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第20讲 空间向量与立体几何
【考点梳理与解题技巧】
一．空间中的点的坐标
【知识点的知识】
1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）
点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；
点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．
3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（）
二．空间两点间的距离公式
【知识点的知识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），
则两点的距离为，
特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．
三．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，＝．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）＝+
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
四．共线向量与共面向量
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
【命题方向】
1，考查空间向量共线问题
例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　）
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣ C．x＝，y＝﹣ D．x＝﹣，y＝
分析：利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．
解答：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线，
故有＝＝．
∴x＝，y＝﹣．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（　　）
A． B． C． D．
分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．
解答：由共面向量定理，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
五．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos＜，＞叫做向量与的数量积，记作 ，即 ＝||||cos＜，＞
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：＝λ（）＝ （）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则 ＝　﹣7　
分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），
∴＝（1，﹣3，1），
∴ ＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
六．空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），
cos＜＞＝＝
注意：
（1）当cos＜＞＝1时，与同向；
（2）当cos＜＞＝﹣1时，与反向；
（3）当cos＜＞＝0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||＝＝．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
【命题方向】
（1）利用公式求空间向量的夹角
例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
分析：由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞＝可得答案．
解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以 ，
所以═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且||＝3，||＝，
所以cos＜，＞＝＝，
∴的夹角为60°
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．
（2）利用公式求空间两点的距离
例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（　　）
A.3 B. C. D.5
分析：求出AB对应的向量，然后求出AB的距离即可．
解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），
所以＝（﹣3，0，﹣4），所以＝＝5．
故选D．
点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．
七．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使＝x+y+z．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作＝（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
八．空间向量运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
＝（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
3．空间向量平行的条件：
（1） ，λ∈R
（2）若x2y2z2≠0，则
4．空间向量垂直的条件：
x1x2+y1y2+z1z2＝0
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
坐标运算解决向量的平行与垂直问题：
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
（1）若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），（为非零向量），则∥ （λ∈R）．若时，必有∥，必要时应对是否为进行讨论．
（2） x1x2+y1y2+z1z2＝0
坐标运算解决夹角与距离问题：
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【命题方向】
（1）考查空间向量的坐标表示
例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，1），则第四个顶点D的坐标为　　
分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得，解出即可．
解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．
∵，＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．
由平行四边形ABCD，可得，∴，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．
∴D（﹣2，9，1）．
故答案为（﹣2，9，1）．
点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．
（2）考查空间向量的坐标运算
例：已知＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），＝（0，5，1），则（+） ＝　　．
分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可
解答：由于＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），则+＝（7，0，9）
又由＝（0，5，1），则（+） ＝（7，0，9） （0，5，1）＝9
故答案为 9
点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键．
（3）考查空间向量平行或垂直的条件
例：已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（　　）
A． B． C．﹣3，2 D．2，2．
分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．
解答：因为，，∥，
所以2μ﹣1＝0，解得μ＝，，解得λ＝2或λ＝﹣3．
所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；
故选A．
点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．
九．向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的知识】
一、空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量 平行于同一平面的向量．
共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥ 存在λ∈R，使＝λ．
共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面 存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．
空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1） ＝||||cos＜，＞；
（2）⊥ ＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2．向量的坐标运算
＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）
向量和 +＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差 ﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积 ＝a1b1+a2b2+a3b3
共线 ∥ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直 ⊥ a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角
公式 cos＜，＞＝
十．空间点、线、面的位置
【知识点的知识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
②范围：（0，]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
十一．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 ＝0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；
（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知
改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．
若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是
2、空间直线的参数方程：
在直线方程中，记其比值为t，则有
（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
十二．平面的法向量
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 ＝0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；
（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
十三．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
十四．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
十五．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
十六．向量语言表述线线的垂直、平行关系
【知识点的认识】
线线垂直与平行：
1．直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得：
l1∥l2（或l1与l2重合） ∥
2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2 ⊥ ＝0．
十七．向量语言表述面面的垂直、平行关系
【知识点的知识】
1、平面与平面平行
设平面α、β的法向量分别为、，则：α∥β或α与β重合 ∥ 存在实数t，使＝t．
2、面面垂直：
（1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量⊥ ＝0；
（2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
【考点剖析】
一．空间中的点的坐标（共3小题）
1．（2021春 长宁区校级期中）已知点A（x，2，5）与B（﹣1，y，z）关于z轴对称，则x+y+z＝　4　．
【分析】利用空间直角坐标系中对称的性质直接求解．
【解答】解：由点P（x，y，z），点P关于z轴对称的点P1（﹣x，﹣y，z），
因为点A（x，2，5）与B（﹣1，y，z）关于z轴对称，所以x＝1，y＝﹣2，z＝5，
所以x+y+z＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查空间直角坐标系中对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2021春 浦东新区校级期中）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是 　（﹣4，3，2）　．
【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．
【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），
∴．
故答案为：（﹣4，3，2）．
【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
3．（2021春 普陀区校级期末）在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{zi|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为 　2或3或4　（写出所有可能的值）．
【分析】根据正四面体摆放的位置不同，来确定集合A中的元素．
【解答】解：若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂直于z轴的平面内，故不可能，
当正四面体P1P2P3P4的底面在坐标平面xoy内时，集合A中有2个元素，
当正四面体P1P2P3P4的一面与x或y轴平行，集合A有3个元素，
当正四面体P1P2P3P4的各面，各边都不与x或y或z轴平行，集合中有4个元素，
故集合A的元素可能为2或3或4．
故答案为：2或3或4．
【点评】本题考查了空间正四面体的摆放位置，考查学生的空间想象能力，属于基础题．
二．空间两点间的距离公式（共2小题）
4．（2021秋 普陀区校级月考）空间两点A（1，1，1）与B（﹣2，0，1）的距离是 　　．
【分析】由空间坐标系内两点间的距离公式，结合题中A、B两点的坐标加以计算，可得答案．
【解答】解：空间两点A（1，1，1）与B（﹣2，0，1），
两点的距离是|AB|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题给出空间坐标系内两点的坐标，求它们之间的距离．考查了空间两点间的距离公式的知识，属于基础题．
5．（2021春 长宁区校级期中）已知A（1，0，0），B（3，2，1），C（2，0，1），则△ABC的面积是　　．
【分析】先求出三角形三边的边长，然后由余弦定理求出cosC，从而求出sinC，然后由三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：因为A（1，0，0），B（3，2，1），C（2，0，1），
则，，，
所以，
则，
故，
所以△ABC的面积是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间向量的应用，余弦定理以及同角三角函数关系式的应用，三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
三．空间向量及其线性运算（共3小题）
6．（2022春 虹口区期末）如图，在斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出．
【解答】解：因为斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是平行四边形，
又M为A1C1，B1D1的交点，
所以＝＝（﹣）＝（﹣），
所以＝﹣（）＝﹣（+）＝﹣[（﹣）+]＝﹣+﹣，
故选：B．
【点评】本题考查向量的运算，解题关键是熟悉向量的三角形法则，平行四边形法则，属于基础题．
7．（2022 黄浦区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，若用向量、、表示向量，则＝　++　．
【分析】由题意画出图形，再由向量加法的三角形法则和平行四边形法则求解．
【解答】解：如图，
∵，，，
则＝++＝++＝++．
故答案为：++．
【点评】本题考查空间向量基本定理的应用，考查数形结合的解题思想，是基础题．
8．（2021 松江区二模）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，则x+y+z＝　2　．
【分析】在平行六面体中把向量用表示，然后利用向量相等，得到x，y，z的值．
【解答】解：因为
＝
＝
＝，
又＝x+y+z，
所以，
则x+y+z＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了空间向量基本定理的理解和应用，考查了化简运算能力与转化回归能力，属于基础题．
四．共线向量与共面向量（共3小题）
9．（2021秋 普陀区校级期末）已知点A（1，﹣1，2）在平面α上，其法向量＝（2，﹣1，2），则下列点不在α上的是（　　）
A．（2，3，3） B．（3，7，4） C．（﹣1，﹣7，1） D．（﹣2，0，1）
【分析】由向量的数量积运算分别分析四个选项得答案．
【解答】解：点A（1，﹣1，2）在平面α上，其法向量，
对于A，∵（2，3，3）﹣（1，﹣1，2）＝（1，4，1），
且（2，﹣1，2） （1，4，1）＝2﹣4+1＝0，
∴点（2，3，3）在α内，故A错误；
对于B，∵（3，7，4）﹣（1，﹣1，2）＝（2，8，2），
且（2，8，2） （2，﹣1，2）＝4﹣8+4＝0，
∴点（3，7，4）在α内，故B错误；
对于C，∵（﹣1，﹣7，1）﹣（1，﹣1，2）＝（﹣2，﹣6，﹣1），
且（﹣2，﹣6，﹣1） （2，﹣1，2）＝﹣4+6﹣2＝0，
∴点（﹣1，﹣7，1）在α内，故C错误；
对于D，∵（﹣2，0，1）﹣（1，﹣1，2）＝（﹣3，1，﹣1），
且（﹣3，1，﹣1） （2，﹣1，2）＝﹣9≠0，
∴点（﹣2，0，1）不在平面α内，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查点与平面间的关系，考查平面的法向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（2022 闵行区校级开学）＝（1，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（1，5，x），若，，三向量共面，则实数x＝　5　．
【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可．
【解答】解：∵＝（1，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），∴与不共线，
又∵，，三向量共面，则存在实数m，n使＝m+n，
即，解得n＝2，m＝3，x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查向量共面定理及其坐标运算，属于基础题．
11．（2022 徐汇区校级开学）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设＝，＝．
（1）若||＝3，且∥，求向量；
（2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积S．
【分析】（1）根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法，可以设＝t＝（2t，t，﹣2t），由向量模的计算公式求出t的值，计算可得答案；
（2）根据题意，求出、的坐标，由数量积的计算公式可得cosA，进而求出sinA，又由S＝||||×sinA，计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），则＝（2，1，﹣2），
若∥，设＝t＝（2t，t，﹣2t），
又由||＝3，则4t2+t2+4t2＝9t2＝9，解可得t＝±1，
故＝（2，1，﹣2）或（﹣2，﹣1，2）；
（2）根据题意，＝＝（﹣1，﹣1，0），＝＝（1，0，﹣2），
则||＝＝，||＝＝， ＝﹣1，
则cosA＝cos＜，＞＝＝﹣，故sinA＝，
故S＝||||×sinA＝××＝3．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及空间向量的平行，属于基础题．
五．空间向量的数量积运算（共4小题）
12．（2022春 杨浦区校级期中）已知向量，，它们分别在平面xOy和yOz上绕坐标原点旋转α得到向量、，其中α∈（0，2π），若，则α＝　π　．
【分析】依题意可得，，根据三角函数的定义及诱导公式得到、，最后根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可．
【解答】解：因为，，
将在平面xOy上绕坐标原点旋转α（α∈（0，π））得到，
同理可得，
所以，所以sinα＝0，又α∈（0，2π），所以α＝π；
故答案为：π．
【点评】本题主要考查空间向量及其应用，属于基础题．
13．（2022春 奉贤区校级月考）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是 　[﹣1，1]　．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求出 的表达式，再求出的取值范围．
【解答】解：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，
则A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），
＝（﹣1，1，0），P在正方体的12条棱上运动，
设P（x，y，z），则＝（x﹣1，y﹣1，z），
∴＝1﹣x+y﹣1＝y﹣x，
∵，∴，∴﹣1≤y﹣x≤1，
当x＝1，y＝0时，取最小值﹣1，
当x＝0，y＝1时，取最大值1，
∴的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为：[﹣1，1]．
【点评】本题考查向量的数量积的取值范围的求法，考查正方体的结构特征、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．（2021秋 金山区期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝ ，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为 　1　．
【分析】根据向量的垂直和向量的数量积即可求出．
【解答】解：＝+，
则 ＝ （+）＝||2+ ，
∵⊥，
∴ ＝0，
∴ ＝||2＝1，
∴ （i＝1，2，…，8）的不同值的个数为1，
即集合{y|y＝ ，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查空间向量的线性运算与数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．
15．（2021秋 嘉定区校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝4．
（1）求的值；
（2）求A1到平面ABC1的距离．
【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，进一步求出向量的数量积；
（2）利用点到面的距离公式和勾股定理和三角形的面积公式求出结果
【解答】解：（1）根据长方体的棱长，建立空间直角坐标系：
由于AB＝3，BC＝2，AA1＝4，
如图所示：
则：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，3，0），C（0，3，0），A1（2，0，4），B1（2，3，4），C1（0，3，4），
所以，，
故；
（2）由于A1B1∥平面ABC1，
故A1到平面ABC1的距离，即点B1到平面ABC1的距离，
故点B1作B1H⊥BC1，
故HB1即为所求，
利用，B1H BC1＝BB1 B1C1，
故，
解得．
【点评】本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的数量积，点到面的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
六．空间向量的夹角与距离求解公式（共4小题）
16．（2022春 浦东新区校级期末）已知＝（1﹣t，2t﹣1，0），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出 的坐标，根据向量的模的定义求出的值．
【解答】解：∵＝（2，t，t）﹣（1﹣t，2t﹣1，0）＝（1+t，1﹣t，t ），
∴＝＝．
故当t＝0时，有最小值等于，
故选：C．
【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义，求向量的模的方法，属于基础题．
17．（2021春 普陀区校级期末）设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝　9　．
【分析】先利用空间向量共线定理，得到，由此求出m和n的值，得到的坐标，求出的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可．
【解答】解：因为空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），且∥，
所以，
即（2，n，﹣4）＝λ（﹣1，2，m），
可得，解得m＝2，n＝﹣4，
所以＝（﹣1，2，2），＝（2，﹣4，﹣4），
则﹣＝（﹣3，6，6），
所以．
故答案为：9．
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量共线定理的运用，空间向量模的计算公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
18．（2020春 徐汇区校级期末）已知向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，﹣2），则与的夹角为 　　．
【分析】利用空间向量的数量积，即可求出两向量的夹角大小．
【解答】解：∵向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，﹣2），
∴ ＝0×（﹣1）+2×1+1×（﹣2）＝0，
∴⊥，
∴与的夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查了利用空间向量的数量积求向量夹角大小的应用问题，是基础题目．
19．（2021秋 松江区校级期中）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
【分析】（Ⅰ）由图形知＝再用表示出来即可．
（Ⅱ）求MN的长，即求，利用求向量模的方法，求即可求得MN的长．
【解答】解：（Ⅰ）由图形知＝＝．
（Ⅱ）由题设条件
∵＝，
∴，．
【点评】本题考查空间向量的夹角与距离公式，解题的关键是掌握向量加法法则与空间向量求线段长度的公式，空间向量法求距离是空间向量的一个非常重要的运用．熟练运用公式是解题的知识保证．
七．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共3小题）
20．（2022 闵行区校级开学）设空间向量，，是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意x，y，|﹣x﹣y|的最小值是2，则|+3|的最小值是 　1　．
【分析】以方向为x，y轴，垂直于方向为z轴，建立空间直角坐标系，根据条件求得的坐标，由||的表达式即可求得最小值．
【解答】解：以方向为x，y轴，垂直于方向为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设＝（r，s，t），则||＝，
当r＝x，s＝y时，||的最小值是2，
∴t＝±2，
取＝（x，y，2），则＝（x，y，5），
∴||＝，
∵x，y是任意值，∴||的最小值为5．
取＝（x，y，﹣2），则＝（x，y，1），
∴||＝，
∵x，y是任意值，∴||的最小值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21．（2021秋 嘉定区校级月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，若，则λ+μ+υ＝　　．
【分析】由题意画出图形，把用表示，结合已知求得λ、μ、v的值，则答案可求．
【解答】解：如图，
∵M是BB1中点，∴＝
＝＝，
又，∴λ＝﹣1，μ＝1，v＝，
则λ+μ+υ＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查空间向量的加减与数乘运算，是基础题．
22．（2020 闵行区校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，则点P可以是正方体表面上的 　线段AB1，B1C，AC上的点．　．
【分析】因为点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，只需要找到平面AMN与正方体表面的交线即可．
【解答】解：因为点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，
又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，
连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，
故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上的点．
故答案为：线段AB1，B1C，AC上的点．
【点评】本题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．
八．空间向量运算的坐标表示（共2小题）
23．（2022春 浦东新区校级期末）已知点A（1，﹣2，0），向量且，则点B的坐标为 　（﹣1，2，4）　．
【分析】设B（x，y，z），得，又且，由此列式可得点B的坐标．
【解答】解：设B（x，y，z），∵A（1，﹣2，0），
∴，又且，
∴（x﹣1，y+2，z）＝2（﹣1，2，2）＝（﹣2，4，4），
则，可得x＝﹣1，y＝2，z＝4．
∴点B的坐标为（﹣1，2，4）．
故答案为：（﹣1，2，4）．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，是基础题．
24．（2021秋 虹口区校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），若，则C点坐标为 　（1，﹣2，3）　．
【分析】设C的坐标为（x，y，z），根据向量的坐标运算即可求出．
【解答】解：设C点的坐标为（x，y，z），
∵A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），
∴＝（x+1，y﹣2，z+3），＝（2﹣x，﹣4﹣y，6﹣z），
∵，
∴（x+1，y﹣2，z+3）＝2（2﹣x，﹣4﹣y，6﹣z）＝（4﹣2x，﹣8﹣2y，12﹣2z）
∴，
解得x＝1，y＝﹣2，z＝3，
∴C（1，﹣2，3）．
故答案为：（1，﹣2，3）．
【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
九．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共2小题）
25．（2020春 闵行区校级期中）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k＝　　．
【分析】利用空间向量坐标运算法则求出，，再由与互相垂直，能求出k．
【解答】解：∵向量，，
∴＝（k﹣1，k，2），
＝（3，2，﹣2），
∵与互相垂直，
∴（） （）＝3（k﹣1）+2k﹣4＝0，
解得k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，是基础题．
26．（2021秋 宝山区校级期中）已知空间向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且与垂直，则x等于 　4　．
【分析】由与垂直，得到＝﹣3+2x﹣5＝0，由此能求出x的值．
【解答】解：向量＝（﹣3，2，5），＝（1．x，﹣1），且与垂直，
∴＝﹣3+2x﹣5＝0，
解得x＝4．
故选：4．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
一十．空间点、线、面的位置（共1小题）
27．（2021 上海模拟）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（　　）
A．4∈M，6 M B．5 M，6 M C．4 M，6∈M D．5 M，6∈M
【分析】由题意写出满足条件的顶点个数m的所有可能取值，再判断是否的选项．
【解答】解：如图所示，由题意知，
正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到平面α的距离为d（d＞0），
满足条件的顶点个数为m，则m的所有可能取值为0，1，2，4，6，8．
∴5 M，6∈M．
故选：D．
【点评】本题考查了空间中的点、线与面之间的关系应用问题，是中档题．
一十一．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共3小题）
28．（2020秋 浦东新区期末）直线l：＝的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
【分析】先将已知的直线l的方程转化为斜截式，得到直线的方向向量，则判断是否与平行即可．
【解答】解：直线l：＝可变形为，
故直线的方向向量为，
则与平行的向量即可作为直线的方向向量，
因为，
故直线l：＝的一个方向向量可以是（2，3）．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的方向向量的求解，涉及了直线方程的理解和应用，解题的关键是掌握直线的一个方向向量为（1，k）．
29．（2021春 浦东新区校级期末）直线3x+2y+5＝0的一个法向量为（a，a﹣2），则实数a＝　6　．
【分析】先求出直线的方向向量，然后利用法向量与方向向量垂直，由向量垂直的坐标表示列出关于a的方程，求解即可．
【解答】解：因为直线3x+2y+5＝0的一个法向量为（a，a﹣2），
又直线3x+2y+5＝0的一个方向向量为（﹣2，3），
所以﹣2a+3（a﹣2）＝0，
解得a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了空间向量的理解与应用，空间向量垂直的坐标表示，直线的方向向量与直线的法向量的理解与应用，考查了运算能力与逻辑推理能力，属于基础题．
30．（2021 浦东新区校级开学）若直线l的方程为x﹣y+3＝0，则直线l的一个法向量是　（1，﹣1）　．
【分析】先求出直线的方向向量，由直线的法向量的定义求解即可．
【解答】解：因为直线l的方程为x﹣y+3＝0，则直线l的方向向量为（1，1），
则直线l的一个法向量是（1，﹣1）．
故答案为：（1，﹣1）．
【点评】本题考查了直线的法向量的求解，直线的方向向量的求解，解题的关键是掌握直线的法向量的定义，属于基础题．
一十二．平面的法向量（共3小题）
31．（2022 闵行区校级开学）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列说法错误的是（　　）
A．与不是共线向量
B．与同向的单位向量是（，，0）
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
【分析】对于A，结合共线向量的性质，即可求解，
对于B，结合共线单位向量的定义，即可求解，
对于C，结合向量的夹角公式，即可求解，
对于D，结合法向量的求法，即可求解．
【解答】解：对于A，∵A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），
∴，，
∴不存在实数λ使得，，即与不是共线向量，故A正确，
对于B，，
则，即 同向的单位向量为，故B正确，
对于C，，，
则＝＝，故C错误，
对于D，设平面ABC的一个法向量为，
∵，，
∴，即，令x＝1，解得y＝﹣2，z＝5，
故平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5），故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量的应用，考查转化能力，属于中档题．
32．（2022 徐汇区校级开学）设直线l的一个方向向量＝（2，2，﹣1），平面α的一个法向量＝（﹣6，8，4），则直线l与平面α的位置关系是 　l∥α或l α　．
【分析】根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得 ＝﹣12+16﹣4＝0，即⊥，由此分析可得答案．
【解答】根据题意，直线l的一个方向向量＝（2，2，﹣1），平面α的一个法向量＝（﹣6，8，4），
则 ＝﹣12+16﹣4＝0，即⊥，则有l∥α或l α；
故答案为：l∥α或l α．
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及平面法向量的定义，属于基础题．
33．（2021 黄浦区校级三模）在空间直角坐标系中，点P（x，y，z）满足：x2+y2+z2＝16，平面α过点M（1，2，3），且平面α的一个法向量，则点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于　4π　．
【分析】点P所在的几何体球在平面α上围成一个圆，求得圆半径，即可求得封闭图形面积．
【解答】解：∵点P（x，y，z）满足x2+y2+z2＝16，
∴点P在以O为球心、4为半径的球面上．
球与平面α相交围成的封闭图形为圆，
设圆心为A，则OA⊥α．
∵平面α的一个法向量，
∴可设A（t，t，t），又∵点M（1，2，3），∴＝（1﹣t，2﹣t，3﹣t）．
∵平面α过点M（1，2，3），∴⊥，∴ ＝0，
∴1﹣t+2﹣t+3﹣t＝0，解得t＝2，
∴||＝2，∴圆A的半径为＝2，
∴圆A的面积为4π．
故答案为：4π．
【点评】本题考查了球的方程、平面的法向量，考查方程思想及空间想象能力，属于中档题．
一十三．直线与平面所成的角（共4小题）
34．（2022 闵行区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点M在侧面BCC1B1上运动（包括边界），且MB1＝2MB，则D1M与平面ADD1A1所成角的正切值的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】找到点M在平面ADD1A1的投影为点N，在平面平面ADD1A1上，建立平面直角坐标系，求出点N的轨迹方程，进而数形结合求出，从而求出答案．
【解答】解：设点M在平面ADD1A1的投影为点N，则|MN|＝3，所求线面角为θ，则，因为MB1＝2MB，所以NA1＝2NA，在平面ADD1A1上，以A为坐标原点，AD为x轴，AA1为y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），A1（0，3），设N（x，y），，化简得：x2+（y+1）2＝4，（x≥0，y≥0），故点N的轨迹为以H（0，﹣1）为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST，如图所示，连接HD1，与圆弧ST相交于点N'，此时D1N＝D1N'取得最小值，由勾股定理得：，所以D1N'＝5﹣2＝3，当点N与S重合时，D1N＝D1S取得最大值，由勾股定理得：，
则，．
故选：B．
【点评】本题主要考查立体几何中轨迹问题，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．
35．（2021秋 虹口区校级期末）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，设，则下列结论正确的是（　　）
A．四边形EFGH是正方形
B．AE和AH与平面EFGH所成的角相等
C．若，则多面体BEF﹣DGH的表面积等于
D．若，则多面体BEF﹣DGH的体积等于
【分析】对A，证明四边形EFGH是平行四边形．所以选项A错误；
对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE＝AH，则AB＝AD，所以选项B错误；
对C，假设正四面体ABCD，AB＝2，取BD的中点N，连接AN，CN．多面体BEF﹣DGH的表面积，所以选项C错误；
对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，设点B到平面EMF的距离为h1，则多面体BEF﹣DGH的体积＝VB﹣MEF+VEMF﹣HDG＝＝，所以选项D正确．
【解答】解：对A，因为AC∥平面EFGH，AC 平面ABC，
EF 平面EFGH，平面EFGH 平面ABC＝EF，所以AC∥EF，同理AC∥GH，
所以EF∥GH，同理EH∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形．
所以四边形EFGH不一定是正方形，所以选项A错误；
对B，如果AE和AH与平面EFGH所成的角相等，则AE＝AH，则AB＝AD，
已知中没有AB＝AD，所以AE和AH与平面EFGH所成的角不一定相等，所以选项B错误；
对C，假设正四面体ABCD，AB＝2，取BD的中点N，
连接AN，CN．则BD⊥AN，BD⊥CN，
因为AN CN＝N，AN，CN 平面ACN，所以BD⊥平面ACN，
所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，
前面已经证明四边形EFGH是平行四边形，
又EF＝FG，所以四边形EFGH是正方形，且EF＝FG＝1，
正四面体的每一个面的面积为，
所以正四面体的表面积为，
所以多面体BEF﹣DGH的表面积，
所以选项C错误；
对D，如图，设BD中点为M，连接EM，MF，则多面体EMF﹣HDG是棱柱，
设点B到平面EMF的距离为h1，由于，所以点E是AB的中点，
则点M到平面HDC的距离为h1，点B到平面ADC的距离为2h1．
则多面体BEF﹣DGH的体积＝＝，
所以选项D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查线面角的计算，多面体体积的计算，多面体表面积的计算等知识，属于中等题．
36．（2022秋 普陀区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F∥平面AD1E，则A1F与平面BCC1B1所成角的余弦值构成的集合是（　　）
A． B． C． D．
【分析】设平面AD1E与直线CC1交于点G，连接D1G、EG，则G为CC1的中点，分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，可证出平面A1MN∥平面AD1E，从而得到A1F是平面A1MN内的直线．由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的余弦值的取值范围．
【解答】解：设平面AD1E与直线CC1交于点G，连接D1G、EG，则G为CC1的中点，
分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接A1M、MN、A1N，
∵A1M∥D1G，A1M 平面AD1E，D1G 平面AD1E，
∴A1M∥平面AD1E．同理可得A1N∥平面AD1E，
∵A1M∩A1N＝A1，A1M，A1N 平面A1MN，
∴平面A1MN∥平面AD1E，
由此结合A1F∥平面AD1E，可得直线A1F 平面A1MN，即点F是线段MN上的动点．
设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ，
运动点F并加以观察，可得：
当F与M（或N）重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，
此时所成角θ达到最小值，满足cosθ＝＝＝；
当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足cosθ＝＝＝，
∴A1F与平面BCC1B1所成角的余弦值的取值范围为[，]．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体的性质、直线与平面所成角、空间面面平行与线面平行的位置关系判定等知识，属于中档题．
37．（2022 上海模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点O为AB的中点，点P在平面ABC的射影恰为OB的中点E，已知AB＝2PO＝2，点C到OP的距离为，则当∠ACB最大时，直线PC与平面PAB所成角的大小为 　　．
【分析】根据点C到OP的距离为，得到点C是以OP为旋转面的轴的圆柱与平面ABC的公共点，即点C的轨迹是以AB为焦距，以2为短轴长的椭圆，由此能求出当∠ACB最大时，直线PC与平面PAB所成角的大小．
【解答】解：∵点C到OP的距离为，
∴点C是以OP为旋转面的轴的圆柱与平面ABC的公共点，
即点C的轨迹是以AB为焦距，以2为短轴长的椭圆，
由椭圆的对称性可知：
当∠ACB最大时，|AC|＝|BC|＝2，CO⊥AB，
∵点P在平面ABC的射影恰为OB的中点E，∴PE⊥平面ABC，
∵PE 平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC，
平面PAB∩平面ABC＝AB，∴CO⊥平面ABC，
∴∠CPO是直线PC与平面PAB所成角，
∵CO＝，
∴tan＝，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
一十四．二面角的平面角及求法（共6小题）
38．（2021秋 长宁区期末）在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC；记直线DB与直线AC所成的角为α，直线DC与平面ABD所成的角为β，二面角D﹣BC﹣A的平面角为γ，则（　　）
A．β＜γ＜α B．γ＜β＜α C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β
【分析】由题意把三棱锥D﹣ABC放置在正方体CD中，设正方体的棱长为1，利用空间向量求解α，在正方体中分别求解β与γ，则答案可求．
【解答】解：如图，
把三棱锥D﹣ABC放置在正方体CD中，设正方体的棱长为1，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，1，0），
B（0，1，0），D（0，0，1），
∴，，
则cosα＝|cos＜＞|＝||＝||＝，则；
由已知可得，DA⊥BC，又AB⊥BC，且DA∩AB＝A，∴CB⊥平面DAB，
则β＝∠CDB，DB＝，DC＝，则cosβ＝＞；
由BC⊥平面DAB，得γ＝∠DBA＝，
∴β＜γ＜α．故选：A．
【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练空间向量的应用，是中档题．
39．（2021秋 黄浦区校级期末）如图，在四面体A﹣BCD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，，则二面角A﹣CD﹣B的大小为 　　．
【分析】取CD中点O，连接AO，BO，由面面角的定义得出二面角A﹣CD﹣B的平面角为∠AOB，再结合等腰直角三角形的性质得出二面角A﹣CD﹣B的大小．
【解答】解：取CD的中点为O，连接AO，BO，
∵AO⊥CD，BO⊥CD，
∴二面角A﹣CD﹣B的平面角为∠AOB，
∵AB⊥BO，
BO＝＝＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴二面角A﹣CD﹣B的大小为．
故答案为：．
【点评】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
40．（2022秋 闵行区校级月考）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4．
（1）求异面直线A1B与B1C所成角的大小；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣B的大小．
【分析】（1）以DA，DC，DD1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量可求异面直线A1B与B1C所成角的大小；
（2）求得两平面的法向量，可求二面角B1﹣A1C﹣B的大小．
【解答】解：（1）以DA，DC，DD1为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1（3，0，4），B（3，3，0），B1（3，3，4），C（0，3，0），
∴＝（0，3，﹣4），＝（﹣3，0，﹣4），
∴cos＜，＞＝＝，
∴异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos；
（2）＝（0，3，0），＝（3，0，0），
设平面A1BC的一个法向量为＝（x，y，z），
则，令y＝4，则＝（0，4，3），
设平面A1B1C的一个法向量为＝（a，b，c），
则，令a＝4，则＝（4，0，﹣3），
∴cos＜，＞＝＝＝﹣，
∴二面角B1﹣A1C﹣B的大小为arccos．
【点评】本题考查求异面直线所成的角，考查二面角的大小的求法，属中档题．
41．（2022秋 浦东新区校级月考）如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，，BC＝AC＝1，O为AB的中点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求二面角A'﹣BC﹣A的大小．
【分析】（1）由勾股定理可求得底面圆的半径，分别求得圆柱的侧面积和底面积，进而可求得表面积；
（2）连接A′C，可证得BC⊥A′C，则可得所求二面角的平面角为∠A′CA，根据长度关系可得结果；
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，∴AB＝＝，
∴底面圆O的半径r＝，
∴圆柱的侧面积为2πr AA′＝2π，
又圆柱的底面积为，
∴圆柱的表面积S＝2＝3π．
（2）连接A′C，
∵AA′⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴AA′⊥BC；
∵∠ACB＝90°，即AC⊥BC，AC∩AA′＝A，AC，AA′ 平面ACC′A′，
∴BC⊥平面ACC′A′，又A′C 平面ACC′A′，
∴BC⊥A′C；
∴∠A′CA即为二面角A′﹣BC﹣A的平面角，
∵，AC＝1，∴，∴，
即二面角A′﹣BC﹣A的大小为arctan．
【点评】本题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
42．（2022 上海开学）在如图所示的多面体中，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2．
（1）求证：平面ABE∥平面CDF；
（2）设半面BEF∩平面CDF＝l，AB⊥AD，AE⊥平面ABCD，求二面角B﹣l﹣C的正弦值．
【分析】（1）证明出AB∥平面CDF，AE∥平面CDF，再利用面面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得二面角B﹣l﹣C的正弦值．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB 平面CDFCD 平面CDF，∴AB∥平面CDF，
因为四边形ACFE为矩形，则AE∥CF，
∵AE 平面CDF，CF 平面CDF，∴AE∥平面CDF，
∵AB∩AE＝A，AB、AE 平面ABE，因此，平面ABE∥平面CDF；
（2）解：因为AE⊥平面ABCD，AB⊥AD，
以点A为坐标原点，AB、AD、AE所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，0，0）、E（0，0，1）、F（2，2，1），
设平面BEF的法向量为，
则，取x＝1，可得，
因为平面ABE∥平面CDF，且平面ABE的一个法向量为＝（0，1，0），
所以，平面CDF的一个法向量为＝（0，1，0），故，
所以，，
因此，二面角B﹣1﹣C的正弦值为．
【点评】本题考查了面面平行的证明和二面角的计算，属于中档题．
43．（2022春 奉贤区校级期末）（1）如图1，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD所成二面角的大小；
（2）如图2，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，|AB|＝2，|AD|＝|AA'|＝1．求顶点B'到平面D'AC的距离．
【分析】（1）连接AC，设AC BD＝O，连接PO，交EF于H，连接AH，设平面AEF 平面ABCD＝l．可证∠HAO为E﹣l﹣C的平面角，利用解直角三角形可求其大小．
（2）利用等积法可求点到平面的距离．
【解答】解：（1）连接AC，设AC BD＝O，连接PO，交EF于H，连接AH，
设平面AEF 平面ABCD＝l．
因为PF＝FD，PE＝EB，故EF∥BD，
而EF 平面ABCD，BD 平面ABCD，
故EF∥平面ABCD，而EF 平面AEF，平面AEF 平面ABCD＝l，
故EF∥l，故BD∥l，
由正四棱锥P﹣ABCD可得四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD，
即AO⊥BD，所以AO⊥l，
由正四棱锥P﹣ABCD及O为正方形ABCD对角线的交点（即中心）可得：
PO⊥平面ABCD，而l 平面ABCD，故PO⊥l，
而AO 平面PAO，PO 平面PAO，PO AO＝O，
故l⊥平面PAO，而AH 平面PAO，故l⊥AH，
故∠HAO为E﹣l﹣C的平面角．
因为，故|AO|＝|BO|＝2，
因为EF为△PBD的中位线，故，
故在直角三角形△HAO中，，故．
而∠HAO为锐角，故．
故平面AEGF与平面ABCD所成二面角的大小．
（2）如图，连接AD'，AB'，AC，B'D'，AB'，CD'，
则，
又，，
故，
设顶点B'到平面D'AC的距离为h，则，故．
【点评】本题主要考查二面角的计算，点面距离的计算，等体积法的应用等知识，属于中等题．
一十五．点、线、面间的距离计算（共6小题）
44．（2022 上海自主招生）空间中到正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距离相等的点有（　　）
A．无数 B．0 C．2 D．3
【分析】由于点D、B1显然满足要求，猜想B1D上任一点都满足要求，然后证明结论．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为1，连接B1D，并在B1D上任取一点P，因为，
所以设P（a，a，a），其中0≤a≤1，
作PE⊥平面A1D，垂足为E，再作EF⊥A1D1，垂足为F，
则PF是点P到直线A1D1的距离，
所以，
同理点P到直线AB、CC1的距离也是，
所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，
所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个．
故选：A．
【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法，考查了推理论证能力，属于中档题．
45．（2022秋 黄浦区校级月考）如图所示，在四面体P﹣ABC中，底面ABC是一个边长为2的等边三角形，△ABC的外心为点O，PA⊥平面ABC，且PA＝1，动点M、N分别在线段PA（含端点）上和△PBC所在的平面中运动，满足MN＝1．
（A组）则ON2的最大值为 　　．
（B组）则ON2的取值范围为 　　．
【分析】取BC的中点E，连接PE，AE，等边三角形的中心O在AE上，过点O作OG⊥PE于G，过点M作MI⊥PE于I，由几何关系可得N在△PBC所在平面中运动，所以N的轨迹是心I为圆心，IN为半径的圆，据此分别求得ON2的最大值和最小值即可确定其取值范围．
【解答】解：取BC的中点E，连接PE，AE，等边三角形的中心O在AE上，
过点O作OG⊥PE于G，过点M作MI⊥PE于I，
∵△ABC是等边三角形，所以AE⊥BC，
∵PA⊥面ABC，
∴PA⊥BC，又AP∩AE＝A，∴BC⊥面PAE，
又BC 面PBC，∴面PBC⊥面PAE，∵MI⊥PE，MI 面PAE，∴MI⊥面PBC，
同理OG⊥面PBC，
设PM＝m，∵△ABC是边长为2的等边三角形，所以，∵PA＝1，故PE＝2，
所以∠PEA＝30°，∠EPA＝60°，
则，
在△PMI中，，
在Rt△MNI中，∵MN＝1，
∴，∵N在△PBC所在平面中运动，所以N的轨迹是心I为圆心，IN为半径的圆，
又∵OG⊥PBC，所以，
所以GN最小时，ON的值最小，
又GN的最小值为GI的值减去圆的半径，
，所以最小值，
求导可求得当时，GN最小，最小值为，
＝，
当GN的值最大时ON最大，最大值，
为m的减函数，所以m＝0时GN最大，，
此时，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查空间距离的计算，空间想象能力的培养，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
46．（2022秋 宝山区校级月考）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1的中心，过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q，则线段PQ的长为 　　．
【分析】连接ON，由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α，又O、C、M三点确定一个平面β（如图所示），连接OQ与AN交于P，与CM交于Q，得到直线OPQ即为所求作的直线，即可求解．
【解答】解：连接ON，由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α，
又O、C、M三点确定一个平面β（如图所示），
∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面，
∴DA与CM必相交，记交点为Q，∴OQ是α与的交线，
连接OQ与AN交于P，与CM交于Q，故直线OPQ即为所求作的直线，
在Rt△APQ中，AQ＝1，又△APQ∽△OPN，∴，∴，∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了空间中两点间的距离计算，属于中档题．
47．（2022 闵行区校级开学）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则线段AC1的长为 　　．
【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解．
【解答】解：
＝
＝1+1+4+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°＝10，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查了数量积运算律，属于中档题．
48．（2022 金山区二模）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则顶点A到平面BB1D1D的距离为 　　．
【分析】连接AC、BD，设AC∩BD＝O，则AO⊥BD，可得AO⊥平面BB1D1D，由已知棱长求得AO，则答案可求．
【解答】解：如图，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由正方体的结构特征可知平面BB1D1D⊥平面ABCD，
且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，
连接AC、BD，设AC∩BD＝O，则AO⊥BD，可得AO⊥平面BB1D1D，
∴AO即为顶点A到平面BB1D1D的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
49．（2022 宝山区校级二模）如图，一个正方体雕塑放置在水平基座上，其中一个顶点恰好在基座上，与之相邻的三个顶点与水平基座的距离分别是2，3，4，则正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值为 　9　．
【分析】由题意画出图形，不妨设B、D、A1到水平基座的距离分别是2，3，4，分别利用中点坐标公式求得其它点到水平基座的距离得答案．
【解答】解：如图，
不妨设B、D、A1到水平基座的距离分别是2，3，4，
则DA1的中点到水平基座的距离为，可得AD1的中点到水平基座的距离为，
∴D1到水平基座的距离为7；
同理求得C到水平基座的距离为5；B1到水平基座的距离为6；C1到水平基座的距离为9．
即正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值为9．
故答案为：9．
【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查中点坐标公式的应用，是中档题．
一十六．向量语言表述线线的垂直、平行关系（共1小题）
50．（2020春 松江区期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．
【分析】（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断＝0，即PN⊥AM；
（2）设出平面ABC的一个法向量，我们易表达出sinθ，然后利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正线值；
（3）平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为45°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，解方程即可求出对应λ值，进而确定出满足条件的点P的位置．
【解答】解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．
则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），（2分）
从而＝（﹣λ，，﹣1），＝（0，1，），
＝（﹣λ）×0+×1﹣1×＝0，
所以PN⊥AM．（3分）
（2）平面ABC的一个法向量为＝（0，0，1），
则sinθ＝|sin（﹣＜，＞）|＝|cos＜，＞|
＝||＝（※）．（5分）
而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ＝除外，
由（※）式，当λ＝时，（sinθ）max＝，（tanθ）max＝2．（6分）
（3）平面ABC的一个法向量为＝＝（0，0，1）．
设平面PMN的一个法向量为＝（x，y，z），
由（1）得＝（λ，﹣1，）．
由
解得
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，
∴|cos＜，＞|＝||＝＝，
解得λ＝﹣．（11分）
故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝．（12分）
【点评】本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系，用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键．
一十七．向量语言表述面面的垂直、平行关系（共1小题）
51．（2021春 浦东新区校级期中）平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为＝（﹣1，0，5），＝（t，5，1），则t的值为　5　．
【分析】先根据面面垂直，得到两平面的法向量垂直，则 ＝0，再利用向量的坐标表示出两个向量的数量积得到等式，解之即可．
【解答】解：∵平面α与平面β垂直，
∴平面α的法向量与平面β的法向量垂直
∴ ＝0即﹣1×t+0×5+5×1＝0
解得t＝5
故答案为：5
【点评】本题主要考查了面面垂直，以及平面法向量的概念和向量的数量积，同时考查了两向量垂直的充要条件，属于基础题．
【真题模拟题专练】
一．选择题（共1小题）
1．（2019 上海）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）
【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．
【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），
故选：D．
【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．
二．填空题（共1小题）
2．（2019 上海）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为　　．
【分析】直接利用向量的夹角公式求出结果．
【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），
则，，
所以：cos＝，
故：与的夹角为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
三．解答题（共23小题）
3．（2021 上海）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．
（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．
【分析】（1）由V＝PE S正方形ABCD，代入相应数据，进行运算，即可；
（2）由PE⊥平面ABCD，知∠PFE＝45°，进而有PE＝FE＝4，PB＝，由AD∥BC，知∠PCB或其补角即为所求，可证BC⊥平面PAB，从而有BC⊥PB，最后在Rt△PBC中，由tan∠PCB＝，得解．
【解答】解：（1）∵△PAB为等边三角形，且E为AB中点，AB＝4，
∴PE＝2，
又PE⊥平面ABCD，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝PE S正方形ABCD＝×2×42＝．
（2）∵PE⊥平面ABCD，
∴∠PFE为PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，
∴△PEF为等腰直角三角形，
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴PE＝FE＝4，
∴PB＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠PCB或其补角即为PC与AD所成角，
∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，
又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
在Rt△PBC中，tan∠PCB＝＝＝，
故PC与AD所成角的大小为arctan．
【点评】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
4．（2020 上海）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．
【分析】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，依次求出圆面和矩形的面积，相加即可；
（2）先利用线面垂直的判定定理证明AD1⊥平面ADB，连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，再利用三角函数的知识求出cos∠D1CA即可．
【解答】解：（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为2π、宽为1的矩形组成，
∴S＝2×π×12+2π×1＝4π．
故该圆柱的表面积为4π．
（2）∵正方形ABC1D1，∴AD1⊥AB，
又∠DAD1＝，∴AD1⊥AD，
∵AD∩AB＝A，且AD、AB 平面ADB，
∴AD1⊥平面ADB，即D1在面ADB上的投影为A，
连接CD1，则∠D1CA即为线段CD1与平面ABCD所成的角，
而cos∠D1CA＝＝，
∴线段CD1与平面ABCD所成的角为arccos．
【点评】本题考查圆柱的表面积、空间线面夹角问题，熟练掌握线面垂直的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．
5．（2022 浦东新区校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝．
（1）证明：A1C⊥BD；
（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．
【分析】（1）证明BD⊥AC，A1O⊥BD，然后证明A1C⊥平面ACC1A1，得到A1C⊥BD．
（2）取B1D1中点O1，联结OO1，说明∠COO1即为所求角，然后求解即可．
【解答】（1）证明：由题意易得：BD⊥AC，又A1O⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，∴A1O⊥BD，又A1O∩AC＝O，
∴BD⊥平面ACC1A1，又A1C⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD．
（2）解：取B1D1中点O1，联结OO1，则由四棱柱的性质可知，四边形A1O1OA为平行四边形，
又∵A1A＝A1C＝，AC＝2，∴A1A⊥A1C，∴A1A⊥O1O，又A1C⊥BD．所以A1C⊥平面DBB1D1．
∴∠COO1即为所求角，直线AC与平面BB1D1D所成的角，
∵A1A＝A1C＝，所以直线AC与平面BB1D1D所成的角的大小为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．
6．（2022 黄浦区二模）如图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC及其内部绕BC边旋转一周，形成一个圆锥．
（1）求该圆锥的侧面积S；
（2）三角形ABC绕BC逆时针旋转到A1BC，M为线段AA1中点，求CM与平面AA1B所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【分析】（1）所形成几何体是圆锥，求出圆锥的侧面积即可．
（2）∠BMC是CM与平面AA1B所成的角，求出BM，利用反三角函数表示∠BMC的值即可．
【解答】解：（1）将直角边长为1的等腰直角三角形ABC绕其直角边BC旋转一周，
所形成几何体是底面半径为r＝1，母线长为l＝的圆锥，
所以该圆锥的侧面积为S＝πrl＝π×1×＝π．
（2）由题意知，CB⊥平面ABA1，连接OM，则∠BMC是CM与平面AA1B所成的角，
因为AC＝A1C，M为AA1的中点，所以CM⊥AA1，所以BM⊥AA1，
所以BM＝AA1＝，且BC＝1，
所以tan∠BMC＝＝＝，
所以∠BMC＝arctan，即CM与平面AA1B所成角的大小为arctan．
【点评】本题考查了旋转体的结构特征与线面角的计算问题，是中档题．
7．（2022 闵行区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E为棱BC的中点．
（1）求证：ED⊥平面PAD；
（2）若PD＝AD＝2，求点D到平面PBC的距离．
【分析】（1）连接BD，由线面垂直判定定理即可求证；（2）以D为坐标原点，DA、DE、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，代入公式即可求解．
【解答】（1）证明：连接BD，如图，
∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∵E为BC的中点，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∴DE⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，DE 平面ABCD，
∴PD⊥DE，
∵PD∩AD＝D，∴ED⊥平面PAD；
（2）以D为坐标原点，DA、DE、DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，
∴，
设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），
则，令y＝2，则，
∴，
又＝（1，，0），
∴点D到平面PBC的距离为：＝＝．
【点评】本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离，属于中档题．
8．（2022 长宁区二模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，母线SA的长为．
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）A、B是底面圆周上的两个点，∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线SM与平面SOA所成角的大小．
【分析】（1）设圆锥的底面半径为r，侧面母线长为l，则，求出r＝1，h＝，由此能求出圆锥的体积．
（2）设AO的中点为N，连接MN、SN，则MN∥OB，推导出OA⊥MN，SO⊥MN，从而MN⊥平面SOA，进而∠MSN即是直线SM与平面SOA所成角．由此能求出直线SM与平面SOA所成角的大小．
【解答】解：（1）圆锥的顶点为S，底面圆心为O，母线SA的长为．
设圆锥的底面半径为r，侧面母线长为l，
则，
∵，∴r＝1，h＝＝，
∴圆锥的体积V＝＝π．
（2）设AO的中点为N，连接MN、SN，则MN∥OB，
∵OA⊥OB，∴OA⊥MN，
∵SO⊥底面AOB，∴SO⊥MN，
∴MN⊥平面SOA，
∴∠MSN即是直线SM与平面SOA所成角．
∵圆锥的底面半径为2，母线长为，∴圆锥的高SO＝2，
∴SN＝＝，MN＝1．
∵SN⊥MN，∴，∴．
∴直线SM与平面SOA所成角的大小为arctan．
【点评】本题考查圆锥结构特征、圆锥的体积、线面垂直的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2022 浦东新区校级模拟）如图，正四棱锥P﹣ABCD中．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若AB＝2，Vp﹣ABCD＝，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【分析】（1）先证明PO⊥BD，结合BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理可得结论；
（2）由求出棱锥的高，可求得侧棱长，判定侧面的形状后可得二面角的平面角，利用余弦定理可得答案．
【解答】（1）证明：因为P﹣ABCD是正棱锥，
∴P在面ABCD内射影是AC与BD的交点O，
即PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD，
又∵BD⊥AC，PO与AC在面PAC内相交，
∴BD⊥面PAC．
（2）解：∵，
∴，，
则△PAB与△PBC为边长是2的正三角形，取PB的中点E，连AE，CE，
则AE⊥PB，CE⊥PB，∠AEC是二面角的平面角，
．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，二面角的相关计算等知识，属于中等题．
10．（2022 闵行区校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，△PAB是边长为2的等边三角形，PD⊥AB，PD＝．
（1）设AB中点E，求证：DE⊥平面PAB；
（2）求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、勾股定理进行证明即可；
（2）证明∠DPE即为面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，再解三角形即可．
【解答】（1）证明：取AB中点为E，连接PE，DE，
则在等边三角形PAB中，PE⊥AB，
又因为PD⊥AB，PE∩PD＝P，PE、PD 面PED，
所以AB⊥面PED，因为ED 面PED，
所以AB⊥ED，又DA＝AB＝2，AE＝1，
所以∠DAB＝60°，，，
所以PE2+DE2＝PD2，即PE⊥DE，
又PE∩AB＝E，PE、AB 面PAB，
所以DE⊥面PAB；
（2）解：设平面PAB∩平面PDC＝l，又DC∥AB，AB 平面PAB，
DC 平面PAB，所以DC∥平面PAB，又DC 平面PDC，所以DC∥l，
所以DC∥AB∥l，又PD⊥AB，所以PD⊥l，又PE⊥AB，所以PE⊥l，
所以∠DPE即为面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，
由（1）知，，所以△DEP为等腰直角三角形，
故面PAB和平面PCD所成锐二面角为．
【点评】本题主要考查线面垂直的证明，面面角的计算等知识，属于中等题．
11．（2022 浦东新区校级二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；
（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
【分析】（1）连接AC，利用三角形中位线和直线平行传递性可证；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法直接计算可得．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵E，F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
又∵AA1∥CC1，
∴四边形ACC1A1为平行四边形，
∴AlC1∥AC，∴Al l∥EF，
所以A1，C1，F、E四点共面；
（2）解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为A1（2，0，1），E（2，1，0），F（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），
则，
设平面A1C1FE的法向量为＝（x，y，z），
故，取x＝1，得＝（1，1，1），
记直线CD1与平面A1C1FE所成的角为θ，
则，
直线CD1与平面A1C1FE所成的角为．
【点评】本题考查了四点共面的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
12．（2022 徐汇区二模）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
【分析】（1）根据表面积为24π，求得AA1＝4，结合题意和锥体的体积公式，即可求解；
（2）根据题意证得BP⊥平面AA1P，得到平面A1PB⊥平面AA1P，过点A作AM⊥A1P，证得AM⊥平面A1PB，得到∠APM为直线AP与平面A1PB所成的角，再直角△AA1P中，求得，即，即可求解．
【解答】（1）解：由题意，AB是圆柱OO1的底面圆O的一条直径，且OA＝2，其表面积为24π，
可得2π 22+2π×2×AA1＝24π，解得AA1＝4，
在△AOP中，由∠BOP＝60°且OA＝OP＝2，可得∠AOP＝120°，所以，
在△BOP中，OB＝OP＝2且∠BOP＝60°，可得BP＝2，
所以三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）解：由AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，可得BP⊥AP，
又由AA1⊥平面ABP，BP 平面ABP，所以BP⊥AA1，
因为AP∩AA1＝A且AP，AA1 平面AA1P，所以BP⊥平面AA1P，
又因为BP 平面A1PB，所以平面A1PB⊥平面AA1P，
过点A作AM⊥A1P，垂足为M，如图所示，
因为平面A1PB⊥平面AA1P，平面A1PB∩平面AA1P＝A1P，且AM 平面AAlP，
所以AM⊥平面A1PB，所以∠APM为直线AP与平面A1PB所成的角，
又由OA＝2，∠BOP＝60°，可得PB＝2，
在直角△ABP中，可得，
在直角△AA1P中，可得，
所以，
即，
所以直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
【点评】本题考查了三棱锥体积的计算，直线与平面所成的角，属于中档题．
13．（2022 宝山区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E是棱AB上的点，AE＝2EB．
（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；
（2）求点C到平面D1DE的距离．
【分析】（1）首先平移直线找到异面直线所成的角，然后计算其大小即可；
（2）利用等体积法转化顶点即可求得点面距离．
【解答】解：（1）在线段CD上取靠近点D的三等分点F，连结AF，D1F，由平面几何的知识易知AF∥CE，
故∠D1AF或其补角即为异面直线AD1与EC所成角，
由于，故△D1AF为等边三角形，∠D1AF＝60°，
即异面直线AD1与EC所成角为60°．
（2）如图所示，利用等体积法，，
设点C到平面D1DE的距离为h，则，
即，
解得，即点C到平面D1DE的距离为．
【点评】本题主要考查异面直线所成的角的求解，点面距离的计算，等体积法的应用，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
14．（2022 上海模拟）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的侧面积为，OA＝2，∠AOP＝120°．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求二面角A1﹣PB﹣A的大小．
【分析】（1）根据底面圆的半径，结合圆柱的侧面积，求解出圆柱的高，然后根据已知条件，求解底面S△APB，再计算体积即可；
（2）根据已知AA1⊥平面APB且AP⊥PB，不难判断∠APA1为A1﹣PB﹣A所成的二面角，根据第（1）问求解出相应的边长关系，求解∠APA1即可完成求解．
【解答】解：（1）由已知可得，OA＝2，所以C底＝2π 2＝4π，
，所以，
因为AB为圆O的直径，P在底面圆O上，∠AOP＝120°，OA＝OP，
所以∠OAP＝∠OPA＝30°，所以，
所以，
所以，
故三棱锥A1﹣APB的体积为4．
（2）平面A1PB∩平面APB＝PB，
因为AA1⊥平面APB，PB 平面APB，所以AA1⊥PB，
因为AB为圆O的直径，P在底面圆O上，所以AP⊥PB，
故∠APA1为A1﹣PB﹣A所成的二面角，
，且AA1⊥平面APB，
所以AA1⊥AP，
所以．
故二面角A1﹣PB﹣A的大小为．
【点评】本题考查了三棱锥体积的计算，二面角的平面角问题，属于中档题．
15．（2022 上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与第20讲 空间向量与立体几何
【考点梳理与解题技巧】
一．空间中的点的坐标
【知识点的知识】
1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），
在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．
2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）
点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；
点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；
点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．
3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（）
二．空间两点间的距离公式
【知识点的知识】
空间两点间的距离公式：
已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），
则两点的距离为，
特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为．
三．空间向量及其线性运算
【知识点的认识】
1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．
2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，||
特别地：
①规定长度为0的向量为零向量，记作；
②模为1的向量叫做单位向量；
3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．
4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为﹣．
5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．
6．注意：
①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行；
②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；
③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；
④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；
⑤一般来说，向量不能比较大小．
1．加减法的定义：
空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．
空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．
2．加法运算律：
空间向量的加法满足交换律及结合律．
（1）交换律：
（2）结合律：．
3．推广：
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：
（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量
．
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．
①当λ＞0时，与的方向相同；
②当λ＜0时，与的方向相反；
③当λ＝0时，＝．
④|λ|＝|λ| ||
的长度是的长度的|λ|倍．
2．运算律
空间向量的数乘满足分配律及结合律．
（1）分配律：①
②（λ+μ）＝+
（2）结合律：
注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算．
四．共线向量与共面向量
【知识点的认识】
1．定义
（1）共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量．
（2）共面向量
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2．定理
（1）共线向量定理
对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得．
（2）共面向量定理
如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得．
【解题方法点拨】
空间向量共线问题：
（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而．
（2）表示与所在的直线平行或重合两种情况．
空间向量共面问题：
（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．
（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
证明三个向量共面的常用方法：
（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；
（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．
【命题方向】
1，考查空间向量共线问题
例：若＝（2x，1，3），＝（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（　　）
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝﹣ C．x＝，y＝﹣ D．x＝﹣，y＝
分析：利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．
解答：∵＝（2x，1，3）与＝（1，﹣2y，9）共线，
故有＝＝．
∴x＝，y＝﹣．
故选C．
点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．考查空间向量共面问题
例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（　　）
A． B． C． D．
分析：根据共面向量定理，说明M、A、B、C共面，判断选项的正误．
解答：由共面向量定理，
说明M、A、B、C共面，
可以判断A、B、C都是错误的，
则D正确．
故选D．
点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．
五．空间向量的数量积运算
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角
已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作＜，＞．
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos＜，＞叫做向量与的数量积，记作 ，即 ＝||||cos＜，＞
（2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积．
3．空间向量的数量积运算律
空间向量的数量积满足交换律和分配律．
（1）交换律：＝λ（）＝ （）
（2）分配律：．
4．数量积的理解
（1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用
（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）当时，由＝0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有
【解题方法点拨】
利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：
利用数量积求两点间的距离：
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||＝求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小．
利用数量积证明垂直关系：
（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，；
（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直．
【命题方向】
求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何有关数量积计算问题都离不开运算律的运用．
例：已知2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），则 ＝　﹣7　
分析：通过2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），求出向量的坐标，然后进行向量的数量积的坐标运算．
解答：∵2+＝（2，﹣4，1），且＝（0，2，﹣1），
∴＝（1，﹣3，1），
∴ ＝1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7；
故答案为：﹣7．
点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题．
六．空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3），
cos＜＞＝＝
注意：
（1）当cos＜＞＝1时，与同向；
（2）当cos＜＞＝﹣1时，与反向；
（3）当cos＜＞＝0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
dA，B＝||＝＝．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
【命题方向】
（1）利用公式求空间向量的夹角
例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
分析：由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞＝可得答案．
解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以 ，
所以═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且||＝3，||＝，
所以cos＜，＞＝＝，
∴的夹角为60°
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．
（2）利用公式求空间两点的距离
例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（　　）
A.3 B. C. D.5
分析：求出AB对应的向量，然后求出AB的距离即可．
解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），
所以＝（﹣3，0，﹣4），所以＝＝5．
故选D．
点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．
七．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使＝x+y+z．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得＝．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作＝（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
八．空间向量运算的坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量的坐标运算规律：
设空间向量，，则
（1）
（2）
（3）
（4）．
2．空间向量的坐标表示：
设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则
＝（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1）
3．空间向量平行的条件：
（1） ，λ∈R
（2）若x2y2z2≠0，则
4．空间向量垂直的条件：
x1x2+y1y2+z1z2＝0
【解题方法点拨】
空间向量的坐标运算：
空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
坐标运算解决向量的平行与垂直问题：
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
（1）若＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2），（为非零向量），则∥ （λ∈R）．若时，必有∥，必要时应对是否为进行讨论．
（2） x1x2+y1y2+z1z2＝0
坐标运算解决夹角与距离问题：
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
【命题方向】
（1）考查空间向量的坐标表示
例：已知：平行四边形ABCD，其中三个顶点坐标为A（﹣1，2，3），B（2，﹣2，3），C（1，5，1），则第四个顶点D的坐标为　　
分析：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．由平行四边形ABCD，可得，解出即可．
解答：设第四个顶点D的坐标为（x，y）．
∵，＝（1﹣x，5﹣y，1﹣z）．
由平行四边形ABCD，可得，∴，解得x＝﹣2，y＝9，z＝1．
∴D（﹣2，9，1）．
故答案为（﹣2，9，1）．
点评：熟练掌握平行四边形的向量表示是解题的关键．
（2）考查空间向量的坐标运算
例：已知＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），＝（0，5，1），则（+） ＝　　．
分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可
解答：由于＝（3，3，2），＝（4，﹣3，7），则+＝（7，0，9）
又由＝（0，5，1），则（+） ＝（7，0，9） （0，5，1）＝9
故答案为 9
点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键．
（3）考查空间向量平行或垂直的条件
例：已知，，若∥，则λ与μ的值可以是（　　）
A． B． C．﹣3，2 D．2，2．
分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出λ与μ的值即可．
解答：因为，，∥，
所以2μ﹣1＝0，解得μ＝，，解得λ＝2或λ＝﹣3．
所以λ与μ的值可以是：或﹣3，；
故选A．
点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力．
九．向量的数量积判断向量的共线与垂直
【知识点的知识】
一、空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．
共面向量 平行于同一平面的向量．
共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥ 存在λ∈R，使＝λ．
共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面 存在唯一的有序实数对（x，y），使＝x+y．
空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得＝x+y+z． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1．
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
（1） ＝||||cos＜，＞；
（2）⊥ ＝0（，为非零向量）；
（3）||2＝2，||＝．
2．向量的坐标运算
＝（a1，a2，a3），＝（b1，b2，b3）
向量和 +＝（a1+b1，a2+b2，a3+b3）
向量差 ﹣＝（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3）
数量积 ＝a1b1+a2b2+a3b3
共线 ∥ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
垂直 ⊥ a1b1+a2b2+a3b3＝0
夹角
公式 cos＜，＞＝
十．空间点、线、面的位置
【知识点的知识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
②范围：（0，]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
十一．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 ＝0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；
（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
1、空间直线的点向式方程或标准方程：
设直线L过点M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直线L的方向向量．设M（x，y，z）是直线L上任意一点，则＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由两向量平行的充要条件可知
改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为零）．
若直线L的方程为，平面π的方程为Ax+By+Cz+D＝0，则直线L与平面π平行的充要条件是mA+nB+pC＝0；直线L与平面π垂直得充要条件是
2、空间直线的参数方程：
在直线方程中，记其比值为t，则有
（※）
这样，空间直线上动点M的坐标x、y、z就都表达为变量t的函数．当t取遍所有实数值时，由所确定的点M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数．
十二．平面的法向量
【知识点的知识】
1、直线的方向向量：
空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定． 直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量．注意：
①一条直线l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．
②直线l的方向向量也是所有与l平行的直线的方向向量．
2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量．
3、平面的法向量：
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：
①法向量一定是非零向量；
②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有 ＝0．
④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量．
4、法向量的求法：
（1）设：设出平面法向量的坐标为＝（u，v，w）；
（2）列：根据＝0，＝0，列出方程组；
（3）解：把u（或v或w）看作常数，用u（或v或w）表示另外两个量
（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量的坐标．
十三．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．
十四．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此时cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）当＜＜，＞≤π时，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
十五．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
十六．向量语言表述线线的垂直、平行关系
【知识点的认识】
线线垂直与平行：
1．直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为和，则由向量共线的条件得：
l1∥l2（或l1与l2重合） ∥
2、线线垂直：设直线1l、l2的方向向量分别为、，则1l⊥l2 ⊥ ＝0．
十七．向量语言表述面面的垂直、平行关系
【知识点的知识】
1、平面与平面平行
设平面α、β的法向量分别为、，则：α∥β或α与β重合 ∥ 存在实数t，使＝t．
2、面面垂直：
（1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量⊥ ＝0；
（2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交直线的方向向量垂直．
【考点剖析】
一．空间中的点的坐标（共3小题）
1．（2021春 长宁区校级期中）已知点A（x，2，5）与B（﹣1，y，z）关于z轴对称，则x+y+z＝　 　．
2．（2021春 浦东新区校级期中）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是 　 　．
3．（2021春 普陀区校级期末）在空间直角坐标系中，正四面体P1P2P3P4的顶点的坐标为Pi（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4）．设集合A＝{zi|i＝1，2，3，4}，则集合A的元素个数可能为 　 　（写出所有可能的值）．
二．空间两点间的距离公式（共2小题）
4．（2021秋 普陀区校级月考）空间两点A（1，1，1）与B（﹣2，0，1）的距离是 　 　．
5．（2021春 长宁区校级期中）已知A（1，0，0），B（3，2，1），C（2，0，1），则△ABC的面积是　 　．
三．空间向量及其线性运算（共3小题）
6．（2022春 虹口区期末）如图，在斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 黄浦区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，若用向量、、表示向量，则＝　 　．
8．（2021 松江区二模）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∩B1D1＝F，若＝x+y+z，则x+y+z＝　 　．
四．共线向量与共面向量（共3小题）
9．（2021秋 普陀区校级期末）已知点A（1，﹣1，2）在平面α上，其法向量＝（2，﹣1，2），则下列点不在α上的是（　　）
A．（2，3，3） B．（3，7，4） C．（﹣1，﹣7，1） D．（﹣2，0，1）
10．（2022 闵行区校级开学）＝（1，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（1，5，x），若，，三向量共面，则实数x＝　 　．
11．（2022 徐汇区校级开学）已知空间中三点A（2，0，﹣2）、B（1，﹣1，﹣2）、C（3，0，﹣4），设＝，＝．
（1）若||＝3，且∥，求向量；
（2）求以、为一组邻边的平行四边形的面积S．
五．空间向量的数量积运算（共4小题）
12．（2022春 杨浦区校级期中）已知向量，，它们分别在平面xOy和yOz上绕坐标原点旋转α得到向量、，其中α∈（0，2π），若，则α＝　 　．
13．（2022春 奉贤区校级月考）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P在正方体的12条棱上运动，则的取值范围是 　 　．
14．（2021秋 金山区期末）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝ ，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为 　 　．
15．（2021秋 嘉定区校级月考）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，AA1＝4．
（1）求的值；
（2）求A1到平面ABC1的距离．
六．空间向量的夹角与距离求解公式（共4小题）
16．（2022春 浦东新区校级期末）已知＝（1﹣t，2t﹣1，0），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
17．（2021春 普陀区校级期末）设空间向量＝（﹣1，2，m），＝（2，n，﹣4），若∥，则|﹣|＝　 　．
18．（2020春 徐汇区校级期末）已知向量＝（0，2，1），＝（﹣1，1，﹣2），则与的夹角为 　 　．
19．（2021秋 松江区校级期中）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
七．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共3小题）
20．（2022 闵行区校级开学）设空间向量，，是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意x，y，|﹣x﹣y|的最小值是2，则|+3|的最小值是 　 　．
21．（2021秋 嘉定区校级月考）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，若，则λ+μ+υ＝　 　．
22．（2020 闵行区校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，则点P可以是正方体表面上的 　 　．
八．空间向量运算的坐标表示（共2小题）
23．（2022春 浦东新区校级期末）已知点A（1，﹣2，0），向量且，则点B的坐标为 　 　．
24．（2021秋 虹口区校级期末）在空间直角坐标系中，已知A（﹣1，2，﹣3），B（2，﹣4，6），若，则C点坐标为 　 　．
九．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共2小题）
25．（2020春 闵行区校级期中）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），且k+与2﹣互相垂直，则k＝　 　．
26．（2021秋 宝山区校级期中）已知空间向量＝（﹣3，2，5），＝（1，x，﹣1），且与垂直，则x等于 　 　．
一十．空间点、线、面的位置（共1小题）
27．（2021 上海模拟）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（　　）
A．4∈M，6 M B．5 M，6 M C．4 M，6∈M D．5 M，6∈M
一十一．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共3小题）
28．（2020秋 浦东新区期末）直线l：＝的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
29．（2021春 浦东新区校级期末）直线3x+2y+5＝0的一个法向量为（a，a﹣2），则实数a＝　 　．
30．（2021 浦东新区校级开学）若直线l的方程为x﹣y+3＝0，则直线l的一个法向量是　 　．
一十二．平面的法向量（共3小题）
31．（2022 闵行区校级开学）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则下列说法错误的是（　　）
A．与不是共线向量
B．与同向的单位向量是（，，0）
C．和夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
32．（2022 徐汇区校级开学）设直线l的一个方向向量＝（2，2，﹣1），平面α的一个法向量＝（﹣6，8，4），则直线l与平面α的位置关系是 　 　．
33．（2021 黄浦区校级三模）在空间直角坐标系中，点P（x，y，z）满足：x2+y2+z2＝16，平面α过点M（1，2，3），且平面α的一个法向量，则点P在平面α上所围成的封闭图形的面积等于　 　．
一十三．直线与平面所成的角（共4小题）
34．（2022 闵行区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，动点M在侧面BCC1B1上运动（包括边界），且MB1＝2MB，则D1M与平面ADD1A1所成角的正切值的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
35．（2021秋 虹口区校级期末）如图，四面体ABCD的表面积为S，体积为V，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，设，则下列结论正确的是（　　）
A．四边形EFGH是正方形
B．AE和AH与平面EFGH所成的角相等
C．若，则多面体BEF﹣DGH的表面积等于
D．若，则多面体BEF﹣DGH的体积等于
36．（2022秋 普陀区校级月考）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，F是侧面BCC1B1上的动点，且A1F∥平面AD1E，则A1F与平面BCC1B1所成角的余弦值构成的集合是（　　）
A． B． C． D．
37．（2022 上海模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，点O为AB的中点，点P在平面ABC的射影恰为OB的中点E，已知AB＝2PO＝2，点C到OP的距离为，则当∠ACB最大时，直线PC与平面PAB所成角的大小为 　 　．
一十四．二面角的平面角及求法（共6小题）
38．（2021秋 长宁区期末）在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC；记直线DB与直线AC所成的角为α，直线DC与平面ABD所成的角为β，二面角D﹣BC﹣A的平面角为γ，则（　　）
A．β＜γ＜α B．γ＜β＜α C．β＜α＜γ D．α＜γ＜β
39．（2021秋 黄浦区校级期末）如图，在四面体A﹣BCD中，BA，BC，BD两两垂直，BC＝BD＝2，，则二面角A﹣CD﹣B的大小为 　 　．
40．（2022秋 闵行区校级月考）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4．
（1）求异面直线A1B与B1C所成角的大小；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣B的大小．
41．（2022秋 浦东新区校级月考）如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'内接于高为的圆柱中，已知∠ACB＝90°，，BC＝AC＝1，O为AB的中点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求二面角A'﹣BC﹣A的大小．
42．（2022 上海开学）在如图所示的多面体中，AB∥CD，四边形ACFE为矩形，AB＝AE＝1，AD＝CD＝2．
（1）求证：平面ABE∥平面CDF；
（2）设半面BEF∩平面CDF＝l，AB⊥AD，AE⊥平面ABCD，求二面角B﹣l﹣C的正弦值．
43．（2022春 奉贤区校级期末）（1）如图1，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD所成二面角的大小；
（2）如图2，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，|AB|＝2，|AD|＝|AA'|＝1．求顶点B'到平面D'AC的距离．
一十五．点、线、面间的距离计算（共6小题）
44．（2022 上海自主招生）空间中到正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱A1D1，AB，CC1距离相等的点有（　　）
A．无数 B．0 C．2 D．3
45．（2022秋 黄浦区校级月考）如图所示，在四面体P﹣ABC中，底面ABC是一个边长为2的等边三角形，△ABC的外心为点O，PA⊥平面ABC，且PA＝1，动点M、N分别在线段PA（含端点）上和△PBC所在的平面中运动，满足MN＝1．
（A组）则ON2的最大值为 　 　．
（B组）则ON2的取值范围为 　 　．
46．（2022秋 宝山区校级月考）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1的中心，过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q，则线段PQ的长为 　 　．
47．（2022 闵行区校级开学）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则线段AC1的长为 　 　．
48．（2022 金山区二模）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则顶点A到平面BB1D1D的距离为 　 　．
49．（2022 宝山区校级二模）如图，一个正方体雕塑放置在水平基座上，其中一个顶点恰好在基座上，与之相邻的三个顶点与水平基座的距离分别是2，3，4，则正方体的8个顶点中与水平基座距离的最大值为 　 　．
一十六．向量语言表述线线的垂直、平行关系（共1小题）
50．（2020春 松江区期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．
一十七．向量语言表述面面的垂直、平行关系（共1小题）
51．（2021春 浦东新区校级期中）平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为＝（﹣1，0，5），＝（t，5，1），则t的值为　 　．
【真题模拟题专练】
一．选择题（共1小题）
1．（2019 上海）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，2）
二．填空题（共1小题）
2．（2019 上海）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为　 　．
三．解答题（共23小题）
3．（2021 上海）四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD．
（1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小．
4．（2020 上海）已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角．
5．（2022 浦东新区校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝．
（1）证明：A1C⊥BD；
（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．
6．（2022 黄浦区二模）如图，直角边长为1的等腰直角三角形ABC及其内部绕BC边旋转一周，形成一个圆锥．
（1）求该圆锥的侧面积S；
（2）三角形ABC绕BC逆时针旋转到A1BC，M为线段AA1中点，求CM与平面AA1B所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
7．（2022 闵行区二模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，PD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，E为棱BC的中点．
（1）求证：ED⊥平面PAD；
（2）若PD＝AD＝2，求点D到平面PBC的距离．
8．（2022 长宁区二模）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，母线SA的长为．
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）A、B是底面圆周上的两个点，∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线SM与平面SOA所成角的大小．
9．（2022 浦东新区校级模拟）如图，正四棱锥P﹣ABCD中．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若AB＝2，Vp﹣ABCD＝，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
10．（2022 闵行区校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，△PAB是边长为2的等边三角形，PD⊥AB，PD＝．
（1）设AB中点E，求证：DE⊥平面PAB；
（2）求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小．
11．（2022 浦东新区校级二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；
（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
12．（2022 徐汇区二模）如图，已知AB为圆柱OO1的底面圆O的一条直径，P为圆周上的一点，OA＝2，∠BOP＝60°，圆柱OO1的表面积为24π．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求直线AP与平面A1PB所成的角的大小．
13．（2022 宝山区二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E是棱AB上的点，AE＝2EB．
（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小；
（2）求点C到平面D1DE的距离．
14．（2022 上海模拟）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的侧面积为，OA＝2，∠AOP＝120°．
（1）求三棱锥A1﹣APB的体积；
（2）求二面角A1﹣PB﹣A的大小．
15．（2022 上海）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1．
（1）若AA1＝4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）
（2）若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积．
16．（2021 上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3．
（1）若P是棱A1D1上的动点，求三棱锥C﹣PAD的体积；
（2）求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小．
17．（2019 上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5．
（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；
（2）求点A到平面A1MC的距离．
18．（2022 普陀区二模）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱长为4，设（0＜λ＜1）．
（1）当λ＝时，求直线B1E与平面ABCD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）；
（2）当λ＝时，若，且＝0，求正实数t的值．
19．（2022 金山区二模）如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝BC＝1，AD＝2，．
（1）求四棱锥S﹣ABCD的体积；
（2）求直线BS与平面SCD所成角的大小．
20．（2022 杨浦区二模）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长1，侧棱长4，AA1中点为E，CC1中点为F．
（1）求证：平面BDE∥平面B1D1F；
（2）连结B1D，求直线B1D与平面BDE所成的角的大小．
21．（2022 闵行区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB，△PAD均为等边三角形，BC＝CD．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA＝BD＝BC，M，N分别是PC，BC的中点，Q在边AD上，且DQ＝2QA．求直线AM与平面PQN所成角的正弦值．
22．（2022 浦东新区二模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，点D是线段A1B1的中点．
（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
（2）已知P为侧棱BB1的中点，求点P到平面BCD的距离．
23．（2022 嘉定区二模）如图，圆锥的底面半径OA＝2，高PO＝6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：
（1）该圆锥的表面积；
（2）直线CD与平面PAB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
24．（2022 静安区模拟）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
（1）证明：OA⊥CD；
（2）已知△OCD是边长为1的等边三角形，且三棱锥A﹣BCD的体积为，若点E在棱AD上，且二面角E﹣BC﹣D的大小为45°，求．
25．（2022 徐汇区校级模拟）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB＝4，D是AB中点，现将Rt△AOB以
直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC＝90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）

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