资源简介

第14讲 双曲线
【考点梳理】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图　形
性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【解题方法和技巧】
1.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．
2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略
在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1．
3.圆锥曲线的弦长
（1）圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
（2）圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
【考点剖析】
【考点1】双曲线的定义
一、单选题
1．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．5
【答案】A
【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.
【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以．
故选：A
2．（2022·上海·高三专题练习）下列四个选项中正确的是（ ）
A．关于的方程()的曲线是圆
B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支
D．双曲线与椭圆有相同的焦点
【答案】D
【分析】A. 由圆的一般方程判断；B.由椭圆的定义判断； C.由双曲线的定义判断；D.由双曲线和椭圆的焦点判断.
【详解】A. 当时，方程()表示的曲线是圆，故错误；
B. 设复数所对应的点A，B，复数所对应的点C，方程表示点C到点AB的距离和为2a，当时，轨迹是椭圆，故错误；
C.设为两个不同的定点，为非零常数，若，当时，动点的轨迹为双曲线的一支，故错误；
D.因为双曲线，所以，所以其焦点坐标为和，椭圆，，所以其焦点坐标为和，故正确；
故选：D
3．（2022·上海市建平中学高三期中）设、是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，∠是△的最小内角，且，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知及双曲线的性质可得，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数a、c的齐次方程，进而可得a、b、c的数量关系，写出渐近线方程.
【详解】由∠是△的最小内角，
根据双曲线性质知：，则，
又，可得，而，，
所以，则，
所以，故，则渐近线为.
故选：B
4．（2022·上海·高三专题练习）设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设,所求式表示,利用双曲线的定义进行转化后，利用距离三角不等式即可求得最小值.
【详解】，
设,上式表示,由于双曲线的左焦点为,
双曲线的实轴,,
,
,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为.
故选：B
二、填空题
5．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知椭圆：与双曲线：有相同的左焦点和右焦点，P是T与在第一象限内的公共点，设，，则方程的解为___________.
【答案】8或4
【分析】根据椭圆与双曲线的共同焦点得关系，再结合两者定义求得，解方程可得结论、
【详解】由题意，即，
又由椭圆方程和双曲线方程得，解得，即，
题中方程为，或4．
故答案为：8或4 ．
6．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________.
【答案】9
【分析】先由已知条件可知双曲线的两个焦点为两个圆的圆心,再利用平面几何知识把转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离,结合双曲线的定义即可求的最大值.
【详解】，，，则
故双曲线的两个焦点为，，
，也分别是两个圆的圆心，半径分别为，
所以，
则
，
故答案为：9
7．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则___________.
【答案】6
【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出即可得到答案.
【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为、，可知两曲线共焦点，
设，由定义有：
或.
故答案为：6.
三、解答题
8．（2021·上海交大附中高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知， ，动点满足，动点的轨迹记为.
（1）求曲线的方程；
（2）若点也在曲线上，且，求的面积；
（3）是否存在常数，使得对动点恒有成立？请给出你的结论和理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在满足题意，证明见解析.
【分析】（1）根据双曲线定义，结合焦点坐标，写出双曲线方程；
（2）设，根据条件写出，代入双曲线方程，解得两点坐标，从而求得面积；
（3）不妨设在第一象限，则，，设，表示出斜率，，证得，从而.
【详解】（1）根据定义动点的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线右支，故曲线右支的方程为
（2）设，则且，故
因为，均在曲线上，所以
当时，，的面积为；
当时，，的面积为；
综上，的面积为
（3）当时，易知，，若存在，则.
不妨设在第一象限，则，，
设，则，，
即，综上，存在满足题意.
【考点2】双曲线标准方程
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）确定了标准方程的形式后，已知曲线上一点的坐标就能确定其方程的是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆或双曲线
【答案】C
【解析】由椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的形式可判断其结果.
【详解】解：因为椭圆和双曲线的标准方程中含有2个待定的系数 ，所以要确定其方程需要2个条件，
而抛物线的标准方程中只含有1个待定的系数，所以只需1个条件即可，也就是已知曲线上一点的坐标就能确定其方程，
故选：C
【点睛】此题考查了椭圆、双曲线、抛物线的方程的确定，属于基础题.
2．（2020·上海·高三专题练习）方程表示双曲线，则实数的取值范围为
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】根据双曲线的标准方程的结构特征，对分母正负分类讨论即可.
【详解】因为方程表示双曲线，
所以或，解得或.
故选：D
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，同时考查含绝对值不等式的解法及分类讨论思想，属于基础题.
3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
【答案】C
【分析】求出参数t的范围，从而确定x和y的范围，消去参数t化为普通方程即可判断形状．
【详解】由得，∴，
由得，即，即，
即参数方程化为普通方程是)，它表示的是双曲线的一部分．
故选：C．
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）若双曲线的一个焦点为，则实数__________．
【答案】3
【分析】根据双曲线方程即可得解.
【详解】双曲线的一个焦点为，
所以且，
所以.
故答案为：3
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______．
【答案】
【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到，，根据题意列出方程，求出的值.
【详解】化为标准方程：，
则，故，则可得：，
解得：，
故答案为：
6．（2022·上海市控江中学高三开学考试）焦点在轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为___________．
【答案】
【分析】利用已知条件求出，，然后求解，即可得到双曲线方程．
【详解】解：焦点在轴上，焦距为6，所以；
且经过点可得，又，所以，
双曲线的标准方程为：．
故答案为：．
7．（2022·上海交大附中高三期中）已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为______．
【答案】
【分析】首先求出直线与轴的交点坐标，即可得到，再根据双曲线的方程表示出渐近线方程，结合两直线平行斜率相等，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：对于直线：，令，解得，所以双曲线的一个焦点为，
双曲线的渐近线为，
依题意且又，解得，，
所以双曲线方程为；
故答案为：
8．（2020·上海·高三专题练习）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程是________.
【答案】
【解析】根据椭圆定义得到，故焦点的轨迹方程为双曲线的下支，计算得到答案.
【详解】根据椭圆定义知：，即，故，
故焦点的轨迹方程为双曲线的下支，，，故，
故轨迹方程为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了双曲线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定是解题的关键.
三、解答题
9．（2021·上海·高三专题练习）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据双曲线的定义可知轨迹为双曲线的右支，从而可得轨迹方程；（2）当直线斜率不存在时，可求得；当直线斜率存在时，假设直线方程，代入可整理得到一元二次方程；根据有两个正实根可构造出不等式组，求得斜率；将利用坐标运算表示为符合韦达定理的形式，代入整理后，结合可求得；综合两种情况可得所求最小值.
【详解】（1）
由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支
，，
的方程为：
（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：
此时，
②当直线斜率存在时，设直线方程为：
代入双曲线方程可得：
可知上式有两个不等的正实数根
解得：
由得：
综上所述，的最小值为
【点睛】本题考查根据双曲线的定义求解双曲线方程、直线与双曲线综合应用中的最值问题的求解；易错点是忽略双曲线仅为右半支的情况，导致求解错误；求解最值问题的关键是能够将所求式子通过韦达定理来进行表示，利用韦达定理代入变为关于斜率的函数，从而结合斜率的范围求得最值.
【考点3】双曲线的焦点、焦距
一、填空题
1．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知双曲线的参数方程为（是参数），则该双曲线的焦点坐标为___________．
【答案】
【分析】将参数方程化为普通方程，由普通方程可求得焦点坐标.
【详解】由双曲线参数方程可得其普通方程为：，，
双曲线的焦点坐标为.
故答案为：.
2．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则a=___________.
【答案】
【分析】求出抛物线的焦点坐标，然后求解即可．
【详解】解：抛物线的焦点，与双曲线的一个焦点重合，
可得，解得.
故答案为：.
3．（2022·上海市进才中学高三期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为____________
【答案】
【分析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得，从而即可求得双曲线的焦距.
【详解】解：因为为双曲线，所以，
又双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，
所以，，
所以该双曲线的焦距，
故答案为：.
【考点4】双曲线的范围
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）设点、均在双曲线上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据向量的运算，化简得，结合双曲线的性质，即可求解.
【详解】由题意，设为的中点，
根据向量的运算，可得，
又由为双曲线上的动点，可得，
所以，
即的最小值为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
二、填空题
2．（2022·上海·高三专题练习）设点、均在双曲线：上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为________.
【答案】4
【分析】由向量的运算即可得到，再根据双曲线的性质即可求解.
【详解】解：为的中点，
.
故答案为：.
【考点5】双曲线的顶点、数轴、虚轴
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【分析】由条件求出双曲线的方程，然后可得答案.
【详解】因为双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为
所以，所以，所以双曲线的方程为
所以其渐近线方程为和
故选：A
二、填空题
2．（2022·上海·高三专题练习）双曲线的顶点到其渐近线的距离为________
【答案】
【分析】先由双曲线方程得到其顶点坐标，与渐近线方程，再由点到直线距离，即可求出结果.
【详解】因为双曲线的顶点为，渐近线方程为：，
即，
因此顶点到渐近线的距离为：.
故答案为
【点睛】本题主要考查双曲线顶点到渐近线的距离，熟记双曲线的性质，以及点到直线距离公式即可，属于基础题型.
3．（2021·上海交大附中高三阶段练习）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为______.
【答案】2
【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，求得圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，可得a，b的关系，即可得到的值．
【详解】的一渐近线x＋ay＝0，被圆(x－2)2＋y2＝4所截弦长为2，
所以圆心到直线距为，即 ，a＝1.所以双曲线的实轴长为2.
故答案为：
4．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线C：（，）的实轴与虚轴长度相等，则C：（，）的渐近线方程是______.
【答案】
【分析】根据实轴与虚轴的定义可得，根据双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】依题意得，即，
所以C：（，）的渐近线方程是.
故答案为：
【点睛】本题考查了双曲线的实轴，虚轴，渐近线，属于基础题.
三、解答题
5．（2021·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；
（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据题意，写出双曲线的左顶点，求出直线的方程，联立求得三角形顶点坐标，之后利用三角形的面积公式求得结果.
（2）设直线的方程为，通过直线与已知圆相切，得到，通过求解.证明.
（3）当直线垂直轴时，直接求出到直线的距离为.当直线不垂直轴时，设直线的方程为：，（显然），推出直线的方程为，求出，，设到直线的距离为，通过，求出.推出到直线的距离是定值.
【详解】（1）根据题意可得的左顶点为，
设直线方程为，
与另一条渐近线联立求得交点坐标为，
所以对应三角形的面积为；
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，
故，即，
由得，
设，，则，，
则，
故；
（3）当直线ON垂直于x轴时，，，
则O到直线MN的距离为．
当直线不垂直于轴时，
设直线的方程为（显然），
则直线的方程为.
由与椭圆方程联立，
得，，所以.
同理.
设O到直线MN的距离为d，
则由，
得．
综上，O到直线MN的距离是定值.
【点睛】该题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
【考点6】等轴双曲线
一、单选题
1．（2020·上海·高三专题练习）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设C：－＝1．
∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，
∴|AB|＝2＝4，
∴a＝2，∴2a＝4．
∴C的实轴长为4．
二、填空题
2．（2020·上海·高三专题练习）等轴双曲线的焦点坐标是________.
【答案】，
【解析】由等轴双曲线关于直线对称，可求出双曲线的顶点坐标，进而求出，和的值，可得出结果.
【详解】等轴双曲线的对称轴为直线，
联立得或，
故双曲线的顶点坐标为：和，
故，，
∴焦点坐标是和，
故答案为：，.
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，得到，和的值是解题的关键，属于基础题.
三、解答题
3．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高三阶段练习）已知曲线.
（1）画出曲线C的图像；
（2）若直线与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；
（3）若，Q为曲线C上的点，求的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）当时，；当时，．利用等轴双曲线和单位圆即可得出，如图所示．
（2）若与有两个公共点，利用图形即可得出．若与恰有一个公共点时，直线与曲线也有两个公共点，联立方程，令即可得出．
（3）分与两种情况，利用两点间的距离公式和二次函数的单调性即可得出．
【详解】解：（1）当时，，
当时，．如图所示．
（2）若与有两个公共点，则，，．
若与恰有一个公共点时，直线与曲线也有两个公共点，
，
，，
解得．
的取值范围是．
（3）当时，
由得，当时．
当时，，
当时．
由于
的最小值是．
【考点7】双曲线的渐近线
一、填空题
1．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）若双曲线.上存在四个不同的点 ，使四边形为菱形，则的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由菱形的特征，结合双曲线的渐近线的斜率，列式，即可求解.
【详解】由四边形为菱形，对角线互相垂直平分，可得两条对角线过原点，且垂直，
所以，且，得.
故答案为：
2．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线的渐近线方程为，且，则双曲线的方程为___________.
【答案】或##或.
【分析】根据双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，再根据，求得，即可得出答案.
【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为，
则可设双曲线的方程为，即，
因为，
所以，解得，
所以双曲线的方程为或.
故答案为：或.
3．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________.
【答案】
【解析】设双曲线的半焦距为，求得双曲线的渐近线方程可得，，的关系，求出的三条边，运用余弦定理可求值．
【详解】设双曲线的半焦距为，
由双曲线的渐近线方程，可得，
则，
在中，，，
由余弦定理可得
．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是看到双曲线的焦半径，要马上联想到双曲线的定义解题.这是圆锥曲线的一个解题技巧，要注意熟练运用.
4．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知，是双曲线的左 右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点A满足（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为___________.
【答案】
【分析】设，，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，满足，可得，由两点的距离公式，可得所求渐近线方程．
【详解】解：设，，渐近线方程为，的对称点为，则，解得，，因为点满足，所以，即，又，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为；
故答案为：
5．（2022·上海市实验学校高三开学考试）设双曲线的左、右焦点为、，P为该双曲线上一点，且，若，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】
【分析】根据题意，得到，，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】解：，，故，，
在中，利用余弦定理得到：，化简整理得到：，
又，故渐近线方程为：.
故答案为： .
二、解答题
6．（2020·上海·高三专题练习）（1）求与共渐近线且焦距为8的双曲线方程；
（2）定点到上的点最近距离为，求，并求双曲线上到点距离为的点的坐标.
【答案】（1）或；（2）时；时.
【解析】（1）根据共渐近线可设方程，再根据焦距列等量关系，解得结果；
（2））设为上的点，根据两点间距离公式列函数关系式，结合点在双曲线上，转化为一元二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系讨论最小值取法，进而确定以及对应点坐标.
【详解】（1）设双曲线方程为.
若，则，，，∴.
若，则，，，∴.
因此，所求方程为或.
（2）设为上的点.
则（或），
对称轴.
若，则当时，.
解得（负舍），此时；
若，则当时，，解得（舍），此时.
【点睛】本题考查根据渐近线求双曲线方程、利用二次函数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
【考点8】双曲线的离心率
一、填空题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又，
故答案为：
2．（2021·上海·高三专题练习）已知双曲线的离心率e是2，则此时的最小值是_____.
【答案】
【详解】试题分析：由双曲线的离心率是，可得，所以，所以，则，当且仅当，即时等号成立.
考点：双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质、基本不等式求最值、双曲线的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据双曲线的离心率，得到，代入利用基本不等式求最值是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.
3．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，则m= ______.
【答案】2或
【详解】双曲线当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，
可得c2=a2+b2=3+2m，双曲线的离心率为，所以
当焦点在y轴时，a2=-m-1，b2=-m-2，可得c2=a2+b2=-3-2m，所以
故答案为2或-5．
点睛：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，因为没有指出焦点在哪个轴上，所以讨论两种情况，要抓住双曲线方程的特征得出，即可得解
二、解答题
4．（2021·上海松江·一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为，
(1)求双曲线的方程；
(2)若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围；
(3)若过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由离心率及渐近线方程求出即可得双曲线方程；
（2）联立直线与双曲线方程，消元得方程，分类讨论，当方程为一元一次方程时不符合题意，当方程为一元二次方程时利用判别式求解即可;
（3）假设存在P，计算，根据韦达定理化简，当满足时，为常数.
(1)由题意可知，，
因为，
所以，
所以双曲线的方程为；
(2)联立得，
当时，
此时易知时，直线与双曲线没有公共点，不符合题意，
所以，且，
即，
所以，
所以，
解得，
所以；
(3)设，
所以，
当斜率不存在时，可知不符合，所以设直线，
所以
，①
联立，得，
所以 ②，
把②代入①化简得：，
所以当时，得，
所以存在定点，使得.
【考点9】双曲线的应用
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）在平面上，将等轴双曲线的右支和它的两条渐近线、以及两条直线和围成的封闭图形记为D，则D绕轴旋转一周而成的几何体的体积为（ ）(提示:祖暅原理)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对称性将几何体分为上下两部分，由已知中过作几何体的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出几何体的体积即可．
【详解】双曲线的渐近线方程为，
记绕轴旋转一周所得的几何体为，根据对称性分为上下两部分，
过作几何体上半部分的水平截面，
则截面面积，
利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为高为2的圆柱的体积，
∴的体积，
故选A.
【点睛】本题考查了几何体的体积计算问题，也考查了双曲线的简单几何性质应用问题，正确理解题意是解题的关键，是中档题．
二、填空题
2．（2021·上海·复旦附中模拟预测）一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太阳与这颗彗星的距离分别是6(亿千米)和3(亿千米)的时候，这颗彗星与太阳的连线所在直线与双曲线的实轴所在直线夹角分别为和，则这颗彗星与太阳的最近距离是___________.
【答案】2
【分析】设出双曲线方程，根据已知表示出坐标，由题建立方程即可求得，得出所求.
【详解】如图，设，，，
设双曲线的方程为，半焦距为，
将代入双曲线可得，则，①
又，即，
代入双曲线得②
联立①②，结合可得，
解得或（因为，故舍去），
，
则这颗彗星与太阳的最近距离是.
故答案为：2.
3．（2021·上海·高三专题练习）设是双曲线的动点，直线（为参数）与圆相交于两点，则的最小值是_________．
【答案】3.
【分析】先分析直线与圆的方程，得到直线过圆心，再将变为
，转化为动点到的距离的最小值.
【详解】设圆心为，并且直线过，则
又，，又,则．
故答案为：3
【点睛】本题是直线参数方程、直线与圆位置关系、向量、圆锥曲线的综合问题，分析出直线过圆心，向量式转化化简是突破点，难点.
三、解答题
4．（2021·上海·模拟预测）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）
【答案】（1），；（2），点位置北偏东.
【分析】（1）求出，，的值即可求得双曲线方程，求出直线的方程，与双曲线方程联立，即可求得点坐标；
（2）分别求出以、为焦点，以，为焦点的双曲线方程，联立即可求得点的坐标，从而求得，及点位置．
【详解】（1）由题意可得，，所以，
所以双曲线的标准方程为，
直线，联立双曲线方程，可得，，
即点的坐标为，．
（2）①，则，，所以，
双曲线方程为；
②，则，，所以，
所以双曲线方程为，
两双曲线方程联立，得，，
所以米，设与轴夹角为，则，利用计算器求得，
∴点位置北偏东．
【真题模拟题专练】
一．选择题（共2小题）
1．（2016 上海）关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（　　）
A．焦距相等，渐近线相同
B．焦距相等，渐近线不相同
C．焦距不相等，渐近线相同
D．焦距不相等，渐近线不相同
【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．
【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，
可得焦点为（±，0），即为（±2，0），
渐近线方程为y＝±x；
的焦点在y轴上，
可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y＝±2x．
可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的焦距和渐近线，注意确定双曲线的焦点位置和渐近线方程的求法，属于基础题．
2．（2022 虹口区二模）已知双曲线C的参数方程为（t为参数），则此双曲线的焦距等于（　　）
A．2 B．4 C． D．
【分析】将双曲线的参数方程化为普通方程，即可求出焦距．
【解答】解：由可得，，
所以c2＝a2+b2＝4+4＝8，即，
所以双曲线的焦距为．
故选：D．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
二．填空题（共16小题）
3．（2022 上海）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 　6　．
【分析】根据双曲线的性质可得a＝3，实轴长为2a＝6．
【解答】解：由双曲线﹣y2＝1，可知：a＝3，
所以双曲线的实轴长2a＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题．
4．（2022 上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 　[1，+∞）　．
【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合x1x2＞y1y2，可得＞0，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得．
【解答】解：设P2的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支，由x1x2＞y1y2，
得x1x2﹣y1y2＞0，即＞0恒成立，
∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°，
∴其中一条渐近线y＝x的斜率≤1，
∴a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．
5．（2019 上海）已知数列{an}满足an＜an+1（n∈N*），Pn（n，an）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|PnPn+1|＝　　．
【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，
法二：根据向量法，当n→+∞时，PnPn+1与渐近线平行，PnPn+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．
【解答】解：法一：由﹣＝1，可得an＝，
∴Pn（n，），
∴Pn+1（n+1，），
∴|PnPn+1|＝，＝，
∴求解极限可得|PnPn+1|＝，
方法二：当n→+∞时，PnPn+1与渐近线平行，PnPn+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，
故PnPn+1＝＝
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，属于中档题．
6．（2022 长宁区二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线C的左支交于点A．若，则双曲线C的渐近线方程为 　　．
【分析】由已知可得||＝||＝2c，由过F2且斜率为作直线，可得cos∠PF2F1＝，进而由余弦定理可得c＝3a，可求双曲线C的渐近线方程．
【解答】解：由，得（+） （﹣）＝0，
∴2﹣2＝0，∴||＝||＝2c，由双曲线的定义知，|AF2|＝2a+2c，
因为直线AF2的斜率为，所以tan∠PF2F1＝，可得cos∠PF2F1＝，
∴＝，解得c＝3a，可得＝2，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，以及向量的数量积的运算，属中档题．
7．（2022 徐汇区三模）已知一簇双曲线，设双曲线En的左、右焦点分别为、，Pn是双曲线En右支上一动点，的内切圆Gn与x轴切于点An（an，0），则a1+a2+ +a2022＝　　．
【分析】由题意画出图形，由三角形内切圆的性质可得an＝，再由等差数列的求和公式得答案．
【解答】解：如图所示，设Pn、Pn与圆Gn分别切于点Bn， n
根据内切圆的性质可得：|PnBn|＝|PnAn|，|Bn|＝|An|，|An|＝| n|，
又点Pn是双曲线En右支上一动点，
∴|Pn|﹣|Pn|＝2a＝＝，∴|An|﹣|An|＝．
∴an﹣（﹣cn）﹣（cn﹣an）＝．
可得：an＝．
可得：a1+a2+…a2022＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、内切圆的性质、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（2022 杨浦区二模）设点P是曲线上的动点，点，满足|PF|+|PA|＝4，则点P的坐标为 　　．
【分析】设双曲线的上焦点为F′（0，），由已知可得|PF′|+|PA|＝2，又|AF′|＝2，可示点P的坐标．
【解答】解：因曲线在双曲线y2﹣x2＝1在x轴上方的部分，
故是双曲线的下焦点，则双曲线的上焦点为F′（0，），
由|PF|+|PA|＝4，又∴|PF|﹣|PF′|＝2，∴|PF′|+|PA|＝2，
又|AF′|＝2，故P，A，F′共线，又AF′的直线方程为x+y＝，
联立，解得x＝，y＝，
故点P的坐标为（，）．
故答案为：（，）．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属中档题．
9．（2022 浦东新区二模）已知双曲线的右焦点为F，若双曲线上存在关于原点O对称的两点P、Q使，则b的取值范围为 　[2，+∞）　．
【分析】设P（x0，y0），利用，可得b2＝x02+y02，可求b的取值范围．
【解答】解：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），F（c，0），
∴＝（x0﹣c，y0），＝（﹣x0﹣c，﹣y0），
∵，∴（x0﹣c，y0） （﹣x0﹣c，﹣y0）＝c2﹣x02﹣y02＝4，
又4+b2＝c2，∴4+b2﹣x02﹣y02＝4，∴b2＝x02+y02≥4，
∴b≥2．
故答案为：[2，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查向量的数积的计算，属中档题．
10．（2022 宝山区校级模拟）已知双曲线（a，b＞0）的焦点到渐近线的距离为2，且直线2x﹣y＝0与双曲线没有交点，则a的取值范围是 　[1，+∞）　．
【分析】过原点的直线与标准的双曲线没有交点，则该直线的斜率大于或等于双曲线的渐近线的斜率．
【解答】解：过双曲线的右焦点F作FA垂直于渐近线，如下图所示：
双曲线焦点到渐近线的距离为2，可得：（其中a2+b2＝c2），
易知：OA＝a，OF＝c，
又直线2x﹣y＝0与双曲线没有交点，则只需直线2x﹣y＝0的斜率大于或等于渐近线的斜率，
可得：，
解得：a≥1，
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
11．（2022 静安区模拟）已知双曲线的两条渐近线均与圆C：（x﹣3）2+y2＝4相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为 　　．
【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中a，b，c三者之间的关系即可求解．
【解答】解：由题意可知，双曲线的两条渐近线方程为，即bx±ay＝0，
由圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝4，得圆心为C（3，0），半径为r＝2，
因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为（3，0），c＝3，
又因为双曲线的两条渐近线均与圆C：（x﹣3）2+y2＝4相切，
所以，即，解得b＝2，
所以a2＝c2﹣b2＝9﹣4＝5，
所以该双曲线的标准方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
12．（2022 宝山区校级二模）已知直线l：y＝2x﹣10与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 　　．
【分析】由题意可得关于a，b，c的方程组，求解a与b的值，则答案可求．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝，
由y＝2x﹣10，取y＝0，得x＝5，
∵直线l：y＝2x﹣10与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，
∴，解得，∴双曲线的标准方程为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
13．（2017 上海）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝　11　．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||＝6，解可得|PF2|的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，
其中a＝＝3，
则有||PF1|﹣|PF2||＝6，
又由|PF1|＝5，
解可得|PF2|＝11或﹣1（舍）
故|PF2|＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．
14．（2022 闵行区二模）已知双曲线的实轴为A1A2，对于实轴A1A2上的任意点P，在实轴A1A2上都存在点Q，使得，则双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值为 　　．
【分析】由已知可得2a≥2b，进而可求其一条渐近线的斜率的范围，从而可求双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值．
【解答】解：对于实轴A1A2上的任意点P，在实轴A1A2上都存在点Q，使得，
可得2a≥2b，∴≤，所以渐近线y＝x的斜率小于等于，
故其倾斜角小于等于，故双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
15．（2021 青浦区二模）已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F（，0）．直线y＝x﹣1与该双曲线交于M，N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是　　．
【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2＝a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线方程为﹣＝1．
将y＝x﹣1代入 ﹣＝1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2＝0．
由韦达定理得x1+x2＝，则 ＝＝﹣．
又c2＝a2+b2＝7，解得a2＝2，b2＝5，
所以双曲线的方程是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．
16．（2020 黄浦区二模）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为　　．
【分析】根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a、b、c的关系和条件列出方程求出a2、b2，代入双曲线的方程即可．
【解答】解：由题意得，，
解得a2＝5，b2＝20，
∴双曲线的方程是，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．
17．（2022 静安区二模）双曲线的焦点到其渐近线的距离是 　3　．
【分析】求出一个焦点坐标，一条渐近线方程，直接用点到直线距离公式求解即可．
【解答】解：等轴双曲线的的焦点坐标是（±5，0），渐近线是3x±4y＝0，选其中一个焦点坐标（5，0）
和一条直线方程3x+4y＝0，d＝＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
18．（2018 上海）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为　y＝±　．
【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上
而双曲线的渐近线方程为y＝±
∴双曲线的渐近线方程为y＝±
故答案为：y＝±
【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
三．解答题（共3小题）
19．（2021 上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）
【分析】（1）求出a，c，b的值即可求得双曲线方程，求出直线OP的方程，与双曲线方程联立，即可求得P点坐标；
（2）分别求出以A、B为焦点，以C，D为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q的坐标，从而求得|OQ|，及Q点位置．
【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，
所以双曲线的标准方程为﹣＝1，
直线OP：y＝x，联立双曲线方程，可得x＝，y＝，
即点P的坐标为（，）．
（2）①|QA|﹣|QB|＝30，则a＝15，c＝20，所以b2＝175，
双曲线方程为﹣＝1；
②|QC|﹣|QD|＝10，则a＝5，c＝15，所以b2＝200，
所以双曲线方程为﹣＝1，
两双曲线方程联立，得Q（，），
所以|OQ|≈19米，Q点位置北偏东66°．
【点评】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．
20．（2017 上海）已知双曲线（b＞0），直线l：y＝kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；
（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
（2）若b＝1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；
（3）若m＝2，求n关于b的表达式．
【分析】（1）由双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，求出c＝2，a＝1，由此能求出Γ的标准方程，从而能求出Γ的渐近线方程．
（2）双曲线Γ为：x2﹣y2＝1，由定比分点坐标公式，结合已知条件能求出k的值．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ＝k0，则，由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2＝0，由，得（）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2＝0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出n关于b的表达式．
【解答】解：（1）∵双曲线（b＞0），点（2，0）是Γ的一个焦点，
∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，
∴Γ的标准方程为：＝1，
Γ的渐近线方程为．
（2）∵b＝1，∴双曲线Γ为：x2﹣y2＝1，P（﹣1，0），P′（1，0），
∵＝，设Q（x2，y2），
则有定比分点坐标公式，得：
，解得，∵，∴，
∴＝．
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ＝k0，
则，
由，得（b2﹣k2）x2﹣4kx﹣4﹣b2＝0，
，，
由，得（）x2﹣2k0nx﹣n2﹣b2＝0，
﹣x1+x2＝，﹣x1x2＝，
∴x1x2＝＝，即，即＝，
＝＝＝＝，
化简，得2n2+n（4+b2）+2b2＝0，
∴n＝﹣2或n＝，
当n＝﹣2，由＝，得2b2＝k2+k02，
由，得，
即Q（，），代入x2﹣＝1，化简，得：
，解得b2＝4或b2＝kk0，
当b2＝4时，满足n＝，
当b2＝kk0时，由2b2＝k2+k02，得k＝k0（舍去），
综上，得n＝．
【点评】本题考查双曲线的渐近线的求法，考查直线的斜率的求法，考查n关于b的表达式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、直线、韦达定理的合理运用．
21．（2017 徐汇区校级模拟）设点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．
【分析】先设点P的坐标为（x，y），然后由点P到x、y轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后处理方程组通过x2求得m的取值范围．
【解答】解：设点P的坐标为（x，y），依题设得，即y＝±2x，x≠0
因此，点P（x，y）、M（﹣1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|﹣|PN||＜|MN|＝2
∵||PM|﹣|PN||＝2|m|＞0
∴0＜|m|＜1
因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故．
将y＝±2x代入，并解得≥0，
因为1﹣m2＞0，所以1﹣5m2＞0，
解得，
即m的取值范围为．
【点评】本题主要考查双曲线定义及代数运算能力．第14讲 双曲线
【考点梳理】
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图　形
性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【解题方法和技巧】
1.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．
2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略
在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1．
3.圆锥曲线的弦长
（1）圆锥曲线的弦长
直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
（2）圆锥曲线的弦长的计算
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝ ·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
【考点剖析】
【考点1】双曲线的定义
一、单选题
1．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C． D．5
2．（2022·上海·高三专题练习）下列四个选项中正确的是（ ）
A．关于的方程()的曲线是圆
B．设复数是两个不同的复数，实数，则关于复数的方程的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C．设为两个不同的定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线的一支
D．双曲线与椭圆有相同的焦点
3．（2022·上海市建平中学高三期中）设、是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，∠是△的最小内角，且，则双曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海·高三专题练习）设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·上海市奉贤中学高三阶段练习）已知椭圆：与双曲线：有相同的左焦点和右焦点，P是T与在第一象限内的公共点，设，，则方程的解为___________.
6．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）已知为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为________.
7．（2022·上海·高三专题练习）已知 ，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则___________.
三、解答题
8．（2021·上海交大附中高三开学考试）在平面直角坐标系中，已知， ，动点满足，动点的轨迹记为.
（1）求曲线的方程；
（2）若点也在曲线上，且，求的面积；
（3）是否存在常数，使得对动点恒有成立？请给出你的结论和理由.
【考点2】双曲线标准方程
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）确定了标准方程的形式后，已知曲线上一点的坐标就能确定其方程的是
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆或双曲线
2．（2020·上海·高三专题练习）方程表示双曲线，则实数的取值范围为
A． B．或
C． D．或
3．（2022·上海市市西中学高三阶段练习）参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
二、填空题
4．（2022·上海·高三专题练习）若双曲线的一个焦点为，则实数__________．
5．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习）若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______．
6．（2022·上海市控江中学高三开学考试）焦点在轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为___________．
7．（2022·上海交大附中高三期中）已知直线：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为______．
8．（2020·上海·高三专题练习）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程是________.
三、解答题
9．（2021·上海·高三专题练习）.已知点，，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
【考点3】双曲线的焦点、焦距
一、填空题
1．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知双曲线的参数方程为（是参数），则该双曲线的焦点坐标为___________．
2．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则a=___________.
3．（2022·上海市进才中学高三期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为____________
【考点4】双曲线的范围
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）设点、均在双曲线上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．以上都不对
二、填空题
2．（2022·上海·高三专题练习）设点、均在双曲线：上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为________.
【考点5】双曲线的顶点、数轴、虚轴
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）设双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
二、填空题
2．（2022·上海·高三专题练习）双曲线的顶点到其渐近线的距离为________
3．（2021·上海交大附中高三阶段练习）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为______.
4．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线C：（，）的实轴与虚轴长度相等，则C：（，）的渐近线方程是______.
三、解答题
5．（2021·上海·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；
（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．
【考点6】等轴双曲线
一、单选题
1．（2020·上海·高三专题练习）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2020·上海·高三专题练习）等轴双曲线的焦点坐标是________.
三、解答题
3．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高三阶段练习）已知曲线.
（1）画出曲线C的图像；
（2）若直线与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；
（3）若，Q为曲线C上的点，求的最小值.
【考点7】双曲线的渐近线
一、填空题
1．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）若双曲线.上存在四个不同的点 ，使四边形为菱形，则的取值范围为___________.
2．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线的渐近线方程为，且，则双曲线的方程为___________.
3．（2021·上海市进才中学高三阶段练习）设 分别是双曲线(，)的左 右焦点，点在双曲线右支上且满足，双曲线的渐近线方程为，则___________.
4．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知，是双曲线的左 右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点A满足（O为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为___________.
5．（2022·上海市实验学校高三开学考试）设双曲线的左、右焦点为、，P为该双曲线上一点，且，若，则该双曲线的渐近线方程为__________．
二、解答题
6．（2020·上海·高三专题练习）（1）求与共渐近线且焦距为8的双曲线方程；
（2）定点到上的点最近距离为，求，并求双曲线上到点距离为的点的坐标.
【考点8】双曲线的离心率
一、填空题
1．（2022·上海·高三专题练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.
2．（2021·上海·高三专题练习）已知双曲线的离心率e是2，则此时的最小值是_____.
3．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线的离心率为，则m= ______.
二、解答题
4．（2021·上海松江·一模）已知双曲线的焦距为，渐近线方程为，
(1)求双曲线的方程；
(2)若对任意的，直线与双曲线总有公共点，求实数的取值范围；
(3)若过点的直线与双曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.
【考点9】双曲线的应用
一、单选题
1．（2022·上海·高三专题练习）在平面上，将等轴双曲线的右支和它的两条渐近线、以及两条直线和围成的封闭图形记为D，则D绕轴旋转一周而成的几何体的体积为（ ）(提示:祖暅原理)
A． B． C． D．
二、填空题
2．（2021·上海·复旦附中模拟预测）一颗彗星的运行轨迹是以太阳为焦点，且靠近该焦点的双曲线的一支，当太阳与这颗彗星的距离分别是6(亿千米)和3(亿千米)的时候，这颗彗星与太阳的连线所在直线与双曲线的实轴所在直线夹角分别为和，则这颗彗星与太阳的最近距离是___________.
3．（2021·上海·高三专题练习）设是双曲线的动点，直线（为参数）与圆相交于两点，则的最小值是_________．
三、解答题
4．（2021·上海·模拟预测）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）
【真题模拟题专练】
一．选择题（共2小题）
1．（2016 上海）关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（　　）
A．焦距相等，渐近线相同
B．焦距相等，渐近线不相同
C．焦距不相等，渐近线相同
D．焦距不相等，渐近线不相同
2．（2022 虹口区二模）已知双曲线C的参数方程为（t为参数），则此双曲线的焦距等于（　　）
A．2 B．4 C． D．
二．填空题（共16小题）
3．（2022 上海）双曲线﹣y2＝1的实轴长为 　 　．
4．（2022 上海）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：﹣y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，则实数a的取值范围为 　 　．
5．（2019 上海）已知数列{an}满足an＜an+1（n∈N*），Pn（n，an）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|PnPn+1|＝　 　．
6．（2022 长宁区二模）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2且斜率为的直线与双曲线C的左支交于点A．若，则双曲线C的渐近线方程为 　 　．
7．（2022 徐汇区三模）已知一簇双曲线，设双曲线En的左、右焦点分别为、，Pn是双曲线En右支上一动点，的内切圆Gn与x轴切于点An（an，0），则a1+a2+ +a2022＝　 　．
8．（2022 杨浦区二模）设点P是曲线上的动点，点，满足|PF|+|PA|＝4，则点P的坐标为 　 　．
9．（2022 浦东新区二模）已知双曲线的右焦点为F，若双曲线上存在关于原点O对称的两点P、Q使，则b的取值范围为 　 　．
10．（2022 宝山区校级模拟）已知双曲线（a，b＞0）的焦点到渐近线的距离为2，且直线2x﹣y＝0与双曲线没有交点，则a的取值范围是 　 　．
11．（2022 静安区模拟）已知双曲线的两条渐近线均与圆C：（x﹣3）2+y2＝4相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为 　 　．
12．（2022 宝山区校级二模）已知直线l：y＝2x﹣10与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为 　 　．
13．（2017 上海）设双曲线﹣＝1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|＝5，则|PF2|＝　 　．
14．（2022 闵行区二模）已知双曲线的实轴为A1A2，对于实轴A1A2上的任意点P，在实轴A1A2上都存在点Q，使得，则双曲线Γ的两条渐近线夹角的最大值为 　 　．
15．（2021 青浦区二模）已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F（，0）．直线y＝x﹣1与该双曲线交于M，N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是　 　．
16．（2020 黄浦区二模）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：l：y＝2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为　 　．
17．（2022 静安区二模）双曲线的焦点到其渐近线的距离是 　 　．
18．（2018 上海）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为　 　．
三．解答题（共3小题）
19．（2021 上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|PA|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）
20．（2017 上海）已知双曲线（b＞0），直线l：y＝kx+m（km≠0），l与Γ交于P、Q两点，P'为P关于y轴的对称点，直线P'Q与y轴交于点N（0，n）；
（1）若点（2，0）是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
（2）若b＝1，点P的坐标为（﹣1，0），且，求k的值；
（3）若m＝2，求n关于b的表达式．
21．（2017 徐汇区校级模拟）设点P到点（﹣1，0）、（1，0）距离之差为2m，到x、y轴的距离之比为2，求m的取值范围．

展开更多......

收起↑