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第19讲 立体几何初步
【考点梳理】
一、空间几何体的表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
　　名称 几何体　　　　 表面积 体积
柱　体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h
台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
空间中的平行关系
1.平行直线
(1)平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(2)基本性质4(空间平行线的传递性)
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a α，b α， a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a β， α∩β＝b a∥b
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a α，b α，a∩b＝P， a∥β，b∥β α∥β
性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a α a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b a∥b
空间中的垂直关系
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 l⊥α
推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 b⊥α
推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β
性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α
【解题方法和技巧】
1.求解几何体表面积的类型及求法
求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
2.求体积的常用方法
直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.
4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.
5.异面直线的判定方法
6.求异面直线所成的角的三步曲
7．线面平行的证明方法
（1）定义法：一般用反证法；
（2）判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；
（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．
8．构造平行直线的常用方法
（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；
（2）构建平行四边形：可以利用已知的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直线同时平行于已知直线)，从而构建平行四边形．
应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面．
5.判定平面与平面平行的4种方法
（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
（2）面面平行的判定定理(主要方法)；
（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．
9.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质．
10.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法
先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明
【考点剖析】
【考点1】棱柱的结构特征（共1小题）
1．（2022 黄浦区模拟）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′．
（1）G是△BA′C′的重心，求证：直线DG⊥平面BA′C′．
（2）若AB＝1，动点E，F在线段AD，D′C′上，且DE＝D′F＝a，M为AB的中点，异面直线EF与DM所成的角为arcos，求a的值．
【考点2】棱锥的结构特征（共2小题）
2．（2022 宝山区校级二模）下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是（　　）
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
3．（2022 浦东新区校级模拟）如图，三棱锥的四个顶点P、A、B、C在同一个球面上，顶点P在平面ABC内的射影是H，若球心在直线PH上，则点H一定是△ABC的（　　）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【考点3】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共5小题）
4．（2022 杨浦区二模）若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为 　 　．
5．（2022 闵行区二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的 　　倍．
6．（2022 崇明区二模）已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于2π，则该圆锥的体积等于 　　 ．
7．（2022 宝山区校级模拟）已知矩形ABCD，P是矩形内一点，且P到AB的距离为2．若将矩形ABCD绕AD顺时针旋转，则线段AP扫过的区域面积为 　　 ．
8．（2022 青浦区校级模拟）圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为 　　 ．
【考点4】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）
9．（2022 徐汇区三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为 　　 ．
10．（2022 闵行区校级二模）若圆锥的底面半径为2，高为6，则该圆锥的侧面积为 　　 ．
11．（2022 松江区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，，F是PD的中点，点E在棱CD上．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的全面积；
（2）求证：PE⊥AF．
【考点5】棱柱、棱锥、棱台的体积（共12小题）
12．（2022 宝山区模拟）如图，倒置圆锥形容器装有2升水，水平高度正好是圆锥高的一半，那么，这个容器的容积是 　　升．
13．（2022 黄浦区校级模拟）如图所示，有棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为正方体表面的一个动点．若三棱锥A﹣PBC的体积为，则|PD1|的取值范围是 　 ．
14．（2022 浦东新区校级二模）已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥的体积为
　 　
15．（2022 宝山区二模）若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为　　 ．
16．（2022 青浦区二模）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为　 　cm3．
17．（2022 虹口区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，PD＝DC＝1，直线PB与平面ABCD所成的角为．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线AM与PC所成的角的大小．
18．（2022 奉贤区模拟）三棱锥B﹣ACD中，BA、BC、BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos，求三棱锥B﹣ACD的体积．
19．（2022 宝山区校级模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其中．
（1）若点P是棱AA1上的动点，求三棱锥B1﹣PBC的体积．
（2）求点D1到平面ACB1的距离．
20．（2022 宝山区校级二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB及BC的中点，将△AED，△BEF及△DCF折起，使A、C、B点重合于A1点．
（1）求三棱锥A1EFD的体积；
（2）求A1D与平面DEF所成角的正切值．
21．（2022 嘉定区校级模拟）如图，圆锥的底面半径OA＝2，高PO＝6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．
（1）求圆锥的侧面积和体积；
（2）求异面直线CD与AB所成角的大小．（结果用反三角函数表示）
22．（2022 徐汇区三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝4，异面直线BC1与AA1所成角的大小为．
（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
23．（2022 静安区二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【考点6】球的体积和表面积（共2小题）
24．（2022 黄浦区模拟）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为9π，则球O的体积为 　　 ．
25．（2022 徐汇区二模）已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 　 　．
【考点7】球面距离及相关计算（共1小题）
26．（2022 浦东新区校级二模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB＝AA1＝1，AD＝，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于　　．
【考点8】斜二测法画直观图（共1小题）
27．（2022 静安区模拟）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'，则以下说法正确的是（　　）
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是等边三角形
【考点9】简单空间图形的三视图（共1小题）
28．（2022 静安区二模）中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（　　）
A． B．
C． D．
【考点10】由三视图求面积、体积（共2小题）
29．（2022 普陀区二模）已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为 　　 ．
30．（2022 嘉定区校级模拟）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为 　　．
【考点11】平面的基本性质及推论（共2小题）
31．（2022 黄浦区二模）如图，已知P、Q、R分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC和C1D1的中点，由点P、Q、R确定的平面β截该正方体所得截面为（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
32．（2022 静安区模拟）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 　　 ．
【考点12】异面直线及其所成的角（共9小题）
33．（2022 嘉定区校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段AB、BD1上的动点，且直线EF与AA1所成的角为，则下列直线中与EF所成的角必为的是（　　）
A．CD B．BD C．BC1 D．DC1
34．（2022 松江区二模）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E是D1C1的中点，则异面直线A1C1与DE所成角的大小为 　　 ．（结果用反三角函数表示）
35．（2022 奉贤区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，AB＝1，，四棱锥P﹣ABCD的体积为，M为BC的中点．
（1）求异面直线AM与PB所成的角；
（2）求直线PM与平面PBD所成的角．
36．（2022 青浦区二模）如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是弧的中点．
（1）求该圆柱的表面积和体积；
（2）求异面直线BE与AD所成角的大小．
37．（2022 崇明区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于4，点E是棱DD1的中点．
（1）求直线A1E与直线B1C所成的角；
（2）若底面ABCD上的点P满足PD1⊥平面A1EC1，求线段DP的长度．
38．（2022 宝山区模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是CC1的中点，过AP的平面与BB1，DD1分别交于Q，R，且BQ＝．
（1）求异面直线PQ与AB所成角的大小；
（2）求C1到平面AQPR的距离．
39．（2022 黄浦区校级模拟）如图所示，设有底面半径为3的圆锥．已知圆锥的侧面积为15π，D为PA中点，．
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线CD与AB所成角．
40．（2022 杨浦区模拟）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使∠COE＝，连结PE．已知|OA|＝1，|PA|＝2．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线PE、BD所成角的大小．
41．（2022 浦东新区校级模拟）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥A1﹣APB的体积为．
（1）求圆柱OO1的表面积；
（2）求异面直线A1B与OP所成角的余弦值．
【考点13】空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）
42．（2022 奉贤区模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交
B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面
C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线
D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行
43．（2022 长宁区二模）如图，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）
A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线DA
【考点14】空间中直线与平面之间的位置关系（共6小题）
44．（2022 金山区二模）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
45．（2022 静安区二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（　　）
（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β．
（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β．
（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β．
（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β．
A．0 B．1 C．2 D．3
46．（2022 徐汇区三模）已知空间三条直线a、b、m及平面β，且a、b β，条件甲：m⊥a，m⊥b；条件乙：m⊥β，则“条件乙”是“条件甲”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
47．（2022 徐汇区校级模拟）已知α是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数（　　）
①若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
②若l⊥m，l⊥n，则m∥n；
③若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l；
④若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面；
⑤若m α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；
⑥若m⊥α，n⊥α，l∥m，则l∥n．
A．0 B．1 C．2 D．3
48．（2022 浦东新区校级模拟）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（　　）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF不平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
49．（2022 浦东新区校级二模）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（　　）
A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥β
C．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β
【考点15】直线与平面平行（共1小题）
50．（2022 奉贤区二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）
A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1
【考点16】平面与平面之间的位置关系（共1小题）
51．（2022 宝山区二模）已知α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直
C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面β
D．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线
【真题模拟题专练】
一．选择题（共11小题）
1．（2022 上海）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（　　）
A．点P B．点B C．点R D．点Q
2．（2022 上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．12
3．（2020 上海）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（　　）
A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD
4．（2019 上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2019 上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a α，b β，c γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（　　）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
6．（2018 上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2021 宝山区校级模拟）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021 杨浦区校级三模）已知直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是 （　　）
A．l与β垂直
B．l与β无公共点
C．l与β至少有一个公共点
D．在β内，l与β平行，l与β相交都有可能
9．（2021 金山区二模）下列命题为真命题的是（　　）
A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直
B．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行
C．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直
D．若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行
10．（2021 长宁区二模）设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A，且与棱AB、AD、AA1所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2021 松江区二模）设α、β表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l α，则l∥β是α∥β的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
二．填空题（共16小题）
12．（2022 上海）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 　 　．
13．（2021 上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 　 　．
14．（2021 上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为　 　．
15．（2018 上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，O是A1C1的中点，则三棱锥A﹣A1OB1的体积为 　 　
16．（2021 徐汇区校级三模）现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为16π，则长方体的高h的取值范围是　 　．
17．（2021 浦东新区校级三模）如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为　 　．
18．（2021 崇明区校级模拟）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心距离等于球半径的一半，且△ABC是边长为6的等边三角形，则球面面积为 　 　．
19．（2021 闵行区校级模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为　 　．
20．（2021 青浦区三模）如图，△ABC⊥平面α，D为AB中点，|AB|＝2，∠CDB＝60°，点P为平面α内动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为 　 　．
21．（2021 浦东新区二模）已知球的主视图的面积为，则该球的体积为　 　．
22．（2021 黄浦区二模）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝BC＝3，CC1＝4，则异面直线AB1与CD1所成角的大小是 　 　.（结果用反三角函数值表示）
23．（2021 徐汇区二模）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离是　 　．
24．（2021 上海模拟）已知正三棱锥S﹣ABC的棱长为6，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为　 　．
25．（2021 静安区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为　 　．
26．（2021 虹口区二模）已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18（cm3）．若该三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积等于　 　（cm3）．
27．（2021 虹口区二模）给出下列命题：
①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中所有正确命题的序号为　 　．
三．解答题（共4小题）
28．（2022 上海）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积VP﹣ABC；
（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．
29．（2020 上海）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．
（1）若PC＝5，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若直线AD与BP的夹角为60°，求PD的长．
30．（2019 上海）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，．
（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；
（2）求P﹣ABC的体积．
31．（2018 上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小．第19讲 立体几何初步
【考点梳理】
一、空间几何体的表面积、体积
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
　　名称 几何体　　　　 表面积 体积
柱　体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h
台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
空间中的平行关系
1.平行直线
(1)平行公理
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
(2)基本性质4(空间平行线的传递性)
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(3)定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
2.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a α，b α， a∥b a∥α
性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a β， α∩β＝b a∥b
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a α，b α，a∩b＝P， a∥β，b∥β α∥β
性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a α a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b a∥b
空间中的垂直关系
1.直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 l⊥α
推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 b⊥α
推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β
性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α
【解题方法和技巧】
1.求解几何体表面积的类型及求法
求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
2.求体积的常用方法
直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换
3.几何体的外接球：一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.
几何体的内切球：求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.
4.截面问题：在高考立体几何考点中涉及到空间几何体的截面的地方较多， 如:判断截面的形状、计算出空间几何体的截面周长或面积、或者求与之相关的体积问题、以及最值问题都在考察之列，但是要顺利地解决前面所提到的诸多问题，关键是根据题意作出截面，并判断其形状.
5.异面直线的判定方法
6.求异面直线所成的角的三步曲
7．线面平行的证明方法
（1）定义法：一般用反证法；
（2）判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；
（3）性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．
8．构造平行直线的常用方法
（1）构建三角形或梯形的中位线：可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点，从而构建中位线；
（2）构建平行四边形：可以利用已知的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直线同时平行于已知直线)，从而构建平行四边形．
应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行，还可以利用交线判断已知平面内的直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有和交线平行的直线都与已知直线平行，所有和交线相交的直线都与已知直线异面．
5.判定平面与平面平行的4种方法
（1）面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；
（2）面面平行的判定定理(主要方法)；
（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；
（4）利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
利用线面平行或面面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置．对于线段长或线段比例问题，常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决．
9.证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质．
10.利用判定定理证明平面与平面垂直的一般方法
先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明
【考点剖析】
【考点1】棱柱的结构特征（共1小题）
1．（2022 黄浦区模拟）已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′．
（1）G是△BA′C′的重心，求证：直线DG⊥平面BA′C′．
（2）若AB＝1，动点E，F在线段AD，D′C′上，且DE＝D′F＝a，M为AB的中点，异面直线EF与DM所成的角为arcos，求a的值．
【分析】（1）三角形BA'C'为等边三角形，G为三角形BA'C'的重心，连接A'G并延长交BC'于O，则A'O⊥BC'且O是BC'的中点，再结合AB＝AC'，可得BC'⊥平面ADOA'，所以DG⊥BC'，同理DG⊥A'B，所以DG⊥平面BA'C'．
（2）建立空间坐标系，利用空间向量处理即可．
【解答】解：（1）依题意，三角形BA'C'为等边三角形，
连接A'G并延长交BC'于O，则A'O⊥BC'且O是BC'的中点，
因为DB＝DC'，所以DO⊥BC'，
又因为A'O∩DO＝O，
所以BC'⊥平面DOA'，因为DG 平面DOA'，
所以DG⊥BC'，
同理DG⊥A'B，又因为A'B∩BC'＝B，
所以DG⊥平面BA'C'．
（2）如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD'为z轴建立如图坐标系，
则D（0，0，0），E（a，0，0），F（0，a，1），M（1，，0），
所以＝（﹣a，a，1），＝（1，，0），
所以cosarcos＝＝，即＝，
解得a＝．
【点评】本题考查了空间中线与面的位置，异面直线的夹角．建立坐标系是解决异面直线夹角问题比较简单的方法．
【考点2】棱锥的结构特征（共2小题）
2．（2022 宝山区校级二模）下面是关于三棱锥的四个命题，其中真命题的编号是（　　）
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
A．①② B．①④ C．②③ D．①③
【分析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；举例说明②③错误，由线面角与二面角的定义判断④．
【解答】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，
可得底面中心等于是棱锥顶点在底面的射影，故①正确；
②三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等，侧面都是等腰三角形，三棱锥不是正三棱锥，故②错误；
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，
根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，
由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：
内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥，故③错误；
④侧棱与底面所成的角相等，可得顶点在底面的射影为底面的外心，
又侧面与底面所成的二面角都相等，得顶点在底面的射影为底面的内心，
则底面为等边三角形，进一步可得三棱锥是正三棱锥，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力及推理论证能力，是基础题．
3．（2022 浦东新区校级模拟）如图，三棱锥的四个顶点P、A、B、C在同一个球面上，顶点P在平面ABC内的射影是H，若球心在直线PH上，则点H一定是△ABC的（　　）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【分析】由顶点P在平面ABC内的射影是H，球心在直线PH上，可得AH＝BH＝CH，即可得出结论．
【解答】解：设球心为O，则OA＝OB＝OC．
由顶点P在平面ABC内的射影是H，球心在直线PH上，可得AH＝BH＝CH，
∴点H一定是△ABC的外心．
故选：D．
【点评】本题考查线面垂直，考查心事分析解决问题的能力，属于中档题．
【考点3】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共5小题）
4．（2022 杨浦区二模）若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为 　12π　．
【分析】由圆锥的母线长为5，底面半径为3，求出圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．
【解答】解：∵圆锥的母线长为5，底面半径为3，
∴圆锥的高h＝＝4，
∴该圆锥的体积V＝＝12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查直圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2022 闵行区二模）已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的 　2　倍．
【分析】设这个圆柱原来的高为h，底面圆半径为r，它的体积扩大为原来的4倍后高为h，底面圆半径为R，由圆的体积公式列方程求出R＝2r，由此能求出它的侧面积扩大为原来的2倍．
【解答】解：设这个圆柱原来的高为h，底面圆半径为r，
它的体积扩大为原来的4倍后高为h，底面圆半径为R，
则πR2h＝4πr2h，解得R＝2r，
∴它的侧面积扩大为2πRh＝4πrh，扩大为原来的2倍．
故答案为：2．
【点评】本题考查圆柱的体积、侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（2022 崇明区二模）已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于2π，则该圆锥的体积等于 　　．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S侧＝πrl，代入得r＝1，根据图形结合勾股定理得h＝，再代入锥体体积公式V＝，能求出该圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
∵圆锥的母线长等于2，侧面积等于2π，
∴，解得r＝1，
∴h＝＝，
∴该圆锥的体积为V＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的结构特征、圆锥的侧面积、体积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2022 宝山区校级模拟）已知矩形ABCD，P是矩形内一点，且P到AB的距离为2．若将矩形ABCD绕AD顺时针旋转，则线段AP扫过的区域面积为 　　．
【分析】由题可得线段AP扫过的区域为圆锥的侧面，再根据圆锥侧面积公式求解即可．
【解答】解：线段AP扫过的区域面积即为以为半径，
母线长为的圆锥的侧面积的＝，故；
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的侧面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
8．（2022 青浦区校级模拟）圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为 　4π　．
【分析】先算出母线长，就可以算圆锥侧面积．
【解答】解：如图，
圆锥的母线，
圆锥的侧面展开图为扇形，
故侧面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，属于基础题．
【考点4】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）
9．（2022 徐汇区三模）设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为，AB和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的侧面积为 　2　．
【分析】由题意分别确定圆锥的高，底面半径和母线长，然后求解其侧面积即可．
【解答】解：由题意可知，圆锥的底面半径，
圆锥的高，
所以圆锥的母线长＝2，
则圆锥的侧面积：×2π××2＝2π．
故答案为：2π．
【点评】本题主要考查圆锥的空间结构及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
10．（2022 闵行区校级二模）若圆锥的底面半径为2，高为6，则该圆锥的侧面积为 　24π　．
【分析】计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式可求得结果．
【解答】解：由题意可知，该圆锥的母线长为，
因此，该圆锥的侧面积为．
故答案为：24π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，属于基础题．
11．（2022 松江区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，，F是PD的中点，点E在棱CD上．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的全面积；
（2）求证：PE⊥AF．
【分析】（1）根据题意可证明侧面为直角三角形，直接计算侧面底面面积求和能求出四棱锥P﹣ABCD的全面积；
（2）先证明出CD⊥平面PAD，再证明AF⊥平面PDC，由此能证明PE⊥AF．
【解答】解：（1）∵BC∥AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
∵BP 平面ABP，∴BC⊥BP，∴∠PBC＝90°，
同理可证明∠PDC＝90°，
∴四棱锥P﹣ABCD的全面积为：
S全＝S底+S△PAB+S△PBC+S△PDC+S△PAD
＝
＝．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴CD⊥PA，
∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF 平面PAD，∴AF⊥CD，
∵PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD，
又PA＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD，
∵CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC，
∵PE 平面PDC，∴PE⊥AF．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、四棱锥的全面积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【考点5】棱柱、棱锥、棱台的体积（共12小题）
12．（2022 宝山区模拟）如图，倒置圆锥形容器装有2升水，水平高度正好是圆锥高的一半，那么，这个容器的容积是 　16　升．
【分析】根据锥体的体积公式即可求解．
【解答】解：设有水部分的圆锥的底面圆半径为r，高为h，
则水的体积为＝2，
又水平高度正好是圆锥高的一半，
∴圆锥容器的底面圆的半径为2r，高为2h，
∴这个容器的容积是＝，
故答案为：16．
【点评】本题考查锥体的体积公式，属基础题．
13．（2022 黄浦区校级模拟）如图所示，有棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为正方体表面的一个动点．若三棱锥A﹣PBC的体积为，则|PD1|的取值范围是 　　．
【分析】根据三棱锥A﹣PBC的体积求出点P到平面ABC的距离h，由此确定点P的轨迹，结合图形即可得出答案．
【解答】解：设点P到平面ABC的距离为h，
则，所以，
如图在AA1上取点E，使得，过点E作平面EFGH∥平面ABCD，F，G，H分别在BB1，CC1，DD1上，
故点P在四边形EFGH的边上，
则当点P在点H的位置时，|PD1|最小，为，
当点P在点F的位置时，|PD1|最大，为，
所以|PD1|的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了锥体体积的有关计算，属于中档题．
14．（2022 浦东新区校级二模）已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥的体积为　12π　
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由已知列式求得r与l的值，进一步求得h，再由体积公式求体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
由题意得，解得．
∴h＝．
∴该圆锥的体积为V＝＝12π．
故答案为：12π．
【点评】本题考查圆锥的侧面积与体积公式，是基础的计算题．
15．（2022 宝山区二模）若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为　　．
【分析】过S作SO⊥平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．
【解答】解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：
过S作SO⊥平面ABC，∴OC为底面正三角形的高，且OC＝××＝，
∴棱锥的高SO＝＝，
∴三棱锥的体积V＝×××××＝．
故答案是．
【点评】本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．
16．（2022 青浦区二模）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点p为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为　48　cm3．
【分析】根据图形，在等腰△PAB中算出高PE＝5，再由勾股定理得出四棱锥的高PO＝4，最后根据锥体体积公式，算出四棱锥P﹣ABCD的体积，即为该容器的容积．
【解答】解：等腰△PAB中，AB＝x＝6，高PE＝5
∴四棱锥的高PO＝＝＝4
由此可得，四棱锥P﹣ABCD的体积为V＝×S正方形ABCD×PO＝×62×4＝48
即得该容器的容积为48cm3
故答案为：48
【点评】本题给出平面图形，求翻折成的正四棱锥的体积，着重考查了正四棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．
17．（2022 虹口区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，PD＝DC＝1，直线PB与平面ABCD所成的角为．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求异面直线AM与PC所成的角的大小．
【分析】（1）根据线面角的定义，锥体的体积公式即可求解；
（2）将两异面直线平移成相交直线，再结合解三角形知识即可求解．
【解答】解：（1）∵PD⊥底面ABCD，
∴直线PB与平面ABCD所成的角为∠PBD＝，
又PD＝1，∴DB＝，
又底面ABCD是矩形，且DC＝1，∴BC＝，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为；
（2）取AD的中点N，连接NC，NP，又M为BC中点，
∴AN＝DN＝MC＝，且AN∥MC，
∴四边形AMCN为平行四边形，
∴AM∥NC，
∴直线AM与PC所成的角即为NC与PC所成的角，
即直线AM与PC所成的角为∠PCN＝θ或其补角，
又NP＝NC＝，又PC＝，
∴cosθ＝，
∴θ＝arccos，
∴异面直线AM与PC所成的角的大小为arccos．
【点评】本题考查线面角的定义，锥体的体积公式，两异面直线所成角，属基础题．
18．（2022 奉贤区模拟）三棱锥B﹣ACD中，BA、BC、BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos，求三棱锥B﹣ACD的体积．
【分析】设DB＝h，取DC中点F，推导出EF∥AD，则∠BEF是异面直线BE与AD所成角，求出h＝4，由此能求出三棱锥B﹣ACD的体积．
【解答】解：设DB＝h，取DC中点F，
∴△BEF中，BE＝，BF＝EF＝，
∵EF∥AD，∴∠BEF是异面直线BE与AD所成角，
∵异面直线AD与BE所成的角大小为arccos，
∴∠BEF＝arccos，
∴＝，∴h＝4，
∴三棱锥B﹣ACD的体积V＝＝．
【点评】本题考查中位线定理、异面直线所成角、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．（2022 宝山区校级模拟）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其中．
（1）若点P是棱AA1上的动点，求三棱锥B1﹣PBC的体积．
（2）求点D1到平面ACB1的距离．
【分析】（1）根据AA1与平面BCC1B1平行，直接求解三棱锥P﹣B1BC的体积即可；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面ACB1的法向量与，再根据线面距离的空间向量方法求解即可．
【解答】解：（1）实际上需求三棱锥P﹣B1BC的体积，
由正四棱柱，，
△B1BC的面积为，
因为P是棱AA1上的动点且AA1与平面BCC1B1平行，则只需写出AA1与平面BCC1B1间的距离即可，
由于A1B⊥平面BCC1B1，不妨记三棱锥的高为A1B，
则三棱锥P﹣B1BC的体积；
（2）以D为原点，如图建立空间直角坐标系：
则，
可知，
设平面ACB1的法向量为，
则，
不妨设，同时设点D1到平面ACB1的距离为d，
则，
故点D1到平面ACB1的距离为．
【点评】本题考查了三棱锥的体积和点到平面的距离计算，属于中档题．
20．（2022 宝山区校级二模）如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB及BC的中点，将△AED，△BEF及△DCF折起，使A、C、B点重合于A1点．
（1）求三棱锥A1EFD的体积；
（2）求A1D与平面DEF所成角的正切值．
【分析】（1）由已知证明A1D⊥平面A1EF，然后利用等体积法求多面体A1EFD的体积；
（2）取EF的中点M，连结A1M，DM，即可证明平面A1MD⊥平面EFD，再说明A1D与平面DEF所成角为∠A1DM，再利用锐角三角函数计算可得．
【解答】解：（1）由条件可知A1E⊥A1D，A1F⊥A1D，且A1E∩A1F＝A1，A1E，A1F 平面A1EF，
∴AlD⊥平面AlEF，
∵△A1EF是等腰直角三角形，∴，
∴；
（2）取EF的中点M，连结A1M，DM，
∵A1E＝A1F，∴A1M⊥EF，
同理，DM⊥EF，且A1M∩EF＝M，A1M，EF 平面A1MD，
∴EF⊥平面A1MD，
又EF 平面A1MD，
∴平面A1MD⊥平面EFD，且平面A1MD∩平面EFD＝MD，
∴A1D与平面DEF所成角为∠A1DM，
∵A1D⊥平面A1EF，A1M 平面A1EF，
∴A1D⊥A1M，
∵，
∴，所以，
所以，
所以A1D与平面DEF所成角的正切值为．
【点评】本题考查了三棱锥的体积和线面角的计算，属于中档题．
21．（2022 嘉定区校级模拟）如图，圆锥的底面半径OA＝2，高PO＝6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．
（1）求圆锥的侧面积和体积；
（2）求异面直线CD与AB所成角的大小．（结果用反三角函数表示）
【分析】（1）由已知求得圆锥的母线长，再由圆锥的侧面积公式与体积公式求解；
（2）以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线CD与AB所成角的大小．
【解答】解：（1）∵圆锥的底面半径OA＝2，高PO＝6，
∴母线长PB＝，
则圆锥的侧面积S＝＝，
体积V＝＝8π；
（2）连接CO，∵C为底面直径AB所对弧的中点，
∴CO⊥AB，
以O为坐标原点，分别以OC，OB，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，﹣2，0），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，3），
∴，，
∴cos＜＞＝＝．
∴异面直线CD与AB所成角的大小为．
【点评】本题考查圆锥侧面积与体积的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
22．（2022 徐汇区三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝4，异面直线BC1与AA1所成角的大小为．
（1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）求直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【分析】（1）由已知可得，又B1B＝A1A＝4，求得正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为．再求出底面积，代入棱柱体积公式可得正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）在底面三角形ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，则∠BC1O为直线BC1与平面AA1C1C所成角，求解三角形得答案．
【解答】解：（1）∵异面直线BC1与AA1所成角的大小为，且A1A∥B1B，
∴，又B1B＝A1A＝4，
∴，即正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为．
∴．
则；
（2）在底面三角形ABC中，过B作BO⊥AC，垂足为O，
则O为AC中点，且BO⊥平面AA1C1C，连接C1O，
则∠BC1O为直线BC1与平面AA1C1C所成角，
BO＝6，BC＝，
∴sin，
∴∠BC1O＝arcsin．
即直线BC1与平面AA1C1C所成角的大小为arcsin．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查了多面体体积的求法，是中档题．
23．（2022 静安区二模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【分析】（1）由PO⊥平面ABCD，得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．由此我们可以计算出PO即棱锥的高，及底面菱形的面积，代入即可得到棱锥的体积．
（2）求异面直线DE与PA所成角的大小有两种不同的思路：法一是以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．表示出空间中各个点的坐标，进而给出相关向量的坐标，然后利用异面直线的夹角的余弦等于其方向向量夹角余弦值的绝对值，求出夹角．
法二是取AB的中点F，连接EF、DF．由E是PB的中点，得EF∥PA，则∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角），然后解三角形FED求出夹角．
【解答】解：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°．
在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO，
于是，PO＝BOtan60°＝，而底面菱形的面积为2．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝×2×＝2．
（2）解法一：以O为坐标原点，射线OB、OC、
OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系．
在Rt△AOB中OA＝，于是，点A、B、
D、P的坐标分别是A（0，﹣，0），
B（1，0，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，）．
E是PB的中点，则E（，0，）于是＝（，0，），＝（0，，）．
设与的夹角为θ，有cosθ＝，θ＝arccos，
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；
解法二：取AB的中点F，连接EF、DF．
由E是PB的中点，得EF∥PA，
∴∠FED是异面直线DE与PA所成
角（或它的补角），
在Rt△AOB中AO＝ABcos30°＝＝OP，
于是，在等腰Rt△POA中，
PA＝，则EF＝．
在正△ABD和正△PBD中，DE＝DF＝，
cos∠FED＝＝
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos．
【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值．
【考点6】球的体积和表面积（共2小题）
24．（2022 黄浦区模拟）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为9π，则球O的体积为 　32π　．
【分析】由题意可得圆M的半径为OA，结合面积求OA，进而求体积即可．
【解答】解：由题意得，
圆M的半径为＝OA，
则π （OA） ＝9π，
故OA＝2，
球O的体积为π（2） ＝32π，
故答案为：32π．
【点评】本题考查了球的基本性质的应用，属于基础题．
25．（2022 徐汇区二模）已知球的体积为，则该球的左视图所表示图形的面积为 　π　．
【分析】由球的体积公式得到半径，进而求解结论．
【解答】解：设球的半径为R，
∵球的体积为＝ πR3，
∴球的半径R＝1，
又因为球的左视图所表示的图形是球的大圆，
∴该球的左视图所表示图形的面积为：π R2＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查球的体积公式以及三视图的应用，属于简单题．
【考点7】球面距离及相关计算（共1小题）
26．（2022 浦东新区校级二模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长AB＝AA1＝1，AD＝，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面距离等于　　．
【分析】求出球的半径和∠AOA1，根据弧长公式得出答案．
【解答】解：A1C＝＝2，
∴外接球半径为OA1＝A1C＝1，
∴△OAA1为等边三角形，∴∠AOA1＝，
∴球A、A1这两点的球面距离为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了球面距离的计算，属于基础题．
【考点8】斜二测法画直观图（共1小题）
27．（2022 静安区模拟）如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O'C'＝O'A'＝2O'B'，则以下说法正确的是（　　）
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是等边三角形
【分析】根据题意，将△A'B'C'还原成原图，分析OC、OB、OA的关系，由三角形的性质即可得答案．
【解答】解：根据题意，将△A'B'C'还原成原图，如图，
原图中，则有OC＝OA＝OB，
则△ABC是等腰直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
【考点9】简单空间图形的三视图（共1小题）
28．（2022 静安区二模）中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用三视图判断即可．
【解答】解：．由题知，卯眼中间空出的部分看不见，需用虚线表示，且中间空出的部分是轴对称的，
故选：B．
【点评】本题考查三视图，属于基础题．
【考点10】由三视图求面积、体积（共2小题）
29．（2022 普陀区二模）已知一个圆锥的侧面积为，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为 　　．
【分析】由圆锥侧面积公式求得底面半径，圆锥的高为，应用圆锥的体积公式求体积．
【解答】解：∵其左视图为正三角形，∴设圆锥底面半径为r，则高为r，母线为2r，
所以2r×2πr＝，则，
故圆锥的体积为r×πr2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥的体积公式，属于基础题．
30．（2022 嘉定区校级模拟）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为 　2　．
【分析】根据题意求出直三棱柱的底面三角形面积，再求三棱柱的体积即可．
【解答】解：根据题意知，直三棱柱的底面三角形是底面边长为2，高为1的直角三角形，底面面积为S＝×2×1＝1，
且直三棱柱的高为2，所以该“堑堵”的体积为V＝Sh＝1×2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了利用三视图求简单几何体的体积应用问题，是基础题．
【考点11】平面的基本性质及推论（共2小题）
31．（2022 黄浦区二模）如图，已知P、Q、R分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、BC和C1D1的中点，由点P、Q、R确定的平面β截该正方体所得截面为（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】根据题意，作RT平行PQ，交A1D1于点T，取AA1的中点M，CC1的S，连接PM、TM、RS、QS，可得过PQR的截面图形．
【解答】解：作RT平行PQ，交A1D1于点T，
取AA1的中点M，CC1的S，连接PM、TM、RS、QS，
可得过PQR的截面为六边形PQSRTM．
故选：D．
【点评】本题考查了线面、面面的位置关系应用问题，也考查推理与判断能力，是基础题．
32．（2022 静安区模拟）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 　　．
【分析】把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积即可．
【解答】解：如图，把截面AEF补形为四边形AEFD1，
连接AD1，则EF∥AD1，可得等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形，
由正方体ABCD﹣A1B1G1D1的棱长为1，得AD1＝，EF＝，
AE＝＝，则E到AD1的距离为＝，
∴S四边形AEFD1＝（+）×＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了学生的作图能力及立体几何证明与求解的综合应用，属于基础题．
【考点12】异面直线及其所成的角（共9小题）
33．（2022 嘉定区校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是线段AB、BD1上的动点，且直线EF与AA1所成的角为，则下列直线中与EF所成的角必为的是（　　）
A．CD B．BD C．BC1 D．DC1
【分析】连接A1D交AD1于N，过A作AH∥EF交BD1于H，过N作NM⊥AH于M，tan∠A1AH＝＝，计算可得tan∠MAN＝＝＝，可知直线BC1与EF所成的角必为．
【解答】解：连接A1D交AD1于N，过A作AH∥EF交BD1于H，过N作NM⊥AH于M，
∵E、F分别是线段AB、BD1上的动点，∴EF在平面ABD1内，
易证A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥AH，又A1D∩A1M＝A1，所以AH⊥平面A1NM，
∴AH⊥A1M，
则∠A1AH为直线EF与AA1所成的角，又直线EF与AA1所成的角为，
∴tan∠A1AH＝＝，设正方体的棱长为1，则可得AM＝，A1M＝，
又A1N＝A1D＝，∴NM＝＝，
在Rt△AMN中，tan∠MAN＝＝＝，
又AD1∥BC1，故直线BC1与EF所成的角必为，
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成的角，属中档题．
34．（2022 松江区二模）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E是D1C1的中点，则异面直线A1C1与DE所成角的大小为 　　．（结果用反三角函数表示）
【分析】由异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用求解即可．
【解答】解：设AB＝2，
则＝＝2，
又，，
设异面直线A1C1与DE所成角的大小为θ，
则cos＝＝，
即异面直线A1C1与DE所成角的大小为，
故答案为：．
【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了空间向量的应用，属基础题．
35．（2022 奉贤区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，AB＝1，，四棱锥P﹣ABCD的体积为，M为BC的中点．
（1）求异面直线AM与PB所成的角；
（2）求直线PM与平面PBD所成的角．
【分析】（1）利用四棱锥P﹣ABCD的体积为，可求得PD＝2，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线AM与PB所成的角；
（2）利用（1）建立的坐标系，求得平面PBD的一个法向量与直线PM的方向向量，可求直线PM与平面PBD所成的角．
【解答】解：（1）由四棱锥P﹣ABCD的体积为，得SABCD PD＝，
∴×AD AB PD＝，∴××1×PD＝，∴PD＝1，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（，0，0），M（，0，0），P（0，0，1），B（，1，0）
∴＝（﹣，0，0），＝（，1，﹣1），
∴cos＜，＞＝＝＝﹣，
∴异面直线AM与PB所成的角为45°；
（2）由（1）知D（0，0，0），
＝（0，0，1），＝（，1，0），
设平面PBD的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令x＝1，则y＝﹣，z＝0，
∴平面PBD的一个法向量为＝（1，﹣，0），
又＝（，0，﹣1），
设直线PM与平面PBD所成为θ，
∴sinθ＝＝＝．
∴直线PM与平面PBD所成的角为arcsin．
【点评】本题考查线线角的求法，以及线面角的求法，属中档题．
36．（2022 青浦区二模）如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是弧的中点．
（1）求该圆柱的表面积和体积；
（2）求异面直线BE与AD所成角的大小．
【分析】（1）根据圆柱的表面积公式和体积公式能求出该圆柱的表面积和体积．
（2）根据AD∥BC，得到∠EBC或其补角是直线BE与AD所成角，取弧的中点F，连接EC、EF、BF，求出BE＝EC＝，由此能求出异面直线BE与AD所成角的大小．
【解答】解：（1）由已知可得圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，
∴该圆柱的表面积为：
S＝S侧+S底＝2πrh+2πr2＝6π，
该圆柱的体积为：
V＝S底h＝πr2h＝2π．
（2）∵AD∥BC，∴∠EBC是异面直线BE与AD所成角（或所成角的补角），
取弧的中点F，连接EC、EF、BF，
BE＝EC＝＝＝，
在△EBC中，cos∠EBC＝＝，
∴，
∴异面直线BE与AD所成角的大小为arccos．
【点评】本题考查圆柱的表面积和体积、异面直线所成角、圆柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
37．（2022 崇明区二模）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长等于4，点E是棱DD1的中点．
（1）求直线A1E与直线B1C所成的角；
（2）若底面ABCD上的点P满足PD1⊥平面A1EC1，求线段DP的长度．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的夹角公式能求出直线A1E与直线B1C所成的角；
（2）假设在底面ABCD上存在点P，使得PD1⊥平面A1EC1，设P（a，b，0），求出向量，，的坐标，根据线面垂直的性质求出a，b，由此能求出线段DP的长度．
【解答】解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（4，0，4），E（0，0，2），B1（4，4，4），C（0，4，0），
∴＝（﹣4，0，﹣2），＝（﹣4，0，﹣4），
设直线A1E与直线B1C所成角为，
∴cosθ＝＝＝，
∴θ＝arccos，
∴直线A1E与直线B1C所成的角为arccos．
（2）假设在底面ABCD上存在点P满足PD1⊥平面A1EC1，
设P（a，b，0），∵C1（0，4，4），D1（0，0，4），
∴＝（﹣4，4，0），＝（0，4，2），＝（a，b，﹣4），
由PD1⊥平面A1EC1，得：
，解得a＝2，b＝2，∴P（2，2，0），
∴＝（2，2，0），||＝＝2，
∴线段DP的长度为2．
【点评】本题考查异面直线所成角、线面垂直的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
38．（2022 宝山区模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是CC1的中点，过AP的平面与BB1，DD1分别交于Q，R，且BQ＝．
（1）求异面直线PQ与AB所成角的大小；
（2）求C1到平面AQPR的距离．
【分析】（1）根据直线与平面垂直的性质定理，确定PQ与AB的位置关系，进而求PQ与AB所成角的大小；
（2）C1到平面AQPR的距离即C到平面AQP的距离，根据等体积法求解即可．
【解答】（1）解：∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∵PQ 平面BCC1B1，
∴AB⊥PQ，
∴异面直线PQ与AB所成角的大小为90°．
（2）C1到平面AQPR的距离即C到平面AQP的距离，
S△PQC＝＝，AB为三棱锥A﹣PQC的高，
VA﹣PQC＝＝；
P是CC1的中点，过AP的平面与BB1，DD1分别交于Q，R，且BQ＝，
∴DR＝，四边形AQPR为菱形，
AC＝，AP＝＝，RQ＝BD＝，
S△APQ＝SAQPR＝＝，
设C1到平面AQP的距离为d，
∵V＝VA﹣PQC＝×d＝，
解得：d＝．
∴求C1到平面AQPR的距离为．
【点评】本题考查异面直线的夹角和点到平面的距离，是中档题．
39．（2022 黄浦区校级模拟）如图所示，设有底面半径为3的圆锥．已知圆锥的侧面积为15π，D为PA中点，．
（1）求圆锥的体积；
（2）求异面直线CD与AB所成角．
【分析】（1）由圆锥侧面积公式可求得母线长，进而得到圆锥的高，利用圆锥体积公式可求得结果；
（2）解法一：取OA边上中点E，由线面垂直的判定可证得AB⊥平面CDE，由线面垂直性质得AB⊥CD，由此可得结果；
解法二：取圆弧AB中点E，连结OE，以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，由向量运算可得，知AB⊥CD，由此可得结果．
【解答】解：（1）设圆锥母线长为l，
∵S侧＝πrl＝3πl＝15π，∴l＝5，即 PA＝PB＝5，
∴圆锥的高，
∴；
（2）解法一：取OA边上中点E，连结DE，CE，AC，
∵DE是△AOP的中位线，∴DE∥OP，
∵OP垂直于底面，∴DE垂直于底面，∴DE⊥AB，
∵CA＝CO，E为OA中点，∴CE⊥OA，即AB⊥CE，
∵CE∩DE＝E，CE，DE 平面CDE，∴AB⊥平面CDE，
又CD 平面CDE，∴AB⊥CD，即异面直线AB与CD所成角为；
解法二：取圆弧AB中点E，连结OE，则OE⊥AB，
以O为坐标原点，的正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，﹣3，0），B（0，3，0），，，
∴，，∴，即AB⊥CD，
∴异面直线AB与CD所成角为．
【点评】本题考查了圆锥的体积和异面直线所成角的计算，属于中档题．
40．（2022 杨浦区模拟）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，取劣弧BC上一点E，使∠COE＝，连结PE．已知|OA|＝1，|PA|＝2．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求异面直线PE、BD所成角的大小．
【分析】（1）利用勾股定理和圆锥体积公式进行求解即可；
（2）根据异面直线所成角的定义，结合正弦定理和余弦定理进行求解即可．
【解答】解：（1）由勾股定理可知：，
所以圆锥的体积为：；
（2）过E做EF∥BD，所以∠PEF是异面直线PE、BD所成的角（或其补角），
因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且AB⊥CD，
所以，即，而，所以，
因此，
在△OEF中，由正弦定理可知：．
．
由余弦定理可知：，
所以，即异面直线PE、BD所成角的大小为．
【点评】本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题．
41．（2022 浦东新区校级模拟）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥A1﹣APB的体积为．
（1）求圆柱OO1的表面积；
（2）求异面直线A1B与OP所成角的余弦值．
【分析】（1）由题意可得AP＝2，BP＝2，进而可得关于AA1的等式，可得AA1，代入表面积公式可得答案；
（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，可得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角，由余弦定理可得结果．
【解答】解：（1）由题意，在△AOP中，OA＝OP＝2，∠AOP＝120°，所以AP＝2，
在△BOP中，OB＝OP＝2，∠BOP＝60°，所以BP＝2，
因为三棱锥A1﹣APB的体积为．
所以＝＝，解得AA1＝4，
故圆柱OO1的表面积为S表＝2π×22+2π×2×4＝24π．
（2）取AA1中点Q，连接OQ，PQ，则OQ∥A1B，
得∠POQ或它的补角为异面直线A1B与OP所成的角，
又，AQ＝AO＝2，得OQ＝2，PQ＝4，
由余弦定理得cos∠POQ＝＝﹣，
∴异面直线A1B与OP所成角的余弦值为．
【点评】本题考查圆柱的表面积，以及异面直线所成的角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
【考点13】空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）
42．（2022 奉贤区模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交
B．一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面
C．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线
D．一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行
【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：一条直线和两条平行直线中的一条相交，则和另一条相交或异面，故A错误；
一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，不放设a∥b，l与a确定一个平面，则l与a平行或相交，
若l与a相交，可知l与b相交或异面，过B错误；
一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线，
否则，若平行，由平行公理可知，三条直线互相平行，故C错误；
一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
43．（2022 长宁区二模）如图，已知A、B、C、D、E、F分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（　　）
A．直线AB B．直线BC C．直线CD D．直线DA
【分析】证明四边形ABEF为等腰梯形判断A；由平面与平面平行的性质判断B与C；由异面直线的定义判断D．
【解答】解：如图，
由正方体的结构特征可得AF∥GH∥BE，又BE＝2AF，
则四边形ABEF为等腰梯形，知AB与EF相交，故A正确；
∵平面EFH∥平面BCG，且EF 平面EFH，BC、CD 平面BCG，
∴EF与直线BC，EF与直线CD不相交，故B、C错误；
DA 平面GDA，F∈平面GDA，F DA，E 平面GDA，
∴EF与DA是异面直线，故D错误．
∴与直线EF相交的是直线AB，
故选：A．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
【考点14】空间中直线与平面之间的位置关系（共6小题）
44．（2022 金山区二模）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，平行于同一个平面的两条直线可以平行、异面或相交，A错误；
对于B，垂直于同一个平面的两条直线平行，B正确；
对于C，平行于同一直线的两个平面可能相交，C错误；
对于D，若m⊥α，α⊥β，则m β或m∥β，D错误；
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直、平行的判断和性质，属于基础题．
45．（2022 静安区二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（　　）
（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β．
（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β．
（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β．
（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥β．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意，依次分析4个命题是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于（1），α、β都垂直于平面r，则α与β可以平行和可能相交，错误；
对于（2），平行与同一个平面的两个平面平行，正确；
对于（3），垂直于同一直线的两个平面平行，正确；
对于（4），l，m是两条异面直线，l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，
则存在直线m′使得m′∥m，且l，m′相交，
设l，m′确定的平面γ，
由面面平行的判定可知γ∥α，同理可得γ∥β，则α∥β，故（4）正确．
正确的有3个；
故选：D．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及命题真假的判断，属于基础题．
46．（2022 徐汇区三模）已知空间三条直线a、b、m及平面β，且a、b β，条件甲：m⊥a，m⊥b；条件乙：m⊥β，则“条件乙”是“条件甲”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】由充要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由题意，空间三条直线a，b，m及平面β，且a，b β，
由线面垂直的判定定理可得：m⊥a，m⊥b，且需要a与b相交才能得出m⊥β，故甲不能推出乙；
而由线面垂直的定义可得m⊥β，则m必垂直β内任意直线，即m⊥a，m⊥b，故乙能推出甲；
故由充要条件的定义可知，乙是甲的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充要条件的定义，属于基础题．
47．（2022 徐汇区校级模拟）已知α是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数（　　）
①若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
②若l⊥m，l⊥n，则m∥n；
③若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l；
④若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面；
⑤若m α，n⊥α，l⊥n，则l∥m；
⑥若m⊥α，n⊥α，l∥m，则l∥n．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用线面、面面平行垂直的关系的判定定理及性质定理进行判断求解．
【解答】解：对于①，若m α，n α，l⊥m，l⊥n，
则只有当m，n相交时，才有l⊥α，故①错误；
对于②，若l⊥m，l⊥n，则m与n相交、平行或异面，故②错误；
对于③，若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，这两点可以在直线的两侧，
∴直线AB与l相交或平行，故③错误；
对于④，若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n可以确定一个或三个平在，故④错误；
对于⑤，若m α，n⊥α，l⊥n，则l与m平行或异面，故⑤错误；
对于⑥，若m⊥α，n⊥α，l∥m，则m∥n，由平行的传递性得到l∥n，故⑥正确．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
48．（2022 浦东新区校级模拟）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（　　）
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF不平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
【分析】在A中，若D1D⊥AF，则DD1⊥平面AEF，从而CC1⊥EF，不成立；在B中，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，推导出平面A1GO∥平面AEF，从而A1G∥平面AEF；在C中，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，则EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，从而截面即为梯形AEFD1，进而；在D中，记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，由，，得以h1≠h2．
【解答】解：在A中，若D1D⊥AF，
又因为D1D⊥AE且AE∩AF＝A，所以DD1⊥平面AEF，
所以DD1⊥EF，所以CC1⊥EF，不成立，故A错误；
在B中，如图所示，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，
由条件可知：GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，
所以平面A1GQ∥平面AEF，
又因为A1G 平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，故B错误；
在C中，如图所示，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，
因为E，F为BC、C1C的中点，
所以EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，
所以截面即为梯形AEFD1，
又因为，，
所以，所以，故C正确；
在D中，记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，
因为，
又因为，
所以h1≠h2，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
49．（2022 浦东新区校级二模）设l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为（　　）
A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α∥β
C．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，则α∥β
【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：由l、m是不同的直线，α、β是不同的平面，知：
在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故A错误；
在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，则α与β相交或平行，故B错误；
在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．
【考点15】直线与平面平行（共1小题）
50．（2022 奉贤区二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）
A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1
【分析】利用线面平行的判定定理逐项判断即可．
【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得CC1∥AA1，AA1 平面A1ABB1，CC1 平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，故A正确；
AF 平面ABC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得平面ABC∥平面A1B1C1，所以AF∥平面A1B1C1，故B正确；
取A1B1中点N，又E是A1C1中点，所以NE∥C1B1，且NE＝C1B1，
又F是棱BC的中点，所以BF＝C1B1，AF∥C1B1∴BF∥NE，BF＝NE，
所以四边形BFEN是平行四边形，所以EF∥BN，BN 平面A1ABB1，EF 平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，故C正确；
因为EC1∥AC，但EC1≠AC，所以AE与CC1相交，从而有AE不平行于平面B1BCC1，故D错误．
故选：D．
【点评】本题考查线面平行的判定定理，属基础题．
【考点16】平面与平面之间的位置关系（共1小题）
51．（2022 宝山区二模）已知α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行
B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直
C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面β
D．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线
【分析】举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D作答．
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；
如图，直线l是平面α的斜线，l∩α＝O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，
过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，
而PA 平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l一个平面垂直于平面α，
因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l直线OA确定的平面β唯一，
所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确；
如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，
因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C不正确；
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线BC1为直线l，
显然直线l垂直于平面α，而平面α内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确．
故选：B．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
【真题模拟题专练】
一．选择题（共11小题）
1．（2022 上海）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（　　）
A．点P B．点B C．点R D．点Q
【分析】线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，即直线MN与线段A1S、B1D不相交，因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、B1D相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可判断．
【解答】解：线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，即直线MN与线段A1S、B1D不相交，
因此所求与D1可视的点，即求哪条线段不与线段A1S、B1D相交，
对A选项，如图，连接A1P、PS、D1S，因为P、S分别为AB、CD的中点，
∴易证A1D1∥PS，故A1、D1、P、S四点共面，∴D1P与A1S相交，∴A错误；
对B、C选项，如图，连接D1B、DB，易证D1、B1、B、D四点共面，
故D1B、D1R都与B1D相交，∴B、C错误；
对D选项，连接D1Q，由A选项分析知A1、D1、P、S四点共面记为平面A1D1PS，
∵D1∈平面A1D1PS，Q 平面A1D1PS，且A1S 平面A1D1PS，点D1 A1S，
∴D1Q与A1S为异面直线，
同理由B，C选项的分析知D1、B1、B、D四点共面记为平面D1B1BD，
∵D1∈平面D1B1BD，Q 平面D1B1BD，且B1D 平面D1B1BD，点D1 B1D，
∴D1Q与B1D为异面直线，
故D1Q与A1S，B1D都没有公共点，∴D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．
2．（2022 上海）上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．12
【分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．
【解答】解：3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，
∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），
相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，
故选：B．
【点评】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．
3．（2020 上海）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是（　　）
A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD
【分析】由图可知点P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，由平面与平面平行的判定可得平面EFG∥平面A1DC，连接AC，交FG于M，连接EM，再由平面与平面平行的性质得EM∥A1C，在△EFM中，过P作PQ∥EM，且PQ∩FM于Q，可得PQ∥A1C，由此说明过点P且与A1C平行的直线相交的面是ABCD，即Q点所在的平面是平面ABCD．
【解答】解：如图，
由点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，
可得P在△AA1D内，过P作EF∥A1D，且EF∩AA1于E，EF∩AD于F，
在平面ABCD中，过F作FG∥CD，交BC于G，则平面EFG∥平面A1DC．
连接AC，交FG于M，连接EM，
∵平面EFG∥平面A1DC，平面A1AC∩平面A1DC＝A1C，平面A1AC∩平面EFM＝EM，
∴EM∥A1C．
在△EFM中，过P作PQ∥EM，且PQ∩FM于Q，则PQ∥A1C．
∵线段FM在四边形ABCD内，Q在线段FM上，∴Q在四边形ABCD内．
∴则Q点所在的平面是平面ABCD．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
4．（2019 上海）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．
【解答】解：如图，
则，，
∴两个圆锥的体积之比为．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．
5．（2019 上海）已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a α，b β，c γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系（　　）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【分析】利用面面垂直的性质．画图判定
【解答】解：如图1，可得a、b、c可能两两垂直；
如图2，可得a、b、c可能两两相交；
如图3，可得a、b、c可能两两异面；
故选：B．
【点评】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．
6．（2018 上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有：A1B1，AC，AA1．
【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱所在的直线中，
与直线BC1异面的直线有：A1B1，AC，AA1，共3条．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线的条数的求法，考查异面直线的判断等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（2021 宝山区校级模拟）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连接到PR，利用线面垂直的性质定理和判定定理证明BD⊥PR，然后利用比例关系求出PQ，QR，从而求出PR，即可得到f（x）的表达式，由二次函数的图像和性质分析即可得到答案．
【解答】解：作PQ⊥BC于点Q，作QR⊥BD于点R，连接到PR，
由已知可得PQ∥AB，QR∥CD，且AB⊥平面BCD，
所以PQ⊥平面BCD，又BD 平面BCD，
所以PQ⊥BD，
又QR⊥BD，PQ∩QR＝Q，PQ，QR 平面PQR，
所以BD⊥平面PQR，又PR 平面PQR，
所以BD⊥PR，
设AB＝BD＝CD＝1，
则，则，所以，
又，解得，
所以PR＝＝，
故f（x）＝，
其函数图像是关于直线对称的图像且开口上，故选项B，C，D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了立体几何与函数的综合应用，解题的关键是求出函数f（x）的解析式，然后通过对称性、单调性、特殊点等进行排除即可，考查了空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
8．（2021 杨浦区校级三模）已知直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是 （　　）
A．l与β垂直
B．l与β无公共点
C．l与β至少有一个公共点
D．在β内，l与β平行，l与β相交都有可能
【分析】由题意画出图形，即可直观说明直线l与平面β的位置关系，则答案可求．
【解答】解：如图，
α⊥β，且α∩β＝a，当l∥a时，l∥β或l β，
l与β也可能相交，故直线l与平面β的位置关系是在β内，l与β平行，l与β相交都有可能．
故选：D．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．
9．（2021 金山区二模）下列命题为真命题的是（　　）
A．若直线l与平面α上的两条直线垂直，则直线l与平面α垂直
B．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行
C．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直
D．若直线l上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α平行
【分析】对于A，只有当平面α上的两直线是相交线时，才有直线l与平面α垂直；对于B，由线面垂直的性质得这两条直线平行；对于C，这两个平面相交或平行；对于D，若两点在平面α的同侧，则l∥α，若两点在平面α的异侧，且线段AB的中点在α上，l与α相交．
【解答】解：对于A，若直线l与平面α上的两条直线垂直，
只有当平面α上的两直线是相交线时，才有直线l与平面α垂直，故A错误；
对于B，若两条直线同时垂直于一个平面，则由线面垂直的性质得这两条直线平行，故B正确；
对于C，若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面相交或平行，故C错误；
对于D，直线l上的不同两点到平面α的距离相等，
设A、B是直线l上两点，若两点A、B在平面α的同侧，则l∥α，
若两点A、B在平面α的异侧，且线段AB的中点在α上，则l与α相交，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力等数学核心素养，是中档题．
10．（2021 长宁区二模）设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A，且与棱AB、AD、AA1所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】按照三个点A1，B，D与平面α的位置关系进行分类讨论，即可得到答案．
【解答】解：第一类：
①A1在平面的一边，B，D在另一边，有一个平面α符合条件；
②B在平面的一边，A1，D在另一边，有一个平面α符合条件；
③D在平面的一边，A1，B在另一边，有一个平面α符合条件；
第二类：
A1，B，D都在平面的同侧，有一个平面α符合条件．
综上所述，满足条件的平面α共有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了线面角的理解和应用，考查了空间中点、线、面位置关系的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．
11．（2021 松江区二模）设α、β表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l α，则l∥β是α∥β的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据线面、面面平行的判定与性质定理即可判断出结论．
【解答】解：由l α，α∥β l∥β，
反之不成立，可能α∥β或α与β相交．
∴l∥β是α∥β的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共16小题）
12．（2022 上海）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 　24π．　．
【分析】由底面积为9π解出底面半径R＝3，再代入侧面积公式求解即可．
【解答】解：因为圆柱的底面积为9π，即πR2＝9π，
所以R＝3，
所以S侧＝2πRh＝24π．
故答案为：24π．
【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题．
13．（2021 上海）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则△ABC的面积的取值范围为 　　．
【分析】上顶面圆心记为O，下底面圆心记为O'，连接OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，由于AB为定值，则S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，
分别求解CM的最大值和最小值，即可得到答案．
【解答】解：如图1，上底面圆心记为O，下底面圆心记为O'，
连接OC，过点C作CM⊥AB，垂足为点M，
则，
根据题意，AB为定值2，所以S△ABC的大小随着CM的长短变化而变化，
如图2所示，当点M与点O重合时，CM＝OC＝，
此时S△ABC取得最大值为；
如图3所示，当点M与点B重合，CM取最小值2，
此时S△ABC取得最小值为．
综上所述，S△ABC的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
14．（2021 上海）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为　4π　．
【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．
【解答】解：圆柱的底面半径为r＝1，高为h＝2，
所以圆柱的侧面积为S侧＝2πrh＝2π×1×2＝4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．
15．（2018 上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，AA1＝5，O是A1C1的中点，则三棱锥A﹣A1OB1的体积为 　5　
【分析】根据棱锥的体积公式计算．
【解答】解：＝＝ CC1＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．
16．（2021 徐汇区校级三模）现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为16π，则长方体的高h的取值范围是　[4π，+∞）　．
【分析】设长方体的底面长为x，则宽为4﹣x，可得底面积为S＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）．求出S的范围，可得圆柱的底面积的范围，再由圆柱的体积为16π，可得Sh＝16π，由此可得圆柱的高h的取值范围，即长方体的高h的取值范围．
【解答】解：设长方体的底面长为x，则宽为4﹣x，
∴底面积为S＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）．
∴当x＝2时，Smax＝4，则S∈（0，4]．
∴圆柱的底面积的范围为S∈（0，4]．
又圆柱的体积为16π，
由Sh＝16π，得h＝∈[4π，+∞），
又长方体与圆柱的高相等，可得长方体的高h的取值范围是[4π，+∞）．
故答案为：[4π，+∞）．
【点评】本题考查二次函数的最值的求法，考查圆柱体积公式的应用，是中档题．
17．（2021 浦东新区校级三模）如图为某一圆柱的三视图，则该圆柱的侧面积为　0.36π　．
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体地侧面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面半径为0.3米，高为0.6米的圆柱；
如图所示：
所以：圆柱的侧面积S＝2×π×0.3×0.6＝0.36π．
故答案为：0.36π．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的侧面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
18．（2021 崇明区校级模拟）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心距离等于球半径的一半，且△ABC是边长为6的等边三角形，则球面面积为 　64π　．
【分析】设球的球心为O，半径为R，取AB的中点D，连接CD，连接OC，OO′，求出外接球的半径，然后求解球的表面积．
【解答】解：设球的球心为O，半径为R，取AB的中点D，连接CD，根据题意得△ABC
的外心O'，在线段CD上，由△ABC是边长为6的等边三角形可得，连接OC，OO′，如图根据球的性质可得OC＝R，OO'⊥而ABC．
即，所以OO'⊥O'C，在Rt△OO'C中，O'O2+O'C2＝OC2即，解得R＝4或R＝﹣4（含去），
所以该球的表面积S＝4πR2＝64π，
故答案为：64π
【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
19．（2021 闵行区校级模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为　8π　．
【分析】求解△PQN的外接圆的半径，由球心与△PQN外接圆的圆心垂直，利用勾股定理求解球的半径，则球的表面积可求．
【解答】解：三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，
由点P为棱CC1的中点，可得底面△PQN是等腰直角三角形，
那么底面△PQN的外接圆半径r＝1，
设球心到△PQN的外接圆的圆心的距离为d，球半径R，
则，①
d2+r2＝R2，②
联立①②解得R＝．
∴该球的表面积S＝4πR2＝8π．
故答案为：8π．
【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
20．（2021 青浦区三模）如图，△ABC⊥平面α，D为AB中点，|AB|＝2，∠CDB＝60°，点P为平面α内动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为 　60°　．
【分析】由题意推出到直线的距离为的P的轨迹是圆柱面，得到P的轨迹是椭圆，然后结合椭圆的性质可得∠APB的最大值．
【解答】解：空间中到直线CD的距离为的点构成一个圆柱面，
它和面α相交得一椭圆，
所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，
b＝，a＝＝2，则c＝1，
于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，且为60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查面面垂直的性质和椭圆的性质，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21．（2021 浦东新区二模）已知球的主视图的面积为，则该球的体积为　　．
【分析】由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．
【解答】解：πR2＝，R＝，V＝πR3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积公式，属于简单题．
22．（2021 黄浦区二模）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB＝BC＝3，CC1＝4，则异面直线AB1与CD1所成角的大小是 　　.（结果用反三角函数值表示）
【分析】建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出两向量的夹角，从而求出异面直线AB1与CD1所成角的大小．
【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示：
由长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，CC1＝4，
所以A（3，0，0），B1（3，3，4），C（0，3，0），D1（0，0，4），
所以＝（0，3，4），＝（0，﹣3，4），
计算cos＜，＞＝＝＝，
所以异面直线AB1与CD1所成角的大小是arccos．
故答案为：arccos．
【点评】本题考查了异面直线所成角的计算问题，也考查了数形结合应用思想，是基础题．
23．（2021 徐汇区二模）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离是　　．
【分析】正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角AOC为直角，就可以求出AC的球面距离．
【解答】解：正四棱柱的对角线为球的直径，
由4R2＝1+1+2＝4得R＝1，
∴AC＝＝R2+R2，
所以∠AOC＝（其中O为球心）
∴A、C两点间的球面距离为 ，
故答案为：．
【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球的结构认识，基本知识的考查，是中档题．
24．（2021 上海模拟）已知正三棱锥S﹣ABC的棱长为6，底面边长为6．则该正三棱锥外接球的表面积为　π　．
【分析】由题意推出球心O到四个顶点的距离相等，利用直角三角形BOE，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．
【解答】解：如图，∵正三棱锥A﹣BCD中，底面边长为6，
侧棱长为6，BE＝ 6＝2，∴高AE＝＝4．
由球心O到四个顶点的距离相等，
在直角三角形BOE中，BO＝R，EO＝＝4﹣R，
由BO2＝BE2+EO2，得R2＝12+（4﹣R）2，R＝，
∴外接球的半径为R＝2，表面积为：4 π R2＝π．
故答案为：π．
【点评】本题属于中档题，考查空间想象能力，计算能力；直角三角形BOE是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．
25．（2021 静安区二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为　（3+）π　．
【分析】首先把三视图和几何体的直观图之间进行转换，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由圆柱和圆锥组成的组合体；
如图所示：
故圆锥的母线长x＝，圆锥的底面周长为2π，
所以圆锥的侧面积S＝，
圆柱的表面积S＝2 π 1 1+π 12＝3π，
故几何体的表面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
26．（2021 虹口区二模）已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于18（cm3）．若该三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积等于　　（cm3）．
【分析】设三棱柱的棱长为a，则由棱锥体积求解a，从而求出三棱柱外接球的半径，再由球的体积公式求解．
【解答】解：如图，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且所有棱长都相等，
该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且三棱柱的体积为18，
设三棱柱的棱长为a，则×a×a×sin60°×a＝18，
解得a＝，分别设上下底面中心为O1，O2，则O1O2的中点O即为三棱柱外接球的球心，
，
∴球的半径R＝，
则球O的体积等于．
故答案为：．
【点评】本题考查三棱柱的外接球的体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，可惜运算求解能力，是中档题．
27．（2021 虹口区二模）给出下列命题：
①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
②若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中所有正确命题的序号为　②③　．
【分析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②；由空间中直线与平面的位置关系判断③．
【解答】解：对于①，若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故①错误；
对于②，根据线面垂直的性质可知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故②正确；
对于③，若一条直线平行于一个平面，则与该平面垂直的直线与该直线垂直，故③正确．
∴其中所有正确命题的序号为②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
三．解答题（共4小题）
28．（2022 上海）如图所示三棱锥，底面为等边△ABC，O为AC边中点，且PO⊥底面ABC，AP＝AC＝2．
（1）求三棱锥体积VP﹣ABC；
（2）若M为BC中点，求PM与面PAC所成角大小．
【分析】（1）直接利用体积公式求解；
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解．
【解答】解：（1）在三棱锥P﹣ABC中，因为PO⊥底面ABC，所以PO⊥AC，
又O为AC边中点，所以△PAC为等腰三角形，
又AP＝AC＝2．所以△PAC是边长为2的为等边三角形，
∴PO＝，三棱锥体积VP﹣ABC＝＝＝1，
（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，），B（，0，0），C（0，1，0），M（，，0），
＝（，，﹣），
平面PAC的法向量＝（，0，0），
设直线PM与平面PAC所成角为θ，
则直线PM与平面PAC所成角的正弦值为sinθ＝||＝＝，
所以PM与面PAC所成角大小为arcsin．
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
29．（2020 上海）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，边长为3，PD⊥平面ABCD．
（1）若PC＝5，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若直线AD与BP的夹角为60°，求PD的长．
【分析】（1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可．
（2）由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD．异面直线AD与PB所成角为60°，可得△PBC为直角三角形，且∠PBC＝60°，BC＝3，代入求出PC后，解直角△PDC可得答案．
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC．
∵CD＝3，∴PC＝5，∴PD＝4，
∴VP﹣ABCD＝＝12，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为12．
（2）∵ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，BC⊥CD
又∵PD∩CD＝D
∴BC⊥平面PCD
∴BC⊥PC
∵异面直线AD与PB所成角为60°，BC∥AD
∴在Rt△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝3
故PC＝3
在Rt△PDC中，CD＝3
∴PD＝3
【点评】本题考查几何体的体积，空间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想象能力计算能力，是中档题．
30．（2019 上海）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，．
（1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；
（2）求P﹣ABC的体积．
【分析】（1）由已知可得MN∥PC，则∠PCA为AC与MN所成角，利用余弦定理求解得答案；
（2）求出三棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．
【解答】解：（1）∵M，N分别为PB，BC的中点，∴MN∥PC，
则∠PCA为AC与MN所成角，
在△PAC中，由PA＝PC＝2，AC＝，
可得cos∠PCA＝，
∴AC与MN的夹角为arccos；
（2）过P作底面垂线，垂直为O，则O为底面三角形的中心，
连接AO并延长，交BC于N，则AN＝，AO＝．
∴PO＝．
∴．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，是中档题．
31．（2018 上海）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小．
【分析】（1）由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角．
【解答】解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，
∴圆锥的体积V＝＝
＝．
（2）∵PO＝4，OA，OB是底面半径，且∠AOB＝90°，
M为线段AB的中点，
∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），
M（1，1，0），O（0，0，0），
＝（1，1，﹣4），＝（0，2，0），
设异面直线PM与OB所成的角为θ，
则cosθ＝＝＝．
∴θ＝arccos．
∴异面直线PM与OB所成的角的为arccos．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

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