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课题名称：6.2.4.1向量的数量积
学习目标 1.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量； 2.会求平面向量的数量积、投影向量； 3.熟记平面向量数量积的性质； 4.能运用数量积的性质解决问题；
知识梳理 1．向量的夹角的定义： 已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作则 叫做向量与的 。 显然，当时，与 ；当时，与 。 2.向量的数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做与的 (或 )，记作 ，即 ． 规定零向量与任一向量的数量积为 ． 投影向量的定义： 如图(1)设是两个非零向量,,我们考虑如下的变换:过AB的起点A和终点B,分别作CD所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到，我们称上述变换为向量在向量投影 (project).,叫做向量在向量上的 。 如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作，过点M作直线ON的垂线,垂足为M1，则 就是向量在向 量上的 。 4.向量的数量积的性质 设与是非零向量，θ为与的夹角． (1) ． (2)当与同向时，＝ ；当与反向时，＝ ． (3)＝ 或||＝＝ .(4)||≤ .
例题精讲 例1.（教材P17例9）已知的夹角，求. 探究1：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与之间有怎样的关系？ 探究2：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能得出向量的数量积的特殊性质吗？
课堂总结 向量的夹角、向量的数量积、投影向量、向量的数量积的性质
课堂练习 1.(教材P20练习1） 2. (教材P20练习2）已知在当 3.(教材P20练习3）已知为单位向量，且的夹角为，求向量在上的投影向量.
课后作业： 复习巩固 1. 已知单位向量a，b，夹角为30°，则a·b＝(　 　) A． B． C．1 D．－ 2.若>0,则与的夹角θ的取值范围是 (　 　) A.[0,) B.[,π) C.(,π] D.(,π) 3.已知在 ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为(　 　) A．30° B．90° C.120° D．150° 4(教材P24习题21）.则向量在向量上的投影向量为（ ） 5.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且·=,则该三角形的面积等于____________. 综合运用 6. 如图所示,在平行四边形ABCD中,已知||=4,||=3, ∠DAB=60°,求: (1)·;　(2)·;　(3)·.
拓广探索（※选做） 7．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点 若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
课题名称：6.2.4.1向量的数量积（参考答案）
知识梳理
例题精讲
例1.（教材P17例9）已知的夹角，求.
方法总结
课堂练习
1.24
2. 当为钝角三角形；当为直角三角形
3. 向量在上的投影向量为
课后作业
复习巩固
1. B解析　由向量的数量积公式，得a·b＝|a||b|·cos 30°＝1×1×=
2. A 解析:因为a·b>0,所以cos θ>0,
所以θ∈[0,). 答案:A
3. 答案:D
4. 答案：A
5. 解析:设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为a,于是·=a·a·=a2=,从而a=,
于是S△ABC=××=.
综合运用
6. 解:(1)因为与共线且同向,所以·=3×3×cos 0°=9.
(2)因为与共线且反向,所以·=4×4×cos 180°=-16.
(3)因为与的夹角为120°,所以·=4×3×cos 120°=-6.
拓广探索（※选做）
7.解：方法1：因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°，所以∠OBA＝90°，所以||＝2.
又因为＝3，所以||＝.
所以||＝＝，cos ∠OPB＝.
所以与的夹角θ的余弦值为－.所以·＝||||cos θ＝－3.
方法2：因为||＝4，||＝2，∠BOA＝60°，又因为＝3

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