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第09讲 数列求通项、求和
【考点梳理】
1.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
3.数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
【解题方法和技巧】
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
4.Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　
5.由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
6.在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；
(2)要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
7.用错位相减法求和时，应注意
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意
【考点剖析】
【考点1】
1.已知数列的首项，其前项和为，若，则__________．
【答案】96
【分析】由题意易得，两式相减可得数列从第二项开始成等比数列，进而可得结果.
【详解】因为，所以，
两式相减得，
又因为，，得，
所以数列从第二项开始成等比数列，
因此其通项公式为，
所以，
故答案为：96.
【考点2】由递推公式求通项
1.若数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
分析】利用整体相减的方法即可计算出数列的通项公式
【详解】由①得，当时②
由①②得
当时也满足上式
故选：D
2.已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________.
【答案】
【分析】化简题设条件得到，得出数列是以为首项，为公差的等差数列，求得则，再利用叠加法，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，数列满足（），
两侧同除，可得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，
所以
（），
当时，适合上式，
所以，所以数列的通项公式.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了等差数列定义及通项公式，以及“叠加法”的应用，其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式，合理利用“叠加法”求解是解答的关键.
【考点3】分组求和
1.设数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的表达式.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据，即可求出数列的通项公式；
（2）利用分组求和法以及等差数列的前和公式即可求出结果.
【详解】（1）当时，，即，
当时，，
即，因此，
所以
，
经检验，时成立，所以；
（2），
所以
2.已知数列的前n项和为，满足，（t为常数）．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)令,解得:,再由,即可求出,
(2)根据(1)的结论,再利用并项求和,即可求解.
【详解】解：（1）令，，可得，所以
时，，可得
所以（），又因为满足上式，所以
（2）因为
所以
【考点4】裂项相消法求和
1.已知数列的前项和为，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据数列与的关系，消去，即可证明数列是等比数列；
（2）根据（1）的结果，知，再利用裂项相消法求和.
【详解】解：（1）由，得，①
于是得， ②
②-①得，
即，
当时，，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以.
【考点5】错位相减求和
1. 是首项为1的单调递增的等差数列，其中，，成等比数列．的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)根据等比数列的性质及已知条件，求出等差数列的公差，再利用等差数列的通项公式即可求解；(2)根据数列的递推公式求出数列的通项公式，再利用错位相减法及等比数列的求和公式即可求解．
【详解】(1)因为是首项为1的单调递增的等差数列，所以，
设数列的公差为且，
则，，
．
因为，，成等比数列，
所以，
即，
解得或（舍负），
所以．
(2)因为，①
所以，②
由①-②得，
所以．
因为，，
所以是从第二项开始的等比数列，
则数列的通项公式为
由（Ⅰ）知
则，③
，④
③-④得
，
所以．
2.已知数列、满足：且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）数列满足：，其中，若数列的前项和为，求．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）由递推关系可构造等比数列，即可求出，代入化简即可得；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，令，得，
是以为首项，以为公比的等比数列．
，即．
．
（2）由题意知，
①
②
①-②得，，
．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海·二模）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递增数列
B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】C
【分析】根据已知求出首项和公差即可依次判断.
【详解】由，知，即，
设等差数列的首项，公差，，解得，
对于A，由，知为递减数列，故错误；
对于B，由，知当或时，有最大值，故B错误；
对于C，由等差数列求和公式知，即，解得，即，故C正确；
对于D，由等差数列求通项公式知，解得，故D错误；
故选：C.
二、填空题
2．（2021·上海静安·一模）设函数，数列中，，一般地，，（其中）．则数列的前n项和_________．
【答案】
【分析】先证明，从而可求数列的通项公式，最后求和即可.
【详解】因为
，
所以，
所以当为偶数时，
；
当为奇数时，
.
所以，
数列的前n项和.
故答案为：
3．（2021·上海杨浦·一模）等差数列满足：①，；②在区间中的项恰好比区间中的项少2项，则数列的通项公式为___________.
【答案】
【分析】由已知得出，根据区间的长度确定在区间上可能含有的数列中的项数，结合区间，然后根据项数的可能值分类讨论，确定数列．
【详解】由，得，，因此在区间上最多有5项，又在区间中的项恰好比区间中的项少2项，
因此数列在上的项数可能为，相应地在上项数分别为．
（1）若在上的项数可能为1，设是数列在区间的项，在上项数为3，
由得，由得，所以，
这样是数列中的连续三项，是等差数列，因此也是中连续三项（否则数列中有两项在上），但，矛盾；
（2）若在上的项数可能为2，设是数列在区间的最小项，在上项数为4，
由得，由得，所以，
这样是数列中的连续四项，是等差数列，因此也是中连续四项，（否则数列中有三项在上），又，
所以，，满足题意，；
（3）若在上的项数可能为3，设是数列在区间的最小项，在上项数为5，
由得，由得，所以，
这样是数列中的连续五项，是等差数列，因此也是中连续五项（否则数列中有四项在上），但，矛盾；
综上所述，．
故答案为：．
4．（2022·上海·二模）已知数列中，，则下列说法正确的序号是_________.
①此数列没有最大项；②此数列的最大项是；
③此数列没有最小项；④此数列的最小项是.
【答案】②
【分析】根据题意，分析函数，由此分析数列的单调情况，据此分析即可求解.
【详解】由，得
，
对于函数，，
设，则，
当，即时，函数取得最大值，
当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
所以数列中，当时，数列递增，且，
当时，数列递减，此时有，
所以数列的最大项是，最小项为.
故答案为：②.
5．（2022·上海宝山·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则___________.
【答案】
【分析】根据通项公式列出方程求出，利用前n项和公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以是以2为公差的等差数列，
所以，
故答案为：
三、解答题
6．（2020·上海高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
【答案】
【分析】通过对递推关系式，变形可知，令，即，可知数列为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解，从而得到.
【详解】，
两边取倒数得：，
令，则,可得，又
所以数列是首项为，公比为3的等比数列
，故
即，解得
【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学运算能力，属于较难题.
7．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列，与函数，是首项、公差的等差数列，数列满足：.
（1）若，，求的前n项和；
（2）若，，，问n取何值时，的值最大？
【答案】（1），；（2）或，的值最大.
【分析】(1)依题意,,,对分类讨论,利用等差数列的求和公式即可得出;
(2)依题意,,,利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．
【详解】(1)依题意,,,
,
．
(2) 依题意,,,
,
当或时,最大．
【点睛】本题考查了求等差数列的公差和等差数列前项和公式.掌握指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.第09讲 数列求通项、求和
【考点梳理】
1.数列的通项公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
3.数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
【解题方法和技巧】
1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝
2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.
3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.
4.Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　
5.由递推关系式求通项公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
6.在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；
(2)要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
7.用错位相减法求和时，应注意
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意
【考点剖析】
【考点1】
1.已知数列的首项，其前项和为，若，则__________．
【考点2】由递推公式求通项
1.若数列满足：，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2.已知数列满足，，且=+-（n≥2），则数列的通项公式为_____________.
【考点3】分组求和
1.设数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的表达式.
2.已知数列的前n项和为，满足，（t为常数）．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为．
【考点4】裂项相消法求和
1.已知数列的前项和为，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
【考点5】错位相减求和
1. 是首项为1的单调递增的等差数列，其中，，成等比数列．的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
2.已知数列、满足：且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）数列满足：，其中，若数列的前项和为，求．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海·二模）已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为递增数列
B．当且仅当时，有最大值
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
二、填空题
2．（2021·上海静安·一模）设函数，数列中，，一般地，，（其中）．则数列的前n项和_________．
3．（2021·上海杨浦·一模）等差数列满足：①，；②在区间中的项恰好比区间中的项少2项，则数列的通项公式为___________.
4．（2022·上海·二模）已知数列中，，则下列说法正确的序号是_________.
①此数列没有最大项；②此数列的最大项是；
③此数列没有最小项；④此数列的最小项是.
5．（2022·上海宝山·一模）已知数列的前项和为，且满足，，则___________.
三、解答题
6．（2020·上海高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
7．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列，与函数，是首项、公差的等差数列，数列满足：.
（1）若，，求的前n项和；
（2）若，，，问n取何值时，的值最大？

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