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第05讲 各类基本函数
【考点梳理】
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
2.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
5.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
6.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
7.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
8.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
9、反函数定义
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为
10、关于反函数的结论
（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，
（2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上；
（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；
（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如；
（5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ;
（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；
（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应；
（8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较；
函数 自变量 图像
x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称
y是自变量 和y=f(x)的图像相同
x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称
（9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称
11、求反函数的步骤
（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；
（2）反解：由y=(x)解出；
（3）改写：在中，将x,y互换得到；
（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
【解题方法和技巧】
1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
4.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
【考点剖析】
【考点1】二次函数
一、选择题
1．（2020·上海高三专题练习）若不等式有唯一解,则的取值为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由的图像开口向上，结合不等式有唯一解，等价于的最小值为1，再运算可得解.
【详解】解：因为的图像开口向上，由不等式有唯一解，即的最小值为1，则，解得，即，
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数最值的求法，重点考查了不等式与函数的相互转化，属中档题.
2．（2020·上海高三专题练习）已知函数f(x)=x2 2(a＋2)x＋a2，g(x)= x2＋2(a 2)x a2＋8.设H1(x)=max{f(x)，g(x)}，H2(x)=min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值).记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A B=（ ）
A．a2 2a 16 B．a2＋2a 16
C． 16 D．16
【答案】C
【分析】由时解得值，求出，即得与的表达式，从而计算的值.
【详解】令f(x)=g(x)，即x2 2(a＋2)x＋a2= x2＋2(a 2)x a2＋8，即x2 2ax＋a2 4=0，解得x=a＋2或x=a 2.f(x)与g(x)的图象如图.
由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a 2)，
∴A B=f(a＋2) g(a 2)=(a＋2)2 2(a＋2)2＋a2＋(a 2)2 2(a 2)2＋a2 8= 16.
故选：C.
【点睛】此题考查了新定义下的二次函数的值域问题，解题时应深刻理解题意，求出与的表达式，是解题的关键，利用了数形结合的思想，属于中档题.
3．（2019·上海市进才中学高三期中）函数是区间上是增函数，且函数在区间上又是减函数，那么区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，求f（x）的增区间，再求yx﹣1的减函数，从而求得结果．
【详解】f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
yx﹣1，
y′，解得[，0）(0，]；
故yx﹣1在[，0）及(0，]上是减函数，
故区间I为[1，]；
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的性质应用，属于基础题．
二、填空题
4．（2020·上海市七宝中学高三期中）设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据单调性可得满足的不等式，从而可求实数的取值范围.
【详解】因为在上是减函数，故，所以
故答案为：.
5．（2020·上海崇明区·高三月考）函数的图象总在轴上方，则的取值范围是________
【答案】
【分析】由二次函数的图像和性质列不等式求解即可.
【详解】解：因为函数的图像总在轴上方，
，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，是基础题.
6．（2020·上海高三专题练习）设正实数,,满足,则当取得最大值时,的最大值为________.
【答案】
【分析】因为,可得,可得,当取得最大值时,可得,根据均值不等式,即可求得答案.
【详解】
可得
,
根据均值不等式得,
当且仅当,即时取得最大值,
此时,
,
当时取得最大值.
的最大值为:.
故答案为:.
【点睛】本题考查不等式求最值,解题关键是灵活使用均值不等式和二次函数基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
7．（2020·上海高三专题练习）设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据的解析式及题干条件，整理可得在上恒成立，利用二次函数的性质可求得的最小值为，则只需求即可，化简整理，即可得答案.
【详解】由题意得在上恒成立，
整理得在上恒成立，
令，则，
则，
因为，则的最小值为，
所以，整理可得，
所以，即或，
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，恒成立问题，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
三、解答题
8．（2020·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）已知是二次函数，不等式的解集是（0，4），且在区间上的最大值是10.
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）当m=0时，；当m>0时，；当时，；当时，；当时，.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，可得二次函数对称轴，两个零点为，开口向上，且，设，代入即可求解.
（2）将代入，解分式不等式，将分式不等式转化为一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】（1）不等式的解集是（0，4），且在区间上的最大值是10.
可得二次函数对称轴，开口向上，两个零点为，且，
设，所以，解得.
所以.
（2）
，
当m=0时，解得，；
当m>0时，解得或，；
当时，无解，；
当时，解得，；
当时，解得，；
综上所述，当m=0时，；当m>0时，；
当时，；当时，；当时，.
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、解含参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及基本运算求解能力，属于中档题.
9．（2017·上海青浦区·高三一模）已知函数
（1）当时，解关于的不等式
（2）对于给定的正数,有一个最大的正数,使得在整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式．
（3）函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】（1）解两个一元二次不等式，然后求交集；
（2）在上递减，在上递增，，，因此由和分类讨论．
（3）由，因此可分和分类讨论，结合二次函数性质可得．
【详解】（1）不等式为，即，∴，∴或，
∴原不等式解集为；
（2），即，，
易知在上递减，在上递增，，，
当，即时，且，，解得，
当时，，因此，且，，解得，
∴．
（3）由于，由题意或，这时，，
若，则，∴，；
若，即，∴，，，
综上或．
【点睛】本题考查二次函数的单调性与最值，解题时必须进行分类讨论，难度较大．
10．（2020·浦东新区·上海师大附中高三期中）已知函数.
（1）当，时，若存在，，使得，求实数c的取值范围；
（2）若二次函数对一切恒有成立，且，求)的值；
（3）是否存在一个二次函数，使得对任意正整数k，当时，都有成立，请给出结论，并加以证明.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，；证明见解析.
【分析】（1）当，时，，由题意可得关于的不等式，解得即可，
（2）利用二次函数求出两个函数值相等时，的值，利用函数的对称性设出函数的解析式，求出函数然后求解函数值；
（3）先假设存在这样的二次函数，设出二次函数的解析式，根据所给的三对数值，写出关于，，的方程组，利用待定系数法得到结果，后面进行证明．
【详解】解：（1）当，时，
由题意可知，在，上有两个不等实根，或在，上有两个不等实根，
则或，解得或
即实数的取值范围是或．
（2）二次函数对一切恒有成立，
可得，解得，（1），
函数的对称轴为，设函数，
由（1），（5），可得，，
解得，，，
．
（3）存在符合条件的二次函数．
设，则当，2，3时有：
（5）①；②；③．
联立①、②、③，解得，，．于是，．
下面证明二次函数符合条件．
因为，同理：；
，
所求的二次函数符合条件．
【点睛】本题考查函数与方程的应用，二次函数的对称性，函数的解析式的求法，恒成立条件的应用，考查利用待定系数法求函数的解析式，注意在解题过程中所给的数据虽然大，但是规律性很强，注意应用．
11．（2019·徐汇区·上海中学高三开学考试）设函数.
（1）讨论函数在内的单调性；
（2）记，求函数在上的最大值；
（3）在（2）中，取，求满足时的最大值.
【答案】（1）①当，时，单调递增；②当，时，单调递减；③当时， 时，单调递减，时，单调递增；（2）；（3）1
【分析】（1）根据复合函数单调性关系分类讨论即可得到单调性；
（2）根据绝对值三角不等式，即可得解；
（3）根据，即可求得最大值.
【详解】（1）由题在单调递增，
①当，时，在单调递增，，
所以在内单调递增；
②当，时，在单调递减，，
所以在内单调递减；
③当时，在单调递减，在单调递增，所以在 时，单调递减，时，单调递增；
综上所述：①当，时，单调递增；②当，时，单调递减；③当时， 时，单调递减，时，单调递增；
（2）由题：.
，
当等号成立；或当等号成立
所以其最大值；
（3）在（2）中，取，，即，
所以，当时取得等号.
所以的最大值为1.
【点睛】此题考查求复合函数的单调性，涉及分类讨论二次函数区间定轴动的类型，涉及绝对值三角不等式求最值，根据不等式求最值需要注意考虑等号成立的条件.
【考点2】幂函数
一、单选题
1．（2022·上海市光明中学模拟预测）下列函数定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数、对数函数、幂函数、正切函数的定义域逐一判断即可得解.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，
对于B，函数的定义域为，
对于C，函数的定义域为，
对于D，函数的定义域为.
故选：C.
2．（2022·上海·高三专题练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域和幂函数的性质可判断出结果．
【详解】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，
故选：A．
3．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，为个不同的幂函数，有下列命题：
① 函数 必过定点；
② 函数可能过点；
③ 若 ，则函数为偶函数；
④ 对于任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、使得在上为增函数.其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据题目中的条件和幂函数的图像与性质，对四个命题分别进行判断，从而得到答案.
【详解】命题①，因为 ，为个不同的幂函数，
且幂函数都经过点，
所以可得函数的图像一定过点，所以正确;
命题②，幂函数，若定义域中可取负数时，则幂函数图像一定过或者
，为个不同的幂函数，
若这个不同的幂函数都过，则函数的图像过，
若这个不同的幂函数有一个不过，则这个幂函数必过，则函数的图像过，
所以的图像不可能过，所以错误；
命题③若，若这个数中出现分子为奇数，分母为偶数的分数，则函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不为偶函数，所以错误.
命题④因为任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、，
则当这个数中出现时，
，此时为常数函数，不是增函数，所以错误.
故选A.
【点睛】本题考查幂函数的图像特点，幂函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
4．（2022·上海·高三专题练习）若，则下列各式中恒正的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】选项,如果，则，所以该选项错误；
选项因为是上的增函数，所以该选项正确；
选项，因为函数是减函数，所以该选项错误；
选项，有可能小于零，所以该选项错误.
【详解】选项,中，如果，则，所以该选项错误；
选项因为是上的增函数，，所以所以，所以该选项正确；
选项，因为函数是减函数，，所以，所以，所以该选项错误；
选项，有可能小于零，如：，所以该选项错误.
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是灵活运用函数的性质，判断选项的真假，要联想到函数的性质，利用性质判断就比较简洁.
二、填空题
5．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______.
【答案】64
【分析】首先根据对数函数的性质得到，从而得到，再计算即可.
【详解】对于函数，令，求得，，
可得它的的图象恒过定点
点A在幂函数 的图象上，，，，
则
故答案为：
6．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义及所过的点求出，再根据对数型复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得，
又其图象过点，
所以，所以，
则，
则，解得或，
令，
则函数在上递增，在上递减，
又因函数为减函数，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.
7．（2022·上海·高三专题练习）幂函数在区间上是减函数，则__________.
【答案】0
【分析】由幂函数在上的单调性，可得幂指数正负的不等式，求出m的范围即可得解.
【详解】因幂函数在区间上是减函数，则，
解得，而，则0.
故答案为：0
8．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【分析】判断单调递增，讨论或，根据分段函数的值域可得且，解不等式即可求解.
【详解】由函数单调递增，
①当时，若，有，
而，此时函数的值域不是；
②当时，若，有，而，
若函数的值域为，必有，可得．
则实数的取值范围为．
故答案为：
9．（2021·上海南汇中学高三期中）已知是奇函数，定义域为，当时，，当函数有3个零点时，则实数t的取值范围是___________．
【答案】
【分析】首先通过的单调性作出大致图像，然后利用平移变换和对称变换以及奇函数的性质作出的图像，再将数的零点个数转化为图像与的交点个数即可求解.
【详解】不妨令，由，易知在上单调递减，
当时，，；当时，，，
故在上的大致图像如下：
由函数平移变换和对称变换在上的大致图像如下：
又因为为奇函数，故在上的图像如下：
因为有3个零点等价于的图像与有三个不同的交点，
所以或，即实数t的取值范围为.
故答案为：.
10．（2021·上海虹口·一模）已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
【答案】-1
【分析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.
【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.
故答案为：-1.
11．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）设函数，若，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据函数表达式分，两种情况讨论，取并集即得解
【详解】①当时，可得，即，所以，得；
②当时，，可得．
综上：或
故答案为：．
【考点3】指数函数
一、单选题
1．（2020·上海南汇中学高三期中）已知点列均在函数图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得出的解析式，讨论和时，满足的条件，从而求出的取值范围.
【详解】由题意得，点满足，
由中点坐标公式，可得的中点为：，
即，
当时，以为边长能构成一个三角形，
，
只需，即，
即有，解得；
同理，解得，
综上，的取值范围是或，
故选：.
【点睛】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题.
2．（2022·上海·高三专题练习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由，可得，由图像可知函数是减函数，则，从而可求出的范围，由可求出的取值范围
【详解】由，可得，
因为由图像可知函数是减函数，所以，所以，
因为，
所以，所以，
故选：A
3．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由指数函数单调性可得，探讨与的关系，结合充分必要条件的定义即可判断作答.
【详解】因函数在R上单调递增，则由得，即，
当时，不一定有，如：，不成立，
当时，也不一定有，如，即，不成立，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
4．（2021·上海市七宝中学高三期中）若正实数，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数与指数函数的性质先得出的大小与范围，再确定各选项的对错．
【详解】因为，即，
则，，
则，，则，所以，，，A，B，C项错误；，，，D项正确.
故选：D．
二、填空题
5．（2022·上海·高三专题练习）化简：_______________.
【答案】
【解析】本题根据根式运算与分数指数幂的运算直接计算即可.
【详解】解：，
故答案为：.
【点睛】本题考查根式的运算与分数指数幂的运算，是基础题.
6．（2021·上海·模拟预测）方程的解集为________
【答案】
【分析】利用对数运算法则以及指数运算法则求解即可.
【详解】由题意知，，即，
所以，有，
即，解得或，
当时，有，得或(舍去)，
解得；
当时，有，即，得或(舍去)
解得，
所以方程的解集为：
故答案为：##
7．（2022·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．
【答案】1
【分析】根据题意计算，进而根据求解即可
【详解】，
而，则；
故答案为：1
8．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则___________．
【答案】
【分析】通过计算可得．
【详解】因为是奇函数，所以，
即，所以．
故答案为：．
9．（2022·上海·高三阶段练习）已知函数（且，常数）的图像过点，其反函数的图像过点，若将的图像向左平移3个单位，向上平移2个单位，就得到函数的图像，则的值为____________
【答案】4
【分析】根据已知条件，、可以求解出，先求解出的解析式，然后在求解出其反函数的解析式，然后根据题意进行向左、向上平移变换，得到的解析式，然后求解出即可.
【详解】因为函数过点，其反函数的图像过点，且，所以，解得，所以，
则，
函数图像向左平移3个单位，即，
向上平移2个单位，即，
所以，
所以.
故答案为：4.
10．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）已知过定点P，且P点在直线上，则的最小值=______________．
【答案】
【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解.
【详解】经过定点，代入直线得，
，
当且仅当时等号成立
故答案为：
11．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知函数，若对于图像上的任意一点，在的图像上总存在一点，满足，且，则实数___________.
【答案】
【分析】设点，，点，分类讨论和两种情况，结合已知条件可以得到，的关系式，分析化简知，代入化简即可得解．
【详解】设点，，点，
当，，由，
知，即，即，
又，知，即，
将式代入，得，
由于，，有，
因此有，即，即，
由于，，∴式可知不满足条件，则有，
代入式得，
∴，故．
当时，点，根据指数函数与对数函数的性质知，此时，显然满足条件；
故答案为：．
12．（2022·上海静安·模拟预测）已知集合，，则_____________．
【答案】
【分析】分别算出数集与，然后求交集即可.
【详解】因为在时单调递增，则当时，取得最小值为1，
即；
对于，，，即；
.
故答案为：.
13．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知集合，，则___________.
【答案】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，所以，所以，
.
故答案为：.
14．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据第一段函数的单调性求出函数值的取值范围，再根据第二段函数的单调性结合函数的值域进而确定m的取值范围．
【详解】当时，函数为增函数，此时
因为，当时，
当时，关于对称，且在单调递增，在单调递减，
当时，
当时，
由得，则或，
由得，则（舍）或，
因为的值域为，所以m的取值范围是
故答案为：
15．（2020·上海市中国中学高三期中）已知函数，则不等式的解集是________
【答案】
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，然后列出不等式求解即可.
【详解】,,
是偶函数，图像关于轴对称，
时，在上单调递增，
在上单调递减，
又，，
，，故不等式的解集是.
故答案为：
16．（2022·上海·高三专题练习）存在实数使不等式 在 成立，则的范围为__________．
【答案】
【分析】利用函数的单调性求出它在上的最大值即可.
【详解】函数在R上单调递减，当时，，
因存在实数使不等式 在 成立，则.
所以的范围为.
故答案为：
17．（2022·上海·模拟预测）集合，则_________．
【答案】
【分析】先求出集合A,B，进而根据集合的交集和补集运算即可求得答案.
【详解】由题意，.
故答案为：.
18．（2020·上海市松江二中高三阶段练习）已知，当时，的值恒大于零，求实数的取值范围__________.
【答案】
【分析】根据的值恒大于零，可得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】∵，当时，的值恒大于零
∴
又∵，当且仅当，即时，等号成立
∴，即.
故答案为：.
19．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的最小值为，则实数________
【答案】
【解析】根据已知函数解析式，分别讨论，两种情况，根据函数单调性， 结合函数最值列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为，
当时，单调递增，则；
当时，是开口向上的二次函数，对称轴为，
若，则在上单调递减，所以，无最小值，不满足题意；
若，则，解得或（舍）.
综上，.
故答案为：
20．（2021·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与满足关系（常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前___________分钟进行消毒工作.
【答案】
【分析】当时，求出关于的函数解析式，然后解不等式，即可得解.
【详解】由于函数的图象过点，则，可得，
故当时，，由，可得，解得，此时.
故地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.
故答案为：.
21．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【分析】作出符合题意的图象,利用数形结合思想,先判断函数的取值范围,再根据和至少有一个成立,列出实数需要满足的不等式即可.
【详解】由题意作图如下：
由题意可得，对于任意,和至少有一个小0.
因为，所以当时,,当时,
所以对于抛物线的图象开口必向下，且与轴交点的横坐标小于，所以 ，解得.
故答案为:
【点睛】本题主要考查利用数形结合思想解决指数型函数与二次函数相结合的问题及对函数图象的判断;其中作出符合题意的图象是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.
三、解答题
22．（2022·上海·模拟预测）已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）.
【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又当时，且，函数是非奇非偶函数；
（2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数u的最大值．
【详解】解：（1）当时，
即；故此时函数是奇函数；
因当时，，故
，且
于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；
（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；
由不等式，得，
令因，故
由于函数在单调递增，所以；
因此，当不等式在上恒成立时，
【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
【考点4】对数函数
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知，则是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】B
【解析】由对数函数的定义域，可得与的关系，进而可得充分性和必要性.
【详解】因为，，，
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B
2．（2022·上海交大附中高三阶段练习）“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】分析的充要条件再判断即可
【详解】则当时，；当时，，故成立；又当时成立，无意义，故“”是“”的充分非必要条件
故选：A
二、填空题
3．（2022·上海静安·模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
【答案】2.5
【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，
再根据题意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解.
【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则
由题意可知，，
，
所以
倍.
所以最大信息传递率C会提升到原来的倍.
故答案为：2.5
4．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）不等式的解集为___________．
【答案】
【分析】利用对数运算性质和指数函数单调性即可求解.
【详解】由题意可知，，
又由指数函数单调性可知，，
故不等式的解集为.
故答案为：.
5．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）关于x的方程的解为______．
【答案】
【分析】先根据指数与对数的关系得到，然后利用对数的运算性质和换底公式化简即得.
【详解】∵，∴,
故答案为：
6．（2022·上海松江·二模）若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
【答案】2
【分析】根据指数函数与对数函数的关系求出的反函数，再代入计算可得；
【详解】解：因为函数的反函数为，，
所以，即，所以或（舍去）；
故答案为：
7．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知集合，，则____________
【答案】
【分析】先求出集合A、B，再求.
【详解】集合，，
所以.
故答案为：
8．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为_____．
【答案】
【分析】根据对数型函数的过定点，代入方程中可得，根据基本不等式即可求解.
【详解】过定点，所以,所以
故，当且仅当 时等号成立.
故答案为：
9．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）设，若对任意，都存在唯一实数，满足，则正数的最小值为____________
【答案】
【分析】由已知函数解析式得到函数值域，结合存在唯一的，满足，可得，即，进一步转化为，，求解不等式得到的范围，进一步得到的范围得答案．
【详解】解：函数的值域为．
的值域为；的值域为．
的值域为上有两个解，
要想在上只有唯一的满足，
必有．
，即，解得：．
当时，与存在一一对应的关系．
问题转化为，，且．
，解得：或者（舍去）．
，解得．
故答案为：．
10．（2022·上海静安·二模）解指数方程：__________.
【答案】或
【分析】直接对方程两边取以3为底的对数，讨论和，解出方程即可.
【详解】由得，即，当即时，显然成立；
当时，，解得；故方程的解为：或.
故答案为：或.
三、解答题
11．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.经过研究发现，设茶水温度从85℃开始，经过分钟后的温度为℃，且满足
(1)求常数的值；
(2)经过测试知，求在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到1分钟）.
【答案】(1)；(2)7分钟.
【分析】(1)根据给定条件，将代入即可计算得解.
(2)由(1)的结论，将代入并借助对数计算即可得解.
(1)依题意，当时，，于是得，解得，
所以常数的值是.
(2)由(1)知，当时，，
当时，，即，两边取对数得，
，因此，(分钟)
所以刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感.
12．（2021·上海市建平中学高三期中）已知函数，，定义函数.
(1)设函数，，求函数的值域；
(2)设函数，，当时，恒有，求实常数t的取值范围；
(3)设函数，，k为正常数，若关于x的方程（b为实常数）恰有三个不同的解，求k的取值范围及这三个解的和（用k表示）.
【答案】(1)，(2)
(3)；这三个解的和为0或.
【分析】（1）由和在上单调递减，在上单调递增，可得出 的解析式和值域.
（2）由已知得在上恒成立，根据绝对值不等式的求解和分离参数得在上恒成立，令，，根据基本不等式和函数的单调性求得所令函数的最值，可求得常数t的取值范围；
（3）由函数的对称性和单调性，求得的最值，由函数的对称性和单调性，求得的最值，再由时，解得，令，解得，分析当时，的解析式和单调性得出方程（b为实常数）最多有两个解，再当时，求得函数的解析式和单调性，作出图象，根据数形结合的思想，以及函数的对称性可求得三个解的和.
(1)解：因为，，所以，
而在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，， ，
当时，， ，
所以函数的值域为.
(2)解：因为当时，恒有，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，，
又，当且仅当，即取等号，所以，
因为在上单调递减，所以，所以，故实常数t的取值范围为；
(3)解：函数的图象关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，所以；
的图象关于对称，在上单调递增，在上单调递减，所以；
因为k为正常数，当时，解得，此时，解得，
当，存在两点，使得，，
所以当或时，，；当时，，，
所以当时，在上单调递增，在上单调递减，这时方程（b为实常数）最多有两个解，不满足题意，
若关于x的方程（b为实常数）恰有三个不同的解，则，
当时，时，，；当时，，，作出图象如下图所示，
所以关于x的方程（b为实常数）恰有三个不同的解，则或，
当时，这三个解的和为，
当时，这三个解的和为.
故，且这三个解的和为0或.
13．（2022·上海·高三专题练习）已知函数
（1）设是的反函数，当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）或；（3）.
【解析】（1）利用反函数的性质，得到，然后，利用指数函数的单调性求解即可；
（2）利用对数函数的性质，把问题转化为的解集中恰好有一个元素，然后，对进行分类讨论即可；
（3）利用单调性的定义法，得出在上单调递减，
进而可得，通过参变分离，得到
，设，对进行分类讨论，并利用均值不等式进行求解即可
【详解】（1）因为，所以，所以，
所以，
当时，，故解集为；
（2）方程即，
即的解集中恰好有一个元素，
当时，，符合题意，
当时，，解得，
综上所述，或；
（3）当时，设，则，，
所以在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值为，
所以，
所以
设，则，，
当时，，
当时，，
因为在上递减，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用反函数定义，得到，进而用单调性解不等式；（2）解题关键在于利用二次函数性质进行求解；（3）解题关键在于得出的单调性后，分类讨论，并利用均值不等式求解；本题难度属于中档题
【考点5】反函数
一、填空题
1．（2022·上海闵行·二模）已知的反函数的零点为2，则实数的值为___________；
【答案】4
【分析】根据反函数之间的关系求解即可.
【详解】的零点为2，即的图象过点（2，0），
所以的图象过点（0，2），
即，解得，
故答案为：4
2．（2022·上海浦东新·二模）若函数的反函数图像经过点，则________
【答案】4
【分析】利用函数与其反函数图象关于对称即可求解.
【详解】因为函数的反函数图像经过点，
由函数与其反函数关于对称可知，设点关于对称的点为，
即，解得，
则函数的图象经过点，即，解得，
故答案为：4.
3．（2022·上海徐汇·三模）函数的反函数为，则___________.
【答案】
【分析】设，利用反函数的性质求出的值，即可得解.
【详解】设，则点在函数的图象上，
所以，，解得，因此，.
故答案为：.
4．（2022·上海·模拟预测）已知函数，在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A点，它的反函数的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点．已知四边形的面积是7，则k的值为_________．
【答案】
【分析】根据题意可得，可求得，，，结合题意利用面积求解．
【详解】∵，则，，则
联立方程，解得，即
四边形的面积为，解得
故答案为：．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海浦东新·二模）已知，，，实数满足，设，，现有如下两个结论：
①对于任意的实数，存在实数，使得；
②存在实数，对于任意的，都有；
则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
【答案】C
【分析】对①，根据，的几何意义，判断得出与一定有两个交点分析即可
对②，通过化简，将题意转换为：存在实数，使得在上为减函数，再分析出当时函数有增区间，推出矛盾即可
【详解】对①，的几何意义为与两点间的斜率，同理的几何意义为与两点间的斜率.
数形结合可得，当时，存在；当时，存在，使得，即成立.
即对于任意的实数，存在实数，使得，故①正确；
对②，若存在实数，对于任意的，都有，即，即，即.即存在实数，对于任意的，恒成立.设，则，即为减函数.故原题意可转化为：存在实数，使得在上为减函数.因为当时，，因为对称轴为，故当时一定为增函数，故不存在实数，使得在上为减函数.故②错误
故选：C
2．（2021·上海嘉定·二模）已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设函数，判断其单调性与奇偶性；从而得出单调性与对称性，将所求不等式化为，根据函数单调性，即可求出结果.
【详解】设函数，则函数是定义域为，
根据指数函数与幂函数的单调性可得，是增函数，是减函数，是增函数，
所以在上单调递增；
又，所以是奇函数，其图象关于原点对称；
又，
即的图象可由向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，
所以是定义域为的增函数，
且其图像关于点对称，即有，即 ．
由得 ，
即，
即，所以 ，解得 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数的单调性与对称性，进而即可求解不等式.
二、填空题
3．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合，，则_______.
【答案】.
【分析】由二次函数和指数函数值域可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】，；，；.
故答案为：.
4．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为_________．
【答案】
【分析】求出直线l的普通方程，设出点P坐标，再利用点到直线距离列式，借助二次函数求解作答.
【详解】依题意，直线l的普通方程为：，设点，
于是得点P到直线l的距离，当且仅当时取等号，
所以当时，点P到直线l的距离的最小值为.
故答案为：
5．（2022·上海闵行·二模）不等式的解集为___________；
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性解不等式，求出解集.
【详解】即，解得：
故答案为：
6．（2022·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据，可得，再根据结合指数运算可得，利用指数函数单调性求，运算整理．
【详解】
∵，即，则
又∵，即，则
∵，则，∴，则
∴
故答案为：．
7．（2022·上海青浦·二模）已知函数的反函数为，则_________．
【答案】
【分析】根据互为反函数的定义域和值域的关系，即可求解.
【详解】令,所以
故答案为:
8．（2022·上海黄浦·二模）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性与定义域判定即可
【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故
故答案为：
9．（2022·上海徐汇·三模）已知集合，，则___________.
【答案】
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果.
【详解】因为，因此，.
故答案为：.
三、解答题
10．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ( 为实常数).
(1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式;
(2)设 ， 若函数 在区间上是增函数， 求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）就、、、、分类讨论后结合函数的单调性可求函数的最小值.
（2）利用单调性的定义可求参数的取值范围.
(1)若，则，该函数在上为减函数，故，
若，则的图象为开口向下的抛物线，且其对称轴为，
故在上为减函数，故，
若，则，故在上为减函数，
故，
若，则在上为减函数，在为增函数，
故，
若，则，故在上为增函数，
故，
综上，.
(2)，
任意的，
，
因为 在区间上是增函数，故对任意恒成立，
而，故对任意.
若即，
因为，故即，故，
若即，故，符合；
若即，故即，故，
综上，.
11．（2022·上海青浦·二模）设函数，定义集合，集合．
(1)若，写出相应的集合和；
(2)若集合，求出所有满足条件的；
(3)若集合只含有一个元素，求证：．
【答案】(1)，，(2)，(3)证明见解析
【分析】（1）由、解得，可得，；
（2）由得或，然后由，，方程只有一个实数解0，得， 转化为有唯一实数解0，可得答案；
（3）由条件，有唯一解，得有解，分有唯一解、有两个解，结合的图像和实数解的个数可得答案.
(1)，，由解得或，由解得，所以，．
(2)由
，
得或，
，，而方程只有一个实数解0，所以，
即只需有唯一实数解0，所以．
(3)由条件，有唯一解，所以有解，
①若有唯一解，则，且有唯一解，结合图像可知，所以，所以．②若有两个解，
则，且两个方程，总共只有一个解，结合图像可知有唯一解，所以，，所以，且的对称轴，所以，所以．
综上，．
【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.
12．（2022·上海黄浦·模拟预测）一质点A从原点出发沿x轴的正向以定速度v前进，质点B从与A同时出发，且与质点A以大小相同的速度向某方向前进，A与B之间的最短距离为1.
(1)求B的前进方向与x轴正向间的夹角；
(2)当A B间距离最短时，求A B的坐标.
【答案】(1)，(2)，
【分析】（1）设出发后时，位移为，则的位移，利用距离公式求得，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）由（1）求得，即可求得的坐标.
(1)解：设出发后时，位移为，则的位移，
则
若时，即时，可得，不符合题意
则，所以当，
此时，解得，
又因为，所以.
(2)解：由（1）知，可得，
所以位移的坐标为，则的位移的坐标为.第05讲 各类基本函数
【考点梳理】
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点 坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数
2.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
3.分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
5.对数的概念
一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.
6.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
7.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
8.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数 性质　　　 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
9、反函数定义
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x),这样得到的x=。在习惯上，自变量用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为
10、关于反函数的结论
（1）关于反函数的定义域与值域分别是其原函数的值域和定义域，
（2）互为反函数的两个函数y=f(x)与图像关于直线y=x对称；若点M（a，b）在y=f(x)的图像上，则点(b,a)必在图像上；
（3）一般地，偶函数不存在反函数(y=c,除外，其中c为常数)，奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也是奇函数；
（4）原函数与其反函数的单调性相同，但单调区间不一定相同，单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定是单调的，比如；
（5）y=f(x)与互为反函数，设f(x)定义域为D，值域为A，则有f[]=x, ;
（6）如果函数y=f(x)的图像关于直线y=x 对称，那么它存在反函数，并且其反函数就是它本身；
（7）反函数存在条件：函数的定义域与值域之间的对应关系一一对应；
（8）x=f(y), ,与函数y=f(x)的比较；
函数 自变量 图像
x=f(y) y是自变量 与y=f(x)的图像关于y=x 对称
y是自变量 和y=f(x)的图像相同
x是自变量 和y=f(x)的图像关于直线y=x 对称
（9）y=f(x)与图像若有公共点，并非一定在y=x上，例如：f(x)=与有两个公共点(1/2,1/4)与(1/4,1/2)关于y=x对称
11、求反函数的步骤
（1）求反函数y=(x)的值域(若值域显然，解题时常略去不写)；
（2）反解：由y=(x)解出；
（3）改写：在中，将x,y互换得到；
（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。
【解题方法和技巧】
1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征
α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.
2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.
3.指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论.
4.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
5.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
【考点剖析】
【考点1】二次函数
一、选择题
1．（2020·上海高三专题练习）若不等式有唯一解,则的取值为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
2．（2020·上海高三专题练习）已知函数f(x)=x2 2(a＋2)x＋a2，g(x)= x2＋2(a 2)x a2＋8.设H1(x)=max{f(x)，g(x)}，H2(x)=min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值).记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A B=（ ）
A．a2 2a 16 B．a2＋2a 16
C． 16 D．16
3．（2019·上海市进才中学高三期中）函数是区间上是增函数，且函数在区间上又是减函数，那么区间可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2020·上海市七宝中学高三期中）设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.
5．（2020·上海崇明区·高三月考）函数的图象总在轴上方，则的取值范围是________
6．（2020·上海高三专题练习）设正实数,,满足,则当取得最大值时,的最大值为________.
7．（2020·上海高三专题练习）设函数，对任意恒成立，则实数的取值范围是________.
三、解答题
8．（2020·华东师范大学附属天山学校高三开学考试）已知是二次函数，不等式的解集是（0，4），且在区间上的最大值是10.
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式.
9．（2017·上海青浦区·高三一模）已知函数
（1）当时，解关于的不等式
（2）对于给定的正数,有一个最大的正数,使得在整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式．
（3）函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．
10．（2020·浦东新区·上海师大附中高三期中）已知函数.
（1）当，时，若存在，，使得，求实数c的取值范围；
（2）若二次函数对一切恒有成立，且，求)的值；
（3）是否存在一个二次函数，使得对任意正整数k，当时，都有成立，请给出结论，并加以证明.
11．（2019·徐汇区·上海中学高三开学考试）设函数.
（1）讨论函数在内的单调性；
（2）记，求函数在上的最大值；
（3）在（2）中，取，求满足时的最大值.
【考点2】幂函数
一、单选题
1．（2022·上海市光明中学模拟预测）下列函数定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海·高三专题练习）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，为个不同的幂函数，有下列命题：
① 函数 必过定点；
② 函数可能过点；
③ 若 ，则函数为偶函数；
④ 对于任意的一组数、、…、，一定存在各不相同的个数、、…、使得在上为增函数.其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022·上海·高三专题练习）若，则下列各式中恒正的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2021·上海市实验学校高三阶段练习）函数的图象恒过定点A，且点A在幂函数的图象上，则______.
6．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
7．（2022·上海·高三专题练习）幂函数在区间上是减函数，则__________.
8．（2022·上海·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
9．（2021·上海南汇中学高三期中）已知是奇函数，定义域为，当时，，当函数有3个零点时，则实数t的取值范围是___________．
10．（2021·上海虹口·一模）已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
11．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）设函数，若，则的取值范围是________．
【考点3】指数函数
一、单选题
1．（2020·上海南汇中学高三期中）已知点列均在函数图像上，点列满足，若数列中任意连续三项能构成三角形的三边，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海·高三专题练习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021·上海市七宝中学高三期中）若正实数，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
5．（2022·上海·高三专题练习）化简：_______________.
6．（2021·上海·模拟预测）方程的解集为________
7．（2022·上海交大附中模拟预测）设实数且，已知函数，则__________．
8．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则___________．
9．（2022·上海·高三阶段练习）已知函数（且，常数）的图像过点，其反函数的图像过点，若将的图像向左平移3个单位，向上平移2个单位，就得到函数的图像，则的值为____________
10．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三阶段练习）已知过定点P，且P点在直线上，则的最小值=______________．
11．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知函数，若对于图像上的任意一点，在的图像上总存在一点，满足，且，则实数___________.
12．（2022·上海静安·模拟预测）已知集合，，则_____________．
13．（2021·上海市大同中学高三阶段练习）已知集合，，则___________.
14．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的值域是，当时，实数m的取值范围是_________．
15．（2020·上海市中国中学高三期中）已知函数，则不等式的解集是________
16．（2022·上海·高三专题练习）存在实数使不等式 在 成立，则的范围为__________．
17．（2022·上海·模拟预测）集合，则_________．
18．（2020·上海市松江二中高三阶段练习）已知，当时，的值恒大于零，求实数的取值范围__________.
19．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的最小值为，则实数________
20．（2021·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与满足关系（常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前___________分钟进行消毒工作.
21．（2021·上海市控江中学高三阶段练习）已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
22．（2022·上海·模拟预测）已知函数为实常数.
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
【考点4】对数函数
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知，则是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
2．（2022·上海交大附中高三阶段练习）“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要
二、填空题
3．（2022·上海静安·模拟预测）在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的_________倍．（结果保留一位小数）
4．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）不等式的解集为___________．
5．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）关于x的方程的解为______．
6．（2022·上海松江·二模）若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
7．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知集合，，则____________
8．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为_____．
9．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）设，若对任意，都存在唯一实数，满足，则正数的最小值为____________
10．（2022·上海静安·二模）解指数方程：__________.
三、解答题
11．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.经过研究发现，设茶水温度从85℃开始，经过分钟后的温度为℃，且满足
(1)求常数的值；
(2)经过测试知，求在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感 （结果精确到1分钟）.
12．（2021·上海市建平中学高三期中）已知函数，，定义函数.
(1)设函数，，求函数的值域；
(2)设函数，，当时，恒有，求实常数t的取值范围；
(3)设函数，，k为正常数，若关于x的方程（b为实常数）恰有三个不同的解，求k的取值范围及这三个解的和（用k表示）.
13．（2022·上海·高三专题练习）已知函数
（1）设是的反函数，当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.
【考点5】反函数
一、填空题
1．（2022·上海闵行·二模）已知的反函数的零点为2，则实数的值为___________；
2．（2022·上海浦东新·二模）若函数的反函数图像经过点，则________
3．（2022·上海徐汇·三模）函数的反函数为，则___________.
4．（2022·上海·模拟预测）已知函数，在平面直角坐标系中，函数的图像与x轴交于A点，它的反函数的图像与y轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点．已知四边形的面积是7，则k的值为_________．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海浦东新·二模）已知，，，实数满足，设，，现有如下两个结论：
①对于任意的实数，存在实数，使得；
②存在实数，对于任意的，都有；
则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
2．（2021·上海嘉定·二模）已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知集合，，则_______.
4．（2022·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为_________．
5．（2022·上海闵行·二模）不等式的解集为___________；
6．（2022·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
7．（2022·上海青浦·二模）已知函数的反函数为，则_________．
8．（2022·上海黄浦·二模）已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则____________．
9．（2022·上海徐汇·三模）已知集合，，则___________.
三、解答题
10．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ( 为实常数).
(1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式;
(2)设 ， 若函数 在区间上是增函数， 求实数的取值范围.
11．（2022·上海青浦·二模）设函数，定义集合，集合．
(1)若，写出相应的集合和；
(2)若集合，求出所有满足条件的；
(3)若集合只含有一个元素，求证：．
12．（2022·上海黄浦·模拟预测）一质点A从原点出发沿x轴的正向以定速度v前进，质点B从与A同时出发，且与质点A以大小相同的速度向某方向前进，A与B之间的最短距离为1.
(1)求B的前进方向与x轴正向间的夹角；
(2)当A B间距离最短时，求A B的坐标.

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