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第07讲 三角函数图像与性质
【考点梳理】
三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4.三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
【解题方法和技巧】
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cos t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
4.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.
5.由图象确定函数解析式
解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
【考点剖析】
【考点1】正切函数
一、单选题
1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.
5．（2022·上海·高三专题练习）函数的最小正周期为___________.
6．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为___________.
【考点2】三角函数图像与性质
一、单选题
1．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·上海·模拟预测）函数在上的零点个数记为，若，则的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海·模拟预测）已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称
4．（2021·上海市七宝中学模拟预测）函数为奇函数，、分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且，则该函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·上海市建平中学高三期中）设函数（a为常数），则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
6．（2020·上海·高三专题练习）已知函数在内是严格减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·上海·高三专题练习）已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数不为奇函数 B．函数存在反函数
C．函数具有周期性 D．函数的值域为
8．（2022·上海浦东新·二模）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021·上海崇明·一模）设函数的零点为，若成等比数列，则_______.
10．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是___________.
11．（2022·上海·高三专题练习）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.
12．（2022·上海·模拟预测）给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是_____
13．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知，，，，，，，位坐标原点，图像上的点都在折线OABCDEO所围成的区域（包括边界）内，则的最小值为___________.
14．（2022·上海·复旦附中模拟预测）如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图像如图所示（图像经过点），那么的值为______．
15．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______
16．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为__________．
三、解答题
17．（2021·上海市七宝中学模拟预测）已知函数，函数与函数的图象关于原点对称.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间.
18．（2022·上海市实验学校模拟预测）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
19．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知平面向量，函数．
(1)写出函数f（x）的单调递减区间；
(2)设，求函数与图象的所有交点坐标．
20．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数，其中
(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；
(2)若，求函数在上的最小值；
【考点3】三角函数综合应用
一、填空题
1．（2022·上海闵行·二模）若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为___________；
2．（2020·上海·高三专题练习）方程的解集是_________．
3．（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________．
二、解答题
4．（2020·上海·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的最小值及取得最小值时相应的的值；
（2）若当时，函数的反函数为，求的值
5．（2020·上海市杨浦高级中学高三阶段练习）函数，.
（1）把的解析式改写为(，)的形式；
（2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值；
（3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有20个零点，求的最小值.
6．（2020·上海市浦东中学高三期中）已知函数．
⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值；
⑵当时，求的单调递增区间和值域．
7．（2020·上海·高三专题练习）已知 ，求证： .
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海青浦·二模）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·上海金山·一模）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·上海黄浦·一模）将函数y＝sin（4x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ）
A．x B．x C．x D．x
5．（2021·上海黄浦·一模）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
二、多选题
6．（2021·上海交大附中模拟预测）为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
三、填空题
7．（2022·上海金山·二模）设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是__________.
8．（2021·上海松江·一模）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为___________.
9．（2021·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，已知点 ，E F为圆上两个动点，且，则的最大值为___________.
10．（2021·上海奉贤·一模）函数是奇函数，则实数__________.
11．（2021·上海徐汇·一模）设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则_______．
12．（2021·上海浦东新·二模）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，则的最小值为___________.
四、解答题
13．（2022·上海宝山·二模）某地区的一种特色水果上市时间个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数:①②③(以上三式中均为非零常数，.)
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么
(2)若求出所选函数的解析式(注：函数的定义域是，其中表示月份，表示月份，，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
14．（2020·上海·复旦附中模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期和递增区间；
(2)已知等差数列满足，公差，求数列的前项和.
15．（2022·上海·模拟预测）已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.
16．（2017·上海·高考真题）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．第07讲 三角函数图像与性质
【考点梳理】
三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x － －＋ －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4.三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
【解题方法和技巧】
1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cos t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
4.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.
5.由图象确定函数解析式
解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
【考点剖析】
【考点1】正切函数
一、单选题
1．（2021·上海·闵行中学高三期中）下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性以及单调性的性质、函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】对于A：为奇函数，在定义域上有增有减，不是增函数，故选项A不正确；
对于B：为奇函数，在上单调递增，但在定义域上不是增函数，故选项B不正确；
对于C：既不是奇函数也不是偶函数，故选项C不正确；
对于D：，所以是奇函数，因为和都是上的增函数，所以在定义域上是增函数，故选项D正确；
故选：D.
2．（2021·上海市进才中学高三期中）下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】逐一进行验证，可判断结果.
【详解】对A，函数的值域为；
对B，函数的值域为；
对C，函数的值域为；
对D，函数的值域为
故选：A
3．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先函数特征判断函数和互为反函数，所以可判断，再计算，再判断函数值的范围，判断选项.
【详解】因为互为反函数，其交点在上，
又，所以，而，所以，
所以.
故选:D.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数和互为反函数，从而确定角的大小.
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）若函数在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意，，…，都有，若函数在区间上是凸函数，则在△中，的最大值是______.
【答案】
【分析】根据题设凸函数的性质可得即可求最大值，注意等号成立条件.
【详解】由题设知：，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
5．（2022·上海·高三专题练习）函数的最小正周期为___________.
【答案】2
【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可.
【详解】解：的周期为，
故答案为：2
6．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的图象关于点对称，且，则实数的值为___________.
【答案】或1
【分析】根据正切函数的性质，代入点，求解参数的值.
【详解】∵函数的图象关于点对称，且，
∴，，或，
则令，可得实数或，
故答案为：或1.
【考点2】三角函数图像与性质
一、单选题
1．（2022·上海市实验学校模拟预测）已知以为周期的函数，其中.若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出函数和的图象，要想使方程恰有5个实数解，则需直线处在函数在内的曲线切线和之间．
【详解】解：作出函数和的图象如图：
若方程恰有5个实数解，
则直线处在函数在内的曲线切线和之间．
函数是周期为4的周期函数，
，此时．
，，
此时两个函数不相交．
当，时，，，
，，．
由，得，
则由，得，
整理得，解得，
当，时，，，
，，．
即，将代入整理得，
即，
由判别式得
要使方程恰有5个实数解，则，
即的取值范围为，
故选：B．
2．（2021·上海·模拟预测）函数在上的零点个数记为，若，则的最大值与最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】函数在上的零点个数即为函数与的交点个数，是由向左平移个单位得到的，
可得当时，最大；当时，最小，即可求解.
【详解】令，解得，
的零点个数可看成与的交点个数，
是由向左平移个单位得到的，
因为，所以当时，交点个数最多，由，
即，所以或，
解得：，，，，
所以，
当时，交点个数最少，，
即，所以或，
解得：，，，
所以，
故的最大值与最小值之和为，
故选：A.
3．（2022·上海·模拟预测）已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称
【答案】D
【分析】由题意先求出的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断
【详解】，若在处取得最小值，
则，，，
，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．
故选：D
4．（2021·上海市七宝中学模拟预测）函数为奇函数，、分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且，则该函数的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的基本性质可求得、的值，再利用正弦型函数的对称性可求得该函数的对称轴方程，即可得出合适的选项.
【详解】因为函数为奇函数，且，则，
所以，，
因为、分别为函数图象上相邻的最高点与最低点，且，
则，因为，可得，则，
由，可得，
所以，该函数的一条对称轴为直线.
故选：A.
5．（2021·上海市建平中学高三期中）设函数（a为常数），则“”是“为偶函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】C
【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.
【详解】解：当 时，, 所以为偶函数；
当为偶函数时，对任意的恒成立，
∴，
即 ，得对任意的恒成立，从而.
从而“”是“为偶函数”的充分必要条件.
故选：C.
6．（2020·上海·高三专题练习）已知函数在内是严格减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为函数存在减区间，则
由，可得，
由题意函数在内是严格减函数，
可得且满足，解得.
故选：B.
7．（2022·上海·高三专题练习）已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数不为奇函数 B．函数存在反函数
C．函数具有周期性 D．函数的值域为
【答案】B
【解析】根据，图象与性质，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：的定义域关于原点对称，且，，故为奇函数，故A错误；
对于B：，在定义域内一一对应，所以，即的反函数为，故B正确；
对于C：因为，，故图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以不具有周期性，故C错误；
对于D：因为，，所以图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以的值域为一些点构成的集合，不是R，故D错误.
故选：B
8．（2022·上海浦东新·二模）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得的解析式，在同一坐标系内作出图像，不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，分别求得当C位于不同位置时，的面积，根据规律，分析即可得答案.
【详解】由题意得，
在同一坐标系内作出图像，如下图所示
令，解得，
不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，
所以
若C点位于时，的面积，故C正确
当C点位于时，的面积，
当C点位于时，的面积，故B正确，
因为，此时为面积的2倍，
以此类推，当C位于不同位置时，的面积应为的整数倍，故A正确，D错误，
故选：D
二、填空题
9．（2021·上海崇明·一模）设函数的零点为，若成等比数列，则_______.
【答案】
【分析】将函数的零点转化为的交点横坐标，结合函数图像，列方程求出零点，进而可得的值.
【详解】令，得
则函数的零点
即为的交点横坐标，如图：
由图可知，
解得
故答案为：.
10．（2021·上海·曹杨二中高三期中）设.若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是___________.
【答案】或或.
【分析】由得则满足的k恰有两解，即求.
【详解】由得即，
∵函数在区间上恰有两个零点，
∴，即满足的k恰有两解，
又，所以k取1,2或2,3或3,4，
当k取1,2时，且，即；
当k取2,3时，且，即，
当k取3,4时，且，即，
所以的取值范围是或或.
故答案为：或或.
11．（2022·上海·高三专题练习）设函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，若，则___________.
【答案】
【分析】利用余弦方程，解出的值，然后得到，，代入，利用正切的两角差公式求出的值，然后再利用二倍角公式以及“1”的代换，结合“弦化切”的方法，求解即可.
【详解】因为，
则有或，，，
解得或，，，
又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，…，，
所以，，，，，，…，
故，，
所以，即，
则，解得，
故.
故答案为：.
12．（2022·上海·模拟预测）给定曲线族，为参数，则这些曲线在直线上所截得的弦长的最大值是_____
【答案】
【分析】联立求得交点的横坐标，利用弦长公式得到弦长，根据三角函数的有界性得到不等关系，求出，从而求出弦长最大值.
【详解】联立方程，
解得：或，
所以弦长，由得：，由辅助角公式
，平方整理得，，
解得：，所以，
即弦长的最大值是
故答案为：
13．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知，，，，，，，位坐标原点，图像上的点都在折线OABCDEO所围成的区域（包括边界）内，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由函数图象在折线OABCDEO，围成区域内，要使得最小，即周期最大，因此点在函数图象上，代入求解即可得．
【详解】要使得最小，即周期最大，因此点在函数图象上，所以，，
又最大值是2，最高点在线段上，因此点在函数的递减区间上，所以．
故答案为：．
14．（2022·上海·复旦附中模拟预测）如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图像如图所示（图像经过点），那么的值为______．
【答案】2
【分析】函数式降幂化为余弦的一次式，由得，再由图象得周期满足，得出，结合，可得的值．
【详解】，
由图象可得，，①，
，，，②．
，所以．
故答案为：2．
15．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______
【答案】
【分析】设，分析可得，求得，，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围.
【详解】设函数，该函数的定义域为，
因为，
则函数为偶函数，因为方程有唯一解，则，
所以，且，故数列是以为公差和首项的等差数列，
故，，由题意可得.
若为奇数，则，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，，可得；
若为偶数，则，令，则，，
当时，,，
且数列中的偶数项从开始单调递增，因为，此时.
综上所述，.
故答案为：.
16．（2022·上海市光明中学模拟预测）设角数列的通项为，其中为常数且．若存在整数，使的前项中存在满足，则的最大值为__________．
【答案】
【分析】由确定之间的关系，结合的范围求的最大值.
【详解】因为，不妨设，
所以或，
所以或，
所以或
因为，，所以，
所以，
因为，所以
所以，又，
所以
所以，又
若，为偶数时，
要使最大，则最小，又，所以，
所以当时取最大值，最大值为
若，为奇数时，
要使最大，则最小，又，所以，
所以当时取最大值，最大值为，
同理可得
若，为偶数时，则的最大值为
若，为奇数时，则的最大值为
又，
所以的最大值为，
故答案为：.
三、解答题
17．（2021·上海市七宝中学模拟预测）已知函数，函数与函数的图象关于原点对称.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)单调递增区间是和
【分析】（1）设点是函数的图象上任意一点，所以，点在的图象上，将点的坐标代入函数的解析式，可得出函数的解析式；
（2）化简函数解析式为，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间，将区间与区间取交集可得结果.
(1)解：设点是函数的图象上任意一点，
由题意可知，点在的图象上，
于是有，
所以，.
(2)解：由（1）可知，，，
记，由，解得，
记，则，
于是，函数在上的单调递增区间是和.
18．（2022·上海市实验学校模拟预测）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系：，.
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
【答案】(1)
(2)在10时至18时实验室需要降温
【分析】（1）先把解析式化简，得到，利用三角函数的性质求出在上取得最大值12，取得最小值8，即可求得；（2）依题意列不等式，直接解得.
(1)因为，
又，所以，，
当时，；当时，；
于是在上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为
(2)依题意，当时实验室需要降温.
由（1）得，
所以，即，
又，因此，即，
故在10时至18时实验室需要降温.
19．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知平面向量，函数．
(1)写出函数f（x）的单调递减区间；
(2)设，求函数与图象的所有交点坐标．
【答案】(1)减区间为；
(2)
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合辅助角公式、正弦型函数的单调性进行求解即可；
（2）根据极限的运算性质，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
(1)，
当时，函数单调递减，
解得：，
因此函数f（x）的单调递减区间为；
(2)当时，，
即，所以交点的坐标为；
当时，，即，方程无实根；
当时，，
即，或，
解得或，即交点坐标为，
综上所述：交点坐标为.
20．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数，其中
(1)若且直线是的一条对称轴，求的递减区间和周期；
(2)若，求函数在上的最小值；
【答案】(1)；，(2)
【分析】（1）根据题设中的对称轴可得，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.
（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.
(1)可知，
因为直线是图象的一条对称轴，故，
解得，而，故，则，
则周期，
再令，则，
故的递减区间为.
(2)可知
因为，故，
则在即取最小值，其最小值为.
【考点3】三角函数综合应用
一、填空题
1．（2022·上海闵行·二模）若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为___________；
【答案】
【分析】先用辅助角公式得到，求出平移后的解析式，根据奇偶性得到，从而当时，求出的最小值.
【详解】，向右平移个单位后解析式为，
则要想使得为奇函数，只需，
解得：，
因为，所以，，解得：，，
当时，正数取得最小值，所以.
故答案为：
2．（2020·上海·高三专题练习）方程的解集是_________．
【答案】
【分析】化简得到，分别计算和得到答案.
【详解】，则，
当时，，；当时，，；
故，.
故答案为：.
【点睛】本题考查了解三角方程，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误.
3．（2021·上海·南洋中学高三阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后得到得到函数图象关于点成中心对称，那么的最小值为__________．
【答案】
【分析】首先确定平移后函数的解析式，然后结合三角函数的特征整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可知平移之后的函数解析式为：，
函数图象关于点成中心对称，则：，
整理可得：，
则当时，有最小值.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的对称中心及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、解答题
4．（2020·上海·高三专题练习）已知函数
（1）求函数的最小值及取得最小值时相应的的值；
（2）若当时，函数的反函数为，求的值
【答案】（1）当，则的最小值为；（2）.
【解析】（1）根据和差公式，二倍角公式，化简函数的解析式，再根据三角函数的性质即可得出答案；
（2）利用互为反函数的性质，可得出的值.
【详解】
当时，即，取得最小值.
（2）令
，则
故.
【点睛】（1）三角恒等变换主要是考查对和差公式，二倍角公式，降幂公式的综合应用，一般是将函数的解析式化简为形式,再研究该函数的性质.
（2）求反函数的值时，易错点为容易忽略的范围.
5．（2020·上海市杨浦高级中学高三阶段练习）函数，.
（1）把的解析式改写为(，)的形式；
（2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值；
（3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有20个零点，求的最小值.
【答案】（1）；（2），最大值，最小值；（3）.
【解析】（1）由三角恒等变换的公式，即可化简函数的解析式为；
（2）由（1）知，求得的最小正周期为，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值；
（3）根据三角函数的图象变换，求得函数，得到，令，求得或，结合函数区间上至少有20个零点，求得，即可得到实数的最小值.
【详解】（1）由题意，函数
.
即的解析式为.
（2）由（1）知，所以函数的最小正周期为，
因为，则，
所以当，即时，函数取得最小值，最小值为；
当，即时，函数取得最大值，最大值为，
即函数的最小值为，最大值为.
（3）把图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，
再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，可得，
则函数，
令，即，即，解得或，
要使得函数区间上至少有20个零点，
则满足，即实数的最小值为.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简的综合应用，同时考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
6．（2020·上海市浦东中学高三期中）已知函数．
⑴若角的终边与单位圆交于点，求的值；
⑵当时，求的单调递增区间和值域．
【答案】⑴ ⑵单调递增区间是,值域是．
【分析】⑴ 利用定义即可求解的值；
⑵ 利用三角恒等式公式化简，结合三角函数的性质即可求解，当时，求解内层函数，从而求解值域．
【详解】解：角的终边与单位圆交于点，
，
；
⑵由；
由，
得，，
又，所以的单调递增区间是；
，
，
，
故得的值域是．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
7．（2020·上海·高三专题练习）已知 ，求证： .
试题分析：方法一由 .；方法二：由已知可得· ， .
试题解析：方法一　∵ ，∴.
∵，∴.
∴
.
方法二　∵ ，∴ ，
即·，即，
即 ，即 ，
∴ .
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海青浦·二模）已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的图像特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.
【详解】，因为，所以，因为，所以.
正弦函数在一个周期内，要满足上式，则，
所以，所以的取值范围是.
故选：D
2．（2022·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对称轴和的范围可得的值，从而可得周期，然后由题意可知的最小值为可得.
【详解】由题知，则，
因为，所以
所以
易知的最小值为.
故选：B
3．（2021·上海金山·一模）下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别计算出ABCD的周期，再判断是否在区间上单调递增即可．
【详解】A: ，周期为，在区间上单调递增，故A正确；
B: ,周期为，在区间上单调递减，排除；
C: ,周期为,在区间上不具有单调性，排除；
D: ,周期为,排除.
故选：A.
4．（2020·上海黄浦·一模）将函数y＝sin（4x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ）
A．x B．x C．x D．x
【答案】A
【解析】先求出变换后的解析式，再根据解析式求解函数的对称轴.
【详解】将函数y＝sin（4x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数为，
令，，解得，
由可得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，注意的系数对结果的影响，侧重考查数学运算的核心素养.
5．（2021·上海黄浦·一模）为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】C
【分析】将函数转化为，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项.
【详解】函数
所以将函数的图象向右平移个单位，即可得到的图象，即得到函数的图象.
故选：C.
二、多选题
6．（2021·上海交大附中模拟预测）为了得到函数的图象，可以将函数的图象作怎样的平移变换得到（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】BC
【分析】由函数解析式应用辅助角公式化简，结合左加右减的原则，即可判断平移变换的过程.
【详解】，
，
∴向左平移个单位或向右平移个单位得到.
故选：BC
三、填空题
7．（2022·上海金山·二模）设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是__________.
【答案】##
【分析】依题意，分类讨论作出函数简图，求得最值解不等式组即可
【详解】
依题意
（1）当时, 函数草图如下图所示,
此时, ,
则 满足条件;
（2）当 时, 函数草图如下图所示,
此时, ,
则无解
（3）当时, 函数草图如下图
此时, ,,
则, 无解;
（4）当时, 函数草图如下图所示,
此时, , ,
则
解得 , 满足条件
故答案为：
8．（2021·上海松江·一模）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】化简，由可得，得到即可求解.
【详解】，且，
，
,
,
故答案为：
9．（2021·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，已知点 ，E F为圆上两个动点，且，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】依题意、为直径的两个端点，设，则，即可表示出，，再根据平面向量数量积的坐标运算及辅助角公式计算可得；
【详解】解：因为、为圆上两个动点，且，所以、为直径的两个端点，设，则，因为 ，所以，，所以
，其中；
所以当时
故答案为：
10．（2021·上海奉贤·一模）函数是奇函数，则实数__________.
【答案】
【分析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.
【详解】因函数是奇函数，其定义域为R，
则对，，即，整理得：，
而不恒为0，于是得，
所以实数.
故答案为：
11．（2021·上海徐汇·一模）设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则_______．
【答案】
【分析】求出平移后的解析式，根据平移后的解析式图象与原函数图像的对称轴重合得到，利用得到的取值范围，进而求出，.
【详解】平移后的解析式为，因为与原函数图像的对称轴重合，所以，.所以，k∈Z，因为，所以，解得：，因为，所以，所以.
故答案为：
12．（2021·上海浦东新·二模）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象．若在上至少含有个零点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由三角函数平移变换可得解析式，将问题转化为在上至少有个根，利用整体对应的方法可构造不等式求得的范围，由此得到最小值.
【详解】由题意得：；
当时，，
令，则，原问题等价于方程在上至少有个根；
，解得：，
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据正弦型函数零点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，通过研究整体所处的范围确定不等关系.
四、解答题
13．（2022·上海宝山·二模）某地区的一种特色水果上市时间个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数:①②③(以上三式中均为非零常数，.)
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么
(2)若求出所选函数的解析式(注：函数的定义域是，其中表示月份，表示月份，，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
【答案】(1)选③，理由见解析；
(2)第月份应该采取外销策略.
【分析】（1）分析给定的3个函数的图象特征，结合已知判断作答.
（3）将给定数据代入选定的函数，求出待定系数，再在指定范围内求的x取值作答.
(1)对于①，函数是单调函数，不符合题意，
对于②，二次函数的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，
对于③，当时，函数在上的图象是上升的，在上的图象是下降的，
在上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.
(2)依题意，，解得，则，
由，即，而，解得，
所以该水果在第月份应该采取外销策略.
14．（2020·上海·复旦附中模拟预测）已知函数.
(1)求的最小正周期和递增区间；
(2)已知等差数列满足，公差，求数列的前项和.
【答案】(1)最小正周期为，增区间为
(2)
【分析】（1）先用恒等变换化为，使用求解最小正周期，整体法求解递增区间；
（2）先求出的通项公式，进而求出当为奇数时，，当为偶数时，，从而利用分组求和法求出数列的前项和为.
(1)
所以的最小正周期为，令，，
解得：，，
所以的递增区间为.
(2)因为等差数列满足，公差，所以，
故，
当为奇数时，，当为偶数时，，
设数列的前项和为，则
15．（2022·上海·模拟预测）已知函数，若函数的图像与函数的图像关于轴对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若存在，使等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化简得，再利用对称性求出函数的解析式；
（2）先求出，再换元，令，，等价为在上成立，求出二次函数的最值即得解.
【详解】（1）
由于函数的图像与函数的图像关于轴对称，
设上任一点关于轴对称的点在的图像上，
即，故；
（2）因为，
所以
所以，令，
则等式成立等价为在上成立，
，
当时，取得最小值；当时，取得最大值，
故得取值范围是
16．（2017·上海·高考真题）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.
【详解】（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.
（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.
由余弦定理得，，解得或.
当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.
所以三角形的面积为.
【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.

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