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第11讲 平面向量
【考点梳理】
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 如a，
零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0
单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0 a0＝
共线(平 行)向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b 平行记作 a∥b
相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如＝a
相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二、向量的分解与向量的坐标运算
1.平面向量的基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
平面向量的数量积及其应用
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝.
③夹角：cos θ＝＝.
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
4.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【解题方法和技巧】
1.向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2；
(3)对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线 x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
6.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
7.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
【考点剖析】
【考点1】平面向量的实际背景及基本概念
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过向量模的运算公式，可以计算出，即，既可以得出答案.
【详解】，所以的夹角不超过，对于任意给定的，因为，满足的向量的取法共有，再让动起来，可得点对的个数是,
故选:C.
2．（2022·上海·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．；
B．若、非零向量且，则；
C．若且，则；
D．若，则有且只有一个实数，使得.
【答案】B
【分析】注意到零向量的符号应当是，可知A错误；对于B：利用向量的模的性质和数量积运算可以证明，可得B正确；考虑到的情况，得到C错误；考虑到，，可知D错误.
【详解】左边是向量的加法，结果是零向量，用表示，故A错误；
由、非零向量且，
两边平方可得，
即，所以，故B正确；
当时也有且，故C错误；
若，，不存在实数，使得，故D错误．
故选：B．
3．（2022·上海市嘉定区第二中学高三开学考试）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120 ，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】取中点，求出点轨迹方程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得．
【详解】设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上，
，，
又，所以，所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查圆上两动点与直线上动点间的“距离”的最小值问题，解题关键是取中点，把用表示，这样两动点转化为一个动点，求得点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可．
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.
【答案】
【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得相反向量的坐标及模长，即可求的坐标.
【详解】由相反向量为且模长为，
∴.
故答案为：
5．（2022·上海·高三专题练习）已知A(2，3)，B(1，4)，且=(sinx，cosy)，x，y∈，则x+y=____________.
【答案】或-
【详解】因为A(2，3)，B(1，4)，所以=(1，4)-(2，3)=(-1，1)，故=，所以sinx=-，cosy=，又x，y∈，所以x=-，y=±，从而x+y=或x+y=-.
故答案为或-
6．（2022·上海·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为1，则______．
【答案】
【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．
【详解】解：解：如图所示：
，，
．
故答案为：．
7．（2022·上海·高三专题练习）已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
【答案】－3
【分析】先根据向量共线把用和表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．
【详解】解：因为非零向量、、两两不平行，且，，
，
，解得
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.
8．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．
【答案】
【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解.
【详解】设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，的夹角为．如图所示．
根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值，
即 （点、分别是点、在直线上的射影点）；
同时根据的存在性，问题转化为求的最大值．
设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、，
则，
当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立．
所以，即所求实数的最大值是．
故答案为：
【点睛】关键点睛：把向量模长最值转化为点到直线的距离.
【考点2】平面向量的线性运算
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知半径为的圆上的一条动弦，且，为圆内接正三角形边上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设是动弦的中点，判断点的轨迹是以为圆心、半径为2的圆，根据向量的线性运算法则，表达，即可求解.
【详解】由题意，是半径为的圆上的一条动弦，设是动弦的中点，
则，故点的轨迹是以为圆心、半径为2的圆，
则
由是的中点，则，
则，由，则
因为是圆内接正三角形边上一动点，是动弦的中点，
所以当取点的轨迹与正三角形交点时，是最小值，
此时
故选：C
【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积运算求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型.
二、填空题
2．（2022·上海·高三专题练习）设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________
【答案】
【分析】取中点为，利用平面向量的加减法及数量积运算可推导出，利用数形结合法得出的取值范围，即可求出的取值范围.
【详解】设正六边形外接圆的圆心为,
正六边形的边长为,正六边形外接圆的半径为，
在正中，取中点为,则,
设中点为,则
，
，，
又，，，，
在中,中点为,根据垂径定理则,,
,
点在以为圆心，半径的圆上.
当在正六边形的顶点处，且三点共线时取；
当在正六边形边长中点，且三点共线时取；
又，，
，
.
故答案为：
3．（2022·上海·高三开学考试）设四边形为平行四边形，，，．若点满足，则_________
【答案】12
【分析】计算，则，根据向量运算法则计算得到答案.
【详解】，
.
故答案为：12.
4．（2022·上海·高三专题练习）已知向量，满足，，若存在单位向量，使得，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】分与符号同号与异号两种情况讨论，进而可求的范围，即可得最小值.
【详解】当与同号时，
所以，即，与共线时等号成立，
而，即，
又当向量，同向共线时，等号成立
所以
当与异号时，
所以，即，与共线时等号成立，
而，即，
又当向量，反向共线时，等号成立
所以
综上，，即最小值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：分与符号同号与异号两种情况讨论，结合向量数量积的运算律是解题关键
5．（2022·上海·高三专题练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.
【答案】
【分析】根据相反向量、向量模的概念，求得相反向量的坐标及模长，即可求的坐标.
【详解】由相反向量为且模长为，
∴.
故答案为：
6．（2022·上海·高三专题练习）在中，，，，则___________.
【答案】
【解析】利用，作为基底表示，，即可求出.
【详解】解：，
，
，
即，
又，
.
故答案为：.
7．（2022·上海·高三专题练习）在中，，，点在边上.若，，则的值为___________.
【答案】
【解析】设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值.
【详解】设，故，
即，
故，
，
所以 ，
两式相加可得，此式代入（1）式可得
或（舍去），
代入（1）式可得
故答案为：.
8．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.
【答案】
【分析】根据条件求解出、的值，根据，
利用向量的三角不等式形式：，求解出的范围.
【详解】因为且，所以；
又因为，所以；
由，所以；
根据可知：，
左端取等号时：三点共线且在线段外且靠近点；右端取等号时，三点共线且在线段外且靠近点，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的三角不等式的运用，难度较难.向量的三角不等式形式：已知向量，则，取左端等号时与反向，取右端等号时与同向.
9．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点、、，点P在△ABC三边围成的区域（含边界）内，若，则动点所构成的图形的面积为___________．
【答案】
【分析】先结合△ABC三边围成的区域（含边界）写出不等关系，表示出点P坐标，利用不等关系解出动点的可行区域，求面积即可.
【详解】由、、可知，直线的方程为，化简得，
直线的方程为，化简得，
直线的方程为，化简得.
△ABC三边围成的区域（含边界）如图所示，对应的不等关系为，
又，故，
要使点P在△ABC三边围成的区域（含边界）内，结合不等关系可知，解得，所围图形如图所示：
故动点所构成的图形为边长为1的等腰直角三角形，面积为.
故答案为：.
10．（2022·上海·高三专题练习）已知正六边形， 分别是对角线 上的点，使得，当___________时， 三点共线.
【答案】
【分析】连结AD，交EC于G点，根据正六边形的性质，表示出，然后根据，表示成，由共线定理求得参数r的值.
【详解】连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，，，G点为EC的中点，且，
则，
又，（），则，，
故，即
若B、M、N三点共线，由共线定理知，
，解得或（舍）
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用向量表示，从而根据，把向量表示成，若B、M、N三点共线，由共线定理可以求得参数.
11．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】连接，，设是线段的中点，连接，则有.设为和的夹角.求出 ,利用二次函数即得解.
【详解】解：连接，，设是线段的中点，连接，则有.
设为和的夹角.
则
，
，
（当即时取等）
因为，所以当时，有最小值.
，
（当即时取等）
当时，有最大值为3，
即有最大值3，所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型，再利用二次函数的图象和性质求解.
12．（2022·上海·高三专题练习）设向量满足，，若，，则的最小值为_______ .
【答案】
【解析】先由向量的数量积判断出为等边三角形，再计算出的表达式，由，得出，进行代换，最后转化为点与点之间的距离，即可求得.
【详解】解：，
，
解得：，
即，
为等边三角形，
，
又，即，
，
即，
，
上式可转化为求点与点之间的距离，
令，，，
即，
又的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将转化为求点与点之间的距离，再根据距离公式进行求解.
13．（2021·上海市金山中学高三阶段练习）设定义域为的函数的图象的为，图象的两个端点分别为、，点为坐标原点，点是上任意一点，向量，，且满足，又设向量，现定义“函数在上“可在标准下线性近似”是指恒成立，其中为常数．给出下列结论：
①、、三点共线；
②直线的方向向量可以为；
③函数在上“可在标准1下线性近似”；
④“函数在上“可在标准下线性近似”，则．
其中所有正确结论的序号为 ___．
【答案】①②④
【分析】根据题意得到得到①正确，计算得到得到轴，②正确，取，计算得到，③错误，，根据均值不等式得到答案.
【详解】，即，即，故、、三点共线，①正确；
，，，故，，故，即轴，即直线的方向向量可以为，②正确；
易知，，取，则，故，，故，即，③错误；
函数在上，易知，，故直线方程为：.
，
当且仅当，即时等号成立，故④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查了向量共线问题，方向向量，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，其中把向量模长转化为点的纵坐标相减是解题的关键.
14．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知且，则的最小值为_________.
【答案】
【分析】取OB中点D，连接AD，可得，根据题意，可得C、A、D三点共线，在中，求得AD长，结合图象，可得当时，有最小值，根据等面积法，即可得答案.
【详解】取OB中点D，连接AD，如图所示
所以，即，
因为，
所以C、A、D三点共线，
在中，，，
所以，
所以，
由图可得，当时，有最小值，
此时，
所以，即的最小值为.
故答案为：
15．（2021·上海市金山中学高三期中）＝（﹣1，x）与＝（﹣x，2）平行且方向相同，则x＝_________．
【答案】
【分析】根据向量平行得到，排除方向不同的值，得到答案.
【详解】＝（﹣1，x）与＝（﹣x，2）平行，则，解得，
当时，，方向相同，成立；
当时，，方向相反，不成立.
综上所述：.
故答案为：.
16．（2022·上海宝山·二模）已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为__．
【答案】
【分析】由三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由于是上的一动点(不包含两点)，
且满足，所以且，
以，
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
故答案为：
三、解答题
17．（2022·上海·高三专题练面上有个向量，其中至少有两个向量不共线，且任意个向量的和都与剩下的一个向量平行，求证：这个向量的和是零向量．
【分析】不妨设与不平行，依题意可得①且②，从而得到，即可求出，从而得证；
【详解】证明：不妨设与不平行.
由题意，有①且②.
①②左右两边分别加上，，得.
∵与不平行，
∴，即．代入①式即有
【点睛】本题考查平面向量的线性运算以及平面向量共线定理的应用，属于基础题.
18．（2022·上海·高三专题练习）已知O是线段外一点，若，．
（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据三角形重心性质以及中点公式的向量形式，可得，，即可用向量、表示出；
（2）根据（1）中结论可类比得到结论：设是的n等分点，
则．
【详解】（1）如图：
因为点、是线段的三等分点，所以，同理可得：，；
（2）层次1：
设是的二等分点，则；；
设、、是的四等分点，则；
设是的n等分点，则．
层次2：设是的n等分点，
；
层次3：设是的n等分点，
则；
证明如下：
．
19．（2022·上海·高三专题练习）点为平面上一点，有如下三个结论：
①若，则点为的______；
②若，则点为的______；
③若，则点为的______.
回答以下两个小问：
（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上.
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
（2）请你证明结论②.
【答案】(1)①重心;②内心;③外心. (2)证明见解析.
【分析】(1)对①,化为分析即可.
对②,通过运算证明即可证明点在的角平分线上,同理可证点在的角平分线上即可.
对③,先证明点为平面上一点,则满足,不全为0的点是唯一的,再论证当为外心时满足即可.
【详解】(1)对①,因为,故,取中点为,
则,故在边的中线上.同理在边的中线上,故为的重心.
对②,同解析(2).
对③,先证明点为平面上一点,则满足,不全为0的点是唯一的.
证明：假设还有一点满足,则有,即
,故,此时重合.
所以点是唯一的.
再证若为外心时, .
证明：因为
所以设的外接圆半径为则
即.
综上所述, 为外心.
(2)对,由正弦定理有.
故,故.
即
故,故在 的角平分线上,同理可证点在 的角平分线上.故为的内心.
【点睛】本题主要考查利用向量证明三角形的“四心”问题,需要根据对应的性质进行向量的运用化简,属于难题.
【考点3】平面向量的基本定理及坐标表示
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土绕制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮，地板砖品种非常多，图案也多种多样，如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一 以，为邻边作平行四边形，连接，，，，，三点共线，则，连接，易知，
所以，则可得；
解法二 先以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，并设，可得，，的坐标，再设，得解得，即可得解．
【详解】解：解法一 如图1，以，为邻边作平行四边形，连接，，，且，，三点共线，所以，则．
连接，由图易知，则，
所以，
所以，
解法二 如图2，以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，，，，所以，，．
设，则解得
所以，即，
故选：D．
【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，考查数形结合的思想和计算能力，解题的关键是由题意得，，，三点共线，从而得，进而可表示出，，或建立恰当的直角坐标系，属于中档题
2．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】建立直角坐标系，设，根据题中的式子列出方程，由点的几何意义即可求得的最小值.
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，’
设，则，，
，，
由题意知：，
即，
点在以为圆心，半径为的圆上，
又表示圆上的点到的距离，.
故选A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是数形结合，利用点的几何意义进行解答.
二、填空题
3．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______
【答案】
【分析】选取为基底，其他向量用基底表示再运算．
【详解】由题意
，
∴，∴．
故答案为：
4．（2022·上海·高三专题练习）在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由向量的线性运算得的关系式，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由题意，
，
，
因为在线段上，所以，，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
故答案为：．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若(其中，分别是轴，轴正方向的单位向量)，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为.给出以下结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为.
其中所有正确的结论的序号是___________.
【答案】①②③⑤.
【分析】在①中，；
在②中，；
在③中，；
在④中，；
在⑤中，设，则，化为，从而满足条件的圆的斜坐标方程为.
【详解】①∵，，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，
∴，故③正确；
④，故④错误；
⑤若，以为圆心，1为半径的圆满足，
设，则，
化为，
∴.
故满足条件的圆的斜坐标方程为.故⑤正确.
故答案为：①②③⑤.
6．（2022·上海·高三专题练习）设A、B、C是图像上不同的三点,且若A(1,-1),B(1,1),则的值为_______.
【答案】3
【分析】首先设，根据条件代入坐标得，根据求.
【详解】设 ，，
， ，
，
解得：或.
当时，点重合，故舍去.
故答案为：3
【点睛】本题考查根据向量的坐标求参数，意在考查公式的理解和使用，属于基础题型.
7．（2022·上海·高三专题练习）在直角三角形ABC中，，，，E为三角形ABC内一点，且，若，则的最大值等于___________.
【答案】1
【分析】先以直角建系,将转化为,然后结合基本不等式求最值.
【详解】在直角三角形ABC中,,
故以点为原点,以为轴正方向建系:
则,
所以,
因为,所以,
又
所以(当且仅当时等号成立),
所以,
解得,
故答案为:1.
【点睛】本题主要考查向量,考查基本不等式,需要学生有一定的计算推理能力.一般在向量中遇见直角,垂直等条件时,可以考虑建系应用坐标求解.
8．（2021·上海市奉贤中学高三开学考试）如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，设，，由P、M、Q三点共线，设，求得，代入计算知，构造函数，，结合函数的单调性求得最值.
【详解】如图所示，建立直角坐标系，则，，，，，
又Q是线段CD上的动点，设，
则，可得
设，，
由P、M、Q三点共线，设
利用向量相等消去可得：，
令，，则在上单调递减，
故当时，取得最大值
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查向量的坐标运算，求解向量坐标运算问题的一般思路：
向量的坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算可用坐标进行，实现了向量坐标运算完全代数化，将数与形紧密的结合起来，建立直角坐标系，使几何问题转化为数数量运算，考查学生的逻辑思维与运算能力，属于较难题.
9．（2022·上海·高三专题练习）已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为______
【答案】6
【分析】不妨设，，，根据可得的四个不同的轨迹（圆），因此的最大值即为四个不同的圆的任意两者交点的总数.
【详解】根据条件不妨设，，，
，
当，表示圆心为原点，半径为1的圆，
，表示圆心为原点，半径为2的圆，如图这两个圆用红色线表示，
当，表示圆心为，半径为1的圆，
，表示圆心为，半径为1的圆，如图这两个圆用蓝色线表示，
由条件可知点既要在红色曲线上，又要在蓝色曲线上，由图象可知，共有6个交点，即是最大值是6.
故答案为：6
【点睛】本题考查向量背景下圆与圆的位置关系，解题的关键是建系后把向量的模的存在性问题转化为圆与圆的交点问题，本题属于难题.
10．（2022·上海·高三专题练习）已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是_________．
【答案】
【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．设直线的方向向量为（x，y），则0，可得tanθ．
【详解】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．
设直线的方向向量为（x，y），则x﹣y＝0，
∴tanθ，解得θ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线经过坐标原点，是的一个法向量，已知数列满足：对任意的正整数，点均在上，若，则的值为____
【答案】-32
【分析】由直线的法向量可得直线的斜率和直线的方程，求得，则数列表示公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】由题意，直线经过坐标原点，且是直线的一个法向量，可得直线的斜率为，
所以直线的方程为，
又由点在直线上，所以，即，
所以数列表示公比为的等比数列，可得，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等比数列的定义和通项公式的运用，以及直线直线的法向量的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
三、解答题
12．（2022·上海·高三专题练习）在平行四边形中，，，点是线段的中点，线段与交于点.
（1）若，求点的坐标；
（2）当时，求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆去掉与直线的两个交点.
【解析】（1）由为平行四边形，可知的坐标，进而求得点的坐标；
（2）由三点共线，存在唯一的实数使得，整理可得，又三点共线，存在唯一的实数使得，整理得，可得，且，即，，设点的坐标为，点的坐标为，根据所求关系用表示，又因为，可得，又点不在上，所以，故点的轨迹方程为.
【详解】（1）由为平行四边形，可知，
又，所以；
（2）由题意三点共线，
存在唯一的实数使得，
所以，
，
又三点共线，
存在唯一的实数使得，
所以，
，
因为与不平行，
由平面向量基本定理，可得，且，
解得，
于是，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，，
所以，即，
又因为，所以，
即，
整理得，
又点不在上，所以，
综上所述，点的轨迹方程为.
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【考点4】平面向量的数量积
一、单选题
1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）在中，，．若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算，将转化为，结合数量积的运算，即可求得答案.
【详解】由题意可得,
即,
即，即，
解得，
故选：B
2．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）若平面单位向量，，…，满足对任意的，都有，则正整数n的最大值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由题意可知，单位向量的夹角最小时，正整数n有最大值，利用向量数量积的定义求出此时n的值即可.
【详解】依题意，设单位向量的夹角为，因为，
所以，即，
所以，根据题意，正整数n的最大值为，
故选：C.
3．（2022·上海静安·模拟预测）若向量满足，，，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】，求得，由即可求夹角.
【详解】由题可知，，
∴，
∴向量与的夹角为.
故选：C.
4．（2022·上海·模拟预测）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题
命题 当变化时，的最大值为；
命题：当变化时，不存在最小值；
则下列选项中，正确的是（ ）
A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题
C．、都为真命题 D．、都为假命题
【答案】A
【分析】设，，可求得点的轨迹方程为，求得，然后求出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可得出的最小值，可得出关于的函数关系式，利用换元法结合双勾函数的单调性可求得的最大值和最小值，即可得出结论.
【详解】不失一般性，设，，，
可得，所以点的轨迹方程为，
所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且，解得，
因为即，
因为，所以，
，
因为，则，
所以，当时，取得最小值，
且，
令，可得，
所以，，
令，其中，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，
任取、且，即，
所以，，
因为，则，，则，
所以，函数在上为减函数，同理可证函数在上为增函数，
令，其中，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
又因为，即，所以.
故为真命题，为假命题，
故选：A.
二、填空题
5．（2022·上海·高三专题练习）正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点，且，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】与的交点为它们的中点，这样，结合表示出，计算数量积易得取值范围．
【详解】连接交于点，则正方形中，由于，得，∴，，
，
因为正方形的边长为，所以，
所以.
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积．解题关键是的中点也是的中点，从而只要用表示出，就易求得取值范围．
6．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量与夹角的正切值，则___________.
【答案】
【分析】设，，根据向量数量积的定义可得，结合已知条件有，进而可得，即可求其极限.
【详解】若，且是单位向量，，
所以，，即，
所以，又，
，则，
综上，，故.
故答案为：.
7．（2022·上海普陀·二模）如图，动点在以为直径的半圆上（异于A，），，且，若，则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】，把向量内积通过投影转化为三角函数问题
【详解】
设,则,作交OC的延长线于点
由余弦定理
所以,即
,因为,所以
所以
所以
故答案为 ：
8．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知，,且、的夹角为，则______．
【答案】
【分析】根据求出，根据即可求出.
【详解】因为，，且、的夹角为，
∴，
∴.
故答案为：.
9．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知，，是空间单位向量， ，若空间向量满足，（，），，则的最大值是________．
【答案】
【分析】由，及模长公式，求得，从而求得，将问题化为求得结果.
【详解】由题知，
则
则
，当且仅当时，等号成立.
故答案为：
10．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）在中，若，，则面积的最大值为___________.
【答案】
【分析】首先由数量积公式得，再结合三角形面积公式化简为，最后利用向量模的公式化简，结合基本不等式，即可求解面积的最大值.
【详解】由条件可知，即，
，
因为，
即，得，当且仅当b=c时等号成立
所以,
即面积的最大值为.
故答案为：
11．（2022·上海·高三专题练习）已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】不妨设，，则根据条件可得：， ，根据柯西不等式得到，令，利用二次函数的单调性可得.
【详解】由题意知：不妨设，，
则根据条件可得：
，，
根据柯西不等式得：
因为，
， ，
当且仅当时取等号；
令，则，又，则，
所以，当时，，即；
，而，所以当时，，即，故的取值范围是.
【点睛】关键点睛：设，，则根据条件可得：，
，利用柯西不等式和换元法把问题转化为求二次函数的最值问题是解决本题的关键.
12．（2022·上海市莘庄中学高三期中）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_____．
【答案】13
【分析】设，，则；建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出的坐标和、，利用基本不等式计算的最大值．
【详解】由所以；
设，，因为，所以；
以为原点，以为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，，，
因为，所以点；
所以，，，
所以；
由基本不等式可得，
所以，
当且仅当即时取等号，
的最大值为13．
故答案为：13．
【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．
13．（2022·上海徐汇·二模）在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
【答案】或
【分析】根据平面向量的线性运算法则，分别把用表示出来，再用建立方程，解出的值.
【详解】由，得，即，
，
在中，已知，，，
所以
，
即，解得或
所以实数的值为或.
故答案为：或.
14．（2022·上海市七宝中学高三阶段练习）已知平面向量，，且，实数的值为 _____．
【答案】
【分析】表示出，其与数量积为0，可算得出.
【详解】解：因为，，所以
又，则
故.
故答案为：.
15．（2022·上海市青浦高级中学模拟预测）向量，向量，若两向量夹角为钝角，则x的取值范围为______．
【答案】
【分析】由题意可得，且与 不共线，由此求得的取值集合.
【详解】∵向量，，若向量与向量夹角为钝角，
∴，且与 不共线，
即 且，
解得
故答案为：.
16．（2022·上海·高三专题练习）若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________
【答案】
【分析】根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】设直线的一个方向向量为
由直线方程的一个法向量为，
所以，令，则
所以直线的一个方向向量为，
，设直线的倾斜角为，
由，
所以直线的倾斜角为：.
故答案为：
【点睛】本题考查了直线的法向量、方向向量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
三、解答题
17．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，函数的图象为曲线.、是上的两点，在第一象限，在第二象限.设点、.
(1)若到和到直线的距离相等，求的值；
(2)已知，证明：为定值，并求出此定值（用表示）；
(3)设，且直线、的斜率之和为.求原点到直线距离的取值范围.
【答案】(1)，(2)证明见解析，，(3)
【分析】（1）根据函数表达式可设，结合两点间距离公式可得，整理即可求解；
（2）设，，则可得到，，由平行关系可得，整理即可证明；
（3）设直线、的斜率分别为、（），代入函数表达式可得，的坐标，即可得到直线的表达式，利用点到直线距离公式，进而求解.
(1)设（），由题意，.
而，由知，，故.
(2)设，（，），则，，
故由，得，即，
由于，故，
所以为定值.
(3)由题，设直线、的斜率分别为、（），
则，，
故直线的方程为，
设，则，
所以到直线距离为，
当时，，故.
【考点5】平面向量的应用
一、单选题
1．（2020·上海·高三专题练习）顶点为，，，则为（ ）．
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】利用证得三角形是直角三角形.
【详解】依题意可知，
，与不恒等，
所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：A
【点睛】本小题主要考查利用向量进行垂直关系的判断，属于基础题.
2．（2022·上海·高三专题练习）在四边形ABCD中，，且满足 ，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长．
【详解】，则四边形为平行四边形，
设都是单位向量，，则，，，则，所以，
因此由知，且是的平分线，
因此四边形是菱形，而，
∴，
故选：D.
3．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解．
【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，
不妨设，，则，，
由可得，即，
∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上，
同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上．
显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大．
设圆心为，则，∴，则，
∴，
设与轴交于点，由对称性可知轴，且，
∴，
即当与的夹角最大时，
故选：C
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）设向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围________
【答案】
【分析】与的夹角为钝角，等价于，且与不共线，转化为其向量的数量积，与共线坐标关系，即可求解.
【详解】与的夹角为钝角，，
当与共线时，.
故答案为:
【点睛】本题考查向量数量积的应用，用向量的数量积正负来判断钝角（或锐角），要注意排除共线情况，属于基础题.
5．（2022·上海市建平中学高三期中）已知平面上的两个向量、满足，，若，且，则的最大值为_______________.
【答案】
【分析】由题意得出，记，得出为线段上靠近的三等分点，且在以为圆心，为半径的圆上，由数量积公式得出的最大值.
【详解】因为，且
所以，记
则为线段上靠近的三等分点，且在以为圆心，为半径的圆上
因为
所以（当，重合时取等号）
故答案为：
6．（2022·上海交大附中模拟预测）已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】不妨设，，则将向量问题转化为解三角形问题，利用极限位置一一分析即可；
【详解】解：不妨设，，则向量问题可转化为如下解三角形问题：
由，为锐角，
同时由余弦定理，
而实际上表示的是OA的延长线．
故，而，则与的夹角．
可知，随着的增大，也在增大，则在减小，
由题意，只需求所趋近的最大值和最小值即可．
第一种极限情况，当与A重合时，
第二种极限情况，当位于OA的延长线无穷远处时，可看作与平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，，
由于恒成立，则，则k的最小值为．
故答案为：
7．（2022·上海·高三专题练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转
记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________.
①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；
④单位向量经过变换后得到向量的概率为.
【答案】①②③
【分析】分别对4个选项进行分类讨论，根据讨论结果判断正确或错误即可；
【详解】对于①，单位向量经过奇数次变换后，情况如下：
1.最终状态为逆时针旋转，此时，单位向量与向量同向；
2.最终状态为顺时针旋转，此时，单位向量与向量逆向；
所以，单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；①对；
对于②，单位向量经过偶数次变换后，情况如下：
1.最终状态为逆时针旋转，与向量不同向；
2. 最终状态为顺时针旋转，与向量不同向；
3. 最终状态为逆时针旋转，与向量同向；
4. 最终状态为顺时针旋转，与向量不同向；
所以，单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；②对
对于③，单位向量经过变换后得到向量，
由于与属于逆向关系，即单位向量，
经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个变换和4个变换，
才能保证模长不会经过变换改变，因此，③对；
对于④，单位向量经过变换后得到向量，
经过变换后要保证模长不变，因此只能有2个变换和4个变换，才能保证模长不会经过变换改变，
并且经过变换后最终要得到单位向量逆时针转，
故，其中4次变换要回到单位向量，
由③可得，单位向量经过变换后得到向量，
中有且只有2个变换，满足题意的这2个变换的情况有：
1.两次变换；2. 两次变换；3. 和各一次变换；然后，
据此再讨论这3种情况下的变换，明显地，④错；
故答案为：①②③
【点睛】关键点睛：解题的关键在于根据题意，分类讨论各种成立的情况，属于难题；
8．（2022·上海·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
【答案】
【分析】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0，然后可算出答案.
【详解】物体处于平衡状态，所以水平方向的合力为0
所以，所以
故答案为：
三、解答题
9．（2022·上海·高三专题练习）已知，，，，，，边上一点，这里异于．由引边的垂线是垂足，再由引边的垂线是垂足，又由引边的垂线是垂足．同样的操作连续进行，得到点，，．设，如图所示.
（1）求的值；
（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：，问该同学这个结论是否正确并说明理由；
（3）用和表示．
【答案】（1）（2）结论正确，证明见解析；（3），．
【分析】（1），根据向量数量积公式，求出，即可求解；
（2）只需在中，求出，判断是否成立即可，在中，由余弦定理求出，根据已知得出，进而求出，即可得到；
（3）由已知可得，，分别通过，，，将用表示，结合，得到递推关系，进而求出的通项公式.
【详解】
（1）∵，
∴．
∴．
（2）该同学的结论正确，证明如下：
由（1）及已知，得，，．
由余弦定理知．
又，则．
∴．
即．
（3）由已知．
∵，∴．
∴
．
即，也即．
∴，，
是以为首项，公比为的等比数列，
，
∴，．
【点睛】本题以三角形为背景，考查了向量的几何运算及向量与数列的综合应用，考查数形结合思想以及计算求解能力，综合性较强，属于较难题．
【考点6】平面向量新定义
一、填空题
1．（2020·上海·高三专题练习）设向量，，规定两向量，之间的一个运算为，若已知，，则________.
【答案】
【分析】直接根据定义的新运算法则计算得到答案.
【详解】设，则，即，解得，
故.
故答案为：.
【点睛】本题考查了向量运算的新定义，意在考查学生的计算能力和理解应用能力.
二、解答题
2．（2021·上海交大附中高三期末）对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知 均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
【答案】（1）；（2）是向量组，，，…，的“向量”，理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据“向量”的定义，列不等式，求的取值范围；（2）分为奇数和偶数两种情况说明是向量组，，，…，的“向量”；（3）首先由 均是向量组，，的“向量”，变形得到，设由由条件列式，变形为，转化为求的最小值.
【详解】解：（1）由题意，得：，
则
解得：
（2）是向量组，，，…，的“向量”，证明如下：
，
当为奇数时，
，故
即
当为偶数时，
故
即
综合得：是向量组，，，…，的“向量”
（3）由题意，得，，即
即，同理，
三式相加并化简，得：
即，，所以
设，由得：
设，则依题意得：，
得
故
所以
当且仅当时等号成立
故
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为.
3．（2022·上海·高三专题练面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.
（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；
（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求．
【答案】（1）；（2）.
试题分析：（1）利用坐标法，设，，可知是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列，利用向量相加求得答案；（2）设 ，，则数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，利用数量积公式，得到答案．
试题解析：
（1）设，.
由，得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列；数列是以首项，公差为的等差数列.
.
（2）设 ，.
由，从而，.数列是以1为首项，公差为3的等差数列，从而.数列是常数列，.
由得，，又，，数列是以1为首项，公比为2的等比数列；数列是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有，.……10分
令………①
…………②.
①-②得，，得
令
从而
点睛：本题考查数列的综合应用．本题设计了向量的背景，定义出“等差向量列”和“等比向量列”，学生在接触新题型的时候，要充分联系等差数列和等比数列，再结合向量的坐标法进行思考，即可得到解题思路．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（ ）
A．命题（1）和（2）均为真命题
B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C．命题（1）和（2）均为假命题
D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
【答案】A
【分析】时，题干条件变形得到，由向量基本定理得到满足条件的点存在且是唯一；当时，条件变形得到，得到三点共线，与已知矛盾，故（2）为真命题.
【详解】当时，，
所以，
所以，
因为不共线，由向量的基本定理得：满足条件的点存在且是唯一，①正确；
当时，，即，所以∥，
因为，有公共点，所以三点共线，
这与题干条件是平面内不共线的三点相矛盾，故满足条件的点不存在，
（2）为真命题.
故选：A
2．（2022·上海静安·模拟预测）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果.
【详解】由图象可知，，
则，
因为棱长为，，
所以，，
即的不同值的个数为，
故选：A
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意易知，将表示为，再结合数量积的运算律计算即可．
【详解】解：由题意可知正方形的边长为2，
则，
∵，，
设，的夹角为，则，
.
故选：C.
4．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（ ）
A．0个 B．2个 C．有限个，但多于2个 D．无限多个
【答案】A
【分析】首先判断出为的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理得出，进而得出结果.
【详解】设，先证，
由知，为的重心，
又，，
，，
，，，
同理，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，基本不等式的应用，解本题的关键是判断出点为三角形的重心，属于中档题.
5．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成，的形式，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平面向量加法的平行四边形法则求出的最大值和最小值即可．
【详解】解：以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
设圆O的半径为1，则OM＝1，过M作MN∥OB，交x轴于N，则△OMN为等腰直角三角形，
，
，此时．
同理可得：，此时．
∴的最大值为，最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
6．（2022·上海市实验学校模拟预测）在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
取中点，由极化恒等式得，，
所以当，最小，则，即．
故选C．
二、填空题
7．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知边长为1的正三角形的边上有（）个点，使得（，）.则 __________ .
【答案】
【分析】建立坐标系，利用向量的坐标运算求解，然后再求极限.
【详解】设BC边的中点为M，以为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.
则的坐标为.故，，
得.
故答案为：.
8．（2022·上海黄浦·二模）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范围为____________．
【答案】
【分析】设、所成角为，计算出向量在方向上的投影，即可求出的范围，即可求出答案.
【详解】因为，，设、所成角为，
向量在方向上的投影为：，
因为，所以，所以.
故答案为:。
9．（2022·上海虹口·二模）已知向量，满足，，，则_________.
【答案】
【分析】根据向量模的计算公式即可解出．
【详解】由可得，，即，解得：，所以．
故答案为：．
10．（2022·上海·模拟预测）已知平面向量满足，记向量在、方向上的投影分别为x、y，在方向上的投影为z，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解.
【详解】由题意，设，
则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
11．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知平面向量，满足，设与的夹角为，且，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】利用数量积运算，结合，，由，得到，然后令，得到，解得，利用导数法求解.
【详解】因为平面向量，满足，
所以，
，
因为，
所以，
，
，
设，
则，即，
即，
，即，
又，则，
所以，
解得，
当时，，则y在上递减，
所以，
当时，，
令，得，
当时，，当时，，
又y(1)=-3, ,
所以，
综上：
故的取值范围为，
故答案为：
12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
【答案】
【分析】以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.
【详解】如图1，令，，，则，取AB中点M .
由，可得，
，
所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.
由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.
由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，
由正弦定理可知，即，
当时，圆G半径取得最大值.
当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，
取得最大值，此时，
所以.
如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），
当时，圆G半径取得最小值.
，即M、G两点重合.取得最小值为2.
则时，.
故向量的模取值范围是
故答案为：
13．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则_____________．
【答案】2
【分析】设、、，作D关于OB对称的点，如图，根据向量的线性运算化简题中的等式为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求出，利用余弦的二倍角公式求出，最后根据计算即可.
【详解】如图，设，则点C在线段OB上运动，
所以，
设，则，
所以，
所以，即，
作D关于OB对称的点，设，
则，所以
在中，，由余弦定理，得
，又，
所以，得.
故答案为：2
14．（2022·上海·模拟预测）已知向量，，若，则________.
【答案】2
【分析】由向量平行得，再由正切两角和公式计算即可.
【详解】由可得，，得，
而.
故答案为：2.
15．（2022·上海·模拟预测）已知向量，满足，，若存在不同的实数，使得，且则的取值范围是__________
【答案】
【分析】设，变形（数量积的运算）得是方程的两根，利用韦达定理求得，则可表示为的函数，由的范围可得结论，在题中注意的范围的确定．
【详解】，，
设（），由得，
整理得，
同理，
所以是方程的两根，由得，
时方程无解，故且，，
，，
所以， ，
所以，
由且得的范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设后通过数量积的运算把是方程的两根，这样可用韦达定理求得，从而求得目标关于的函数，属于难题．
16．（2022·上海市实验学校模拟预测）向量在向量 方向上的投影为________.
【答案】
【分析】根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.
【详解】依题意得，因此向量在向量方向上的投影为.
【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.
17．（2022·上海市实验学校模拟预测）在平面四边形中，已知，，，，则的值为________
【答案】10
【详解】因为AB+BC=DA+DC=5，所以将四边形放入椭圆内，A、C为左右两个焦点，不妨令椭圆方程为，设，则2a=5，
由焦半径公式得，两式相减得，
而.
点睛：本题考查了四边形内两对角线向量的数量积，本题在解答时依据题目条件将其转化为椭圆内的四边形，其中两个点作为焦点，然后由焦半径公式计算出另外两个点的关系式，最后求出向量的结果，有一定难度.
三、解答题
18．（2022·上海静安·二模）设函数.
(1)若，且函数与的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；
(2)设，，在锐角△ABC中，内角对应的边分别为，若，，求△ABC的面积.
【答案】(1)或，(2)
【分析】（1）根据对数函数的性质讨论出整点，再根据整点来求参即可；
（2）通过化简求值得出角度，再根据向量数量积的定义和三角形的面积公式可得结果.
(1)交点为，即，，
又因为，所以取，所以或.
(2)，因为，得，
即或，或，又为锐角三角形，所以.
，解得.所以.
19．（2022·上海·模拟预测）已知 为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于 的动点，且满足（，），设直线 的斜率分别为 .
（1）求证：点 三点共线；
（2）当，时，若点 都在第一象限，且直线的斜率为，求的面积；
（3）若 分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【分析】（1）由，得到，由此可证明出点、、三点共线；
（2）设点、，求出，，由，可得出，从而可求出的值；
（3）由，可得，再由，得出，，由此能求出的值.
【详解】解：（1）证明：因为，为椭圆与双曲线的公共点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，
又因为，
所以，即，
所以点，，三点共线.
（2）设，，直线的方程为，
联立，解得，，
所以，同理，解得，，解得，
则，又因为，，
联立，解得，
所以点到直线的距离，
则.
（3）因为，所以，
则，，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
同理，而，
又，所以，
同理，所以.
20．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知向量和向量，且.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.
【答案】（1）最小正周期为，最大值为2；（2）2.
【分析】由整理可得：；（1）根据正弦型函数的最小正周期和最值的求解方法直接求得结果；（2）利用求得，利用正弦定理求得结果.
【详解】由得：
则：
（1）最小正周期为：
当时，
（2）由得：，则
由正弦定理可知：，即
【点睛】本题考查三角函数中的正弦型函数的最小正周期、最值的求解、解三角形中的正弦定理的应用，涉及到平面向量共线定理、辅助角公式的应用.
21．（2022·上海市实验学校模拟预测）如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？
【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元
试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.
试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，
即，

=
当且仅当，即时等号成立，
所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米
（2）在(1)的条件下，因为．
由
得

，
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法二：在中，

在中，

在中，
=
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，
,即，设
由，求得， 所以
所以，
元
所以，建水上通道还需要万元．第11讲 平面向量
【考点梳理】
一、平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 如a，
零向量 长度等于零的向量；其方向不确定 记作0
单位向量 给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0 a0＝
共线(平 行)向量 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 向量a与b 平行记作 a∥b
相等向量 同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量 如＝a
相反向量 与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量 记作－a
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
二、向量的分解与向量的坐标运算
1.平面向量的基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
平面向量的数量积及其应用
1.两个向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.
(2)范围：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.
(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
2.向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)，作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.
＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.
3.向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义：
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝＝.
③夹角：cos θ＝＝.
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
4.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
【解题方法和技巧】
1.向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2；
(3)对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线 x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
4.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
6.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
7.求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
【考点剖析】
【考点1】平面向量的实际背景及基本概念
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·上海·高三专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．；
B．若、非零向量且，则；
C．若且，则；
D．若，则有且只有一个实数，使得.
3．（2022·上海市嘉定区第二中学高三开学考试）设A、B为圆上的两动点，且∠AOB=120 ，P为直线l：3x – 4y – 15=0上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.
5．（2022·上海·高三专题练习）已知A(2，3)，B(1，4)，且=(sinx，cosy)，x，y∈，则x+y=____________.
6．（2022·上海·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为1，则______．
7．（2022·上海·高三专题练习）已知非零向量、、两两不平行，且，，设，，则______.
8．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．
【考点2】平面向量的线性运算
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知半径为的圆上的一条动弦，且，为圆内接正三角形边上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2022·上海·高三专题练习）设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________
3．（2022·上海·高三开学考试）设四边形为平行四边形，，，．若点满足，则_________
4．（2022·上海·高三专题练习）已知向量，满足，，若存在单位向量，使得，则的最小值为_________.
5．（2022·上海·高三专题练习）设向量，是与方向相反的单位向量，则的坐标为__________.
6．（2022·上海·高三专题练习）在中，，，，则___________.
7．（2022·上海·高三专题练习）在中，，，点在边上.若，，则的值为___________.
8．（2022·上海·高三专题练习）已知平面向量、满足，，设，则________.
9．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点、、，点P在△ABC三边围成的区域（含边界）内，若，则动点所构成的图形的面积为___________．
10．（2022·上海·高三专题练习）已知正六边形， 分别是对角线 上的点，使得，当___________时， 三点共线.
11．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是___________.
12．（2022·上海·高三专题练习）设向量满足，，若，，则的最小值为_______ .
13．（2021·上海市金山中学高三阶段练习）设定义域为的函数的图象的为，图象的两个端点分别为、，点为坐标原点，点是上任意一点，向量，，且满足，又设向量，现定义“函数在上“可在标准下线性近似”是指恒成立，其中为常数．给出下列结论：
①、、三点共线；
②直线的方向向量可以为；
③函数在上“可在标准1下线性近似”；
④“函数在上“可在标准下线性近似”，则．
其中所有正确结论的序号为 ___．
14．（2021·上海市吴淞中学高三阶段练习）已知且，则的最小值为_________.
15．（2021·上海市金山中学高三期中）＝（﹣1，x）与＝（﹣x，2）平行且方向相同，则x＝_________．
16．（2022·上海宝山·二模）已知分别是边的中点，是线段上的一动点(不包含两点)，且满足，则的最小值为__．
三、解答题
17．（2022·上海·高三专题练面上有个向量，其中至少有两个向量不共线，且任意个向量的和都与剩下的一个向量平行，求证：这个向量的和是零向量．
18．（2022·上海·高三专题练习）已知O是线段外一点，若，．
（1）设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；
（2）如果在线段上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
19．（2022·上海·高三专题练习）点为平面上一点，有如下三个结论：
①若，则点为的______；
②若，则点为的______；
③若，则点为的______.
回答以下两个小问：
（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上.
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
（2）请你证明结论②.
【考点3】平面向量的基本定理及坐标表示
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土绕制而成，质坚、耐压、耐磨、防潮，地板砖品种非常多，图案也多种多样，如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2022·上海市控江中学高三阶段练习）如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______
4．（2022·上海·高三专题练习）在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________.
5．（2022·上海·高三专题练习）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若(其中，分别是轴，轴正方向的单位向量)，则点的斜坐标为，向量的斜坐标为.给出以下结论：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，以为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为.
其中所有正确的结论的序号是___________.
6．（2022·上海·高三专题练习）设A、B、C是图像上不同的三点,且若A(1,-1),B(1,1),则的值为_______.
7．（2022·上海·高三专题练习）在直角三角形ABC中，，，，E为三角形ABC内一点，且，若，则的最大值等于___________.
8．（2021·上海市奉贤中学高三开学考试）如图所示，在直角梯形ABCD中，已知，，，，M为BD的中点，设P、Q分别为线段AB、CD上的动点，若P、M、Q三点共线，则的最大值为__.
9．（2022·上海·高三专题练习）已知是平面内两两不同的向量，满足，且 (其中)，则的最大值为______
10．（2022·上海·高三专题练习）已知直线的一个法向量是，则的倾斜角的大小是_________．
11．（2022·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线经过坐标原点，是的一个法向量，已知数列满足：对任意的正整数，点均在上，若，则的值为____
三、解答题
12．（2022·上海·高三专题练习）在平行四边形中，，，点是线段的中点，线段与交于点.
（1）若，求点的坐标；
（2）当时，求点的轨迹方程.
【考点4】平面向量的数量积
一、单选题
1．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）在中，，．若，则（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）若平面单位向量，，…，满足对任意的，都有，则正整数n的最大值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2022·上海静安·模拟预测）若向量满足，，，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
4．（2022·上海·模拟预测）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题
命题 当变化时，的最大值为；
命题：当变化时，不存在最小值；
则下列选项中，正确的是（ ）
A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题
C．、都为真命题 D．、都为假命题
二、填空题
5．（2022·上海·高三专题练习）正方形的边长为2，点和分别是边和上的动点，且，则的取值范围为________．
6．（2022·上海市松江二中高三开学考试）已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量与夹角的正切值，则___________.
7．（2022·上海普陀·二模）如图，动点在以为直径的半圆上（异于A，），，且，若，则的取值范围为__________.
8．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知，,且、的夹角为，则______．
9．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知，，是空间单位向量， ，若空间向量满足，（，），，则的最大值是________．
10．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）在中，若，，则面积的最大值为___________.
11．（2022·上海·高三专题练习）已知向量的模长为1，平面向量满足：，则的取值范围是_________.
12．（2022·上海市莘庄中学高三期中）已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值为_____．
13．（2022·上海徐汇·二模）在中，已知，，，若点是所在平面上一点，且满足，，则实数的值为______________．
14．（2022·上海市七宝中学高三阶段练习）已知平面向量，，且，实数的值为 _____．
15．（2022·上海市青浦高级中学模拟预测）向量，向量，若两向量夹角为钝角，则x的取值范围为______．
16．（2022·上海·高三专题练习）若直线方程的一个法向量为，则此直线的倾斜角为________
三、解答题
17．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知，函数的图象为曲线.、是上的两点，在第一象限，在第二象限.设点、.
(1)若到和到直线的距离相等，求的值；
(2)已知，证明：为定值，并求出此定值（用表示）；
(3)设，且直线、的斜率之和为.求原点到直线距离的取值范围.
【考点5】平面向量的应用
一、单选题
1．（2020·上海·高三专题练习）顶点为，，，则为（ ）．
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
2．（2022·上海·高三专题练习）在四边形ABCD中，，且满足 ，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2022·上海奉贤·二模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）设向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围________
5．（2022·上海市建平中学高三期中）已知平面上的两个向量、满足，，若，且，则的最大值为_______________.
6．（2022·上海交大附中模拟预测）已知向量，其中且．设与的夹角为，若对于任意，总有，则的最小值为__________．
7．（2022·上海·高三专题练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种变换和4种变换
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
：模变为原来的倍，同时顺时针旋转；
模变为原来的倍，同时逆时针旋转；
模变为原来的倍，同时顺时针旋转
记集合，若每次从集合中随机抽取一种变换，每次抽取彼此相互独立，经过次抽取，依次将第次抽取的变换记为，即可得到一个维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是__________.
①单位向量经过奇数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
②单位向量经过偶数次变换后所得向量与向量同向的概率为；
③若单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个变换；
④单位向量经过变换后得到向量的概率为.
8．（2022·上海·高三专题练习）两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则与大小之比为___________．
三、解答题
9．（2022·上海·高三专题练习）已知，，，，，，边上一点，这里异于．由引边的垂线是垂足，再由引边的垂线是垂足，又由引边的垂线是垂足．同样的操作连续进行，得到点，，．设，如图所示.
（1）求的值；
（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：，问该同学这个结论是否正确并说明理由；
（3）用和表示．
【考点6】平面向量新定义
一、填空题
1．（2020·上海·高三专题练习）设向量，，规定两向量，之间的一个运算为，若已知，，则________.
二、解答题
2．（2021·上海交大附中高三期末）对于一组向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“向量”.
（1）设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围；
（2）若，向量组，，，…，是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知 均是向量组，，的“向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，…满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值.
3．（2022·上海·高三专题练面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”.
（1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示；
（2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求．
【真题模拟题专练】
一、单选题
1．（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（ ）
A．命题（1）和（2）均为真命题
B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C．命题（1）和（2）均为假命题
D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
2．（2022·上海静安·模拟预测）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．4 D．8
3．（2022·上海市实验学校模拟预测）如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，则存在横坐标的点、、有（ ）
A．0个 B．2个 C．有限个，但多于2个 D．无限多个
5．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为O，并且，，若将点O到正八角是16个顶点的向量都写成，的形式，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·上海市实验学校模拟预测）在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知边长为1的正三角形的边上有（）个点，使得（，）.则 __________ .
8．（2022·上海黄浦·二模）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范围为____________．
9．（2022·上海虹口·二模）已知向量，满足，，，则_________.
10．（2022·上海·模拟预测）已知平面向量满足，记向量在、方向上的投影分别为x、y，在方向上的投影为z，则的最小值为_________．
11．（2022·上海·复旦附中模拟预测）已知平面向量，满足，设与的夹角为，且，则的取值范围为______．
12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
13．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知平面内不同的三点，满足，若，的最小值为，则_____________．
14．（2022·上海·模拟预测）已知向量，，若，则________.
15．（2022·上海·模拟预测）已知向量，满足，，若存在不同的实数，使得，且则的取值范围是__________
16．（2022·上海市实验学校模拟预测）向量在向量 方向上的投影为________.
17．（2022·上海市实验学校模拟预测）在平面四边形中，已知，，，，则的值为________
三、解答题
18．（2022·上海静安·二模）设函数.
(1)若，且函数与的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；
(2)设，，在锐角△ABC中，内角对应的边分别为，若，，求△ABC的面积.
19．（2022·上海·模拟预测）已知 为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于 的动点，且满足（，），设直线 的斜率分别为 .
（1）求证：点 三点共线；
（2）当，时，若点 都在第一象限，且直线的斜率为，求的面积；
（3）若 分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.
20．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知向量和向量，且.
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）已知的三个内角分别为，若有，，，求的长度.
21．（2022·上海市实验学校模拟预测）如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？

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