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第21讲 导数的八种解题模型
【考点梳理与解题技巧】
一．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）＝
【典例例题分析】
典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（　　）
A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6
分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．
解：，
故选D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．
典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8﹣3t2
∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．
（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，
∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．
③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）＝或f′（x0）＝
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）＝；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
二．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．
【典型例题分析】
题型一：根据切线方程求斜率
典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线的一条切线的斜率为，
∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选A．
题型二：求切线方程
典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1
∴f（1）＝2+1＝3
∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3
∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）
∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）
将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A
故选A．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．
三．极限及其运算
【知识点的知识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
四．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b 20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
五．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
六．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
七．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
八．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
【考点剖析】
一．变化的快慢与变化率（共9小题）
1．（2022春 静安区校级期末）已知物体做直线运动对应的函数为S＝S（t），其中S表示路程，t表示时间．则S'（4）＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
（多选）2．（2022春 静安区校级期末）对于函数f（x），若f′（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022春 闵行区校级期末）函数f（x）＝x2在区间[2，4]上的平均变化率等于 　 　．
4．（2022春 长宁区校级期末）某物体的运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）满足函数关系为S＝t2+10t，则该物体在时刻t＝3时的瞬时速度为 　 　（米/秒）．
5．（2022春 浦东新区校级月考）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 　 　mm/min．
6．（2022春 宝山区校级月考）函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+h之间的平均变化率为 　 　．
7．（2022春 青浦区校级期末）已知f（x）＝ax2+b的图像开口向上，，则a＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
8．（2022秋 嘉定区月考）对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为 　 　．
9．（2022春 浦东新区校级期末）函数y＝x2+x在x＝2到x＝2+h之间的平均变化率为 　 　．
二．导数及其几何意义（共5小题）
10．（2022 上海自主招生），f（x）在（3，f（3））处切线方程为（　　）
A．2x+y+9＝0 B．2x+y﹣9＝0 C．﹣2x+y+9＝0 D．﹣2x+y﹣9＝0
11．（2022春 徐汇区期末）如图，已知直线l是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，则f'（3）的值为 　 　．
12．（2022春 浦东新区校级期中）曲线y＝sinx在处的切线斜率是　 　．
13．（2022春 黄浦区校级期末）已知一组抛物线y＝ax2+bx+1，其中a为2、4中任取的一个数，b为1、3、5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是　 　．
14．（2022秋 黄浦区校级月考）已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
（Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为﹣，求点M的坐标（x0，y0）；
（Ⅱ）设P（﹣2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．
三．极限及其运算（共2小题）
15．（2022春 闵行区校级期末）已知函数f（x）＝cosx，则＝　 　．
16．（2021秋 徐汇区校级期中）若函数f（x）＝logax的图像过点，则＝　 　．
四．导数的运算（共5小题）
17．（2022春 静安区校级期末）设常数a＞0，a≠1，在空格内，写出左边到右边的推导过程：（logax）′＝　 　＝．
18．（2022春 静安区校级期末）函数的导数为 　 　．
19．（2022春 长宁区校级期末）函数f（x）＝2x f'（1）+x2，则f'（2）＝　 　．
20．（2022春 浦东新区校级期末）已知f（x）＝（x+1）lnx，则f'（1）＝　 　．
21．（2022春 长宁区校级期末）求下列函数的导数：
（1）f（x）＝3x4+sinx；
（2）．
五．利用导数研究函数的单调性（共10小题）
22．（2022春 静安区校级期末）求函数f（x）＝tanx的导函数，并由此确定正切函数的单调区间．
23．（2022春 虹口区校级期末）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．在（﹣∞，1）上为减函数
B．在（2，4）上为增函数
C．在x＝3处取极大值
D．f（x）的图象在点x＝1处的切线的斜率为0
24．（2022春 浦东新区校级期末）若在R上严格增，则实数a的取值范围是 　 　．
25．（2022春 浦东新区校级期中）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）≤0的解集为 　 　．
26．（2022秋 浦东新区校级月考）定义域为[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A（a，f（a））、B（b，f（b）），M（x，y）是y＝f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称|MN|的最大值为该函数的“曲径”．则定义域为[1，2]上的函数的曲径是 　 　．
27．（2022 上海开学）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝cosx上存在点（x0，y0）使f（f（y0））＝y0成立，则a的取值范围是 　 　．
28．（2022春 青浦区校级期末）如果函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图像如题图所示，则以下关于函数y＝f（x）的判断：
①在区间（﹣2，1）上为严格增函数；
②在区间（3，4）上为严格减函数；
③在区间（2，3）上为严格增函数；
④x＝﹣3是极小值点；
⑤x＝4是极大值点．
其中正确的序号是 　 　．
29．（2022春 浦东新区校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x）．当x≥0时，f′（x）＜x2，则不等式f（3x）＞f（1）+9x3﹣的解集是 　 　．
30．（2022春 浦东新区校级月考）已知函数存在4个零点，则实数m的取值范围是 　 　．
31．（2022春 浦东新区校级月考）已知，其中a＞1．
（1）请利用y＝lnx的导函数推出f（x）导函数，并求函数的递增区间；
（2）若曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x2，f（x2））的切线平行，求f（x1）+x2（化简为只含a的代数式）；
（3）证明：当时，存在直线l，使得l既是y＝f（x）的一条切线，也是y＝g（x）的一条切线．
六．利用导数研究函数的极值（共5小题）
32．（2022春 宝山区校级期中）函数y＝f（x）的定义域为（﹣2，2），解析式f（x）＝x4﹣4x2+1．则下列结论中正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）既有最小值也有最大值
B．函数y＝f（x）有最小值但没有最大值
C．函数y＝f（x）恰有一个极小值点
D．函数y＝f（x）恰有两个极大值点
33．（2022秋 黄浦区校级月考）若f（x）在区间（a，b）内有定义，且x0∈（a，b），则“f′（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
34．（2021秋 普陀区校级期末）已知函数f（x）＝x3+x2﹣8x+7．
（1）求函数的导数；
（2）求函数的单调区间和极值点．
35．（2022 上海自主招生）在中有极大值，则a的取值范围为（　　）
A．（1，2） B．（1，+∞） C．（2，+∞） D．
36．（2022秋 浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣xex（a＞0）．
（1）求（0，f（0））处的切线方程；
（2）求证：f（x）有且仅有一个极值点；
（3）若存在实数a使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．
七．利用导数研究函数的最值（共8小题）
37．（2022春 宝山区校级月考）已知f（x）＝lnx﹣ax2+a，若对任意x≥1，都有f（x）≤0，则实数a的取值范围是 　 　．
38．（2022秋 闵行区校级月考）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2+1的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）若F（x）＝f（x）﹣（x2+x+m）在[﹣1，2]内有两个零点，求m的取值范围；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（x）﹣kx≥0恒成立，求实数k的最大值．
39．（2022春 闵行区校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x﹣3．
（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最值．
40．（2022春 奉贤区校级月考）已知a，b∈R+，．
（1）若a＝1，求y＝f（x）在区间[1，+∞）上的最小值（直接写出结论，结果用b表示）；
（2）我们知道：当时，x＞sinx．设，求证：当x＞2时，f（x）＞g（x）+2a恒成立；
（3）若a＝b3，h（x）＝|logcbx|，其中c＞0且c≠1，A（x0，y0）是y＝f（x）和y＝h（x）图像的一个公共点，bx0≠1，求证：y＝f（x）和y＝h（x）的图像必存在异于点A的另一个公共点．
41．（2022春 浦东新区校级期中）设函数f（x）＝1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（1）当a＝4时，讨论f（x）在其定义域上的单调性并说明理由；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的最值及取得最值时的x的值．
42．（2022 徐汇区二模）已知a为实数、函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a，x∈R．
（1）当a＝2时、求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
43．（2022 浦东新区校级开学）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+x+4．
（1）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）+f（﹣x）≥4lnx+8恒成立，求a的取值范围；
（3）当a＝3时，设函数g（x）＝f（x）﹣kx，对于任意的k＜1，试确定函数的零点个数，并说明理由．
44．（2022 上海开学）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
八．利用导数研究曲线上某点切线方程（共3小题）
45．（2022秋 宝山区校级月考）已知函数f（x）＝（x+1）lnx，则曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 　 　．
46．（2022春 静安区校级期末）曲线y＝e1﹣2x在点处的切线方程为 　 　．
47．（2022秋 闵行区校级月考）设P是曲线y＝﹣x3+x+上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 　 　．
【真题模拟题专练】
一．填空题（共9小题）
1．（2022 黄浦区二模）已知等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a1＝1，公比为3，则＝　 　．
2．（2022 普陀区二模）设直线l：3x﹣y﹣n＝0（n∈N*）与函数和的图像分别交于Pn，Qn两点，则＝　 　．
3．（2022 长宁区二模）已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，则＝　 　．
4．（2022 宝山区校级二模）设函数的图像与y＝21﹣x的图像交点的横坐标从小到大依次记为x1，x2，x3，…，则|xn+1﹣xn|＝　 　．
5．（2022 崇明区二模）已知平面直角坐标系中的点、、，n∈N*．记Sn为△AnBn n外接圆的面积，则＝　 　．
6．（2022 浦东新区校级二模）设函数f（x）＝2x，若存在x∈[0，4]使不等式f（a+x）﹣f（2x）≥2成立，则实数a的取值范围为 　 　．
7．（2022 徐汇区三模）设Pn（xn，yn）是直线与圆x2+y2＝1在第一象限的交点，则＝　 　．
8．（2022 静安区模拟）设函数f0（x）＝|x|，f1（x）＝|f0（x）﹣1|，f2（x）＝|f1（x）﹣2|，则函数f2（x）的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是　 　．
9．（2022 上海）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝　 　．
二．解答题（共2小题）
10．（2022 徐汇区二模）已知a为实数、函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a，x∈R．
（1）当a＝2时、求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
11．（2022 上海）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）．
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．
（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．第21讲 导数的八种解题模型
【考点梳理与解题技巧】
一．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）＝
【典例例题分析】
典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（　　）
A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6
分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．
解：，
故选D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．
典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8﹣3t2
∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．
（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，
∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．
③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）＝或f′（x0）＝
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）＝；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
二．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．
【典型例题分析】
题型一：根据切线方程求斜率
典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线的一条切线的斜率为，
∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3
故选A．
题型二：求切线方程
典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（　　）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1
∴f（1）＝2+1＝3
∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3
∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）
∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）
将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A
故选A．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．
（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．
三．极限及其运算
【知识点的知识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S＝（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．＝a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作＝a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）＝在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．＝f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
四．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b 20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
五．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
六．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
七．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
八．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
【考点剖析】
一．变化的快慢与变化率（共9小题）
1．（2022春 静安区校级期末）已知物体做直线运动对应的函数为S＝S（t），其中S表示路程，t表示时间．则S'（4）＝10表示的意义是（　　）
A．经过4s后物体向前走了10m
B．物体在前4秒内的平均速度为10m/s
C．物体在第4秒内向前走了10m
D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s
【分析】根据导数的物理意义可知，S（t）函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．
【解答】解：∵物体做直线运动的方程为S＝S（t），
根据导数的物理意义可知，S（t）函数的导数是t时刻的瞬时速度，
∴S′（4）＝10表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的物理意义，函数的导数与瞬时速度的关系是解决本题的关键．
（多选）2．（2022春 静安区校级期末）对于函数f（x），若f′（x0）＝2，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．
【解答】解：因为＝f′（x0）＝2，故选项A正确；
因为＝f′（x0）＝1，故选项B错误；
因为＝2f′（x0）＝4，故选项C错误；
因为＝f′（x0）＝2，故选项D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了平均变化率定义以及导数定义的理解和应用，属于基础题．
3．（2022春 闵行区校级期末）函数f（x）＝x2在区间[2，4]上的平均变化率等于 　6　．
【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在区间[2，4]上，Δy＝f（4）﹣f（2）＝16﹣4＝12，
Δx＝4﹣2＝2，
则其平均变化率＝＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查平均变化率的计算，注意平均变化率的计算公式，属于基础题．
4．（2022春 长宁区校级期末）某物体的运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）满足函数关系为S＝t2+10t，则该物体在时刻t＝3时的瞬时速度为 　8　（米/秒）．
【分析】求出函数S的导数，然后令t＝3即可求解．
【解答】解：因为S＝t2+2t，所以S′＝2t+2，
则当t＝3时，S′＝2×3+2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了导数的运算性质以及变化的快慢与变化率，考查了学生的理解能力，属于基础题．
5．（2022春 浦东新区校级月考）已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为 　　mm/min．
【分析】直接求出函数的导数，代入时刻t＝40min，可得降雨强度．
【解答】解：因为，
∵，
∴，
故在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的实际应用，属于基础题．
6．（2022春 宝山区校级月考）函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+h之间的平均变化率为 　h+3　．
【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数y＝x2+x，Δy＝（1+h）2+（1+h）﹣1﹣1＝h2+3h，
Δx＝1+h﹣1＝h，
则其平均变化率＝＝h+3，
故答案为：h+3．
【点评】本题考查函数的平均变化率的概念及的求法，注意平均变化率的计算，是基础题．
7．（2022春 青浦区校级期末）已知f（x）＝ax2+b的图像开口向上，，则a＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【分析】根据导数的运算性质求出f′（a），再根据导数的几何意义建立方程即可求解．
【解答】解：由已知可得f′（x）＝2ax，所以f′（a）＝2a2，
又＝f′（a）＝2a2＝4，解得a＝或﹣，
因为函数f（x）的开口向上，所以a＞0，
则a＝，
故选：A．
【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
8．（2022秋 嘉定区月考）对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为 　16π　．
【分析】根据瞬时变化率的实际意义求解即可．
【解答】解：设球体的体积为V，半径为r，则V（t）＝，
所以V'（t）＝4πr2，
所以当半径增加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为V'（2）＝4π×4＝16π，
故答案为：16π．
【点评】本题主要考查了瞬时变化率的实际意义，属于基础题．
9．（2022春 浦东新区校级期末）函数y＝x2+x在x＝2到x＝2+h之间的平均变化率为 　h+5　．
【分析】利用平均变化率的定义求解．
【解答】解：函数y＝x2+x在x＝2到x＝2+h之间的平均变化率为＝＝h+5，
故答案为：h+5．
【点评】本题主要考查了平均变化率的定义，属于基础题．
二．导数及其几何意义（共5小题）
10．（2022 上海自主招生），f（x）在（3，f（3））处切线方程为（　　）
A．2x+y+9＝0 B．2x+y﹣9＝0 C．﹣2x+y+9＝0 D．﹣2x+y﹣9＝0
【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出f'（3）＝﹣2，再结合直线的点斜式公式，即可求解．
【解答】解：∵，令△x＝x﹣2，
∴＝，解得f'（3）＝﹣2，
∴f（x）在（3，f（3））处切线方程为y﹣3＝﹣2（x﹣3），即2x+y﹣9＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题．
11．（2022春 徐汇区期末）如图，已知直线l是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，则f'（3）的值为 　　．
【分析】根据图求出直线l过的定点，进而求出直线l的斜率，再根据导数的几何意义即可求解．
【解答】解：由图可知直线l过点（0，﹣1），（3，﹣2），
则直线l的斜率为k＝，
根据导数的几何意义可得f′（3）＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了导数的几何意义，涉及到直线l的斜率，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12．（2022春 浦东新区校级期中）曲线y＝sinx在处的切线斜率是　　．
【分析】求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率．
【解答】解：由y＝sinx，得到y′＝cosx，
把x＝代入得：y′|x＝＝．
则曲线在点处的切线斜率为．
故答案为：
【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．
13．（2022春 黄浦区校级期末）已知一组抛物线y＝ax2+bx+1，其中a为2、4中任取的一个数，b为1、3、5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率是　　．
【分析】由题意知，所有抛物线条数是2×3＝6条，从6条中任取两条的方法数是C62＝15，其中保证“它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的”有2条，从而可求得它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率．
【解答】解：由题意知，所有抛物线条数是2×3＝6条，从6条中任取两条的方法数是C62＝15，
∵y'＝ax+b，
∴在与直线x＝1交点处的切线斜率为a+b，
而a为2、4中任取的一个数，b为1、3、5中任取的一个数，保证a+b相等的抛物线对数有2对．
∴它们在与直线x＝1交点处的切线相互平行的概率为．
故答案为．
【点评】本题主要考查古典概率的计算问题，古典概型是一种特殊的概率模型，其特点是：（1）对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；（2）对于上述所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的．
14．（2022秋 黄浦区校级月考）已知抛物线C：，过C上一点M，且与M处的切线垂直的直线称为C在点M的法线．
（Ⅰ）若C在点M的法线的斜率为﹣，求点M的坐标（x0，y0）；
（Ⅱ）设P（﹣2，a）为C对称轴上的一点，在C上是否存在点，使得C在该点的法线通过点P？若有，求出这些点，以及C在这些点的法线方程；若没有，请说明理由．
【分析】（1）由切线和法线垂直，则其斜率之积等于﹣1，可得M处的切线的斜率k＝2，再根据导数的几何意义，结合已知即可求得点M的坐标；
（2）设M（x0，y0）为C上一点，分x0＝﹣2和x0≠﹣2两种情况讨论，结合题意和导数的几何意义可得到等量关系（x0+2）2＝a，然后再分a＞0，a＝0，a＜0三种情况分析，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，M处的切线的斜率k＝＝2，
∵y′＝2x+4，
∴2x0+4＝2，解得x0＝﹣1，
将x0＝﹣1代入中，解得y0＝，
∴M（﹣1，）；
（Ⅱ）设 M（x0，y0）为C上一点，
①若x0＝﹣2，则C上点M（﹣2，﹣）处的切线斜率 k＝0，过点M（﹣2，﹣） 的法线方程为x＝﹣2，此法线过点P（﹣2，a）；
②若 x0≠﹣2，则过点 M（x0，y0）的法线方程为：y﹣y0＝﹣（x﹣x0） ①
若法线过P（﹣2，a），则 a﹣y0＝﹣（﹣2﹣x0），即（x0+2）2＝a②
若a＞0，则x0＝﹣2±，从而y0＝，将上式代入①，
化简得：x+2y+2﹣2a＝0或x﹣2y+2+2a＝0，
若a＝0与x0≠﹣2矛盾，若a＜0，则②式无解．
综上，当a＞0时，在C上有三个点（﹣2+，），（﹣2﹣，）及
（﹣2，﹣），在这三点的法线过点P（﹣2，a），其方程分别为：
x+2y+2﹣2a＝0，x﹣2y+2+2a＝0，x＝﹣2．
当a≤0时，在C上有一个点（﹣2，﹣），在这点的法线过点P（﹣2，a），其方程为：x＝﹣2．
【点评】本题通过曲线的切线和法线问题，考查了导数的运算和几何意义，同时综合运用了分类讨论的数学思想，难度较大．
三．极限及其运算（共2小题）
15．（2022春 闵行区校级期末）已知函数f（x）＝cosx，则＝　﹣1　．
【分析】根据导数的定义可得f′（）＝，计算即可．
【解答】解：由题意得，f′（）＝，
f（x）＝cosx，f′（x）＝﹣sinx，f′（）＝﹣sin＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了导数的定义，是基础题．
16．（2021秋 徐汇区校级期中）若函数f（x）＝logax的图像过点，则＝　1　．
【分析】将点代入函数中，求得a的值，再结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
【解答】解：∵函数f（x）＝logax的图像过点，
∴，解得a＝，
∴a+a2+a3+ +an＝ +＝，
∴＝．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查极限与等比数列前n项和的综合应用，属于中档题．
四．导数的运算（共5小题）
17．（2022春 静安区校级期末）设常数a＞0，a≠1，在空格内，写出左边到右边的推导过程：（logax）′＝　　＝．
【分析】本直接利用求导公式及对数换底公式计算即可．
【解答】解：，
故答案为．
【点评】本题主要考查利用求导公式对函数求导，属于基础题．
18．（2022春 静安区校级期末）函数的导数为 　　．
【分析】直接利用求导公式计算即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用求导公式对函数求导，属于基础题．
19．（2022春 长宁区校级期末）函数f（x）＝2x f'（1）+x2，则f'（2）＝　0　．
【分析】根据复合函数的的求导法则求得f′（x），求得f′（1）的值，进而求得f′（2）．
【解答】解：f（x）＝2x f'（1）+x2，
∴f'（x）＝2f'（1）+2x，
f'（1）＝2f'（1）+2，
解得：f'（1）＝﹣2，
则f'（2）＝2f'（1）+4＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
20．（2022春 浦东新区校级期末）已知f（x）＝（x+1）lnx，则f'（1）＝　2　．
【分析】根据复合函数求导公式求得f′（x），再求f'（1）．
【解答】解：∵f（x）＝（x+1）lnx，
则f'（x）＝lnx+，
∴f′（1）＝ln1+＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
21．（2022春 长宁区校级期末）求下列函数的导数：
（1）f（x）＝3x4+sinx；
（2）．
【分析】（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．
【解答】解：（1）f（x）＝3x4+sinx则f′（x）＝12x3+cosx；
（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．
【点评】本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
五．利用导数研究函数的单调性（共10小题）
22．（2022春 静安区校级期末）求函数f（x）＝tanx的导函数，并由此确定正切函数的单调区间．
【分析】根据导函数及定义域，即可求解单调区间．
【解答】解：，
又定义域为，
所以单调递增区间为，无单调递减区间．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属基础题．
23．（2022春 虹口区校级期末）已知函数y＝f（x），其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．在（﹣∞，1）上为减函数
B．在（2，4）上为增函数
C．在x＝3处取极大值
D．f（x）的图象在点x＝1处的切线的斜率为0
【分析】利用用导函数判断函数的单调性和极值点，进而判断A，B，C的正误；结合图象可知导函数在x＝1处的符号即可判断D的正误．
【解答】解：由图可知，当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；
当x∈（2，4）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（4，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；
故A错误，B正确；
由上分析可得：f（x）在x＝4处取得极大值，故C错误；
由图可知：f'（1）＜0，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
24．（2022春 浦东新区校级期末）若在R上严格增，则实数a的取值范围是 　[﹣，]　．
【分析】由题意可得f'（x）≥0在R上恒成立，设t＝sinx∈[﹣1，1]，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解：因为在R上严格增，
且f'（x）＝1﹣cos2x﹣asinx＝﹣asinx+，
所以f'（x）≥0在R上恒成立，
即﹣asinx+≥0在R上恒成立，
设t＝sinx∈[﹣1，1]，则g（t）＝t2﹣at+≥0在[﹣1，1]上恒成立，
①当﹣1，即a≤﹣时，只需g（﹣1）＝≥0，即a≥﹣，此时无解；
②当≥1，即a≥时，只需g（1）＝﹣a+≥0，即a≤，此时无解；
③当﹣1＜＜1，即﹣＜a＜时，只需Δ＝（﹣a）2﹣4××≤0，即﹣≤a≤．
综上所述，﹣≤a≤．
故答案为：[﹣，]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
25．（2022春 浦东新区校级期中）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）≤0的解集为 　[﹣2，0]∪[2，+∞）　．
【分析】由＜0，构造函数h（x）＝，分析奇偶性，单调性，不等式x2f（x）＞0等价于x3h（x）＞0，即可得出答案
【解答】解：由＜0，
构造函数h（x）＝，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以h（x）为偶函数，
又当x＞0时，h（x）为减函数，且h（2）＝＝0，
因为h（x）＞0，解得﹣2＜x＜2，x≠0，
h（x）＜0，解得x＜﹣2或x＞2，
不等式x2f（x）≤0等价于x3h（x）≤0，
即或，
解得﹣2≤x≤0或2≤x，
故答案为：[﹣2，0]∪[2，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
26．（2022秋 浦东新区校级月考）定义域为[a，b]的函数y＝f（x）图象的两个端点为A（a，f（a））、B（b，f（b）），M（x，y）是y＝f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称|MN|的最大值为该函数的“曲径”．则定义域为[1，2]上的函数的曲径是 　﹣　．
【分析】线段AB方程为：y＝（x﹣1），x∈[1，2]，设M（x，y）是y＝f（x）＝x﹣的图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N，可得|MN|＝|x﹣﹣（x﹣1）|，x∈[1，2]，令g（x）＝x﹣﹣（x﹣1）＝﹣x﹣+，x∈[1，2]，利用导数研究其单调性与最值即可得出结论．
【解答】解：线段AB方程为：y＝（x﹣1），x∈[1，2]，
设M（x，y）是y＝f（x）＝x﹣的图象上任意一点，
过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（x，（x﹣1）），
则|MN|＝|x﹣﹣（x﹣1）|，x∈[1，2]，
令g（x）＝x﹣﹣（x﹣1）＝﹣x﹣+，x∈[1，2]，
g′（x）＝﹣+＝，
x∈[1，）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；x∈（，2]时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴x＝时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（）＝﹣，
∴定义域为[1，2]上的函数的曲径是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
27．（2022 上海开学）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y＝cosx上存在点（x0，y0）使f（f（y0））＝y0成立，则a的取值范围是 　（﹣∞，0]　．
【分析】根据y0∈[0，1]证明f（y0）＝y0，即函数f（x）＝x在[0，1]上有解，即求lnx+x﹣x2＝a，x∈[0，1]的范围，对函数h（x）＝lnx+x﹣x2利用导数即可求值域．
【解答】解：y＝cosx∈[﹣1，1]，若曲线y＝cosx上存在点（x0，y0）使f（f（y0））＝y0成立，则y0∈[0，1]，
下面证明f（y0）＝y0．
∵y＝lnx+x﹣a在定义域内单调递增，∴在定义域上单调递增，
假设f（y0）＝C＞y0，则f（f（y0））＝f（C）＞f（y0）＝C＞y0，不满足f（f（y0））＝y0，
∴f（y0）＝y0，那么函数f（x）＝∈[0，1]，
即函数f（x）＝x在x∈[0，1]有解，∴lnx+x﹣a＝x2，
即a＝lnx+x﹣x2，x∈[0，1]，
令h（x）＝lnx+x﹣x2，
则，h（x）严格增，
又h（1）＝0，所以a≤0，
所以a的取值范围是（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题考查函数的导数应用，函数的单调性，考查计算能力．
28．（2022春 青浦区校级期末）如果函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图像如题图所示，则以下关于函数y＝f（x）的判断：
①在区间（﹣2，1）上为严格增函数；
②在区间（3，4）上为严格减函数；
③在区间（2，3）上为严格增函数；
④x＝﹣3是极小值点；
⑤x＝4是极大值点．
其中正确的序号是 　③⑤　．
【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可．
【解答】解：①函数y＝f（x）在区间（﹣2，1）上存在f′（x）＜0，也存在f′（x）＞0，所以不能说函数为减函数，所以①错误；
②函数y＝f（x）在区间（3，4）内f′（x）＞0，则函数单调递增；故②不正确，
③函数y＝f（x）在区间（2，3）的导数为f′（x）＞0，
∴y＝f（x）在区间（2，3）上单调递增，③正确；
④由图象知当x＝﹣3时，函数f′（x）取得极小值，
但是函数y＝f′（x）的零点在x＝﹣1附近，故y＝f（x）在x＝﹣3处没有取得极小值，在x＝﹣1附近取极小值，故④错误，
⑤x＝4时，f'（x）＝0，
当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f′（x）为增函数，4＜x，f′（x）＜0此时函数y＝f（x）为减函数，
则函数y＝f（x）内有极大值，x＝4是极大值点；故⑤正确，
故答案为：③⑤．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．综合性较强，有一定的难度．
29．（2022春 浦东新区校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x）．当x≥0时，f′（x）＜x2，则不等式f（3x）＞f（1）+9x3﹣的解集是 　　．
【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数g（x）的奇偶性及单调性求解作答．
【解答】解：依题意，令，因f（x）是R上的奇函数，
则，
即g（x）是R上的奇函数，又当x≥0时，f′（x）＜x2，则g′（x）＝f′（x）﹣x2＜0，
于是得函数g（x）在0，+∞）上单调递减，有函数g（x）在R上单调递减，，
，
因此3x＜1，解得，
所以所求解集是．
故答案为：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．
30．（2022春 浦东新区校级月考）已知函数存在4个零点，则实数m的取值范围是 　（0，1）　．
【分析】问题可转化为存在4个实数根，令h（x）＝，令g（t）＝，分析h（x）单调性，最值，作出图像，结合图像可得答案．
【解答】解：函数存在4个零点，
所以存在4个实数根，
等价转化为存在4个实数根，
令h（x）＝，
，
令h′（x）＝0，得x＝e，
所以当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
当x＝e时，h（x）＝1，
当x→+∞时，h（x）→0；当x→0时，h（x）→﹣∞，
所以h（x）∈（﹣∞，1]，
作出函数h（x）的图像如下：
令t＝h（x），则2m＝，
令g（t）＝，
，
所以当t∈（，1）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，
当t∈（﹣∞，），g′（t）＜0，g（t）单调递减，
所以当t＝时，g（t）＝0，
作出g（t）的图像如下：
当m＜0时，m＝无解，不符合题意，
当m＝0时，m＝只有一个解为t＝，h（x）＝有两个解，符合题意，
当m＞0时，m＝有两个解为t1＜，＜t2＜1，
若＜t2＜1，则h（x）＝有两个解，
若要使得存在4个实数根，
则0＜t1＜，此时0＜g（t1）＜1，
所以0＜m＜1，
故m的取值范围为（0，1）．
故答案为（0，1）．
【点评】本题考查函数与方程之间的关系，解题中注意数形结合思想，转化思想的应用，属于中档题．
31．（2022春 浦东新区校级月考）已知，其中a＞1．
（1）请利用y＝lnx的导函数推出f（x）导函数，并求函数的递增区间；
（2）若曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x2，f（x2））的切线平行，求f（x1）+x2（化简为只含a的代数式）；
（3）证明：当时，存在直线l，使得l既是y＝f（x）的一条切线，也是y＝g（x）的一条切线．
【分析】（1）首先利用换底公式将函数f（x）转化为，再利用y＝lnx的导函数计算即可，继而求出h（x）的导函数令其导函数大于0求出增区间即可．
（2）分别求出函数y＝f（x）在点（x1，f（x1））处与y＝g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；
（3）分别求出曲线y＝f（x）在点（x1，ax1）处的切线与曲线y＝g（x）在点（x2，logax2）处的切线方程，把问题转化为证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥时，方程存在实数解．然后利用导数证明即可．
【解答】解：（1）由已知有，
又因为，
故，
故，因为a＞1，故lna＞0，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，
故h（x）的递增区间为（0，1）；
（2）由（1）有：，可得曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为
由g′（x）＝axlna，可得曲线y＝g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．
＝，即，
两边取以a为底数的对数，得logax1+x2+2loga（lna）＝0
∵这两条切线平行，故有lna＝，即x2ax1（lna）2＝1，
两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna＝0，
故f（x1）+x2＝logax1+x2＝
∴f（x1）+x2＝﹣；
（3）证明：曲线y＝f（x）在点（x1，ax1）处的切线l1：，
曲线y＝g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：，
要证明当时，存在直线l，使l是曲线y＝f（x）的切线，也是曲线y＝g（x）的切线，
只需证明当时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞），使得l1与l2重合，
即只需证明当时，方程组，
由①得，
代入②得：③，
因此，只需证明当时，关于x1 的方程③存在实数解．
设函数，即要证明当时，函数y＝u（x）存在零点．
u′（x）＝1﹣（lna）2xax，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，
又u′（0）＝1＞0，，
故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）＝0，即1 （lna）2x0ax0＝0．
由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
u（x）在x＝x0处取得极大值u（x0）．
∵，故lnlna≥﹣1．
∴＝．
下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，
由（Ⅰ）可得ax≥1+xlna，当时，有＝，
∴存在实数t，使得u（t）＜0，
因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）＝0．
∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f（x）的切线，也是曲线y＝g（x）的切线．
【点评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题．
六．利用导数研究函数的极值（共5小题）
32．（2022春 宝山区校级期中）函数y＝f（x）的定义域为（﹣2，2），解析式f（x）＝x4﹣4x2+1．则下列结论中正确的是（　　）
A．函数y＝f（x）既有最小值也有最大值
B．函数y＝f（x）有最小值但没有最大值
C．函数y＝f（x）恰有一个极小值点
D．函数y＝f（x）恰有两个极大值点
【分析】先对函数f（x） 进行求导，令导函数等于0找到有可能的极值点，然后根据导数的正负判断原函数的单调性进而确定函数f（x）的极值．
【解答】解：∵f（x）＝x4﹣4x2+1x∈（﹣2，2），∴f'（x）＝4x3﹣8x＝4x（x2﹣2）；
令f'（x）＝0，则x＝0 或；
∵当 时，f'（x）＜0，此时函数f（x） 单调递减；
当 时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当 时，f'（x）＜0，此时函数f（x） 单调递减；
当 时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
∴f（x） 在 时取得极小值，在x＝0 时取得极大值，故C，D错误；
f（﹣2）＝f（2）＝24﹣4×22+1＝1；
f（0）＝1，；
∴函数f（x） 既有最小值也有最大值；
故答案为：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想，属基础题．
33．（2022秋 黄浦区校级月考）若f（x）在区间（a，b）内有定义，且x0∈（a，b），则“f′（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
【分析】根据极值的概念，导数的几何意义即可求解．
【解答】解：由f′（x0）＝0不一定能得到x0是函数f（x）的极值点，
反例f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0并不是f（x）的极值点，
反过来：x0是函数f（x）的极值点也不一定能得到f′（x0）＝0，
反例f（x）＝|x|，x＝0为f（x）的极小值点，但f′（x0）不存在，
∴f′（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的既非充分条件也非必要条件，
故选：D．
【点评】本题考查值的概念，导数的几何意义，属基础题．
34．（2021秋 普陀区校级期末）已知函数f（x）＝x3+x2﹣8x+7．
（1）求函数的导数；
（2）求函数的单调区间和极值点．
【分析】（1）利用导数运算法则可得f′（x）．
（2）由（1）可得：f′（x）＝（x+2）（3x﹣4），令f′（x）＝（x+2）（3x﹣4）＝0，解得x，列出表格可得函数f（x）的单调区间及其极值点．
【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+2x﹣8．
（2）由（1）可得：f′（x）＝（x+2）（3x﹣4），
令f′（x）＝（x+2）（3x﹣4）＝0，
解得x＝﹣2，或x＝．
列出表格可得：
x （﹣∞，﹣2） ﹣2 （﹣2，） （，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可得：函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（，+∞）；单调递减区间为（﹣2，）．
极大值点为﹣2．极小值点为．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
35．（2022 上海自主招生）在中有极大值，则a的取值范围为（　　）
A．（1，2） B．（1，+∞） C．（2，+∞） D．
【分析】对f（x）求导，根据f（x）在中有极大值，可得方程f'（x）＝0在区间内有解，然后求出a的取值范围即可．
【解答】解：由，得，
∵函数在区间内有极大值，
∴方程 在区间内有解，
即方程在区间内有解，
∴在区间内有解，
故，
则a的取值范围是（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
36．（2022秋 浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝ax﹣xex（a＞0）．
（1）求（0，f（0））处的切线方程；
（2）求证：f（x）有且仅有一个极值点；
（3）若存在实数a使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．
【分析】（1）求出f'（x）＝a﹣（ex+xex）＝a﹣（x+1）ex，可得f'（0），f（0），利用点斜式，即可得出答案；
（2）求出f'（x），要证f（x）有且仅有一个极值点，即证f'（x）＝0只有一个实数根x0，即证f（x）在x0两侧的单调性，构造函数g（x）＝（x+1）ex，求出g'（x），利用导数研究函数g（x）的单调性，即可证明．
（3）题意转化为存在实数a∈（0，+∞），使ax﹣xex≤a+b对任意的x∈R恒成立，即存在实数a∈（0，+∞），使得b≥﹣xex+a（x﹣1）对任意的x∈R恒成立，构造函数h（x）＝﹣xex+a（x﹣1），求出h'（x），判断h（x）的单调性和最大值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得f'（x）＝a﹣（ex+xex）＝a﹣（x+1）ex，则f'（0）＝a﹣1，f（0）＝0，
∴f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x；
（2）证明：由题意得f'（x）＝a﹣（ex+xex）＝a﹣（x+1）ex，a＞0，
要证f（x）有且仅有一个极值点，即证f'（x）＝0只有一个实数根x0，
令g（x）＝（x+1）ex，则g'（x）＝（x+2）ex，由g'（x）＝0得x＝﹣2，
由g'（x）＜0得x＜﹣2，由g'（x）＞0得x＞﹣2，
∴g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，
∵当x＝﹣1时，g（x）＝0，
则当x＜﹣1时，g（x）＜0，当x＞﹣1时，g（x）＞0，
当x→+∞时，g（x）→+∞，又a＞0，
∴f'（x）＝a﹣（x+1）ex只有一个实数根x0，则x0＞﹣1，
∴当x＜x0时，f'（x）＞0，当x＞x0时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
∴当x＝x0时，f（x）取到极大值，
故f（x）有且仅有一个极值点；
（3）存在实数a使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，转化为存在实数a∈（0，+∞），使ax﹣xex≤a+b对任意的x∈R恒成立，
即存在实数a∈（0，+∞），使得b≥﹣xex+a（x﹣1）对任意的x∈R恒成立，
令h（x）＝﹣xex+a（x﹣1），则h'（x）＝a﹣（x+1）ex，由（1）可知h'（x）＝f'（x），
由（2）可知h（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
∴当x＝x0时，h（x）取到极大值，即h（x）max＝h（x0）＝a（x0﹣1）﹣x0e，
∵x0＞﹣1，且h'（x0）＝a﹣e（x0+1），即a＝e（x0+1），
∴存在a∈（0，+∞），使得b≥h（x0）＝a（x0﹣1）﹣x0e＝e（﹣x0﹣1）成立，
令m（x）＝ex（x2﹣x﹣1）（x＞﹣1），则m'（x）＝ex（x2+x﹣2），
由m'（x）＝0得x＝1，由m'（x）＞0得x＞1，由m'（x）＜0得﹣1＜x＜1，
∴m（x）在（﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x＝1时，m（x）取得极小值也是最小值，且m（1）＝﹣e，
∴b≥﹣e，
故实数b的取值范围为[﹣e，+∞）．
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
七．利用导数研究函数的最值（共8小题）
37．（2022春 宝山区校级月考）已知f（x）＝lnx﹣ax2+a，若对任意x≥1，都有f（x）≤0，则实数a的取值范围是 　（，+∞）　．
【分析】f（x）＝lnx﹣ax2+a，x∈[1，+∞），可得f′（x）＝﹣2ax，对a分类讨论，研究函数f（x）的单调性，结合已知条件：对任意x≥1，都有f（x）≤0，即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：f（x）＝lnx﹣ax2+a，x∈[1，+∞），
∴f′（x）＝﹣2ax，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，f（1）＝0，∴x＞0时，f（x）＞0，不满足题意，舍去．
当a＞0时，f′（x）＝，
≥1，即0＜a≤时，f′（x）≥0，函数f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，同上，舍去．
0＜＜1，a＞时，可得函数f（x）在[1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
∴x＝时，函数f（x）取得极大值即最大值，
∴f（）＝ln﹣a×+a≤0，化为：ln（2a）+2a﹣1≥0，
函数g（a）＝ln（2a）+2a﹣1在a＞时单调递增，g（）＝0，
∴a＞，
因此对任意x≥1，都有f（x）≤0，则实数a的取值范围是 （，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及其最值、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
38．（2022秋 闵行区校级月考）已知函数f（x）＝ex﹣1+ax2+1的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直．
（1）求y＝f（x）的解析式；
（2）若F（x）＝f（x）﹣（x2+x+m）在[﹣1，2]内有两个零点，求m的取值范围；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（x）﹣kx≥0恒成立，求实数k的最大值．
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出f'（x）＝ex﹣1+2ax，则f'（1）＝3，即可得出答案；
（2）求出F（x）＝ex﹣1﹣x+1﹣m，求出F'（x）＝ex﹣1﹣1，x∈[﹣1，2]，利用导数研究F（x）在[﹣1，2]上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案；
（3）利用分离变量法，分类讨论x＝0，x＞0，x＜0，构造函数g（x）＝，利用导数研究g（x）分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案．
【解答】解：（1）f'（x）＝ex﹣1+2ax，则f'（1）＝1+2a，
∵函数f（x）＝ex﹣1+ax2+1的图像在x＝1处的切线与直线x+3y﹣1＝0垂直，
∴f'（1）＝3，即1+2a＝3，解得a＝1，
∴f（x）＝ex﹣1+x2+1；
（2）由（1）得f（x）＝ex﹣1+x2+1，则F（x）＝f（x）﹣（x2+x+m）＝ex﹣1﹣x+1﹣m，
则F'（x）＝ex﹣1﹣1，由F'（x）＝0得x＝1，
由F'（x）＞0得1＜x≤2，由F'（x）＜0得﹣1≤x＜1，
∴F（x）在[﹣1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴当x＝1时，F（x）取得极小值也是最小值，
要使F（x）在[﹣1，2]内有两个零点，只需满足，即，解得1＜m≤e﹣1，
故实数m的取值范围为（1，e﹣1]；
（3）对任意的x∈R，不等式f（x）﹣kx≥0恒成立，转化为对任意的x∈R，ex﹣1+x2+1≥kx恒成立，
①当x＝0时，2≥0，显然成立，此时k∈R；
②当x＞0时，k≤恒成立，
令g（x）＝，则g'（x）＝，
∵x＞0，∴ex﹣1+x+1＞0恒成立，
由g'（x）＝0得x＝1，由g'（x）＞0得x＞1，由g'（x）＜0得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x＝1时，g（x）取得极小值也是最小值，且g（1）＝3，
∴k≤3；
③当x＜0时，k≥恒成立，
令m（x）＝，此时m（x）＜0，
由②得m'（x）＝（x＜0），令n（x）＝ex﹣1+x+1，
n'（x）＝ex﹣1+1＞0，∴n（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
又n（﹣2）＝e﹣3﹣1＜0，n（﹣1）＝e﹣2＞0，
由零点存在定理得存在x0∈（﹣2，﹣1），使得n（x0）＝0，有e+x0+1＝0，即m'（x0）＝0，
由m'（x）＞0得x＜x0，由m'（x）＜0得x0＜x＜0，
∴m（x）在（x0，0）上单调递减，在（﹣∞，x0）上单调递增，
∴当x＝x0时，m（x）取得极大值也是最大值，且m（x0）＝＝＝x0﹣1，
∴k≥x0﹣1，
综上所述，实数k的取值范围为[x0﹣1，3]，
∴实数k的最大值为3．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点、不等式恒成立问题，考查转化思想和函数思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
39．（2022春 闵行区校级期末）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x﹣3．
（1）求f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最值．
【分析】（1）利用导数求出切线斜率，再利用点斜式可得切线方程；
（2）求导，求出函数单调性，利用单调性即可得最值．
【解答】解：（1）f'（x）＝3x2﹣6x﹣9，∴f'（1）＝3﹣6﹣9＝﹣12，
又f（1）＝1﹣3﹣9﹣3＝﹣14，
∴f（x）在x＝1处的切线方程为y＝﹣12（x﹣1）﹣14，
即12x+y+2＝0．
（2）f'（x）＝3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，2]．
令f'（x）＞0，得﹣2≤x＜﹣1，令f'（x）＜0，得﹣1＜x≤2，
故f（x）在[﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，2]上单调递减．
又f（﹣2）＝（﹣2）3﹣3×（﹣2）2﹣9×（﹣2）﹣3＝﹣5，
f（﹣1）＝（﹣1）3﹣3×（﹣1）2﹣9×（﹣1）﹣3＝2，
f（2）＝23﹣3×22﹣9×2﹣3＝﹣25，
故f（x）在[﹣2，2]上的最大值为2，最小值为﹣25．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程和利用导数研究函数的单调性与最值，属基础题．
40．（2022春 奉贤区校级月考）已知a，b∈R+，．
（1）若a＝1，求y＝f（x）在区间[1，+∞）上的最小值（直接写出结论，结果用b表示）；
（2）我们知道：当时，x＞sinx．设，求证：当x＞2时，f（x）＞g（x）+2a恒成立；
（3）若a＝b3，h（x）＝|logcbx|，其中c＞0且c≠1，A（x0，y0）是y＝f（x）和y＝h（x）图像的一个公共点，bx0≠1，求证：y＝f（x）和y＝h（x）的图像必存在异于点A的另一个公共点．
【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝x+，由勾形函数的性质知f（x）的单调性，分两种情况：0＜b≤1时，b＞1时，进而求得f（x）min．
（2）要证不等式f（x）＞g（x）+2a，即证（x﹣2）+＞sin[（x﹣2）]，即可得出答案．
（3）记x1＝，则h（x1）＝|logc|＝|logcbx0|，把a＝b3代入得f（x1）＝+b3x0＝+ax0，又A（x0，y0）是y＝f（x）和y＝h（x）图像的一个公共点，f（x0）＝ax0+＝|logcbx0|＝h（x0），推出y＝f（x）和y＝h（x）的图像相交于点（x1，f（x1）），若x1＝x0，则由x1＝可得bx0＝1（矛盾），即可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x+，
由勾形函数的性质知x∈（0，]时，f（x）递减，
x∈[，+∞）时，f（x）递增，
所以0＜b≤1时，x＝1时，f（x）min＝1+b，
b＞1时，x＝时，f（x）min＝2，
所以f（x）min＝．
（2）证明：要证不等式f（x）＞g（x）+2a，
即证（x﹣2）+＞sin[（x﹣2）]，
x＞2，a＞0，b＞0，则（x﹣2）＞0，
若（x﹣2）＜，则（x﹣2）＞sin[（x﹣2）]，
所以（x﹣2）+≥sin[（x﹣2）]，
若（x﹣2）≥，则sin[（x﹣2）]≤1＜，也有（x﹣2）＞sin[（x﹣2）]，
所以（x﹣2）+≥sin[（x﹣2）]，
综上，原不等式成立．
（3）证明：记x1＝，
则h（x1）＝|logc|＝|﹣logcbx0|＝|logcbx0|，
因为a＝b3，
所以f（x1）＝+b3x0＝+ax0，
又因为A（x0，y0）是y＝f（x）和y＝h（x）图像的一个公共点，
所以f（x0）＝ax0+＝|logcbx0|＝h（x0），
所以h（x1）＝|logcbx0|＝+ax0＝f（x1），
即y＝f（x）和y＝h（x）的图像相交于点（x1，f（x1）），
若x1＝x0，则由x1＝可得b2x02＝1，
因为bx0＞0，
所以bx0＝1（矛盾），
所以x1≠x0，命题得证．
【点评】本题考查导数的综合应用，不等式的证明，解题中需要理清思路，属于中档题．
41．（2022春 浦东新区校级期中）设函数f（x）＝1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（1）当a＝4时，讨论f（x）在其定义域上的单调性并说明理由；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的最值及取得最值时的x的值．
【分析】（1）求出函数的导数后，判断导函数在各区间上的符号，再得到函数的单调区间．
（2）根据条件，就a≥4、0＜a＜4分类讨论，然后求出f（x）的最值及取得最值时的x的值．
【解答】解：（1）当a＝4时，f（x）＝1+5x﹣x2﹣x3，
f'（x）＝﹣3x2﹣2x+5＝﹣（3x+5）（x﹣1），
当或x＞1时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，
故f（x）的增区间为，减区间为，（1，+∞）．
（2）当x∈（0，1）时，f'（x）＝a+1﹣2x﹣3x2，
若a≥4，则任意x∈（0，1），总有f'（x）＞5﹣5＝0，
故f（x）在[0，1]为增函数，故f（x）max＝f（1）＝a，f（x）min＝f（0）＝1，
若0＜a＜4，因为f'（x）＝a+1﹣2x﹣3x2在[0，1]上为减函数，
且f'（0）＝a+1＞0，f'（1）＝a﹣4＜0，
故f'（x）在（0，1）有且只有一个零点，
且当0＜x＜x0，f'（x）＞0，当x＞x0时，f'（x）＜0，
故f（x）在（0，x0）上为增函数，在（x0，1）为减函数，
故此时
而，故，
所以
＝
＝．
而．
综上，当a≥4时，当x＝1时，f（x）max＝a，当x＝0时，f（x）min＝1，
当0＜a＜1时，当x＝1时，f（x）min＝a，
当时，．
当1≤a＜4时，当x＝0时，f（x）min＝1，
当时，．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
42．（2022 徐汇区二模）已知a为实数、函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a，x∈R．
（1）当a＝2时、求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝2时，f（x）＝x|x﹣2|﹣2，分两种情况：当x≥2时，当x＜2时，f（x）的单调性．
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，则对任意x∈（0，1），﹣＜x﹣a＜恒成立，进而可得对任意x∈（0，1），a＞（）min且a＞（）min恒成立，即可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x|x﹣2|﹣2，
当x≥2时，f（x）＝x（x﹣2）﹣2＝x2﹣2x﹣2，
对称轴为x＝1，
所以f（x）在（2，+∞）上单调递增，
当x＜2时，f（x）＝x（2﹣x）﹣2＝2x﹣x2﹣2＝﹣x2+2x﹣2，
对称轴为x＝1，
所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
综上所述，f（x）在（2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．
（2）因为对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，
所以对任意x∈（0，1），x|x﹣a|﹣a＜0恒成立，
所以对任意x∈（0，1），|x﹣a|＜恒成立，
所以对任意x∈（0，1），﹣＜x﹣a＜恒成立，
所以对任意x∈（0，1），a＞且a＞恒成立，
所以对任意x∈（0，1），a＞（）min且a＞（）min恒成立，
所以a≥0且a≥，
所以a的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
43．（2022 浦东新区校级开学）已知函数f（x）＝x3﹣ax2+x+4．
（1）求函数f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）+f（﹣x）≥4lnx+8恒成立，求a的取值范围；
（3）当a＝3时，设函数g（x）＝f（x）﹣kx，对于任意的k＜1，试确定函数的零点个数，并说明理由．
【分析】（1）对函数f（x）求导，求得f′（0）＝1，f（0）＝4，再由点斜式得到答案；
（2）问题可转化为在（0，+∞）上恒成立，设，利用导数求出函数h（x）的最小值即可；
（3）根据题意化简可得，令，利用导数作出函数φ（x）的大致图象，结合图象即可得出结论．
【解答】解：（1）f′（x）＝3x2﹣2ax+1，则f′（0）＝1，f（0）＝4，
∴函数f（x）在x＝0处的切线方程为y﹣4＝x，即y＝x+4；
（2）f（x）+f（﹣x）＝x3﹣ax2+x+4+（﹣x）3﹣a（﹣x）2﹣x+4＝﹣2ax2+8，
∴对任意的x∈（0，+∞），f（x）+f（﹣x）≥4lnx+8恒成立，即﹣2ax2≥4lnx，即恒成立，
设，则，
令h′（x）＞0，解得，令h′（x）＜0，解得，
∴h（x）在上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴实数a的取值范围为；
（3）当a＝3时，g（x）＝x3﹣3x2+x+4﹣kx＝x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，
令g（x）＝0，则（k﹣1）x＝x3﹣3x2+4，显然x≠0，则，即，
令，则，
由于x2＞0，2x2+x+2＞0，则当x＜2且x≠0时，φ′（x）＜0，当x＞2时，φ′（x）＞0，
∴函数φ（x）在（﹣∞，0），（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且φ（2）＝1，
作出函数φ（x）的图象如下图所示，
由图象可知，当k＜1时，函数φ（x）与直线y＝k仅有一个交点，即函数g（x）仅有一个零点．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
44．（2022 上海开学）已知函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1）．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；
（2）若函数f（x）在x＝0处取得极大值，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在最小值，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．通过求导可得f′（x），可得切线斜率f′（0），利用点斜式可得切线方程．
（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．通过对a分类讨论，利用取得极大值的条件即可得出结论．
（3）结合（2）可得：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．对0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，．x2＞0．需要f（x2）＝f（）≤0，解得a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ex（ax2﹣x+1），f（0）＝1．
f′（x）＝ex（ax2﹣x+1+2ax﹣1）＝ex（ax2﹣x+2ax），∴f′（0）＝0，
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程为y﹣1＝0．
（2）f′（x）＝xex（ax﹣1+2a），f′（0）＝0．
①若a＝0，则f′（x）＝﹣xex，
x＜0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴0是函数f（x）的极大值点．
②a≠0时，f′（x）＝axex（x﹣），令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝，
下面对a分类讨论：a＝时，f′（x）＝x2ex≥0，函数f（x）在R上单调递增，无极值点，舍去．
a＞时，x2＜0，
列出表格：
x （﹣∞，x2） x2 （x2，0） 0 （0，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
0为函数f（x）的极小值点，舍去．
a＜0时，x2＜0，
列出表格：
x （﹣∞，x2） x2 （x2，0） 0 （0，+∞）
f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
0为函数f（x）的极大值点，满足题意．
0＜a＜时，x2＞0，列出表格：
列出表格：
x （﹣∞，0） 0 （0，x2） x2 （x2，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
0为函数f（x）的极大值点，满足题意．
∴a的取值范围是（﹣∞，）．
（3）结合（2）：a≤0，或a≥时，f（x）不存在最小值．
例如a＞或a＜0，0是函数f（x）的极大值点，且f（0）＝1．x→﹣∞时，f（x）→0，无最小值，舍去．
0＜a＜时，x→﹣∞时，f（x）→0．x2是极小值点，x2＞0，满足：a﹣x2+2ax2＝0，x2＝，
需要f（x2）＝f（）＝（a﹣x2+1）＝（1﹣2ax2）＝[1﹣2（1﹣2a）]≤0，解得：0＜a≤．
因此函数f（x）存在最小值，a的取值范围是（0，]．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
八．利用导数研究曲线上某点切线方程（共3小题）
45．（2022秋 宝山区校级月考）已知函数f（x）＝（x+1）lnx，则曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为 　2x﹣y﹣2＝0　．
【分析】求出函数的导函数，得到切线的斜率f'（1），再利用点斜式求出切线方程．
【解答】解：∵，∴f'（1）＝2，又f（1）＝0，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．
故答案为：2x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，属基础题．
46．（2022春 静安区校级期末）曲线y＝e1﹣2x在点处的切线方程为 　2x+y﹣2＝0　．
【分析】先求出切点处的导数，然后利用点斜式写出切线的方程．
【解答】解：由已知得y′＝e1﹣2x （1﹣2x）′＝﹣2e1﹣2x，
故k＝y|′＝﹣2，
故切线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣），
即2x+y﹣2＝0．
故答案为：2x+y﹣2＝0．
【点评】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，属于基础题．
47．（2022秋 闵行区校级月考）设P是曲线y＝﹣x3+x+上任意一点，则曲线在点P处的切线的倾斜角α的取值范围是 　[0，]∪（，π）　．
【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．
【解答】解：由已知得tanα＝y′＝﹣3x2+1≤1＝tan，
由α∈[0，π）得α∈[0，]∪（，π）．
故答案为：[0，]∪（，π）．
【点评】本题考查导数的几何意义、正切函数的性质，属于中档题．
【真题模拟题专练】
一．填空题（共9小题）
1．（2022 黄浦区二模）已知等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a1＝1，公比为3，则＝　　．
【分析】先求解{an}的通项公式，再求解Sn，进而求解极限即可．
【解答】解：由题意，an＝3n﹣1，Sn＝＝，则＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了极限的运算法则、数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．
2．（2022 普陀区二模）设直线l：3x﹣y﹣n＝0（n∈N*）与函数和的图像分别交于Pn，Qn两点，则＝　　．
【分析】两条曲线一条无限接近x轴，另一条无限接近y＝3，画出图像分析即可．
【解答】解：直线l的斜率k＝3，
如图，＝|﹣|＝×3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数极限，属于基础题，数形结合是关键．
3．（2022 长宁区二模）已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，则＝　2　．
【分析】设等比数列的首项为a1≠0，求出an，Sn，然后根据极限的定义化简即可求解．
【解答】解：设等比数列的首项为a1≠0，
则a，S＝a，
所以＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了极限的运算性质，涉及到等比数列的通项公式以及前n项和公式的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题．
4．（2022 宝山区校级二模）设函数的图像与y＝21﹣x的图像交点的横坐标从小到大依次记为x1，x2，x3，…，则|xn+1﹣xn|＝　　．
【分析】根据指数函数的单调性可得当x→+∞时，y＝21﹣x→0，则当x→+∞时，函数y＝cos（3x+）的图象与y＝21﹣x的图象交点可以后出函数y＝cos（3x+）的图象与x轴的交点，则表示函数cos（3x+）的图象与x轴相邻的两个交点之间的距离，由此能求出结果．
【解答】解：函数y＝y＝21﹣x为减函数，则当x→+∞时，y＝21﹣x→0，
则当x→+∞时，函数y＝cos（3x+）的图象与y＝21﹣x的图象交点
可以看作函数y＝cos（3x+）的图象与x轴的交点，
∵函数y＝cos（3x+）的图象与x轴相邻的两个交点之间的距离为＝，
∴|xn+1﹣xn|＝．
故答案为：．
【点评】本题考查极限的求法，考查指数函数的单调性、三角函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2022 崇明区二模）已知平面直角坐标系中的点、、，n∈N*．记Sn为△AnBn n外接圆的面积，则＝　π　．
【分析】由过三点的外接圆来确定圆的半径，从而得到Sn，再利用极限运算法则能求出结果．
【解答】解：设过、、这三点的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
则，∴，
∵△AnBn n外接圆的半径为，
∴Sn＝＝[]
＝[]，
∴＝＝＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查圆的性质、极限运算法则、系数等定法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．（2022 浦东新区校级二模）设函数f（x）＝2x，若存在x∈[0，4]使不等式f（a+x）﹣f（2x）≥2成立，则实数a的取值范围为 　[）　．
【分析】由已知不等式代入后先进行分离参数，然后结合基本不等式可求．
【解答】解：因为f（x）＝2x存在x∈[0，4]使不等式f（a+x）﹣f（2x）≥2成立，
所以2a+x﹣22x≥2，
即2a≥2x+2 2﹣x，
因为2x+2×2﹣x，当且仅当2x＝21﹣x，即x＝时取等号，
所以2a，
所以a，
故a的取值范围为[）．
故答案为：[）．
【点评】本题主要考查了不等式的存在性问题与最值关系的相互转化，基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题．
7．（2022 徐汇区三模）设Pn（xn，yn）是直线与圆x2+y2＝1在第一象限的交点，则＝　2　．
【分析】n→+∞时，直线2x﹣y＝趋近于2x﹣y＝1，求出直线与圆x2+y2＝1在第一象限的交点坐标，利用圆的切线斜率计算公式即可求得答案．
【解答】解：当n→+∞时，直线2x﹣y＝趋近于2x﹣y＝1，与圆x2+y2＝1在第一象限的交点无限靠近（，），
可看作点 Pn（xn，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x2+y2＝1在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．
所以＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，也考查了推理能力与计算能力，是中档题．
8．（2022 静安区模拟）设函数f0（x）＝|x|，f1（x）＝|f0（x）﹣1|，f2（x）＝|f1（x）﹣2|，则函数f2（x）的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是　7　．
【分析】要求函数f2（x）的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积，先求出函数f2（x）的解析式，由题意可知，根据图象的平移与对称可得到函数f2（x）的图象及解析式，然后利用定积分求出面积即可．
【解答】解：根据题意，可由f0（x）的图象向下平移1个单位，然后进行绝对值变换得到f1（x），再把f1（x）向下平移2个单位，再进行绝对值变换得到f2（x）的图象如图所示：
先根据条件分别求出在第一象限，0＜x＜1时，f2（x）＝x+1；当1≤x＜3时，f2（x）＝﹣x+3
f2（x）的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积S＝2[∫01（x+1）dx+∫13（﹣x+3）]＝2[（x2+x|01）+（﹣x2+3x|13）]＝7
故答案为：7
【点评】此题是中档题，要求学生会利用平移及绝对值变换得到函数的图象，然后才能利用定积分求面积．学生做题时应当把函数图象画出来，然后数形结合才能得到解题思路．
9．（2022 上海）已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝　2　．
【分析】f（x）是周期为4的周期函数，作出图像，（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，
∴f（x）是周期为4的周期函数，图像如图：
将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，
则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
∴（xn+1﹣xn）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
二．解答题（共2小题）
10．（2022 徐汇区二模）已知a为实数、函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a，x∈R．
（1）当a＝2时、求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
【分析】（1）当a＝2时，f（x）＝x|x﹣2|﹣2，分两种情况：当x≥2时，当x＜2时，f（x）的单调性．
（2）若对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，则对任意x∈（0，1），﹣＜x﹣a＜恒成立，进而可得对任意x∈（0，1），a＞（）min且a＞（）min恒成立，即可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝x|x﹣2|﹣2，
当x≥2时，f（x）＝x（x﹣2）﹣2＝x2﹣2x﹣2，
对称轴为x＝1，
所以f（x）在（2，+∞）上单调递增，
当x＜2时，f（x）＝x（2﹣x）﹣2＝2x﹣x2﹣2＝﹣x2+2x﹣2，
对称轴为x＝1，
所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
综上所述，f（x）在（2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．
（2）因为对任意x∈（0，1），f（x）＜0恒成立，
所以对任意x∈（0，1），x|x﹣a|﹣a＜0恒成立，
所以对任意x∈（0，1），|x﹣a|＜恒成立，
所以对任意x∈（0，1），﹣＜x﹣a＜恒成立，
所以对任意x∈（0，1），a＞且a＞恒成立，
所以对任意x∈（0，1），a＞（）min且a＞（）min恒成立，
所以a≥0且a≥，
所以a的取值范围为[，+∞）．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
11．（2022 上海）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）．
（1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值．
（2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）．
【分析】（1）写出函数图像下移m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出m和a的值．
（2）不等式化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x，写出等价不等式组，求出解集即可．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x），
将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m的图像，
由函数图像经过点（3，0）和（5，0），
所以，
解得a＝﹣2，m＝1．
（2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x，
等价于，
解得，
当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3，
当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6；
综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]，
a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）．
【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
声

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