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第17讲 计数原理与概率统计
【考点梳理】
两个基本计数原理
1.分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
排列与组合
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列
组合 合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C
二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式 系数最 大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
四、离散型随机变量及其分布列
1.样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.
2.概率与频率
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
(2)概率与频率的关系：概率可以通过概率来“测量”，频率是频率的一个近似.
3.事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等关系 若B A且A B A＝B
并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ P(A∪B)＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
5.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
6.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
7.古典概型的概率公式
P(A)＝.
五、条件概率与事件的独立性、正态分布
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p q
其中0(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
4.条件概率及其性质
条件概率的定义 条件概率公式
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示 P(B|A)＝，其中P(A)>0，A∩B称为事件A与B的交(或积)
5.事件的独立性
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)概率公式
条件 公式
A，B相互独立 P(A∩B)＝P(A)×P(B)
A1，A2，…，An相互独立 P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)
6.全概率公式
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足：
①A1∪A2∪…∪An＝Ω.
②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，Ai＝S，则对任一事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组.
7.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cpqn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
8.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ六、抽样与统计图表
1.获取数据的基本途径
获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.
(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.
(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.
2.总体、样本、样本容量
要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.
3.简单随机抽样
(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
(3)应用范围：总体中的个体数较少.
4.分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
5.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
6.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
7.样本的数字特征
数字特征 定义
众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
平均数 样本数据的算术平均数，即＝
方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中s为标准差
8.百分位数
如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置的值称第p百分位数.
七、统计案例
1.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.
设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程＝x＋的系数为：
称为样本点的中心.
（3）相关系数
①计算相关系数r，r有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；②|r|>r0.05，表明有95%的把握认为变量x与y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义.
3.独立性检验
（1）2×2列联表
B 总计
A n11 n12 n1＋
A n21 n22 n2＋
总计 n＋1 n＋2 n
其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.
(2)χ2统计量
χ2＝.
(3)两个临界值：3.841与6.635
当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.
【解题方法和技巧】
一、两个基本计数原理
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.
2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
3.混合问题一般是先分类再分步.
4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
二、排列组合
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
三、二项式定理
1.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
四、随基变量及其分布列
1.随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.
2.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生.
4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反).
5.古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.
6.确定基本事件个数的方法
列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.
7.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.
8.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
9.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法.
10.全概率公式的理论和实用意义在于：
在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.
11.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k.其中k＝0，1，…，n，q＝1－p.
五、抽样与统计图表，统计案例
1.统计报表有三个显著优点：来源可靠、回收率高、方式灵活.
2.年鉴集辞典、手册、年表、图录、书目、索引、文摘、表谱、统计资料、指南、便览于一身，具有资料权威、反应及时、连续出版、功能齐全的特点.
3.两种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这两种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是.
4.分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样.
5.用样本估计总体是统计的基本思想.
用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.
6.(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质.
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度就越大.
7.频率分布表和频率分布直方图都可直观描述样本数据的分布规律.
8.求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^ ，由于a^ ，b^ 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进行，避免因计算而产生错误.
9.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.
【考点剖析】
【考点1】概率及其性质（共1小题）
1．（2022 宝山区校级模拟）设A，B为随机事件，P为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点2】古典概型及其概率计算公式（共8小题）
2．（2022 黄浦区二模）一个袋子中装有大小与质地均相同的m个红球和n个白球（4≤m＜n），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足m+n≤30的所有有序数对（m，n）为 　 ．
3．（2022 青浦区二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是 　　.（结果用最简分数表示）
4．（2022 杨浦区二模）已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数y＝xa是奇函数且在（0，+∞）上递增的概率为 　　．
5．（2022 虹口区二模）在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为 　　．
6．（2022 闵行区二模）核酸检测是疫情防控的一项重要举措．某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为　 ．
7．（2022 静安区二模）上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次．现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是 　　．
8．（2022 徐汇区二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是　 .（结果用最简分数表示）
9．（2022 浦东新区校级二模）通过手机验证码登录哈罗单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码（a1，a2，a3，a4）满足a1＜a2＜a3＜a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为　　 ．
【考点3】列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共1小题）
10．（2022 杨浦区模拟）三阶矩阵中有9个不同的数aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是　　 （结果用分数表示）
【考点4】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共4小题）
11．（2022 浦东新区二模）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为 　　 ．
12．（2022 长宁区二模）已知随机事件A、B互相独立，且P（A）＝0.7，P（B）＝0.4，则＝　 　．
13．（2022 宝山区二模）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则p＝　　 ．
14．（2022 浦东新区校级二模）一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为　 　．
【考点5】离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
15．（2022 闵行区校级模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“n合1检测法”，即将n个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有20k（k∈N*）人，已知其中有2人感染病毒．
（1）若k＝5，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为X，采取“20合1检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由．
【考点6】分层抽样方法（共3小题）
16．（2022 静安区二模）2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行．共有3个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为2250人，延庆冬奥村的容量约1440人，张家口冬奥村的容量约2610人．为了解各冬奥村服务质量，现共准备了140份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（　　）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
17．（2022 黄浦区二模）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生 　 　名．
18．（2022 闵行区二模）某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则n＝　 　．
【考点7】系统抽样方法（共1小题）
19．（2022 奉贤区模拟）某班有42位同学，学号依次为01、02、…、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是 　 　．
【考点8】频率分布直方图（共2小题）
20．（2022 金山区二模）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（　　）
A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
21．（2022 浦东新区校级二模）电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．
（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；
（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？
【考点9】众数、中位数、平均数（共2小题）
22．（2022 松江区二模）在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给A选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
23．（2022 崇明区二模）已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则实数a的值等于 　　．
【考点10】极差、方差与标准差（共5小题）
24．（2022 浦东新区二模）甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（　　）
A．甲平均产量高，甲产量稳定
B．甲平均产量高，乙产量稳定
C．乙平均产量高，甲产量稳定
D．乙平均产量高，乙产量稳定
25．（2022 徐汇区二模）某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（　　）
A．60 B．70 C．80 D．100
26．（2022 浦东新区校级模拟）从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为　 　．
27．（2022 杨浦区模拟）在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于　 　．
28．（2022 青浦区校级模拟）已知一组数x1，x2，…，xn的方差是4，则2x1﹣1，2x2﹣1，…，2xn﹣1的标准差是　 　．
【考点11】分类加法计数原理（共1小题）
29．（2022 崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1项；
（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 　　种．（用数值表示）
【考点12】排列、组合及简单计数问题（共5小题）
30．（2022 奉贤区模拟）某校高二年级共有6个班级，现有4名交流生要安排到该年级的2个班级，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 　　．
31．（2022 长宁区二模）将编号为1，2，3，4的4个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的2个小球编号不相邻，则共有 　　种不同的放法．
32．（2022 黄浦区校级模拟）2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：
志愿者类型 所需人数 备注
采访者 10 男女比例为1：1
讲述者 5 男、女比例不限
现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有 　 　个．
33．（2022 宝山区校级模拟）受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控．以下为上海某高校某天计划餐食及其单价．每个套餐提供3种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于10元，则可行的搭配方案种类数量为 　　．
种类 荤食① 荤食② 素食① 素食② 素食③
单价（元） 4.00 5.00 1.00 2.50 3.00
34．（2022 浦东新区校级模拟）甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 　　种
【考点13】二项式定理（共6小题）
35．（2022 普陀区二模）在（2x+y）5的展开式中，含x3y2项的系数为 　　 ．
36．（2022 奉贤区二模）在（x+）n的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 　 　．
37．（2022 虹口区二模）若an为（1+x）n的二项展开式中x2项的系数，则＝　　．
38．（2022 徐汇区三模）已知多项式，则a3＝　　．
39．（2022 宝山区校级模拟）已知二项式（x3﹣2）6，在其展开式中二项式系数最大的一项的系数为 　　．
40．（2022 浦东新区校级模拟）二项式（﹣）15的常数项为 　 　（用具体数值表示）．
【真题模拟题专练】
一．选择题（共1小题）
1．（2022 杨浦区二模）上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（　　）
A．总体均值为25℃，中位数为23℃
B．总体均值为25℃，总体方差大于0℃2
C．总体中位数为23℃，众数为25℃
D．总体均值为25℃，总体方差为1℃2
二．填空题（共26小题）
2．（2022 上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　 　．
3．（2022 普陀区二模）从集合{a，b，c}的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N，则使得M∩N＝ 的不同取法的概率为 　 　（结果用最简分数表示）．
4．（2022 松江区二模）从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 　 　．
5．（2022 徐汇区三模）某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员．现采用分层抽样（层内采用不放回随机抽样）从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为 　 　．
6．（2022 上海模拟）在北京冬奥会火炬传递的某次活动中，有编号为1、2、3、4、5的5名火炬手．若从中随机选择2人，则选出的火炬手编号相邻的概率为 　 　．
7．（2022 黄浦区模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为　 　．
8．（2022 长宁区二模）已知四个数1，2，4，a的平均数为4，则这四个数的中位数是 　 　．
9．（2022 宝山区二模）若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差σ2＝　 　．
10．（2022 浦东新区校级模拟）已知数据1，3，5，7，x（0＜x＜9）的平均数与中位数相等，则这组数据的方差为　 　．
11．（2022 黄浦区模拟）已知m∈N*，用非负整数n1、n2表示m，m＝n1+，若Am为其表示方法的数组（n1，n2）的个数，则Am＝　 　．
12．（2022 上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 　 　.（用数字作答）
13．（2022 青浦区校级模拟）如图，由6×6＝36个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB，那么不同的走法共有 　 　种．
14．（2022 徐汇区校级模拟）对于定义域为D的函数f（x），若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）的定义域D＝{1，2，3，4，5}，值域为A＝{6，7，8}，则函数f（x）为“不严格单调增函数”的概率是 　 　．
15．（2022 闵行区校级二模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为 　 　．（用数字作答）
16．（2022 宝山区模拟）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　 　种．
17．（2022 浦东新区校级二模）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：①f（1）＝1；②|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为　 　．
18．（2022 浦东新区校级模拟）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有　 　种不同安排方法．（用数字作答）
19．（2022 上海）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝　 　．
20．（2022 上海）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为 　 　．
21．（2022 金山区二模）（1﹣2x）4的二项展开式中x2项的系数为 　 　．（结果用数字作答）
22．（2022 浦东新区二模）的二项展开式中的常数项为 　 　．
23．（2022 黄浦区校级模拟）已知二项式，则其展开式中x3的系数为 　 　．
24．（2022 黄浦区模拟）已知a＞0，若展开式中x5的系数为，则常数a的值为 　 　．
25．（2022 浦东新区校级二模）求值：＝　 　
26．（2022 浦东新区校级二模）若将函数f（x）＝x6表示成f（x）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于　 　
27．（2022 宝山区模拟）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是　 　．第17讲 计数原理与概率统计
【考点梳理】
两个基本计数原理
1.分类加法计数原理
做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
排列与组合
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 按照一定的顺序排成一列
组合 合成一组
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. (2)C＝＝ ＝(n，m∈N+，且m≤n).特别地C＝1
性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C
二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N+)时，是递增的
当k＞(n∈N+)时，是递减的
二项式 系数最 大值 当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
四、离散型随机变量及其分布列
1.样本点和样本空间
随机试验的每一个可能的结果称为样本点，记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω.
2.概率与频率
(1)概率定义：在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).
(2)概率与频率的关系：概率可以通过概率来“测量”，频率是频率的一个近似.
3.事件的关系与运算
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B A (或A B)
相等关系 若B A且A B A＝B
并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝ P(A∪B)＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
5.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
6.古典概型
具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.
(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.
(2)每一个试验结果出现的可能性相同.
3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
7.古典概型的概率公式
P(A)＝.
五、条件概率与事件的独立性、正态分布
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.
(2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；
③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p q
其中0(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.
4.条件概率及其性质
条件概率的定义 条件概率公式
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示 P(B|A)＝，其中P(A)>0，A∩B称为事件A与B的交(或积)
5.事件的独立性
(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.
(2)概率公式
条件 公式
A，B相互独立 P(A∩B)＝P(A)×P(B)
A1，A2，…，An相互独立 P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)
6.全概率公式
(1)完备事件组：
设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足：
①A1∪A2∪…∪An＝Ω.
②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，Ai＝S，则对任一事件B，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备事件组.
7.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.
②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n).
(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0，1，2，…，n.于是X的分布列：
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cpqn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p).
8.正态分布
(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝e－，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ六、抽样与统计图表
1.获取数据的基本途径
获取数据的基本途径包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.
(1)统计报表是指各级企事业、行政单位按规定的表格形式、内容、时间要求报送程序，自上而下统一布置，提供统计资料的一种统计调查方式.
(2)年鉴是以全面、系统、准确地记述上年度事物运动、发展状况为主要内容的资料性工具书.汇辑一年内的重要时事、文献和统计资料，按年度连续出版的工具书.
2.总体、样本、样本容量
要考察的对象的全体叫做总体，每一个考察对象叫做个体，从总体中被抽取的考察对象的集体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量.
3.简单随机抽样
(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
(3)应用范围：总体中的个体数较少.
4.分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
5.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
6.频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
7.样本的数字特征
数字特征 定义
众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数
中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数
平均数 样本数据的算术平均数，即＝
方差 s2＝[(x1－)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中s为标准差
8.百分位数
如果将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数.可表示为：一组n个观测值按数值大小排列.如，处于p%位置的值称第p百分位数.
七、统计案例
1.变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.
2.回归分析
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.
设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程＝x＋的系数为：
称为样本点的中心.
（3）相关系数
①计算相关系数r，r有以下性质：|r|≤1，并且|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱；②|r|>r0.05，表明有95%的把握认为变量x与y之间具有线性相关关系，回归直线方程有意义；否则寻找回归直线方程毫无意义.
3.独立性检验
（1）2×2列联表
B 总计
A n11 n12 n1＋
A n21 n22 n2＋
总计 n＋1 n＋2 n
其中n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.
(2)χ2统计量
χ2＝.
(3)两个临界值：3.841与6.635
当χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与B有关；
当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关；
当χ2≤3.841时，认为事件A与B是无关的.
【解题方法和技巧】
一、两个基本计数原理
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.
在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.
2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
3.混合问题一般是先分类再分步.
4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.
二、排列组合
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.
2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.
三、二项式定理
1.二项式定理及通项的应用
(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.
(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.
(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
四、随基变量及其分布列
1.随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间，样本空间的子集就是随机事件.
2.对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生.
4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算.
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即运用逆向思维(正难则反).
5.古典概型计算三步曲
第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.
6.确定基本事件个数的方法
列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.
7.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.
8.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
9.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝＝，其中，在实际应用中P(B|A)＝是一种重要的求条件概率的方法.
10.全概率公式的理论和实用意义在于：
在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.
11.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.
(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cpkqn－k.其中k＝0，1，…，n，q＝1－p.
五、抽样与统计图表，统计案例
1.统计报表有三个显著优点：来源可靠、回收率高、方式灵活.
2.年鉴集辞典、手册、年表、图录、书目、索引、文摘、表谱、统计资料、指南、便览于一身，具有资料权威、反应及时、连续出版、功能齐全的特点.
3.两种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这两种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是.
4.分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样.
5.用样本估计总体是统计的基本思想.
用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.
6.(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量，与每个样本数据有关，这是中位数、众数所不具有的性质.
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度就越大.
7.频率分布表和频率分布直方图都可直观描述样本数据的分布规律.
8.求回归方程，关键在于正确求出系数a^，b^ ，由于a^ ，b^ 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分步进行，避免因计算而产生错误.
9.回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法.主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程.
【考点剖析】
【考点1】概率及其性质（共1小题）
1．（2022 宝山区校级模拟）设A，B为随机事件，P为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】类比集合的运算，四个选项逐一分析即可判断．
【解答】解：对于A，阴影部分表示∪，故A错误；
对于B，阴影部分表示，故B错误；
对于C，阴影部分表示，故C正确；
对于D，阴影部分表示P（A∪B），故D错误．
故选：C．
【点评】本题以集合的交集，并集为载体，考查了概率的基本概念，难度不大，属于基础题．
【考点2】古典概型及其概率计算公式（共8小题）
2．（2022 黄浦区二模）一个袋子中装有大小与质地均相同的m个红球和n个白球（4≤m＜n），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足m+n≤30的所有有序数对（m，n）为 　（10，15），（6，10）　．
【分析】利用概率列出关于m，n的等式，能求出结果．
【解答】解：由题意，取出的两球颜色相同的概率等于两球颜色不同的概率等于，
∴＝，即＝，
∴4mn＝（m+n）（m+n﹣1）＝（m+n）2﹣（m+n），
整理得（n﹣m）2＝m+n，即m+n为平方数，
又4≤m＜n，m+n≤30，∴m+n＝25，m+n＝16或m+n＝9，
当m+n＝25时，n﹣m＝5，解得（m，n）＝（10，15），
当m+n＝16时，n﹣m＝4，解得（m，n）＝（6，10），
当m+n＝9时，n﹣m＝3，解得（m，n）＝（3，6），不合题意，
∴（m，n）＝（10，15）或（m，n）＝（6，10）．
故答案为：（10，15），（6，10）．
【点评】本题考查概率的运算，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2022 青浦区二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是 　　.（结果用最简分数表示）
【分析】根据分组分配方法及分步计数原理求解即可．
【解答】解：四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务共有34＝81种情况，
要求三个核酸检测点都有志愿者到位，则4人选出2人一组，另两人各一人一组，有＝6种分组方法，再将3组分配到3个检测点，有＝6种分配方法，故共有36种情况．
所以，三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题和分步计数原理，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
4．（2022 杨浦区二模）已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数y＝xa是奇函数且在（0，+∞）上递增的概率为 　　．
【分析】利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：从集合中任取一个元素a，使函数y＝xa是奇函数且在（0，+∞）上递增，则a＝，1，3，
所以，其概率为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
5．（2022 虹口区二模）在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为 　．　．
【分析】先计算由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数的总情况数，再计算组成的数是奇数的情况数，最后利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数共＝120种，组成的数是奇数共＝72种，
所以，取出的数是奇数的概率＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
6．（2022 闵行区二模）核酸检测是疫情防控的一项重要举措．某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为 　　．
【分析】利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：某相邻两个居民小区均计划在下月的1日至7日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则共有5×5＝25种情况，
这两个居民小区一天也没同时做核酸检测的情况：（123，456），（123，567），（234，567），（456，123），（567，123），（567，234）共计6种．
所以，这两个居民小区至少有一天同时做核酸检测的概率为1﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
7．（2022 静安区二模）上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次．现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是 　　．
【分析】利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：设甲乙两人被分配到同一个场馆的事件为A，基本事件总数为＝20，
事件A包含的基本事件数为＝8，
则P（A）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
8．（2022 徐汇区二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 　　.（结果用最简分数表示）
【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得．
【解答】解：4个人分配到4个学校的情况总数为44种，
4个人恰好分配到4个学校的情况为＝24种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有44﹣24种，
所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2022 浦东新区校级二模）通过手机验证码登录哈罗单车App，验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码（a1，a2，a3，a4）满足a1＜a2＜a3＜a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，那么是首位为2的递增型验证码的概率为　　．
【分析】验证码共有10000种，求首位为2的递增型验证码只要确定后三位用组合有C种，相比即可．
【解答】解：∵a1＝2，2＜a2＜a3＜a4，∴a2、a3、a4从3～9中选，
只要选出3个数，让其按照从小到大的顺序排有C种，
又验证码共有10×10×10×10＝10000种，
∴．
故答案是．
【点评】本题利用组合公式算概率，属于基础题．
【考点3】列举法计算基本事件数及事件发生的概率（共1小题）
10．（2022 杨浦区模拟）三阶矩阵中有9个不同的数aij（i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是　　（结果用分数表示）
【分析】利用间接法，先求从9个数中任取3个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列的情况，即可求得结论．
【解答】解：从9个数中任取3个数共有C93＝84种取法，
取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有C31＝3种方法，
则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C21＝2种方法，
第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法，
∴共有3×2＝6种方法三个数分别位于三行或三列的情况有6种；
∴所求的概率为＝，
故答案为：
【点评】本题考查计数原理和组合数公式的应用，考查概率的计算公式，直接解法较复杂，采用间接解法比较简单．
【考点4】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共4小题）
11．（2022 浦东新区二模）甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，则在一次射击中，目标被击中的概率为 　0.98　．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：甲乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.8和0.9，
则在一次射击中，目标被击中的概率为：
P＝1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.98．
故答案为：0.98．
【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．（2022 长宁区二模）已知随机事件A、B互相独立，且P（A）＝0.7，P（B）＝0.4，则＝　0.42　．
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．
【解答】解：随机事件A、B互相独立，且P（A）＝0.7，P（B）＝0.4，
则＝P（A）﹣P（AB）＝0.7﹣0.7×0.4＝0.42．
故答案为：0.42．
【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（2022 宝山区二模）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则p＝　　．
【分析】由对立事件及独立事件性质知×p＝1﹣，即可解得．
【解答】解：由题意得，
×p＝1﹣，
解得p＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了对立事件及独立事件性质的应用，属于基础题．
14．（2022 浦东新区校级二模）一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为　0.88　．
【分析】利用相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】解：一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，
一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，
它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，
至少有一个公司不需要维护的概率为：
P＝1﹣0.4×0.3＝0.88．
故答案为：0.88．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【考点5】离散型随机变量的期望与方差（共1小题）
15．（2022 闵行区校级模拟）在检测中为减少检测次数，我们常采取“n合1检测法”，即将n个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则还需对本组的每个人再做检测．现有20k（k∈N*）人，已知其中有2人感染病毒．
（1）若k＝5，并采取“20合1检测法”，求共检测25次的概率；
（2）设采取“10合1检测法”的总检测次数为X，采取“20合1检测法”的总检测次数为Y，若仅考虑总检测次数的期望值，当k为多少时，采取“20合1检测法”更适宜？请说明理由．
【分析】（1）对100个人采取“20合1检测法”需平均分为5组，共检测25次即2个感染者分在同一组，
（法一）只需考虑其中某位感染者所在的小组，原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组，求选到的19人中有另一位感染者的概率；
（法二）将100人平均分成5组，结合排列与组合数计算公式及其古典概率计算公式，即可得出概率．
（2）若2个感染者分在同一组，则X＝2K+10；若2个感染者分在不同小组，则X＝2K+20．利用古典概率计算公式即可得出．进而得出数学期望，结合二次函数的单调性即可得出最值．
【解答】解：（1）对100个人采取“20合1检测法”需平均分为5组，共检测25次即2个感染者分在同一组，
（法一）只需考虑其中某位感染者所在的小组，原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组，
求选到的19人中有另一位感染者的概率，此概率为；
（法二）将100人平均分成5组，共有种，
故所求概率为；
（2）若2个感染者分在同一组，则，
若2个感染者分在不同小组，则，
，
由题知，
抛物线y＝x2﹣20.05x+15.5的对称轴为x＝10.025，
取x＝20得y＞0，取x＝19得y＜0，故k≥20，
综上，当k≥20时，采取“20合1检测法”更适宜．
【点评】本题考查了古典概率计算公式、分类讨论方法、转化思想方法、随机变量的数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【考点6】分层抽样方法（共3小题）
16．（2022 静安区二模）2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行．共有3个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为2250人，延庆冬奥村的容量约1440人，张家口冬奥村的容量约2610人．为了解各冬奥村服务质量，现共准备了140份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（　　）
A．58份 B．50份 C．32份 D．19份
【分析】直接由分层抽样的概念计算求解即可．
【解答】解：在延庆冬奥村投放的问卷数量是＝32份．
故选：C．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
17．（2022 黄浦区二模）某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了150名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了40名，从高二年级的学生中抽取了50名，若高三年级共有学生420名，则该高中共有学生 　1050　名．
【分析】首先求出样本中高三年级抽取的学生数，即可求出该高中共有的学生数．
【解答】解：依题意可得样本中高三年级抽取了150﹣40﹣50＝60名学生，所以该高中共有学生420+150﹣1050名学生．
故答案为：1050．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
18．（2022 闵行区二模）某学校志愿者协会有高一年级120人，高二年级100人，高三年级20人，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，若从高二年级100人中抽取的人数为10，则n＝　24　．
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
【解答】解：根据分层抽样的定义可得：
，
解得：n＝24．
故答案为：24．
【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
【考点7】系统抽样方法（共1小题）
19．（2022 奉贤区模拟）某班有42位同学，学号依次为01、02、…、42，现采用系统抽样方法抽取了一个容量为6的样本，且随机抽得的第一个学号为03，则抽得的最大的学号是 　38　．
【分析】求出系统抽样间隔，根据抽得的第一个学号即可求出抽得的最大学号．
【解答】解：系统抽样间隔为42÷6＝7，且随机抽得的第一个学号为03，
所以抽得的最大学号是3+7×（6﹣1）＝38．
故答案为：38．
【点评】本题考查了系统抽样方法抽取样本数据的应用问题，是基础题．
【考点8】频率分布直方图（共2小题）
20．（2022 金山区二模）某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率直方图．根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（　　）
A．所抽取的学生中有25人在2小时至2.5小时之间完成作业
B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为35%
C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过2.7小时
D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间
【分析】计算在[2，2.5）小时的频数可判断A，计算超过3小时的频率可判断B；求出平均数与2.7比较，可判断C；计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D．
【解答】解：A选项，在2小时至2.5小时之间完成作业的人数为100×0.5×0.5＝25，A正确；
B选项，完成作业的时间超过3小时的频率为（0.3+0.2+0.1+0.1）×0.5＝0.35，B正确；
C选项，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为1.25×0.05+1.75×0.15+2.25×0.25+2.75×0.2+3.25×0.15+3.75×0.1+4.25×0.05+4.75×0.05＝2.744，所以平均数大于2.7，所以C正确；
做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为（0.5+0.4）×0.5＝0.45＜0.5，所以D错误．
故选：D．
【点评】本题考查由频率分布直方图求频数、频率、平均数，属于基础题．
21．（2022 浦东新区校级二模）电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．
（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；
（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张（x∈N），则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10x%，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少%．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？
【分析】（1）求出后三组数据的频率之和，利用频率乘以样本容量得频数求得“足球迷”的人数和“铁杆足球迷”人数；
（2）设票价为100+10x元，求出一般“足球迷”和“铁杆足球迷”中去现场看球的人数，根据现场观看足球比赛的人数不超过10万人，列出不等式．通过解不等式求得正整数x的值，可得答案．
【解答】解：（1）样本中“足球迷”出现的频率＝（0.16+0.10+0.06）×0.5＝16%，
“足球迷”的人数＝100×16%＝16（万），
“铁杆足球迷”＝100×（0.06×0.5）＝3（万）
∴16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人；
（2）设票价为100+10x元，则一般“足球迷”中约有13（1﹣10x%）万人，
“铁杆足球迷”约有万人去现场看球，
令，
化简得：13x2+113x﹣660≥0
解得：，由x∈N，∴x≥4，
即平均票价至少定为100+40＝140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人．
【点评】本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，考查了不等式的实际应用，列出关于票价x的不等式是解答本题的关键．
【考点9】众数、中位数、平均数（共2小题）
22．（2022 松江区二模）在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给A选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均值、中位数、众数、方差的定义即可得解．
【解答】解：去掉最大值与最小值这组数的平均值大小不确定，中位数不变，众数大小不确定，根据方差的定义，去掉最高分，最低分后，剩余四个数据的波动性小于原来六个数据的波动性，故方差一定会变小．
故选：D．
【点评】本题考查了平均数、众数、中位数与方差的概念，是基础题．
23．（2022 崇明区二模）已知一组数据4，2a，3﹣a，5，6的平均数为4，则实数a的值等于 　2　．
【分析】根据平均数的概念计算即可．
【解答】解：＝（4+2a+3﹣a+5+6）＝4，
解得：a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平均数的概念，是基础题．
【考点10】极差、方差与标准差（共5小题）
24．（2022 浦东新区二模）甲乙两工厂生产某种产品，抽取连续5个月的产品生产产量（单位：件）情况如下：甲：80、70、100、50、90；乙：60、70、80、55、95，则下列说法中正确的是（　　）
A．甲平均产量高，甲产量稳定
B．甲平均产量高，乙产量稳定
C．乙平均产量高，甲产量稳定
D．乙平均产量高，乙产量稳定
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．
【解答】解：甲的平均数，
方差＝+（100﹣78）2+（50﹣78）2+（90﹣78）2]＝296，
同理可得，乙的平均数，方差，
∵78＞72，296＞206，
∴甲平均产量高，乙产量稳定．
故选：B．
【点评】本题主要考查平均数和方差公式的应用，属于基础题．
25．（2022 徐汇区二模）某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（　　）
A．60 B．70 C．80 D．100
【分析】利用方差的定义判断即可．
【解答】解：×（60﹣82）2＝0.968＞0.82，
×（70﹣82）2＝0.288＜0.82，
×（80﹣82）2＝0.008＜0.82，
×（100﹣82）2＝0.648＜0.82，
故选：A．
【点评】本题考查了方差的应用，属于基础题．
26．（2022 浦东新区校级模拟）从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为　5.2　．
【分析】由样本平均值的计算公式求出平均数，再利用样本方差的计算公式求出总体方差的点估计值．
【解答】解：计算6个样本数据的平均数为
＝×（4+5+6+10+7+4）＝6，
s2＝×[（4﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（10﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2]＝5.2，
所以总体方差的点估计值为5.2．
故答案为：5.2．
【点评】本题主要考查了平均数、方差以及总体方差的点估计计算问题，是基础题．
27．（2022 杨浦区模拟）在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于　38　．
【分析】根据披平均成绩求出a的值，根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可．
【解答】解：∵5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，
∴78+85+a+82+69＝5×80，解得：a＝86，
∴s2＝[（78﹣80）2+（85﹣80）2+（86﹣80）2+（82﹣80）2+（69﹣80）2]＝38，
则他们成绩的方差等于38，
故答案为：38．
【点评】本题考查了平均数和方差的定义，是一道基础题．
28．（2022 青浦区校级模拟）已知一组数x1，x2，…，xn的方差是4，则2x1﹣1，2x2﹣1，…，2xn﹣1的标准差是　4　．
【分析】设出x1，x2，…，xn的平均数，方差s2；求出2x1﹣1，2x2﹣1，…，2xn﹣1的平均数与方差s′2，即得标准差．
【解答】解：设x1，x2，…，xn的平均数是＝（x1+x2+…+xn），
方差是s2＝[++…+]＝4；
∴2x1﹣1，2x2﹣1，…，2xn﹣1的平均数是
＝[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+..+（2xn﹣1）]＝[2（x1+x2+…+xn）﹣n]＝2﹣1，
∴方差是s′2＝[++…+]
＝[++…+]＝4s2＝4×4＝16；
∴标准差是s′＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了求数据的平均数与方差的问题，解题时应根据平均数与方差的定义进行解答，是基础题．
【考点11】分类加法计数原理（共1小题）
29．（2022 崇明区二模）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：
（1）每位学生每天最多选择1项；
（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
课后服务 音乐、阅读、 体育、编程 口语、阅读、 编程、美术 手工、阅读、 科技、体育 口语、阅读、 体育、编程 音乐、口语、 美术、科技
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有 　14　种．（用数值表示）
【分析】根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，由此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，
故分4种情况讨论：
当周一选阅读，若体育选周三，编程有2种方法，若体育选周四，编程有1种方法，共3种选法，
当周二选阅读，若编程选周一，体育有2种方法，若编程选周四，体育有2种方法，共4种选法，
当周三选阅读，若体育选周一，编程有2种方法，若体育选周四，编程有2种方法，共4种选法，
当周四选阅读，若体育选周一，编程有1种方法，若体育选周三，编程有2种方法，共3种选法，
再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有3+4+4+3＝14种．
故答案为：14．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
【考点12】排列、组合及简单计数问题（共5小题）
30．（2022 奉贤区模拟）某校高二年级共有6个班级，现有4名交流生要安排到该年级的2个班级，且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 　90　．
【分析】先组合，再排列，即可求得．
【解答】解：先把4名学生分两组有＝3，然后再把这两组给这6个班中的两个班有＝30，根据分步乘法原理得不同的安排方案种数有3×30＝90种．
【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．
31．（2022 长宁区二模）将编号为1，2，3，4的4个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的2个小球编号不相邻，则共有 　18　种不同的放法．
【分析】先将2个小球放在同一盒子里，再将另外两个小球放到另外2个盒子中即可得解．
【解答】解：先将2个小球放在同一盒子里，要求2个小球编号不相邻，则这2个小球编号可以为1和3或1和4或2和4，共三种情况，
再将另外两个小球放到另外2个盒子中，则共有种不同的放法，
故答案为：18．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步原理，属基础题．
32．（2022 黄浦区校级模拟）2021年7月，上海浦东美术馆正式对外开放，今年计划招募15名志愿者担任“采访者”和“讲述者”两项工作（每人只能承担一项工作），对“采访者”和“讲述者”的要求如下：
志愿者类型 所需人数 备注
采访者 10 男女比例为1：1
讲述者 5 男、女比例不限
现有10名女生，10名男生报名，则符合要求的方案有 　16003008　个．
【分析】根据分步乘法计数原理，再结合排列组合即可求解．
【解答】解：现有10名女生，10名男生报名，一共20人报名，完成这件事情要分三步进行：
第一步，先从10名女生中选5名去当采访者，有个，
第二步，再从10名男生中选5名去当采访者，有个，
第三步，最后从剩下的10人中选5名去当讲述者，有个，
所以符合要求的方案有个，
故答案为：16003008．
【点评】本题考查分步乘法计数原理，排列组合的应用，属于中档题．
33．（2022 宝山区校级模拟）受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控．以下为上海某高校某天计划餐食及其单价．每个套餐提供3种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于10元，则可行的搭配方案种类数量为 　6　．
种类 荤食① 荤食② 素食① 素食② 素食③
单价（元） 4.00 5.00 1.00 2.50 3.00
【分析】对所选荤菜与素菜的种类进行分类讨论，采用列举法与组合计数原理可求得结果．
【解答】解：（1）若两荤一素的情形，则只可能选择荤食①+荤食②+素食①的组合，
（2）若一荤两素的情形，
若选择荤食①，此时由于任选两种素食的价格均不超过6.00元，共种，
若选择荤食②，则只可能选择素食①+素食②或素食①+素食③两种，
综上，共有种．
故答案为：6．
【点评】本题考查列举法，排列组合的应用，属于中档题．
34．（2022 浦东新区校级模拟）甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去，且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有 　30　种
【分析】将甲乙丙丁四人分成三组，然后进行分配即可解出．
【解答】解：将甲乙丙丁四人分成三组且甲乙两人不能分在同一组的分法：C+2C＝5，
所以不同分法的种数有5A＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了分组分配，学生的数学运算能力，属于基础题．
【考点13】二项式定理（共6小题）
35．（2022 普陀区二模）在（2x+y）5的展开式中，含x3y2项的系数为 　80　．
【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令y的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x3y2项的系数．
【解答】解：二项式（2x+y）5的展开式的通项公式为，
令r＝2，所以含x3y2项的系数为，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
36．（2022 奉贤区二模）在（x+）n的二项展开式中，第四项是常数项，则该常数项为 　160　．
【分析】先求出二项式的通项，根据第四项是常数项求出n的值，进而求出常数项．
【解答】解：二项式（x+）n的通项为Tr+1＝＝，
∵第四项是常数项，即r＝3时为常数项，∴n﹣6＝0，
∴n＝6，
∴该常数项为＝20×8＝160，
故答案为：160．
【点评】本题主要考查了二项展开式的通项，属于基础题．
37．（2022 虹口区二模）若an为（1+x）n的二项展开式中x2项的系数，则＝　　．
【分析】根据二项式定理求出a2，然后根据极限的运算性质即可求解．
【解答】解：展开式中含x2项的系数为C＝a2＝，
所以＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，涉及到极限的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
38．（2022 徐汇区三模）已知多项式，则a3＝　7　．
【分析】先求出二项展开式的通项公式，再求含x项的系数即可．
【解答】解：（x﹣1）3的通项公式为Tk+1＝x3﹣k（﹣1）k，
令3﹣k＝1，则k＝2，∴含x项的系数为（﹣1）2＝3，
（x+1）4的通项公式为Tr+1＝x4﹣r，
令4﹣r＝1，则r＝3，∴含x项的系数为＝4，
∴a3＝7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的求法，属于基础题．
39．（2022 宝山区校级模拟）已知二项式（x3﹣2）6，在其展开式中二项式系数最大的一项的系数为 　﹣160　．
【分析】根据二项式系数的性质可确定所求的展开式中的项，从而可求其系数．
【解答】解：二项式（x3﹣2）6的展开式的通项公式为：
Tk+1＝（x3）6﹣k（﹣2）k＝（﹣2）kx18﹣3k，
则二项式系数中最大的为，
故展开式中二项式系数最大的一项的系数为（﹣2）3＝﹣160，
故答案为：﹣160．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，属于中档题．
40．（2022 浦东新区校级模拟）二项式（﹣）15的常数项为 　5005　（用具体数值表示）．
【分析】利用通项公式即可得出结论．
【解答】解：二项式（﹣）15展开式的通项公式为：
Tk+1＝＝（﹣1）k，
令＝0，则k＝6，
∴常数项为（﹣1）6＝5005，
故答案为：5005．
【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【真题模拟题专练】
一．选择题（共1小题）
1．（2022 杨浦区二模）上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（　　）
A．总体均值为25℃，中位数为23℃
B．总体均值为25℃，总体方差大于0℃2
C．总体中位数为23℃，众数为25℃
D．总体均值为25℃，总体方差为1℃2
【分析】根据总体均值，中位数，众数，总体方差的定义判断即可．
【解答】解：对于A，总体均值为25℃，中位数为23℃，可能出现低于22℃的情况，故A不正确；
对于B，当总体方差大于0℃2，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；
对于C，中位数和众数也不能确定，故C不正确：
对于D，当总体均值为25℃，总体方差为1℃2，根据方差公式求得五天气温的最小值25﹣度，大于22度平均气温，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查总体均值，中位数，众数，总体方差，属于基础题．
二．填空题（共26小题）
2．（2022 上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 　　．
【分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．
【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，
则每一类都被抽到的方法共有+ 种，
而所有的抽取方法共有种，
故每一类都被抽到的概率为＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．
3．（2022 普陀区二模）从集合{a，b，c}的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N，则使得M∩N＝ 的不同取法的概率为 　　（结果用最简分数表示）．
【分析】先求出集合{a，b，c}的子集，依题意对集合M，N中元素的个数分类讨论，最后利用古典概型的概率公式计算能求出结果．
【解答】解：集合{a，b，c}的非空子集有23﹣1＝7个，
从中任取两个不同的集合M和N，共有＝42种，
要使M∩N＝ ，
①M中含有1个元素，N中也含有1个元素，有＝6种，
②M中含有1个元素，N中含有2个元素，有＝3种，
③M中含有2个元素，N中含有1个元素，有＝3种，
∴满足M∩N＝ 的集合M，N的取法有6+3+3＝12种，
故使得M∩N＝ 的不同取法的概率为P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2022 松江区二模）从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为 　　．
【分析】由列举法可得所有基本情况数及满足要求的情况数，再由古典概型概率公式即可得解．
【解答】解：由题意任取两个不同的数字组成1个两位数，共有：
12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54共20个；
其中偶数有：12，14，24，32，34，42，52，54共8个；
故所求概率P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
5．（2022 徐汇区三模）某校航模队甲组有10名队员，其中4名女队员，乙组也有10名队员，其中6名女队员．现采用分层抽样（层内采用不放回随机抽样）从甲、乙两组中共抽取4名队员进行技术考核，则从乙组抽取的队员中恰有一名女队员的概率为 　　．
【分析】根据题意，求得从乙组选出2名队员的样本空间共有45个基本事件，再求得乙组抽取的队员中恰有1名女队员所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解．
【解答】解：从乙组10名队员中选出2名队员的样本空间中共有＝45个基本事件；记A表示事件：从乙组抽取的队员中恰有1名女队员，事件A包含了＝24个基本事件．
由古典摡型的概率计算公式，可得P（A）＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
6．（2022 上海模拟）在北京冬奥会火炬传递的某次活动中，有编号为1、2、3、4、5的5名火炬手．若从中随机选择2人，则选出的火炬手编号相邻的概率为 　　．
【分析】从中任选2人，利用列举法能求出选出火炬手编号相邻的概率．
【解答】解：在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，从中任选2人，
基本事件有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个，
火炬手编号相连包含的基本事件有：
（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），共4个，
则选出火炬手编号相连的概率为 P＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2022 黄浦区模拟）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为　　．
【分析】由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率为 3×（ ×），运算求得结果．
【解答】解：由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故这两位同学同时参加一个兴趣小组的概率为 3×（ ×）＝，
故答案为 ．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，等可能事件的概率，属于基础题．
8．（2022 长宁区二模）已知四个数1，2，4，a的平均数为4，则这四个数的中位数是 　3　．
【分析】根据平均数的公式求得a的值，再根据中位数定义计算即可．
【解答】解：＝（1+2+4+a）＝4，
解得：a＝9，
则中位数为＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查平均数、中位数的计算，是基础题．
9．（2022 宝山区二模）若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差σ2＝　　．
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．
【解答】解：∵数据2，3，7，8，a的平均数为5，
∴2+3+7+8+a＝25，解得a＝5，
∴σ2＝+（8﹣5）2+（5﹣5）2]＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．
10．（2022 浦东新区校级模拟）已知数据1，3，5，7，x（0＜x＜9）的平均数与中位数相等，则这组数据的方差为　4　．
【分析】根据中位数与平均数的定义求出x的值，再用方差的公式得出结果即可．
【解答】解：数据1，3，5，7，x（0＜x＜9），
若中位数是3时，则平均数为
×（1+3+5+7+x）＝3，
解得x＝﹣1，不合题意；
若中位数是5时，则平均数为×（1+3+5+7+x）＝5，
解得x＝9，不合题意；
若中位数是4时，则平均数为
×（1+3+5+7+x）＝4，
解得x＝4，满足题意；
得这组数的方差是＝[（1﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（7﹣4）2]＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了中位数与平均数的计算问题，也考查了方差的计算问题，属于基础题．
11．（2022 黄浦区模拟）已知m∈N*，用非负整数n1、n2表示m，m＝n1+，若Am为其表示方法的数组（n1，n2）的个数，则Am＝　m+1　．
【分析】对任意正整数m，有m＝0+＝1+＝2+＝……＝m+，从而求出Am的不等式．
【解答】解：对任意正整数m，有m＝0+＝1+＝2+＝……＝m+，
∴Am＝m+1，
故答案为：m+1．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
12．（2022 上海）用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 　17　.（用数字作答）
【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，
当其千位数字为3或4时，有2A33＝12种情况，即有12个符合题意的四位数，
当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，
故有12+5＝17个比2134大的四位数，
故答案为：17．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．
13．（2022 青浦区校级模拟）如图，由6×6＝36个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB，那么不同的走法共有 　28　种．
【分析】根据题意画出机器人能走的方格区域，然后分类讨论路线的可能性，即可得答案．
【解答】解：由题意可知，机器人所成走动的路线如图所示的方格：
图中小写字母表示机器人所能走的那一步路线，
那么第一步是固定的只有一种走法，
从第二步开始如果走a，第三步走c，第四步如果走起h，那么这时共有3种走法，
第四步如果走f，那么后面四步走的一个长方形的边，这时共有＝c6种走法；
第二步如果走b，第三步如果走d，第四步走e，第五步只能走h，此时共有3种走法，
第四步如果走f，此时共有＝6种走法，
第三步若果走g，后面五步是沿着一个长方形的边走，此时共有＝10种走法，
故共有的走法为3+6+3+6+10＝28种，
故答案为：28．
【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的一件事是什么，可以分类还是需要分步．
14．（2022 徐汇区校级模拟）对于定义域为D的函数f（x），若对任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）为“不严格单调增函数”，若函数f（x）的定义域D＝{1，2，3，4，5}，值域为A＝{6，7，8}，则函数f（x）为“不严格单调增函数”的概率是 　　．
【分析】根据题意，先计算定义域为D＝{1，2，3，4，5}，值域为A＝{6，7，8}的函数f（x）的个数，再分析其中“不严格单调增函数”的个数，再由古典概型公式计算即可．
【解答】解：根据题意，若函数f（x）的定义域D＝{1，2，3，4，5}，值域为A＝{6，7，8}，
需要将定义域中5个元素分为3组，有C+＝25种分组方法，
将分好的3组对应值域中3个元素，有A＝6种情况，
则有25×6＝150个f（x）的定义域D＝{1，2，3，4，5}，值域为A＝{6，7，8}，
若函数f（x）为“不严格单调增函数”，
需要将定义域中5个元素从小到大分为3组，有C＝6种分组方法，
即有6个f（x）是“不严格单调增函数”，
则函数f（x）为“不严格单调增函数”的概率P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及古典概型的计算，属于基础题．
15．（2022 闵行区校级二模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为 　144　．（用数字作答）
【分析】根据题意，“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，先排3个不同造型的“雪容融”，再将4个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，由分步乘法计数原理求解即可．
【解答】解：根据题意，“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，
先排3个不同造型的“雪容融”，
再将4个不同造型的“冰墩墩”依次安排在雪容融的空位中，
有＝144种排法．
故答案为：144．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
16．（2022 宝山区模拟）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　36　种．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4项工作分为3组，②将分好的三组安排给三名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，3名志愿者完成4项工作，其中1名志愿者必须完成2项工作，其他2人各完成一项，
分2步进行分析：
①将4项工作分为3组，有C42＝6种方法，
②将分好的三组安排给三名志愿者，有A33＝6种情况，
则有6×6＝36种不同的安排方式；
故答案为：36．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
17．（2022 浦东新区校级二模）定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：①f（1）＝1；②|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为　155　．
【分析】分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f（x）的个数即可．
【解答】解：经分析，f（x）的取值的最大值为x，最小值为2﹣x，并且成以2为公差的等差数列，
故f（6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．
f（12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，
所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有两种情况：
①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．
|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．
（1）当f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．
从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为＝10种．
从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为＝15种．
根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．
（2）当f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．
从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为＝5种．
从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为＝1种．
根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．
综上，满足条件的f（x）共有：150+5＝155种．
故填：155．
【点评】解决本题的难点在于发现 f（x）的取值规律，并找到使f（1）、f（6）、f（12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．
18．（2022 浦东新区校级模拟）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有　114　种不同安排方法．（用数字作答）
【分析】分3，1，1和2，2，1两类，每类中用间接法先不考虑甲乙直接用排列组合数公式求出安排方法，再减去甲乙在一个路口的分法，最后把求出的两类相加即可．
【解答】解：分为两类：第一类有一路口分3人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有CA﹣CCA＝42种；
有两路口分2人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有A﹣CCA＝72种，
则由加法原理共有42+72＝114种．
故答案为：114．
【点评】本题考查基本原理，排列组合数公式的应用，用间接法解决该题可避免讨论，简化运算，属于中档题．
19．（2022 上海）二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝　10　．
【分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值．
【解答】解：∵二项式（3+x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，
即×3n﹣2＝5×3n，即 ＝5×9，
∴n＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
20．（2022 上海）在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为 　66　．
【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为﹣4，求出k的值即可．
【解答】解：展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，
得k＝10，
即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，
故答案为：66．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．
21．（2022 金山区二模）（1﹣2x）4的二项展开式中x2项的系数为 　24　．（结果用数字作答）
【分析】根据二项式定理求出展开式中含x2的项，由此即可求解．
【解答】解：展开式中含x2项为C＝24x2，
所以x2项的系数为24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
22．（2022 浦东新区二模）的二项展开式中的常数项为 　﹣160　．
【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为0求解r值，进一步得答案．
【解答】解：的二项展开式的通项为＝，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
∴的二项展开式中的常数项为．
故答案为：﹣160．
【点评】本题考查二项式定理的应用，熟记二项展开式的通项是关键，是基础题．
23．（2022 黄浦区校级模拟）已知二项式，则其展开式中x3的系数为 　﹣540　．
【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解．
【解答】解：的展开式的通项公式为：
，
令12﹣3r＝3，解得r＝3，
所以二项式展开式中x3的系数为．
故答案为：﹣540．
【点评】本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题．
24．（2022 黄浦区模拟）已知a＞0，若展开式中x5的系数为，则常数a的值为 　4　．
【分析】根据计数原理，只需要展开式中含7个，两个即可得x5项，据此求解．
【解答】解：结合计数原理可得：展开式中含x5的项为：
＝，故，解得a＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查二项式定理以及计数原理的应用，属于基础题．
25．（2022 浦东新区校级二模）求值：＝　﹣1　
【分析】由题意利用二项式定理、二项式展开式的通项公式，求得要求式子的值．
【解答】解：＝（1﹣2）2019＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
26．（2022 浦东新区校级二模）若将函数f（x）＝x6表示成f（x）＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a6（x﹣1）6，则a3的值等于　20　
【分析】由f（x）＝x6＝[（x﹣1）+1]6，展开即可求得a3的值．
【解答】解：∵f（x）＝x6＝[（x﹣1）+1]6，
∴a3（x﹣1）3＝，
则．
故答案为：20．
【点评】本题考查二项式系数的性质，考查数学转化思想方法，是基础题．
27．（2022 宝山区模拟）在（1﹣x3）（1+x）10展开式中，x5的系数是　207　．
【分析】先将多项式展开，分析可得（1﹣x3）（1+x）10展开式中的x5的系数是（1+x）10的展开式中的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数，利用二项式定理可得（1+x）10展开式的含x5的系数与含x2的系数，相减可得答案．
【解答】解：∵（1﹣x3）（1+x）10＝（1+x）10﹣x3（1+x）10，
则（1﹣x3）（1+x）10展开式中的x5的系数是（1+x）10的展开式中的x5的系数减去（1+x）10的x2的系数，
由二项式定理，（1+x）10的展开式的通项为Tr+1＝C10rxr，
令r＝5，得（1+x）10展开式的含x5的系数为C105，
令r＝2，得其展开式的含x2的系数为C102，
则x5的系数是C105﹣C102＝252﹣45＝207，
故答案为 207．
【点评】本题考查利用二项展开式定理解决二项展开式的特定项问题，解题的关键在于多项式的展开、整理变形，属于中档题．

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