【答案】ACD
【分析】A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来；
B选项中举反例保证函数的值域为集合的子集，但值域是一个开区间，从而说明函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现，从而发现命题正确；D选项中从极限的角度证明，均不成立，所以，再求出函数的值域为，从而得到命题D正确.
【详解】对A，“”即函数值域为，“，，”表示的是函数可以在中任意取值，故有：设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”，命题A是真命题；
对B，若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．
．例如：函数满足，则有，此时，无最大值，无最小值．命题B“若函数，则有最大值和最小值．”是假命题；
对C，若函数，的定义域相同，且，，则值域为，，并且存在一个正数，使得，，则．命题C是真命题．
对D，函数有最大值，假设，当时，，，，则，与题意不符； 假设，当时，，，，则，与题意不符.，即函数，当时，，，即；当时，；当时，，，即．
，即，故命题D是真命题．
故选ACD.
【点睛】本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大，有一定的思维难度，属于难题．
三、填空题
3．（2022·上海·模拟预测）若，则函数的值域为________.
【答案】
【分析】先求出函数的值域，即可求出函数的值域．
【详解】因为，，令，因此
，即的值域为．
故答案为：．
4．（2021·上海市吴淞中学高三期中）用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：①若函数，则的值域为；②若，则方程有三个根；③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；则正确命题的序号是___________.
【答案】①②
【分析】根据给定定义可得，再对给定的3个命题逐一分析即可判断作答.
【详解】因符号表示小于的最大整数，则时，，
于是得，即函数在R上的值域为，①正确；
方程，当时，则有，而是整数，
于是得的值可为1，2，3，即x值有3个，则方程有三个根，②正确；
数列是等差数列，如数列1.7，1.8，1.9，2，2.1，2.2成等差数列，
而由计算所得结果对应的数列1，1，1，1，2，2不成等差数列，③不正确，
所以正确命题的序号是①②.
故答案为：①②
5．（2021·上海市晋元高级中学高三期中）是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，则的值域为_____________．
【答案】
【分析】利用函数奇偶性的定义结合的值域即可求出的值域.
【详解】解：由是上的奇函数，是上的偶函数
得到，
因为函数的值域为
即
所以
又，
得
所以的值域为：.
故答案为：.
四、解答题
6．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知为各项均为正数的数列且对满足的正整数p，q，n都有等式成立.
(1)判断数列是否满足等式（*）；
(2)证明的充要条件为，；
(3)证明：存在与有关的常数，使得对于每个正整数n，都有.
【分析】（1）令，分别代入到等式进行化简，最后得出等式两边相等即可判断；
（2）观察得必要性显然成立，充分性证明时同样要从赋值法以及函数值域的角度得到不等关系，进一步求解不等式，再根据递推关系得出结论；
（3）运用赋值法，令，记设函数则在定义域上有故对，恒成立， 根据得证.
(1)依题意得，令，，则
故数列满足等式.
(2)
依题意必要性显然成立，下面证明充分性：
，，对于，，
则
若存在某个，使得：，
，而
即：，而
，同理可得：
，依据递推关系式，可得：，
又，，故可取，则.
(3)
依题意得，的值与有关，记为：，令
则
设函数则
故对，恒成立，
又
解得
取 即有.
【点睛】本题考查数列递推公式，考查赋值法的运用，考查不等式的证明，对学生的分析问题和解决问题的能力有一定的要求，难度较大.
7．（2021·上海中学高三期中）已知函数．
(1)若，且恒成立，求实数m的最小值；
(2)若，求的值域．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由绝对值三角不等式可得的最大值，进而可得结果；
（2）将式子平方，转化为，利用二次函数的性质即可求解.
(1)，
∴，，故m的最小值为．
(2)，，
,
当时，，
当或时，，
所以，
所以函数的值域为.
【考点2】函数基本性质
题型四：函数奇偶性
一、单选题
1．（2022·上海·位育中学模拟预测）定义在 上的任意函数 都可以表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，若 ， 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数奇偶性的定义列出方程组结合对数的运算即可解得.
【详解】设，
则，
因为为奇函数，为偶函数，化简得：
，解得：
.
故选：C.
2．（2022·上海静安·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．为偶函数 B．为非奇非偶函数
C．在上单调递减 D．的图象关于直线对称
【答案】A
【分析】,所以为偶函数，所以选项A正确，选项B错误；当时， 此时函数的单调递减区间为，所以选项C错误； ，即的图象不关于直线对称，所以选项D错误.
【详解】解：由题得函数的定义域为，关于原点对称.
,所以为偶函数，所以选项A正确，选项B错误；
当时，，令 所以
令得令得
所以此时函数的单调递减区间为，所以选项C错误；
，，即的图象不关于直线对称，所以选项D错误.
故选：A
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）函数，，…，，…，则函数是（ ）
A．奇函数但不是偶函数 B．偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】A
【分析】根据奇偶函数的定义，先判断是否恒为0，再通过定义证明为奇函数．
【详解】当时，若，则，
∵当时，…
∴当时，则
∴不可能既是奇函数又是偶函数
的定义域为
若为奇函数，则
即也为奇函数
现在为奇函数为奇函数为奇函数…
所以对为奇函数
故选：A．
4．（2022·上海宝山·二模）关于函数和实数的下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；
【详解】解：因为，
所以函数是一个偶函数，
又时，与是增函数，且函数值为正数，
故函数在上是一个增函数
由偶函数的性质得函数在上是一个减函数，
此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，
函数值就小，反之也成立，
考察四个选项，A选项，由，无法判断，离原点的远近，故A错误；
B选项，，则的绝对值大，故其函数值也大，故B不对；
C选项是正确的，由，一定得出；
D选项由，可得出，但不能得出，不成立，
故选：C．
二、填空题
5．（2022·上海交大附中高三阶段练习）已知函数为奇函数，则方程的解是________．
【答案】
【分析】根据奇函数满足可得，再求解即可
【详解】因为函数为奇函数，故，解得，故即，故，解得
故答案为：
6．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知函数为奇函数，当时，，若，则___________.
【答案】
【分析】由奇函数的性质求解得，代入解析式求解.
【详解】因为函数为奇函数，，所以，
又，所以，
解得
故答案为：.
7．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）已知是偶函数，则复数的模为______．
【答案】
【分析】根据是偶函数可得，根据复数的乘法运算求出的结果，根据模的计算求得答案.
【详解】由是偶函数，
可得，
即 ，因为 ，故 ，
所以，
故复数的模为 ，
故答案为：
8．（2022·上海宝山·二模）如果函数是奇函数，则__．
【答案】
【分析】利用函数是奇函数，即可求解.
【详解】设，.
故答案为：
9．（2022·上海徐汇·二模）设是定义在上的奇函数，当时，，若存在反函数，则的取值范围是______________．
【答案】或.
【分析】先求出的解析式，若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，计算得解.
【详解】当时，，，是定义在上的奇函数，所以，即时，，所以，
若存在反函数，则在每段单调且各段值域无重合，
当，，；
所以或
所以或.
故答案为：或.
10．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）函数是以π为周期的奇函数，且，那么___________．
【答案】
【分析】根据周期性，根据奇偶性，据此即可求值.
【详解】由题可知，.
故答案为：.
三、解答题
11．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）设a∈R，函数；
(1)求a的值，使得f（x）为奇函数；
(2)若对任意x∈R成立，求a的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由奇函数性质可得a的值，然后验证奇偶性可得；
（2）将恒成立问题转化为函数最值问题，通过分类讨论可解.
(1)因为为奇函数，所以，可得
因为，
所以时为奇函数，所以
(2)
当时， 恒成立，
，，
当时， 恒成立，所以
当时， 恒成立，，显然不满足题意.
综上所述，
题型五：函数单调性
一、单选题
1．（2022·上海市松江二中高三开学考试）定义在上的函数，若存在且，使得恒成立，则称具有“性质”.已知是上的增函数，且恒成立；是上的减函数，且存在，使得，则（ ）
A．和都具有“性质”
B．不具有“性质”，具有“性质”
C．具有“性质”，不具有“性质”
D．和都不具有“性质”
【答案】A
【分析】根据具有“性质”函数的定义，令、结合、的单调性判断是否存在使成立即可.
【详解】由是上的增函数，则当时有，又，
所以，即存在使恒成立，
故具有“性质”；
对于，若，则，又是上的减函数，而，
所以，即存在使恒成立，
故具有“性质”；
故选：A
二、填空题
2．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为定义在上的增函数，且任意，均有，则_____.
【答案】
【分析】设，令、求得，结合单调性求出a值，代入验证即可得结果.
【详解】设，
令得：；
令得：，
因为为定义在上的增函数，
所以，
当时，由矛盾.
故.
故答案为：
3．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）已知，，，，.若a，b，c构成三角形的三边，则m的取值范围是_______.
【答案】
【分析】由a，b，c为三边可构成三角形，得到，且成立，即，且成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性求解.
【详解】若a，b，c为三边可构成三角形，则，且成立，
即，且成立，
即成立，而，
令，则，令，
则，易知在上递减，
所以，所以，
又成立，而，
当且仅当时，等号成立，所以；
所以.
故答案为：
4．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则______．
【答案】9
【分析】令，根据函数的性质结合已知，求出的值，通过归纳的思想求出时，的表达式，最后代入求值即可.
【详解】令，则有，若，则有，显然矛盾；
若，则有，显然与已知矛盾，当大于3的整数时，与已知函数是单调递增相矛盾，故，所以有；
令时，；
令时，，根据函数的性质可知：；
令时，；
令时，；
令时，；
令时，；根据函数的性质可知：；
令时，；根据函数的性质可知：；
令时，；根据函数的性质可知：，
令时，；
令时，；
令时，；
令时，；
所以归纳得到当时，
所以
故答案为：9
5．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）函数的单调减区间是______．
【答案】，
【分析】根据绝对值的定义去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数单调性求得单调递减区间．
【详解】去绝对值，得函数
当 时，函数 的单调递减区间为
当 时，函数的单调递减区间为
综上，函数 的单调递减区间为，
故答案为：，
三、解答题
6．（2022·上海静安·模拟预测）因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．
(1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．
(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为；
(3).
【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；
（2）利用对勾函数的单调性的性质进行求解即可；
（3）结合（2）的结论，根据任意性、存在性的定义进行求解即可.
(1)设是任意两个实数，且任取，则
若，则，，即，，所以
所以，即，所以在上是减函数，
若，则，，即，，所以，
所以，即，所以在上是减函数，
所以对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数；
(2)，
令，因为，所以，则，
由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在上是减函数，在上是增函数，所以，，，
综上可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．
(3)由（2）知时，若存在，使得成立，
只需，在上有解即可，即最小值，
令，在上是减函数，在上是增函数，所以最小值，
所以，即实数的取值范围为．
7．（2022·上海市建平中学高三期中）设实数a、bR，.
(1)解不等式:；
(2)若存在，使得，，求的值；
(3)设常数，若，，.求证:.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【分析】（1）由及的单调性求不等式的解集.
（2）问题转化为求与、的交点横坐标，根据与关于对称，即可求的值.
（3）由题设可得，根据与关于对称及其单调性，由反函数性质讨论、、对应的符号，即可证结论.
(1)由题设，又在定义域上递增且，
所以，则，故解集为.
(2)由题设，，，
由，，则，，
所以分别是与、的交点横坐标，
而与关于对称，即互为反函数，
所以，即.
(3)由，，
由题设有，
又，与关于对称，且在定义域上均递增，
当时，，则，此时；
当时，，则，此时；
当时，，则，此时；
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二、三问，结合反函数的对称性和指对数函数的单调性，求参数值或讨论参数的大小关系证明不等式.
8．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）已知函数的定义域是D，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在D上为不减函数．现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，若，则．
试证明下列结论：
(1)对于，若，则；
(2)a）在上为不减函数；
b）对，都有；
(3)当时，有．
【分析】（1）由，可得的图象关于直线对称，则根据②可证得结论，
（2）先利用单调性的定义证明在上是不减函数，利用，进行放缩结合等比数列的求和即可得结果，
（3）对于任意，则必存在正整数，使得，因为在是不减函数，所以，由（2）可知，结合题中的条件，利用赋值法及不等式的性质可证得结果
(1)证明：因为，
所以的图象关于直线对称，
所以根据②，可知对于，
若，用分别代替②中的，
则可得
(2)证明：a）设，且，则，
因为
，
所以，所以在上为不减函数，
b）因为，
所以
……
(3)证明：对于任意，则必存在正整数，使得，
因为在上为不减函数，
所以，
由（2）知，
由①可得，在②中，令，得，
所以，
而，所以，
所以，
所以时，，
因为时，，且，
所以
【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的性质，函数单调性的证明，考查数列知识与函数知识的综合问题，解题的关键是在于对赋值的应用和对新定义的理解，属于较难题
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案.
【详解】容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.
对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.
故选：B.
2．（2022·上海长宁·二模）若函数存在反函数，则常数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得在上单调，分两种情况讨论，参变分离，结合指数函数的性质计算可得；
【详解】解：因为函数存在反函数，
所以函数在上单调，
若单调递增，即，则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，所以；
若单调递减，即，则在上恒成立，即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，所以；
综上可得；
故选：D
3．（2022·上海虹口·二模）函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立.如果，则实数的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得在定义域上单调递减，由，则等价于，根据函数的单调性即可得解；
【详解】解：因为对于任意的，都有，
当时，即，
当时，即，
即在定义域上单调递减，
又是定义域为的奇函数，所以，
所以，
则，即，即，所以，
即不等式的解集为；
故选：C
4．（2022·上海市七宝中学模拟预测）函数（其中P，M为实数集R的两个非空子集）又规定,给出下列四个判断，其中正确的判断有（ ）
①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由函数的表达式知，可借助两个函数与的图像来研究，分析可得答案
【详解】由题意知函数的图像如图所示：
设 ，
，
则 而 ，故①错误；
同理可知②正确；
设 ，
，则
，故③错误
④由③的判断知，当 ，则 是正确的，故④正确
故选：B
二、多选题
5．（2019·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数的定义域为R，且对任意x∈R，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．函数在区间上为增函数
C．直线是函数的一条对称轴 D．方程在区间上有4个不同的实根
【答案】ACD
【分析】由，得到函数为偶函数，又由当且时，都有成立，得到在为增函数，再根据，得出函数为周期为4的函数，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，
以为对于任意，都有，可得函数为偶函数，
又因为当且时，都有成立，
可得函数在区间为增函数，
又由，令，可得，
解得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，
则函数的图形，如图所示，
由图象可得，所以A正确；
函数在区间上为减函数，所以B不正确；
直线是函数的一条对称轴，所以C正确；
方程在区间上，共有个不同的实数根，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，此类问题解答的一般步骤为：先确定函数的定义域，再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解.
三、填空题
6．（2022·上海闵行·二模）已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；
【答案】1
【分析】根据条件得到，即为偶函数，根据列出方程，求出实数的值.
【详解】因为的定义域为R，所以恒成立，
故，
又因为对任意实数，都满足，
则对于实数，都满足，
所以，
所以为偶函数，
从而，
化简得：，
要想对任意，上式均成立，则，解得：
故答案为：1
7．（2022·上海青浦·二模）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是_________．
【答案】或3.
【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.
再分析区间与的关系，因为，故或.
①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；
②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；
综上所述，或3
故答案为：或3.
8．（2022·上海崇明·二模）设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．
【答案】
【分析】根据函数周期性结合解析式可得，结合题意解得，代入求解．
【详解】∵是周期为2的函数
∴，
又∵，即，则
∴
故答案为：．
9．（2022·上海静安·二模）已知函数，若对任意，当时，总有成立，则实数的最大值为__________.
【答案】1
【分析】分、、、依次讨论的范围，进而判断是否恒成立，即可求解.
【详解】当时，，则不成立；
当，，取，，此时不成立；
当时，，则，对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；
当时，，当取最大值1，当时取最小值0，则，
对于任意，有，当时取等号，所以总有成立；
综上可得，故实数的最大值为1.
故答案为：1.
10．（2022·上海虹口·二模）已知是定义域为的奇函数，且图像关于直线对称，当时，，对于闭区间，用表示在上的最大值.若正数满足，则的值可以是_________.（写出一个即可）.
【答案】或
【分析】首先可得是以为周期的周期函数，根据的解析式，得到的图象，再对在不同区间进行讨论，得出符合条件的值．
【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，
又函数图像关于直线对称，所以，
所以，所以，
即是以为周期的周期函数，
又当时，，
令，则，所以，
所以，
所以当时，
时，
所以的部分图象如下所示：
若，则，在上单调递增，所以，，显然不满足，
若，则，在上单调递增，在上单调递减，
所以，，显然不满足，
若，则，所以，，由，
即，解得或（舍去）；
若，则，所以，或，由，
即，解得或（舍去）；
当时，，所以，，显然不满足，故舍去；
故答案为：或
11．（2022·上海长宁·二模）已知函数满足：，则不等式的解集为____．
【答案】
【分析】根据题意可知为奇函数，利用分离常数得在上单调递增，结合奇函数与单调性得关系可得在上单调递增，再解得，即可判断解集．
【详解】根据题意可得，且为奇函数
当时，，则在上单调递增
∴在上单调递增
则，即，解得
∴即的解集为
故答案为：．
12．（2022·上海·高考真题）已知为奇函数，当时，，且关于直线对称，设的正数解依次为、、、、、，则________
【答案】2
【分析】根据题意可得函数是以4为周期的周期函数，作出函数的图像，结合图像可知的几何意义为函数两条渐近线之间的距离，从而可得出答案.
【详解】解：因为为奇函数，所以，且，
又关于直线对称，所以，
所以，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
作出函数和的图像如图所示：
由的正数解依次为、、、、、，
则的几何意义为函数两条渐近线之间的距离为2，
所以.
故答案为：2.
13．（2022·上海浦东新·二模）若函数的最大值为，则由满足条件的实数的值组成的集合是__________．
【答案】
【分析】设，，由可知，由此可得结果.
【详解】设，，，
，，
，又，，解得：，
实数的值组成的集合为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数最值求解参数值的问题，解题关键是能够利用转化的思想，将函数表示为向量数量积的形式，根据确定参数的取值.
四、解答题
14．（2022·上海闵行·二模）对于定义域为的函数，若存在实数使得对任意恒成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数与是否具有性质，若具有性质，请写出一个的值，若不具有性质，请说明理由；
(2)若函数具有性质，且当时，，解不等式；
(3)已知函数，对任意，恒成立，若由“具有性质”能推出“恒等于”，求正整数的取值的集合.
【答案】(1)不具有性质，理由见解析；具有性质，（只要满足即可）
(2)
(3)
【分析】（1）根据可知不具有性质；当时，结合诱导公式可知，可得具有性质；
（2）由可推导得到是以为周期的周期函数；分别在和的情况下，解不等式，根据周期性可得到结论；
（3）由可知只需研究的情况；当、、和时，通过反例可知不合题意；当、和时，结合可推导得到，由此可得取值集合.
(1)不具有性质，理由如下：
对于任意实数，，即，
不具有性质；
具有性质，
若，则；
的一个取值为（只要满足即可）.
(2)由得：，，
是以为周期的周期函数；
当时，，不等式无解；
当时，，则，
，解得：；
综上所述：当时，的解集为；
的解集为.
(3)，，则只需研究的情况；
①当时，
令且对于任意恒成立，
此时满足，并具有性质，但不恒等于；
②当时，；当时，；当时，；
令且对于任意恒成立，
此时满足，并具有性质，但不恒等于；
③当时，，，，满足题意；
④当时，，，
，又，，，
则，，满足题意；
⑤当时，，，
，又，，，
则，，满足题意；
综上所述：当时，满足题意的的取值集合为，
满足题意的正整数的取值的集合为.
【点睛】关键点睛：本题考查函数中的新定义运算问题；解题关键是能够根据已知抽象函数关系式推导得到函数的周期性，进而根据周期性可将所研究的问题转化为一个周期内的函数关系式的求解问题.
15．（2022·上海浦东新·二模）已知函数
(1)若函数为偶函数，求实数的值；
(2)当时，在中（所对的边分别为、、），若，且的面积为，求的值．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据偶函数满足，即可求解.
（2）先有辅助角公式得，代入即可求解，然后根据余弦定理即可求解.
(1)任取
因为函数为偶函数.所以
（法二：特值法，再验证）由函数为偶函数知，（可取不同特殊值）
得，t=0
又当时，，函数为偶函数，
（法三：观察法，需举反例），
时，函数为偶函数，
任选，则有
当时，举反例，如，
此时为非奇非偶函数，所以，函数为偶函数时；
(2)当时,，
由则有
由题意，
在中，，
则．
16．（2022·上海松江·二模）对于定义在R上的函数，若存在正数m与集合A，使得对任意的，当，且时，都有，则称函数具有性质．
(1)若，判断是否具有性质，并说明理由；
(2)若，且具有性质，求m的最大值；
(3)若函数的图像是连续曲线，且当集合（a为正常数）时，具有性质，证明：是R上的单调函数．
【答案】(1)具有性质，理由见解析；(2)；(3)证明见解析.
【解析】(1)对一切，，且
由于
具有性质.
(2)令，
则
∵具有性质，
∴当时，恒有，即
，.
(3)∵函数具有性质，
∴对任意的区间，当时，都有成立.
下面证明此时，恒有或恒有
若存在，使得①，
不妨设②
当①或②式中有等号成立时，与矛盾
当①②两式中等号均不成立时， 的函数值从连续增大到时，必在存使得，也与矛盾，
同理可证也不可能.
∴对任意的区间，当时，
恒有或恒有，
∵对任意的，总存在，使得：，
∴当时，，
此时在单调递增，
当时，
成立，
此时在上单调递减，
综上可知是上的单调函数.
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，关键在于理解所给定义，一般就是需要具体化新定义的内容，研究所给特例问题，一般需要化抽象为具体，具有很强的类比性，对类比推理要求较高.
17．（2022·上海黄浦·二模）设为常数，函数．
(1)若，求函数的反函数；
(2)若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，函数是奇函数；当且时，函数既不是奇函数，也不是偶函数．
【分析】（1）利用把表示出来即可求得结果；（2）对分情况讨论，利用函数奇偶性判断即可得出结论.
(1)由，得，于是，且．
因此，所求反函数为，．
(2)当时，，定义域为．
，故函数是奇函数；
当且时，函数的定义域为，函数既不是奇函数，也不是偶函数．
18．（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求实数的值，并证明在上单调递增；
(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，证明见解析，(2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围.
(1)解：因为函数是定义域为的奇函数，
则，解得，此时，
对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，合乎题意，
任取、且，则，
所以，，则，
所以，函数在上单调递增.
(2)解：由（1）可知，函数在上为增函数，
对于任意的、，都有，则，
，
因为，则.
当时，则有，解得；
当时，则有，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
19．（2022·上海长宁·二模）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有，则称函数具有性质．
(1)若函数具有性质，求的值
(2)设，若，求证：存在常数，使得具有性质
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数在上存在零点．
【答案】(1)，(2)证明见解析，(3)证明见解析
【分析】（1）对任意，都有，代入和即可得出答案；（2）设，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为，然后令得，，分情况利用零点存在性定理证得结论.
(1)函数具有性质，
所以对任意，都有，
令，得，
令，得，
所以．
(2)证明：函数具有性质的充要条件为
存在，使得，即，
设，
因为，，
所以在区间上函数存在零点，
取，则，
得函数具有性质．
(3)设，因为，
所以，
令得，，
①若，则函数存在零点
若，当时，，
所以此时函数在区间上存在零点
②因为
所以
若，当时，，
所以此时函数在区间上存在零点．
综上，函数在上存在零点．
20．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，.
(1)若，，经甲变化得到，求方程的解；
(2)若，经乙变化得到，求不等式的解集；
(3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增.
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【分析】（1）由题设可得，求解即可.
（2）由题设有，讨论、分别求解即可.
（3）将题设化为对于任意存在，即可证结论.
(1)由题设，甲变化为，则，
∴，解得.
(2)由题设，，又，
∴，
当，即时，则，恒成立；
当，即时，则，解得：或.
综上，不等式解集为.
(3)由题设，，则，
，则，
∵当成立，在上单调递增，
∴，
∴对于任意总存在成立，
∴在R上单调递增，得证.
【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意存在，判断函数在实数域上单调性.

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