资源简介

第10讲 数学归纳法与数列综合应用
【考点梳理】
一、数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1) (归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；
(2) (归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
注意：①应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法。
②由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异及联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡。
3、用数学归纳法证明与正整数有关的等式，常采用从一边开始并以另一边为目标进行推证的办法；用数学归纳法证明整除性问题，常采用配凑的办法；用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，常常需要运用不等式的性质以及比较法、放缩法、分析法、综合法等基本方法；用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，常常要运用几何图形的性质。
二、归纳——猜想——论证
“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个的值，寻找一定规律，猜想一个结论，然后用数学归纳法证明所猜想的结论正确”的解题方法．
理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．
三、数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
【解题方法和技巧】
1.数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
2.等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
3.数列与函数常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．
4.数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．
5.＂新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
6.数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
【考点剖析】
【考点1】数学归纳法
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
【答案】D
【分析】得和时对应的不等式左边的最后一项，再由变化规律可得增加的项数.
【详解】当时，不等式左边的最后一项为，而当时，最后一项为，并且不等式左边分式每一项分母的变化规律是每一项比前一项加，所以增加了项.
故选：D
2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三期中）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】取即可得到第一步应验证不等式.
【详解】由题意得，当时，不等式为．
故选：B．
二、多选题
3．（2022·上海·高三专题练习）用数学归纳法证明对任意都成立，则以下满足条件的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】验证当、时，不等式不成立，当、时，不等式成立，然后利用数学归纳法证明出当时，成立，即可得出合适的选项.
【详解】取，则，，不成立；
取，则，，不成立；
取，则，，成立；
取，则，，成立.
下证：当时，成立.
（i）当时，成立；
（ii）假设当时，成立，
则当时，有，
令，则，
因为且函数在上为增函数，
所以，
因为，所以，
所以当时，不等式也成立，
根据（i）和（ii）可知，对任意的都成立.
故选：CD.
三、填空题
4．（2022·上海·高三阶段练习）已知正整数数列满足：，则____________
【答案】630
【分析】根据已知条件，易得到数列的初值，根据初值，可以进行归纳，得到中项数满足的递推关系，然后使用数列归纳法进行推导论证，得到的递推公式，然后通过构造等比数列求解出的表达式，结合2022所满足的关系代入合适的关系式求解即可.
【详解】由可得：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 4 1 5 10 4 11 3 12 2 13 1 14
我们可以看到的下标：
它们满足的递推关系：①，
对归纳：时已经成立，设已有，则由条件，
，，，，归纳易得：
，，②
于是，当时，，
因此，即①式成立，
根据①式，，
令，所以，，所以，
因此，，
而，，
则，，故由②式可得，
故答案为：630.
5．（2020·上海·高三专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.
【答案】
【分析】由数学归纳法的证明过程可得答案，注意在为正偶数即可.
【详解】假设当（且为偶数）时，命题成立，
即成立
由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立.
所以应证明当时，等式也成立
故答案为：
【点睛】本题考查数学归纳法的证明过程，属于基础题.
四、解答题
6．（2020·上海·高三专题练习）用数学归纳法证明：.
【分析】直接利用数学归纳法证明问题的步骤证明.
【详解】（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当，时，不等式成立，即有，
则当时，左边
，
又
即，
即当时，不等式也成立.
综上可得，对于任意，成立.
【点睛】本题考查了用数学归纳法证明不等式，还考查了放缩法，弄清从到不等式左右增加的式子是解决问题的关键，属于中档题.
【考点2】数列综合应用
一、解答题
1．（2022·上海·高三阶段练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．
(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
【答案】(1)
(2)有效，理由见详解
【分析】（1）分别求出当时和时的通项公式，即可得到年垃圾排放量的表达式；
（2）先根据，利用作差法，可证明数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势
(1)设治理年后，S市的年垃圾排放量构成数列.
当时，是首项为，公差为的等差数列，
所以；
当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，
所以，治理年后，S市的年垃圾排放量的表达式为
(2)设为数列的前项和，
则．
由于
由（1）知，
时，，所以为递减数列，
时，，所以为递减数列，
且，
所以为递减数列，
于是
因此，
所以数列为递减数列，即年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，故认为现有的治理措施是有效的
2．（2021·上海崇明·一模）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．
(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米
(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于
【答案】(1)2030；(2)2026﹒
【分析】(1)设保障性租赁住房面积形成数列，由题意可知，是等差数列，其中，，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
(2)设新建住房面积形成数列，由题意可知，是等比数列，其中，，则可得的通项公式，通过求解不等式，即可求解．
(1)设保障性租赁住房面积形成数列，
由题意可知，是等差数列，其中，，
则，
令≥475，即，而为正整数，解得，
故到2030年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米；
(2)设新建住房面积形成数列，
由题意可知，是等比数列，其中，，
则，
由题意知，，则，满足上式不等式的最小正整数，
故到2026年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于．
3．（2021·上海市徐汇中学高三期中）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0．5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；
．
(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
【答案】(1)表格见解析，
(2)2033年
【分析】（1）由已知数列是等差数列，数列是等比数列通过观察得到结果（2）利用等差、等比求和公式，分段将两部分分组求和后列出不等式关系求出结果
(1)由已知，由已知数列是等差数列，数列是等比数列
因此列举前四项可填表如下
9 8.5
4.5 ． 6.75
由题意，当时 当时，
因此
而根据题意
因此数列的通项公式为
(2)由（1）可知记为数列的前项和，为数列的前项和,设累计各年发放的牌照数为,则
由题意，，因此,可以得到当时，所以当时满足要求
即2033年累计各年发放的牌照数开始超过200万张
4．（2021·上海·曹杨二中高三期中）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，2021年投入资金1000万元，以后每年投入比上年减少.预测显示，2021年当地旅游业收入为300万元，以后每年旅游业收入比上年增加20万元.根据预测，解答以下问题：
(1)从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计多少万元？
(2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入？
【答案】(1)万元，(2)2039年
【分析】（1）利用等差数列求和公式即求；
（2）由题可表示出前年旅游业总收入及前年投入，然后作比较，再利用数列的增减性可求.
(1)以2021年为第1年，设第年旅游业收入万元，
则，，故．
，
因此从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计万元．
(2)以2021年为第1年，设第年投入资金万元，
则，，故，
设数列、的前项和分别为、，
则，，
题目即求最小的正整数，使得，
设，则，
令，
则关于递增，且，，
故，，
又，，，
因此该地在2039年的旅游业总收入将首次超过总投入．
5．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）某企业2021年第一季度的营业额为亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加亿；该企业第一季度的利润为亿，以后每季度比前一季度增长4％．
（1）求2021年起前20季度营业额的总和；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％．
【答案】（1）亿元；（2）2021年起第26个季度.
【分析】（1）由条件知营业额构成等差数列，利用等差数列前项和公式可求前季度的营业额的总和；
（2）由条件知利润构成等比数列，根据条件列出不等式并利用数列单调性求解出结果.
【详解】（1）设为第个季度的营业额，为前个季度的营业额的总和，
由题意可知是首项为，公差为的等差数列，
所以（亿元）；
（2）设为第个季度的利润，由题意知是首项为，公比为的等比数列，
又因为，令，
所以，所以（*），
设，所以，
当时，，为递增数列，
当时，，为递减数列，
当时，，
经验证，当时，，当时，，
所以年起第个季度的利润首次超过该季度营业额的.
6．（2022·上海·模拟预测）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
【答案】（1）人；（2）11月13日新感染者人数最多为630人.
【分析】（1）根据题意数列是等差数列，，公差为，又，进而根据等差数列前项和公式求解即可；
（2）11月日新感染者人数最多，则当时，，当时，，进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.
【详解】解：（1）记11月日新感染者人数为，
则数列是等差数列，，公差为，
又，
则11月1日至11月10日新感染者总人数为：
人；
（2）记11月日新感染者人数为，
11月日新感染者人数最多，当时，.
当时，，
因为这30天内的新感染者总人数为11940人，
所以，
得，即
解得或(舍)，
此时
所以11月13日新感染者人数最多为630人.
【点睛】本题考查等差数列的应用，考查数学运算能力，数学建模能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型，当时，，当时，，进而求和解方程.
【考点3】数列新定义
一、解答题
1．（2022·上海浦东新·二模）已知数列． 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”．
(1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；
(2)已知2022项的数列中，（）． 求使得为型数列的实数的取值范围；
(3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列． 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列．
【答案】(1)存在；，(2)，(3)证明见解析
【分析】（1）取，可得答案；
（2）当（）时，由，解得，同理，当时得，从而得到的范围；
（3） 首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得．
用反证法证明①，②可同理得到答案；根据①、②可知，存在，使得，存在，使得，由①的证明知，如此递归选择的使得递增且递减即为所求．
(1)是，如：取，则为递减数列．（时均可）．
(2)当（）时，，解得，同理，当（）时，，解得，
而此时确为型数列，故为所求．
(3)首先证明：对任意，①存在，使得；②存在，使得．
用反证法证明①，②可同理得，
若存在，使得当时，均有，则由型数列定义，，
设，由题意，，
当时，， 而当时，，故． 因此，也是型数列，与的唯一性矛盾， 证毕．
根据①、②可知，存在，使得，存在，使得，
由此，若，则存在，使得，又存在，
使得，由①的证明知，如此递归选择的，使得递增且递减，即为所求．
【点睛】本题考查了数列新定义的问题，考查了数列的单调性及反证法。要求学生有较强的逻辑能力和计算能力.
2．（2022·上海徐汇·三模）记实数、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.
【答案】(1)数列不是“趋向递增数列”，数列是“趋向递增数列”，理由见解析
(2)，(3)证明见解析
【分析】（1）利用定义“趋向递增数列”判断数列、，可得出结论；
（2）求得，分、、、、、六种情况讨论，验证能否恒成立，综合可得出的取值范围；
（3）利用充分条件、必要条件的定义，利用反证法结合“趋向递增数列”的性质证明数列中没有，再证明出数列中没有时数列不是“趋势递增数列”.
(1)解：由于，记，
所以，
，
由于，不满足对任意均有，
所以数列不是“趋向递增数列”，
由于，记，
所以，
数列是“趋向递增数列”.
(2)解：.
当时，数列为单调递增数列，此时，满足题意，
当时，数列为常数列，不满足题意；
当时，数列为单调递减数列，此时，不满足题意；
当时，此时，满足题意；
当时，此时，不满足题意；
当时，此时，不满足题意，
综上所述，的取值范围是.
(3)证明：先证必要性：假设存在正整数使得，，
令.
因为、为正实数，且，所以，于是.
则数列从第项开始为：、、、、、、.
若为奇数，，，
与数列为“趋向递增数列”矛盾：
若为偶数，，，‘’与数列为“趋向递增数列”矛盾，
故假设不成立，所以数列为“趋向递增数列”的必要条件是中没有；
再证非充分：
首先，若中没有，构造数列：，，，，此时，
，，与“趋向递增数列”定义矛盾；
其次，证明数列中各项均大于.
下面利用数学归纳法证明.即证：，
①当时，，；
②假设当时，命题成立，即，.
当时，，.
因此，有对任意，均有.
当为偶数时，；
当为奇数时，，
所以对任意均成立.
因此，中没有是数列为“趋向递增数列”非充分条件.
所以数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义“趋势递增数列”，在证明第三问时，可充分采用反证法与数学归纳法结合充分条件、必要条件的定义来证明，并且可充分利用特例法来推出矛盾.
3．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知数列满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“级关联”．记与的前项和分别为．
(1)已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；
(2)若数列与成“2级关联”，其中，且有，求的值；
(3)若数列与成“级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当．
【答案】(1)不成“4级关联”，理由见解析，(2)，(3)证明见解析
【分析】(1)根据 “4级关联”的定义判断；(2)根据“4级关联”的可得，根据累加法即数列的周期性可求；(3)根据定义可得，再分别证明结论的充分性和必要性即可.
(1)由，可得
显然，等式不恒成立，举反例：时，有：左右．
(2)由可得：
利用累加法：
整理得：
由可知：且第一周期内有
所以
而又因为，故
(3)由已知可得
所以，
所以
（a）先说明必要性．
由为递增数列可知：
当时，，
所以 ，
当时， ，
由（*）式可知：，故，（必要性得证）
（b）再说明充分性．
考虑反证法．假设数列中存在两项满足，得到
由于结合，能够得到：
可知对于全体正整数都成立，这与存在一项矛盾！假设不成立
（充分性得证）
由（a）、（b），命题得证．
【点睛】本题解决的关键在于准确理解新定义，并结合定义对条件进行转化，从而解决问题.
4．（2022·上海交大附中模拟预测）设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为．
(1)判断：是否为“坠点数列”，并说明理由；
(2)已知满足，且是“5坠点数列”，若，求的值；
(3)设数列共有2022项且．已知．若为“坠点数列”且为“ 点数列”，试用表示．
【答案】(1)不是；理由见解析，(2)，(3)
【分析】（1）列出数列的前几项，再利用作差法判断数列的单调性，根据所给定义一一判断即可；
（2）首先可得，再依题意中只存在，即可得到当且仅当时，，其余均为，从而求出，再利用数列极限的概念计算可得；
（3）首先判断，利用反证法证明，即可得到，从而得解；
(1)解：对于，由于，
则存在，不满足定义，故不是坠点数列．
对于，容易发现，
即在前4项中只有．而对于起，
由于，即对于是恒成立的．
故是“3坠点数列” ．
(2)解：由绝对值定义，．
又因为是“5坠点数列”，则中只存在且．
则当且仅当时，，其余均为
故可分类列举：
当时，，
当时，，…，
分组求和知：
当时，，则
当时，
则当时，
则
(3)解：结论：
经过分析研究发现：
下利用反证法予以证明．不妨设，首先研究．
由于为“q坠点数列”，则只存在，即
而对于且，则有，即
故在中有且仅有一项，其余项均大于0
又因为为“p坠点数列”，则有且仅有
同时，，
这与是矛盾的，则且
则，
故．
5．（2022·上海市实验学校模拟预测）设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为．
(1)判断数列和数列是否为集合或中的元素？
(2)已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由．
(3)已知(其中为常数)，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合．
【答案】(1)，；(2)理由见解析.(3)
【分析】（1）根据，可得，从而，同理可知.
（2）由可得，对进行分情况讨论即可.
（3）由，令，判断的单调性，根据不等式的求解即可.
(1)，
∴
∴为集合中的元素，即．
，
∴
∴为集合中的元素，即．
(2)，
当时，对恒成立，此时，；
当时，当，，；
设为不超过的最大整数，令，，，此时，，．
(3)先由，得知，
，令，
，即；
当时，，于是，
当时，，于是；
∵，，
，，，，
∴有和项，共82项．
设满足不等式的的值组成的集合为,则
【考点4】数列与不等式
一、填空题
1．（2022·上海奉贤·二模）设项数为的数列满足：，且对任意，，都有，则这样的数列共有_____个.
【答案】31
【分析】根据列举出所有可能的数列，再结合、、、、同时成立，排除不满足条件的，即可得答案.
【详解】当，时，，
所以可能情况如下：
1、{一个1，三个0}：、、、，4个；
2、{两个1，一个和0 }：、、、、、、、、、、、，12个；
3、{一个，三个0}：、、、，4个；
4、{两个，一个1和0}：、、、、、、、、、、、，12个；
5、{四个0}：，1个；
6、{两个，两个1 }：、、、、、，6个；
7、{两个0，一个1 和}：、、、、、、、、、、、，12个；
综上，数列共有51个.
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
所以、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，20个不满足；
综上，满足要求的数列有31个.
故答案为：31
2．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数 ，正数数列满足，若对任意正整数n，不等式都成立，则实数的最小值为___________.
【答案】
【分析】根据题意，即为，即，令，则，从而可得函数的图象表示双曲线的上支，再根据的几何意义即可得出答案.
【详解】解：因为，则，
即为，
即，
令，则，
表示双曲线的上支，
而表示双曲线上两点连线的斜率，
当时，趋向于渐近线的斜率，
而双曲线的渐近线为，
所以，
所以，
即实数的最小值为.
故答案为：.
二、解答题
3．（2022·上海市市北中学高三期中）对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
(1)已知，，且，若数列和满足：，且，；
①若，求的取值范围；
②求证：数列是“拟等比数列”；
(2)已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．
【答案】(1)①；②证明见解析，(2)
【分析】（1）①根据基本不等式可求得的取值范围；
②利用数学归纳法证明出：，，然后利用不等式的性质可证得，即可证得结论成立；
（2）由题中条件，，，先求出的范围；再根据是“拟等比数列”，分类讨论和，利用参变量分离法结合数列的单调性即可得出结果.
(1)解：①因为，，且，，，
所以，的取值范围是；
②由题意可得，
则，即，
假设当时，，
则当时，，即，
所以，对任意的，，
所以，，，
即存在，使得，
所以，数列是“拟等比数列”.
(2)解：因为，，，
即，所以，
即，且有，
因为，则，所以，，
又因为数列是“拟等比数列”，故存在，使得，且数列为单调递减数列.
①当时，此时，
所以，，
因为，则，
因为数列在时单调递减，故，
而；
②当时，，则，
由，则，
因为数列在时单调递减，故.
由①②可得，即的取值范围是.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解数列不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
4．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知数列的前项和满足条件，其中.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，又对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）由已知，根据题意给的与的关系，分为和，通过递推做差构造等比数列，即可求解数列的通项公式；
（2）由第（1）问求解出的数列的通项公式带入中，借助裂项相消的求和方法去求解的和，在结合题意，求解对应的最大值即可.
(1)因为数列的前项和，①，
当时，，解得，
当时，②，
①②得：，即，所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
由等比数列的通项公式可得.
所以数列的通项公式为.
(2)由第（1）问可知，，所以，
令，
所以
因为，所以，
而恒成立，所以，
所以的取值范围为.
5．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知实数列满足：，点（在曲线上．
(1)当且时，求实数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列的前n项和，求的值；
(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意，构造等差数列，结合等差数列的通项公式即可求得；
（2）根据（1）中所求，求得，结合“”的定义，即可求得结果；
（3）由，结合递推公式求得，根据其大小关系，以及数列的极限存在，求得的取值范围，同时求得关于的表达式，结合作差法以及递推公式，即可证明.
(1)由题可知：，
故数列是公差为的等差数列，又，
则，故.
(2)由（1）可知：，
，
，
，
，
故.
(3)根据题意可得，则，又，
即，解得或；
又因为，由数列极限定义可知：，
结合可得：，
故关于的一元二次方程有实数根，
故，解得，又或，故；
由可解得：舍；
又，且，
故
所以；
又，
故
因为，且，故，
，
则，
故，
故，
综上所述：，即证.
【点睛】本题考察构造数列法求数列的通项公式，涉及等差数列通项公式的求解，以及数列新定义，数列的极限，数列中的证明问题，属综合困难题.
6．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，，求证：对任意的，都有；
(3)若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
【答案】(1)，，(2)证明见解析，(3)，理由见解析
【分析】（1）根据等差等比数列公式代入得到方程组，解得答案.
（2）计算得到，利用数学归纳法结合双勾函数单调性证明即可.
（3）验证的情况得到，再计算，得到，得到证明.
(1)，则；，则；，则.
解得，，，故，.
(2)，即，
当时，，故成立；
假设时成立，即；
当时，，函数在上单调递增，
，故，即时成立.
综上所述：对对任意的成立.
(3)当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
故，若存在满足条件，则.
，
，
两式相加得到：
，故.
， ，成立.
综上所述：存在使恒成立.
7．（2022·上海·高三专题练习）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达峰，而后实现碳中和．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和．2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%，2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%．
(1)设从2021年开始的年内火电发电总量为亿千瓦时，清洁电能总发电量为亿千瓦时，求，（约定时为2021年）；
(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？
【答案】(1)；.，(2)2025
【分析】（1）设2021年起，每年的火力发电量构成数列，每年的清洁电能发电量构成数列，则根据题意得数列是等比数列，公比为，首项为，数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列求和即可得答案；
（2）根据题意解即可得答案.
(1)解：设2021年度火电发电量为亿千瓦时，以后每年度的火力发电量为，
因为根据规划，2021年度以后，火电发电量每年比上一年减少20%，
所以2021年起，每年的火力发电量构成数列，且满足，，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，则，
设2021年度清洁电能发电量为亿千瓦时，以后每年度的清洁电能发电量为，
因为根据规划，2021年度以后清洁电能发电量每年比上一年增长25% ，
所以2021年起，每年的清洁电能发电量构成数列，且满足，，
所以数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，则，
(2)解：根据题意，假设第年清洁电能总发电量将会超过火电发电总量，
所以，即，
整理得，
令，则，即，解得或（舍）
所以，即
故当时，，
即从2025年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量
【真题模拟题专练】
1．（2020·上海高三专题练习）已知等差数列中，则数列的前n项和=___.
【答案】
【分析】利用两角差的正切公式可得到，从而可得到数列的通项公式，再代入求和化简即可得到结果。
【详解】，
又等差数列中，，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查数列求和，解题的关键是会逆利用两角差的正切公式，得到数列的通项公式，在求和的过程中巧用相消法得到数列的和，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.
2．（2020·上海高三专题练习）设为数列的前项和，其中是常数．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若且对于任意的成等比数列，求的值；
（3）设，若对一切正数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由，，求得，计算为常数即证．
（2）利用特殊值成等比数列可求得值；
（3）分类讨论，为偶数时，分组（并项）求和求得， 不等式可化为，令，用作差法求得的最小值（注意）．得，同样为奇数时，不等式化为，得，由此可得结论．
【详解】（1）当时，，当时，，
又，适合，所以，
所以为定值，所以数列为等差数列；
（2）因为，所以，且对于任意的成等比数列，
所以成等比数列，即成等比数列，
所以，解得；
（3）因为，所以，
①当为偶数时，
，
，
因为不等式恒成立，所以恒成立，
所以，令，则，
所以，所以
②当为奇数时，
，
，
因为不等式恒成立，所以，
所以，所以，所以实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的证明，数列不等式恒成立问题，考查分组（并项）求和法．在通项公式中出现时，可按的奇偶分类讨论，求得和把不等式进行转化，转化为求新数列的最值，求数列的最值可利用函数的单调性，可利用作差法（或作商法）求解．
3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），
其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
【答案】（1）935；（2）见解析.
试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；
（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.
试题分析：
（1）
（2），即第42个月底，保有量达到最大
，∴此时保有量超过了容纳量.
4．（2021·上海静安·一模）对于数列：若存在正整数，使得当时，恒为常数，则称数列是准常数数列．现已知数列的首项，且．
(1)若，试判断数列是否是准常数数列；
(2)当a与满足什么条件时，数列是准常数数列？写出符合条件的a与的关系；
(3)若，求的前项的和（结果用k、a表示）．
【答案】(1)取时，恒等于，数列是准常数数列；
(2)答案见解析；(3).
【分析】（1）将代入已知条件，即可求出；
（2）根据已知条件，对进行分类讨论，分别写出答案即可；
（3）由和分别求出，，…，，，，…，
，的值，将前项放在一起，后项中，从项起,每相邻两项的和为定值，这样即可求解.
(1)由得，，
当时，恒等于，数列是准常数数列，取即可；
(2)∵，
∴时，,
而当时，若存在，当时，，则必有，
若时，则，，此时只需，，
故存在，，取（取大于等于1的正整数也可以），数列是准常数数列.
若，不妨设，，则，
，若，则，
所以或，取，当时，（，取大于等于的皆可）
若，不妨设，，则，
所以，，，…，，
所以,若，则或，
取，当，（ ，取大于等于的皆可以）
存在和：，，；，；，
（其中,），（为某个整数加上时，数列是准常数数列）.
(3)∵,且，
∴，，…，，
，，，
，…，，.
所以
.
5．（2021·上海杨浦·一模）为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）.
(1)已知，求 ；
(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.
【答案】(1)，；(2)20毫克
【分析】（1）由，计算可得．
（2）由每次服药，药物在人体内的含量为本次服药量加上前次含量的可得递推关系式，变形后构造一个等比数列，求得通项公式后，由数列不等式恒成立及数列的单调性可得．
(1)，；
(2)依题意，，
所以，，
所以是等比数列，公比为，
所以，，
，，
数列是递增数列，且，所以，
即，
所以m的最大值是毫克．
6．（2021·上海黄浦·一模）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：
(1)求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）
(2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？
【答案】(1)；(2)2025.
【分析】（1）由题利用等差数列及等比数列求和公式可求该地区年通过填埋方式处理的垃圾总量为，即求；
（2）由题得，即得.
(1)设从2021年起该地区每年产生的生活垃圾量（单位：万吨）构成数列，每年通过环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，该地区年通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则
，
当时，，
∴2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾总量约万吨.
(2)由得，，
∴即，
∴，，，，
所以该地区在2025年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%.
7．（2021·上海长宁·一模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.
(1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；
(2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得；
（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得.
(1)解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元，
所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，
所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为，
所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，
因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元，
所以.
(2)解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加，
所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，
所以从第七年起，第年的养护保险费用为，
所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，
所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为.
经计算器计算得时，最小.
8．（2021·上海浦东新·一模）已知数列，若存在使得数列是递减数列，则称数列是“型数列”.
(1)判断数列，是否为“型数列”；
(2)若等比数列的通项公式为（），，其前项和为，且是“型数列”，求的值和的取值范围；
(3)已知，数列满足，（），若存在，使得是“型数列”，求的取值范围，并求出所有满足条件的（用表示）.
【答案】(1)是；(2)，；(3)，.
【分析】（1）根据型数列的新定义直接判断即可；
（2）分，和分别求出的前项和为，再判断是否存在满足递减即可求解；
（3）分和两种情况讨论，首先判断不符合题意，当时，先证明，进而可得以及符合题意的的值，再证明是唯一的即可.
(1)因为，“型数列的定义可知该数列是“型数列”.
(2)若，，不存在使得数列是递减数列，此时不是“型数列”；
若，，因为为递增数列，对于任意，存在，
当时，，递增，因此不存在，此时不是“型数列”；
若，，取，，递减；此时符合题意，综上所述，的取值范围.
(3)（i）若，则，，. 此时若存在使得是型数列，则，从而且，矛盾；
（ii）当时，首先证明（）. 用反证法.
由题意，此时，，. 因此，若存在，使得，则.
假设为使得的最小正整数，则，
故，而，与的最小性矛盾. 故（），从而对一切成立.
据此，可解得. 故当时，，
即：为递减数列. 于是为型数列.
再证明是唯一解. 用反证法.
假设存在使得是型数列.
若，则由得，当时，. 故，
不是递减数列，从而不是型数列.
同理可证时，也不是型数列，
综上，，相应的.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是理解数列的新定义，熟练判断数列的单调性，准确利用不等式放缩，选择反证法证明，问题即可巧妙解决.
9．（2021·上海闵行·一模）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”.
(1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；
(2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：；
(3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且.
【分析】（1）“子列”的和不可能为，所以不存在“完美互补子列”；
（2）利用反证法证明得解；
（3）先利用完美互补子列的定义证明当和时，都存在“完美互补子列”，再分类讨论证明.
(1)解：由题得数列各项的和为
由题得“完美互补子列”的和相等，所以每一个“子列”的和为是一个小数，
由于数列各项为整数，所以“子列”的和不可能为，
所以不存在“完美互补子列”.
(2)解：假设，
由题得数列的前100项和为,
所以不管在哪一个“子列”，都不可能，
所以假设不成立，所以.
(3)解：时，
，
不妨设中项为中项为
则中所有项与中所有的项的和均为，
所以时，数列存在完美互补子数列.
时，只需将中，中移到中，将放入中，将放入中，则此时，中的的和均在原来的基础上增加了，所以时，数列存在完美互补子数列.
下面证明.
当时，数列共有对完美互补子数列，在每一对完美互补子列中，
（1）假设在中，则将放入中，将中的移到中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.
（2）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.
（3）同理，假设在中，则将放入中，将放入中，再将放入中，此时中的的和均在原来的基础上增加了，仍然相等.
故对于时，中每一对完美互补子列，都至少有3种情况，
所以.
10．（2019·上海·华师大二附中三模）若无穷数列满足对所有正整数成立，则称为“数列”，现已知数列是“数列”.
（1）若，求的值；
（2）若对所有成立，且存在使得，求的所有可能值，并求出相应的的通项公式；
（3）数列满足，证明：是等比数列当且仅当是等差数列．
【答案】（1）或，（2），，（3）证明见解析
【分析】（1）根据已知条件列方程求解即可；
（2）先由已知猜想，再结合与正整数有关的命题的证明，通常考虑用数学归纳法即可得证；
（3）按数列是否为等差数列分类证明，可以用反证法来证明结论.
【详解】解：（1）由已知可得：，
又，即，
解得或；
（2）当时，，又，
则，则与已知矛盾，
即，
当，可得，，
猜想：，
证明：①当时，成立，
② 假设当，时，结论成立，即，
，
那么当时，，依然成立，
综上可得：；
（3）假设是等差数列，令，则，
即，可得,
则，化简整理得：成立,
因为且，则,则，则为非零的常数列的等差数列，从而得证，
若不是等差数列，则，（含变量的式子，非常数），
则，根据累加法可得常数，
故不可能是等比数列，
故是等比数列当且仅当是等差数列.
【点睛】本题考查了数学归纳法及分类讨论的数学思想方法，重点考查了反证法，属综合性较强的题型.
11．（2019·上海·复旦附中三模）定义：若数列满足，存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若非负数列满足，（），求证：1是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；
（3）若正项递增数列无上界，证明：存在，当时，恒有.
【答案】（1）存在，1；（2）见解析，极限1；（3）见解析.
【分析】（1）确定，得到上界的最小值.
（2）用数学归纳法证明，再证明数列单调递增，得到极限存在，最后计算极限.
（3）假设结论不成立，取，，推出矛盾，得到证明.
【详解】（1）易知：，
数列存在上界，上界中的最小值为1
（2）非负数列，先证明
当时：成立.
假设当时成立，即
当时：
即也成立
所以恒成立，1是非负数列的一个上界，得证.
数列单调递增
故数列的极限存在
设
（3）证明：假设，当时，恒有.
取满足正项递增数列无上界.
取，当时，
这与题设矛盾
假设不成立
故存在，当时，恒有.
【点睛】本题考查了三角函数的值，数列的递推公式，数列的单调性，数学归纳法，反证法，综合性强，技巧高，需要学生灵活应用各个知识和方法，意在考查学生的阅读理解能力，解决问题的能力.第10讲 数学归纳法与数列综合应用
【考点梳理】
一、数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1) (归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；
(2) (归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
注意：①应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法。
②由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异及联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡。
3、用数学归纳法证明与正整数有关的等式，常采用从一边开始并以另一边为目标进行推证的办法；用数学归纳法证明整除性问题，常采用配凑的办法；用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，常常需要运用不等式的性质以及比较法、放缩法、分析法、综合法等基本方法；用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，常常要运用几何图形的性质。
二、归纳——猜想——论证
“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个的值，寻找一定规律，猜想一个结论，然后用数学归纳法证明所猜想的结论正确”的解题方法．
理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．
三、数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
【解题方法和技巧】
1.数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）两边取到数，构造新数列法.
2.等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．
3.数列与函数常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．
4.数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．
5.＂新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
6.数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
【考点剖析】
【考点1】数学归纳法
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三期中）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022·上海·高三专题练习）用数学归纳法证明对任意都成立，则以下满足条件的的值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
4．（2022·上海·高三阶段练习）已知正整数数列满足：，则____________
5．（2020·上海·高三专题练习）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.
四、解答题
6．（2020·上海·高三专题练习）用数学归纳法证明：.
【考点2】数列综合应用
一、解答题
1．（2022·上海·高三阶段练习）治理垃圾是S市改善环境的重要举措．去年S市产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年的垃圾排放量为上一年的．
(1)写出S市从今年开始的年垃圾排放量与治理年数的表达式；
(2)设为从今年开始n年内的年平均垃圾排放量．如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趋势，则认为现有的治理措施是有效的；否则，认为无效，试判断现有的治理措施是否有效，并说明理由．
2．（2021·上海崇明·一模）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署．2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿．为了响应国家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米．
(1)到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积(以2021年为累计的第一年)将首次不少于475万平方米
(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于
3．（2021·上海市徐汇中学高三期中）某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0．5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．
(1)记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；
．
(2)从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？
4．（2021·上海·曹杨二中高三期中）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，2021年投入资金1000万元，以后每年投入比上年减少.预测显示，2021年当地旅游业收入为300万元，以后每年旅游业收入比上年增加20万元.根据预测，解答以下问题：
(1)从2021年至2030年，该地十年的旅游业收入共计多少万元？
(2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入？
5．（2021·上海·闵行中学高三开学考试）某企业2021年第一季度的营业额为亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加亿；该企业第一季度的利润为亿，以后每季度比前一季度增长4％．
（1）求2021年起前20季度营业额的总和；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％．
6．（2022·上海·模拟预测）流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.
（1）若，求11月1日至11月10日新感染者总人数；
（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.
【考点3】数列新定义
一、解答题
1．（2022·上海浦东新·二模）已知数列． 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”．
(1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；
(2)已知2022项的数列中，（）． 求使得为型数列的实数的取值范围；
(3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列． 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列．
2．（2022·上海徐汇·三模）记实数、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.
3．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知数列满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“级关联”．记与的前项和分别为．
(1)已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；
(2)若数列与成“2级关联”，其中，且有，求的值；
(3)若数列与成“级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当．
4．（2022·上海交大附中模拟预测）设有数列，若存在唯一的正整数，使得，则称为“坠点数列”．记的前项和为．
(1)判断：是否为“坠点数列”，并说明理由；
(2)已知满足，且是“5坠点数列”，若，求的值；
(3)设数列共有2022项且．已知．若为“坠点数列”且为“ 点数列”，试用表示．
5．（2022·上海市实验学校模拟预测）设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为．
(1)判断数列和数列是否为集合或中的元素？
(2)已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由．
(3)已知(其中为常数)，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合．
【考点4】数列与不等式
一、填空题
1．（2022·上海奉贤·二模）设项数为的数列满足：，且对任意，，都有，则这样的数列共有_____个.
2．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数 ，正数数列满足，若对任意正整数n，不等式都成立，则实数的最小值为___________.
二、解答题
3．（2022·上海市市北中学高三期中）对于数列，若存在正数，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
(1)已知，，且，若数列和满足：，且，；
①若，求的取值范围；
②求证：数列是“拟等比数列”；
(2)已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求的取值范围（请用、表示）．
4．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知数列的前项和满足条件，其中.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，又对一切恒成立，求的取值范围.
5．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知实数列满足：，点（在曲线上．
(1)当且时，求实数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，若表示不超过实数t的最大整数，令，是数列的前n项和，求的值；
(3)当，时，若存在，且对恒成立，求证：．
6．（2021·上海市建平中学高三阶段练习）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，.
(1)求数列、的通项公式；
(2)令，，求证：对任意的，都有；
(3)若数列满足，，记，是否存在整数，使得对任意的都有成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
7．（2022·上海·高三专题练习）科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达峰，而后实现碳中和．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和．2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%，2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%．
(1)设从2021年开始的年内火电发电总量为亿千瓦时，清洁电能总发电量为亿千瓦时，求，（约定时为2021年）；
(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？
【真题模拟题专练】
1．（2020·上海高三专题练习）已知等差数列中，则数列的前n项和=___.
2．（2020·上海高三专题练习）设为数列的前项和，其中是常数．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若且对于任意的成等比数列，求的值；
（3）设，若对一切正数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
3．（2017·上海·高考真题）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），
其中，，第个月底的共享单车的保有量是前个月的
累计投放量与累计损失量的差.
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？
4．（2021·上海静安·一模）对于数列：若存在正整数，使得当时，恒为常数，则称数列是准常数数列．现已知数列的首项，且．
(1)若，试判断数列是否是准常数数列；
(2)当a与满足什么条件时，数列是准常数数列？写出符合条件的a与的关系；
(3)若，求的前项的和（结果用k、a表示）．
5．（2021·上海杨浦·一模）为了防止某种新冠病毒感染，某地居民需服用一种药物预防.规定每人每天定时服用一次，每次服用m毫克.已知人的肾脏每24小时可以从体内滤除这种药物的80%，设第n次服药后（滤除之前）这种药物在人体内的含量是毫克，（即）.
(1)已知，求 ；
(2)该药物在人体的含量超过25毫克会产生毒副作用，若人需要长期服用这种药物，求m的最大值.
6．（2021·上海黄浦·一模）某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：
(1)求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）
(2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？
7．（2021·上海长宁·一模）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.
(1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；
(2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）
8．（2021·上海浦东新·一模）已知数列，若存在使得数列是递减数列，则称数列是“型数列”.
(1)判断数列，是否为“型数列”；
(2)若等比数列的通项公式为（），，其前项和为，且是“型数列”，求的值和的取值范围；
(3)已知，数列满足，（），若存在，使得是“型数列”，求的取值范围，并求出所有满足条件的（用表示）.
9．（2021·上海闵行·一模）将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{bn}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”.
(1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；
(2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：；
(3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且.
10．（2019·上海·华师大二附中三模）若无穷数列满足对所有正整数成立，则称为“数列”，现已知数列是“数列”.
（1）若，求的值；
（2）若对所有成立，且存在使得，求的所有可能值，并求出相应的的通项公式；
（3）数列满足，证明：是等比数列当且仅当是等差数列．
11．（2019·上海·复旦附中三模）定义：若数列满足，存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若非负数列满足，（），求证：1是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；
（3）若正项递增数列无上界，证明：存在，当时，恒有.

展开更多......

收起↑