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第08讲 等差、等比数列
【考点梳理】
数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N+
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
三、等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【解题方法和技巧】
1.等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
2.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N＋)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.
6.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
【考点剖析】
【考点1】数列的概念及其表示方法
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）已知数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
2．（2020·上海高三专题练习）已知数列满足对任何正整数n均有，设，则数列的前2020项之和为________.
【考点2】等差数列及其前n项和
一、解答题
1．已知数列前项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
2．已知数列的前n项和为，若，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．
①；
②．
3．已知数列满足，前项的和，且.
(1)写出，并求出数列的通项公式；
(2)在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足___________，求实数使得数列是等差数列.
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
4．记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
5．（2020·上海高三专题练习）数列满足，，求的值和.
【考点3】等比数列及其前n项和
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）设数列，下列判断一定正确的是（ ）
A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列
D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
2．已知数列为等比数列，其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3．已知正项数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
4．已知数列的前项和为 ，，，，且满足：，其中且.
(1)求.
(2)求数列的前项和.
5．设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（ ）．
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
2．（2017·上海·高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，
使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海·模拟预测）已知数列，以下两个命题：①若都是递增数列，则都是递增数列；②若都是等差数列，则都是等差数列，下列判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题 B．①②都是假命题
C．①是真命题， ②是假命题 D．①是假命题， ②是真命题
4．（2022·上海交大附中模拟预测）设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海崇明·二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．数列存在最小项 D．数列存在最大项
6．（2022·上海徐汇·二模）设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）
A．若等比数列是收敛数列，则公比
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列
D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列
7．（2022·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ）
A． B． C． D．无穷多
8．（2021·上海市大同中学三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
9．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知公差为的等差数列，其中，则____________．
10．（2013·上海·高考真题（理））设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差__________
11．（2022·上海·模拟预测）等差数列中，，则数列的公差为______
12．（2022·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
13．（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
14．（2022·上海闵行·二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；
15．（2022·上海徐汇·三模）已知一簇双曲线：，设双曲线的左 右焦点分别为 ，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________.
16．（2022·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.
17．（2022·上海浦东新·二模）若各项均为正数的有穷数列满足，（，，），2022，则满足不等式的正整数的最大值为________．
三、解答题
18．（2022·上海·位育中学模拟预测）设是两个数列，为直角坐标平面上的点.对三点共线.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:，其中是第三项为8， 公比为 4的等比数列. 求证: 点列在同一条直线上;
(3)记数列的前项和分别为和，对任意自然数，是否总存在与相关的自然数，使得 若存在，求出与的关系，若不存在，请说明理由.
19．（2022·上海·高考真题）已知数列，，的前项和为.
(1)若为等比数列，，求；
(2)若为等差数列，公差为，对任意，均满足，求的取值范围.
20．（2022·上海黄浦·模拟预测）有以下真命题：已知等差数列，公差为d，设是数列中的任意m个项，若①，则有②.
(1)当时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；
(2)若为等差数列，，且，求的通项公式.
(3)试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.
21．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
22．（2022·上海闵行·二模）已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
23．（2022·上海青浦·二模）治理垃圾是改善环境的重要举措．地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的（记2020年为第年）.
(1)写出地每年需要焚烧垃圾量与治理年数的表达式；
(2)设为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列为递减数列．
24．（2022·上海静安·二模）若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”.
①()；②存在实数，使得对任意，有成立.
(1)设，试判断是否具有“性质A”；
(2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围；
(3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值.
25．（2022·上海崇明·二模）已知集合 （Z是整数集，是大于3的正整数）．若含有项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为数列．
(1)写出所有满足且的数列；
(2)若数列为数列，证明：不可能是等差数列；
(3)已知含有100项的数列满足是公差为等差数列，求所有可能的值
26．（2022·上海金山·二模）对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
27．（2013·上海·高考真题（理））给定常数，定义函数，数列满足.
（1）若，求及；
（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.
28．（2022·上海虹口·二模）对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质.
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质，并说明理由；
(2)如果数列，，，具有性质，求证：，；
(3)如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数.判断是否为等比数列？并说明理由.第08讲 等差、等比数列
【考点梳理】
数列的概念及简单表示法
1.数列的定义
按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N+
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
等差数列及其前n项和
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
三、等比数列及其前n项和
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【解题方法和技巧】
1.等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
2.等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N＋)，则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.
6.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
【考点剖析】
【考点1】数列的概念及其表示方法
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）已知数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先证明充分性，由条件，可得，通过变形得到，再由条件，列举特殊数列，说明是否成立.
【详解】充分性：若，则有，即，得，于是有成立，故充分性成立.
必要性：若成立，取数列为，但推不出，故必要性不成立.故选:A
【点睛】本题考查判断充分不必要条件，数列的递推公式和前项和公式的综合应用，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理能力，属于中档题型.
二、填空题
2．（2020·上海高三专题练习）已知数列满足对任何正整数n均有，设，则数列的前2020项之和为________.
【答案】
【分析】由已知两个式子相乘或相加得到数列和是等比数列，并写出通项公式，并代入求数列的通项公式，并求.
【详解】①，②，
两式相加可得，
数列是公比为2的等比数列，首项，，
两式相乘可得，
数列是公比为2，首项的等比数列，，
，，即数列是首项为6，公比为3的等比数列，
.故答案为：
【点睛】本题考查数列的递推公式求通项公式，考查转化与计算能力，属于中档题型.
关键点点睛：本题的关键是对两个已知等式的变形，相加变形和相乘变形，根据等比数列的定义求等比数列的通项公式.
【考点2】等差数列及其前n项和
一、解答题
1．已知数列前项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【分析】（1）由已知得，，两式相除整理得，从而可证得结论，
（2）由（1）可得，则，从而，然后利用放缩法可证得结论
(1)因为，所以，
所以，
两式相除，得，
整理得，．
所以数列为以2为首项公差为1的等差数列．
(2)因为，所以，
由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因为，
所以．
2．已知数列的前n项和为，若，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．
①；
②．
【分析】（1）根据可得，相减可得，再得到，再次相减即可证明结论；
（2）若选①，则讨论n的取值范围，分段求得结果；
若选②，将化为，利用（1）的结果，结合等差数列的前n项和公式求得答案．
(1)证明：因为，所以，
则，
两式相减得，
所以，
以上两式相减得，
所以数列是等差数列．
(2)中令 得，又，
所以等差数列的公差，
所以，，
若选①：
若，，则
；
若，
，
所以；
若选②：
．
3．已知数列满足，前项的和，且.
(1)写出，并求出数列的通项公式；
(2)在①；②这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答.若数列满足___________，求实数使得数列是等差数列.
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
【答案】(1)，，
(2)若选①，；若选②，.
【分析】（1）根据递推关系可求得，可猜想得到；利用数学归纳法可证得；
（2）若选条件①，由可整理得到，由此可得；
若选条件②，由可整理得到，由此可得.
(1)由得：；；
猜想可得：；
当时，满足；
假设当时，成立，
则当时，成立，
综上所述：当时，.
(2)
若选条件①，，
若为等差数列，则，
即，
，整理得：，
即，，解得：，
则存在实数，使得为等差数列；
若选条件②，，，
若为等差数列，则，
，
，整理得：，
即，，解得：，
则存在实数，使得为等差数列.
4．记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式直接构造方程组求得，由此可得；
（2）利用等差数列求和公式可求得，利用的二次函数性可求得最大值.
(1)设等差数列的公差为，
则，解得：，.
(2)由（1）得：，
则当时，.
5．（2020·上海高三专题练习）数列满足，，求的值和.
【答案】，
【分析】利用与的关系，当时，，整理变形可得，即，可知数列为等比数列，由等比数列的通项公式计算得，令，可求得；再对变形得，可知数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求解可得.
【详解】当时，，，解得：
当时，由可知，
两式作差可得：，即，即
又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，
，
由，两边同除以，得
又，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
，整理得
所以，
【点睛】方法点睛：本题考查等差、等比数列的定义和等差、等比数列的通项公式，及构造法求通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学运算能力，属于较难题.
【考点3】等比数列及其前n项和
一、单选题
1．（2020·上海高三专题练习）设数列，下列判断一定正确的是（ ）
A．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
B．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
C．若对任意正整数m，n，都有成立，则为等比数列
D．若对任意正整数n，都有成立，则为等比数列
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断.
【详解】对于A，若，则，，则，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A错误；
对于B，当时，满足，但数列不为等比数列，故B错误；
对于C，由可得，则，所以，故为公比为2的等比数列，故C正确；
对于D，由可知，则，如1，2，6，12满足，但不是等比数列，故D错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法，
（1）定义法：对于数列，若，则数列为等比数列；
（2）等比中项法：对于数列，若，则数列为等比数列；
（3）通项公式法：若（均是不为0的常数），则数列为等比数列；
（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意的判断.
2．已知数列为等比数列，其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出数列的通项公式，利用满足在时的表达式可求得实数的值.
【详解】当时，；
当时，.
因为数列为等比数列，则，解得.
故选：C.
二、解答题
3．已知正项数列的前n项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）令，可知，结合，可求得，，再令，可得，即可求解；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求解即可.
(1)由题，令，得，又，
解得或（舍去），，
令，得，所以，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以.
(2)由（1）可得，，
所以，
所以，
两式相减得，
即，
所以，
所以.
4．已知数列的前项和为 ，，，，且满足：，其中且.
(1)求.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设，由得，又，再按照等比数列通项公式求解即可；
（2）设，由，通过累加法求得，再通过分组求和及等比数列的求和公式求即可.
(1)记，当时，由得，，即.
又因为，，，所以，，即.
故数列是以3为首项，3为公比的等比数列，即数列是等比数列.
则.
(2)由（1）知.
记，故，
当时，
即.
而也满足，故对，均有.
从而.
5．设为数列的前项和，已知，.若数列满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项的和.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据求解的通项，根据，可得为等比数列，求解计算即可；（2）根据通项采用分组求和即可.
(1)由，①，得：
当时，,解得或（负值舍去），
当时，②，
得：，
所以，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列.
所以.
因为数列满足，，.
所以数列是等比数列，首项为2，公比为2.
所以.
(2)因为，所以，
所以
.
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（ ）．
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
【答案】C
【分析】首先可根据“方程③有不相等的两实根”得出“方程③无实根”的充要条件，然后对四个选项依次进行分析，通过判别式即可得出结果.
【详解】解：若方程③有不相等的两实根，则，即，
故“方程③有不相等的两实根”的充要条件为：，
又因为，，成等比数列，所以，即，
A项：因为方程①有实根，且②有实根，所以，，
即，，，无法证得，故A不正确；
B项：因为方程①有实根，且②无实根，所以，，
即，，，故B不正确；
C项：因为方程①无实根，且②有实根，所以，，
即，，，故C正确；
D项：因为方程①无实根，且②无实根，所以，，
即，，，无法证得，故D不正确，
故选：C.
2．（2017·上海·高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，
使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 存在，使得成等差数列，可得，
化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.
3．（2022·上海·模拟预测）已知数列，以下两个命题：①若都是递增数列，则都是递增数列；②若都是等差数列，则都是等差数列，下列判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题 B．①②都是假命题
C．①是真命题， ②是假命题 D．①是假命题， ②是真命题
【答案】D
【分析】①假设为递增数列，为常数列即可判断命题真假；②根据等差数列通项公式列方程，结合等差数列定义判断即可判断.
【详解】①若为递增数列，为常数列，则都为递增数列，故为假命题；
②若、、分别为的公差，
，则，可得，
所以为等差数列，同理可得也为等差数列，故为真命题.
故选：D
4．（2022·上海交大附中模拟预测）设等差数列，首项．设实系数一元二次方程的两根为．若存在唯一的，使得，则公差的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，再分和分别求解可得，再根据与的关系，逐个选项代入判断即可
【详解】已知方程为一元二次方程，则．
首先计算方程的根的判别式，并进行分类讨论．
第一种情况，若，即，则，
解得．
第二种情况，若，即，则，
解得，故综合上述两种情况，才能满足不等式成立．
而．
若，则均符合要求；
若，则仅有符合要求；
若，则均符合要求；
若则没有符合要求的项；
故选：B
5．（2022·上海崇明·二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列 B．数列是递减数列
C．数列存在最小项 D．数列存在最大项
【答案】C
【分析】对AB，举公比为负数的反例判断即可
对CD，设等比数列公比为，分和两种情况讨论，再得出结论即可
【详解】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；
对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；
当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值
综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误
故选：C
6．（2022·上海徐汇·二模）设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）
A．若等比数列是收敛数列，则公比
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列
D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列
【答案】C
【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前项和公式逐一判断即可.
【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB不正确；
选项C：设等差数列的公差为，
所以，当时，当时，，
所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；
选项D：因为，，所以可得，
当时，由，两式相减，得，
所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.
7．（2022·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ）
A． B． C． D．无穷多
【答案】B
【分析】由已知可得，分析可知，则是的倍数，且，由已知，对的取值进行分类讨论，求出的值，并求出对应的的值，即可得出结论.
【详解】根据题意可知，，化简可得，
因为各项均为正整数，则，故是的倍数，且，
因为、、成等比数列，则，分以下情况讨论：
①若，则，可得，，解得，合乎题意；
②若，则，可得，，解得，合乎题意；
③若，则，可得，，解得，不合乎题意；
④若，则，可得，，解得，不合乎题意；
⑤若，则，可得，此时，是常数列，且每项均为，合乎题意.
综上所述，公差的所有可能取值的个数为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键时分析出，然后对的取值进行分类讨论，验证的值是否满足题意，即可得解.
8．（2021·上海市大同中学三模）已知数列满足，若，则“数列为无穷数列”是“数列单调”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由已知可得，设，若存在正整数，当时，有，此时数列为有穷数列；若恒不为0，由，有，此时为无穷数列，由此根据充分条件、必要条件的定义进行分析即可得结论．
【详解】解：令，，
由，可得，所以，即，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
所以，
设，则数列是单调递增的等差数列，
若存在正整数，当时，则有，此时数列为有穷数列；
若恒不为0，由，有，数列就可以按照此递推关系一直计算下去，所以此时为无穷数列.
（1）若恒不为0，则为无穷数列，由递推关系式有，
取，时，，则，，，，此时数列不是单调数列；
（2）当数列为有穷数列时，存在正整数，当时，有，
此时数列为，，，，，，
由，若数列单调，则，，，，全为正或全为负，
由，则，，，，全为正，而，
这与单调递增矛盾，所以当数列为有穷数列时，数列不可能单调，
所以当数列单调时，数列一定有无穷多项．
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，将论证数列单调时，数列一定有无穷多项等价转化为论证数列为有穷数列时，数列不可能单调.
二、填空题
9．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知公差为的等差数列，其中，则____________．
【答案】
【分析】由题干条件得到，从而求出答案.
【详解】由题意得：，解得：，
因为，所以，
则，
故答案为：
10．（2013·上海·高考真题（理））设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差__________
【答案】
【详解】，．
【考点定位】考查方差的计算，属容易题．
11．（2022·上海·模拟预测）等差数列中，，则数列的公差为______
【答案】
【分析】根据等差数列通项公式基本量计算，题干中两式相减得到，两式相加得到.
【详解】设公差为，,
即
故答案为：
12．（2022·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
【答案】
【分析】先根据等比数列的前项和的基本量的计算求出，即可得到数列的通项公式，再根据等差数列的前项和公式即可解出．
【详解】由题可得，，而，解得：，所以，即，所以．
故答案为：．
13．（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
【答案】
【分析】先由递推关系式求出的周期，再由周期性求出即可.
【详解】由题意知：，
故是周期为3的周期数列，则.
故答案为：.
14．（2022·上海闵行·二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；
【答案】13
【分析】对题干条件变形得到，整理后得到，得到能整除，且，因为，
所以，求出满足条件的不同数列的个数.
【详解】由题意得：此等比数列的公比，
由得：，
则，即，
所以能整除，且
因为，
所以，
解得：，
经检验，均满足要求，
故满足条件的不同数列的个数为13个.
故答案为：13
【点睛】
本题的关键点为化简整理得到，结合能整除，且，，从而得到，求出答案..
15．（2022·上海徐汇·三模）已知一簇双曲线：，设双曲线的左 右焦点分别为 ，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________.
【答案】
【分析】分析得到为右顶点，从而，利用等差数列求和公式进行计算.
【详解】如图，由双曲线定义可知：，
而根据切线长定理得：，，，
所以，
即，解得：，即为右顶点，
，故，
所以
故答案为：
16．（2022·上海市七宝中学模拟预测）定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.
【答案】
【分析】由已知条件可得，进而求得，以及周期，利用周期性求的前项和.
【详解】由题设，两边平方得：，
化简得，
∵得：，
∴，，,则，，
综上，是周期为2的数列且，，
因此，数列的前项和.
故答案为：
17．（2022·上海浦东新·二模）若各项均为正数的有穷数列满足，（，，），2022，则满足不等式的正整数的最大值为________．
【答案】109
【分析】根据，可得，则有，要使不等式，只要即可，而，再结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
，
，
，
故，
因为2022，
所以，
则，
要使不等式，
只要即可，
而，
，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
又因，，，
当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以正整数，
即正整数的最大值为109.
故答案为：109.
三、解答题
18．（2022·上海·位育中学模拟预测）设是两个数列，为直角坐标平面上的点.对三点共线.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:，其中是第三项为8， 公比为 4的等比数列. 求证: 点列在同一条直线上;
(3)记数列的前项和分别为和，对任意自然数，是否总存在与相关的自然数，使得 若存在，求出与的关系，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，(2)证明见详解，(3)存在，
【分析】（1）利用∥，代入运算整理可得；（2）根据题意求，代入整理可得，再结合运算求得；（3）先求，，代入可得，分析整理得．
(1)由题意得：
∵三点共线，则∥，可得
∴
(2)由（1）可得
∵是第三项为8， 公比为 4的等比数列，则
∴，则
又∵
∴
当时，
当时，
∴
综上所述：，则
∴点列在同一条直线上
(3)由（2）可得，
∵，即
结合自然数整理可得，则
∴
若对任意自然数，存在且为自然数
∴存在，
19．（2022·上海·高考真题）已知数列，，的前项和为.
(1)若为等比数列，，求；
(2)若为等差数列，公差为，对任意，均满足，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）求出等比数列的公比，求出，即可求得；
（2）分析可得，分、两种情况讨论，结合数列的单调性可求得的取值范围.
(1)解：，则，所以，等比数列的公比为，
，因此，.
(2)解：由已知可得，则，
即，可得.
当时，可得；
当时，则，所以，，
因为数列为单调递增数列，而，故.
综上所述，.
20．（2022·上海黄浦·模拟预测）有以下真命题：已知等差数列，公差为d，设是数列中的任意m个项，若①，则有②.
(1)当时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；
(2)若为等差数列，，且，求的通项公式.
(3)试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.
【答案】(1)答案见解析，(2)，(3)答案见解析
【分析】（1）当时，代入数据，可得当时，有
（2）根据所给数据，结合题意，可得，即可得p、r、m的值，进而可求得d值，根据，可得，代入等差数列通项公式，即可得答案.
（3）根据题意，类比可得已知等比数列，公比为q，设是数列中的任意m个项，若，则有.进行证明即可.
(1)当时，由已知，对等差数列的任意两项，当时，有，
(2)设的公差为d，由题意得：，
知，
所以，解得，
又，于是；
(3)已知等比数列，公比为q，设是数列中的任意m个项，
若，则有.
证明如下：因为，
所以，
其中，
于是，命题得证.
21．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．
(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）
(2)设甲、乙两人入职第年的月基础工资分别为、元，记，讨论数列的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．
【答案】(1)甲的基础工资收入总量元；乙的基础工资收入总量元
(2)单调性见解析；从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资；理由见解析
【分析】（1）易得甲的工资满足等差数列，乙的工资满足等比数列，再根据等差等比数列的求和公式求解即可
（2）根据题意可得，再求解分析的单调性，并计算时的取值范围即可
(1)甲的基础工资收入总量
元
乙的基础工资收入总量
元
(2)，
，，
设，即，解得
所以当时，递增，当时，递减
又当，即，解得，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资． ．
22．（2022·上海闵行·二模）已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12.
(1)求证：；
(2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算得到公差为2，首项为1，从而得到前n项和；
（2）假设存在，使对任意恒成立，变形为对任意恒成立，结合当时，，求出且，因此符合题意得不存在.
(1)由题意得：，解得：，
由，解得：，
所以；
(2)假设存在，使对任意恒成立，
则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
当时，，
所以且，因此符合题意得不存在，证毕.
23．（2022·上海青浦·二模）治理垃圾是改善环境的重要举措．地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的（记2020年为第年）.
(1)写出地每年需要焚烧垃圾量与治理年数的表达式；
(2)设为从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值，证明数列为递减数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可知从2020年开始的连续5年，焚烧垃圾量成等差数列，从第6年开始，成等比数列，根据等差等比的基本量即可求.
（2）根据年平均值的表达式，可得，然后根据的关系即可得到，结合等差等比的单调性，即可得到数列的单调性.
(1)设治理年后，地每年的需要焚烧垃圾量构成数列.
当时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，
所以，治理年后，地每年的需要焚烧垃圾量的表达式为
(2)为数列的前项和，则．
由于
由（1）知，时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，
且，所以为递减数列，
于是，因此，所以数列为递减数列．
24．（2022·上海静安·二模）若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”.
①()；②存在实数，使得对任意，有成立.
(1)设，试判断是否具有“性质A”；
(2)设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围；
(3)设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值.
【答案】(1)数列具有“性质A”，数列不具有“性质A”；
(2)证明见解析，；
(3)
【分析】（1）结合二次函数的性质求出，结合即可得数列具有“性质A”；由可得数列不具有“性质A”；
（2）先由条件解出首项和公比，写出等比数列的通项公式，求出，结合，即可证明并求出A的取值范围；
（3）先由求得对成立，进而求得，又且当时，，可得，即可求解.
(1)，所以当时，有成立；又，
所以，所以数列具有“性质A”；
，所以，所以数列不具有“性质A”；
(2)设公比为，则，解得或，又等比数列递增，则，
则数列的通项公式，所以恒成立，
又，所以对成立，
所以数列具有“性质A”，且；
(3)，由于数列具有“性质A”，则，即，
整理得，得：，得对成立，
所以，得，又当时，，且当时，，
所以满足条件的的最大值，所以.
25．（2022·上海崇明·二模）已知集合 （Z是整数集，是大于3的正整数）．若含有项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为数列．
(1)写出所有满足且的数列；
(2)若数列为数列，证明：不可能是等差数列；
(3)已知含有100项的数列满足是公差为等差数列，求所有可能的值
【答案】(1)1，3，5，2，4；1，4，2，5，3
(2)证明见解析
(3)5
【分析】（1）根据数列的定义，可直接写出答案；
（2）假设是等差数列，公差为，分和两种情况，可得到与题意不符的结论，从而证明结论成立；
（3）由题意，，分类讨论，说明当时，不符题意，同理可说明 和时，推导出与题意不符的结论，继而说明，符合题意，从而求得答案.
(1)由题意可得满足且的数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..
(2)假设是等差数列，公差为，当时，由题意，或，
此时，
所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列
当时，由题意，或，此时
所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列
综上所述，不可能是等差数列
(3)由题意，，
当时，因为，所以，与题意不符；
当时，记，
当时，，
所以，
所以中的最小项，所以，与题意不符，
当时，，
又由题意，（*），其中，
且，
所以，所以 ，
所以，与不符；
当时，取 ，此时的数列满足题意，
综上所述，.
26．（2022·上海金山·二模）对于集合且，定义且.集合A中的元素个数记为，当时，称集合A具有性质.
(1)判断集合是否具有性质，并说明理由；
(2)设集合，且具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；
(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质，理由见解析
(2)的值分别为4，5或5，9
(3)存在最大值，最大值为4
【分析】（1）根据集合A具有性质的定义进行判断，可得答案；
（2）写出中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案；
（3）一数列新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案.
(1)，故集合具有性质.
故集合不具有性质
(2)因集合具有性质，
故.
（i）若，
则 ,解得 ,
经检验，符合题意，故的值分别为4，5.
（ii）若，
则 ,解得,
经检验，符合题意，故的值分别为5，9.
(3)不妨设，
则在集合中，.
又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，
则，
即，故.
当时，是集合A中互不相同的4项，
从而，与集合A具有性质矛盾.
当时，，即成等差数列，且公差也为，
故中的元素从小到大的前三项为，
且第四项只能是或.
（i）若第四项为，则，从而，
于是，故，与集合A具有性质矛盾.
（ii）若第四项为，则，故.
另一方面，，即.
于是，
故，与集合具有性质矛盾.
因此，.
由（2）知，时，存在集合A具有性质，
故集合中的元素个数存在最大值，最大值为4.
【点睛】本题考查了数列的新定义问题，综合考查了学生的阅读理解接受并理解新信息的能力，解答的关键是理解新定义的含义并能依此解决问题，其中还要注意分类讨论与整合的思想方法.
27．（2013·上海·高考真题（理））给定常数，定义函数，数列满足.
（1）若，求及；
（2）求证：对任意，；
（3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由.
【详解】（1）因为，，故，
（2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，
即只需证明
若，显然有成立；
若，则显然成立
综上，恒成立，即对任意的，
（3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有
此时，
即
故，
即，
当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；
若，则，
此时，也满足题意；
综上，满足题意的的取值范围是．
【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．
28．（2022·上海虹口·二模）对于项数为的数列，若满足：，且对任意，与中至少有一个是中的项，则称具有性质.
(1)分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质，并说明理由；
(2)如果数列，，，具有性质，求证：，；
(3)如果数列具有性质，且项数为大于等于5的奇数.判断是否为等比数列？并说明理由.
【答案】(1)数列1，3，9具有性质；数列2，4，8不具有性质
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据性质的定义验证即可；
（2）根据性质的定义，易得，是数列中的项，再根据，可得，即可得证；
（3）根据性质的定义，易得，是数列中的项，从而可得，同理有，即可得出结论.
(1)解：因为均是数列1，3，9中的项，
所以数列1，3，9具有性质，
因为不是数列2，4，8中的项，
所以数列2，4，8不具有性质；
(2)证明：因为，
所以不是数列中的项，
所以一定是数列中的项，
所以，
又因为，
所以不是数列中的项，
所以是数列中的项，
因为，
所以，
所以，
所以；
(3)解：当数列的项数时，
因为，
所以不是数列中的项，
所以一定是数列中的项，
所以，
因为对于满足的正整数，都有，
所以不是数列中的项，
从而是数列中的项，
又，
所以，
从而有，
所以，
从而有，
因为对于满足的正整数，均有，
所以，
又，
所以，
从而有，
所以，
从而有，
从而有，
所以对于项数为大于等于5的奇数且具有性质的数列，是以为首项，为公比的等比数列.
【点睛】本题考查了数列的新定义，考查了等比数列的定义，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，属于难题.

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