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(共25张PPT)
17.5一元二次方程的应用(1)
沪科版八年级下册
教学目标
1.能正确利用面积公式列出关于面积的一元二次方程；
2.进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应用，
经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学
应用意识．
教学重点：
利用面积间的和差关系建立一元二次方程模型，解决实际题．
教学难点： 问题中隐藏的等量关系．
新知导入
列方程解应用题的一般步骤是什么？
第一步：审题，明确已知和未知；
第二步：找相等关系；
第三步：设元，列方程，并解方程；
第五步：作答．
第四步：检验根的合理性；
新知讲解
问题 在一块宽20m、长32m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直)，把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛.要使花坛的总面积为570m2花坛，问小路的宽应是多少？
32
20
问小路的宽应是多少？
新知讲解
长方形空地面积 － 小路面积 = 花坛面积
32
20
x
问题中的等量关系
设小路的宽应是x m
新知讲解
长方形空地面积 － 小路面积 = 花坛面积
问题中的等量关系
32×20
=570
横向小路面积
32x m2
纵向小路面积
2 · 20x m2
纵横小路重叠面积
2x2 m2
小路面积
－
( )
32x
＋2·20x
－2x2
( )
m2
32x
＋2 · 20x
－2x2
32
20
x
新知讲解
去括号，得
640－32x－40x＋2x2=570；
移项，得
合并同类项，得
2x2 －72x＋ 70=0.
640－32x－40x＋2x2－570=0；
x2 －36x＋35=0.
长方形空地面积 － 小路面积 = 花坛面积
32×20
=570
－
( )
32x
＋2·20x
－2x2
(x－1)
(x－35)
=0
或 x－35=0
∴x－1=0
∴ x1= 1 ，
x2=35 .
32
20
x
新知讲解
根据题意，得
整理，得
x2 －36x＋35=0.
解：
32×20
=570
( )
32x
＋2·20x
－2x2
∴ (x－1)
(x－35) =0
∴ x1= 1 ，
x2=35 .
设小路的宽是x m.
结合题意，x=35不可能.
∴ 只能取x=1 .
答：小路的宽是1m.
32
20
x
－
方法总结
面积问题常见图形归纳如下：
(1)如图1，长方形ABCD的长为a，宽为b，空白部分
的宽为x，则阴影部分的面积为(a－2x)(b－2x).
(2)如图2，3，长方形ABCD的长为a，宽b为，阴影
部分的宽为x，则空白部分的面积为(a－x)(b－x).
A
B
C
D
a
图2
A
B
C
D
a
b
x
图1
b
x
x
x
x
图3
A
B
C
D
a
b
x
x
例题解析
(课本第42页例4 )正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20cm，容积为2 880cm3的开口方盒，问原金属片边长是多少？
x
20
20
已知:
方盒的高
方盒的容积
未知:
20cm
2880cm3
原金属片的边长
小正方形的边长
20cm
例题解析
x
20
20
问题中的等量关系
方盒的容积
方盒的底面积
×高
=2880
=2880
方盒的高
=20
方盒的底面是什么形状？
盒底面积=
( 正方形 )
(课本第42页例4 )正方形金属片一块，将其四个角各截去一个相同大小的小正方形，围成高20cm，容积为2 880cm3的开口方盒，问原金属片边长是多少？
盒底边长的平方
例题解析
x
20
20
问题中的等量关系
方盒的容积
方盒的底面积
×高
=2880
=2880
方盒的高
=20
盒底面积=
方盒的底面边长是多少？
方盒的底面边长与金属片的边长有什么关系
盒底边长=
金属片的边长
－ 2小正方形的边长
x－40
(x－40)2
=2880
·20
盒底边长的平方
例题解析
设原金属片边长为xcm，
x
20
20
x－40
解：
根据题意，得
则方盒的底边长为
(x－40)cm.
(x－40)2
=2 880.
×高
=2880
盒底边长的平方
20·
(x－40)2
=144.
x－40
=±12
x1=52，
x2=28.
x2=28 ＜ 40，不合题意，舍去.
∴x=52.
答：原金属片边长52cm.
例题解析
x
20
20
x－40
问题中的等量关系
方盒的容积
方盒的底面积
×高
=2880
=2880
方盒的高
=20
方盒的底面边长的平方
方盒的底面积=
盒底边长=
金属片的边长
－ 2小正方形的边长
明显的
隐藏的
课堂练习
一长方形铁片长40m，宽30m，在它的四周截去一个全等的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，并使底面积所占面积为原来长方形形面积的一半.
40m
30m
xm
xm
问题中的等量关系
底面长方形面积=原来长方形形面积的一半.
底面长方形的长=原长方形的长
－2小正方形的边长
底面长方形的宽=原长方形的宽
－2小正方形的边长
底面长×
底面宽
= × 40×30
1
2
课堂练习
40m
30m
xm
xm
小正方形的边长为xm，
解：
根据题意，得
(40－2x)
(30－2x)
= × 40×30
1200－80x
－60x＋4x2
= 600
4x2－140x＋600=0
x2－35x＋150=0
(x－5)
(x－30)=0
x1=5，
x2=30.
(舍去)
1
2
答：小正方形的边长为5m.
课堂小结
面积问题
(1)规则图形:套用面积公式列方程.
(2)不规则图形:通过割补变为规则图形后，
利用面积间的和差关系列方程.
利用面积间的和差关系建立一元二次方程模型解决实际题时，要注意哪些方法？
1.扬帆中学有一块长 30 m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度.设花带的宽度为xm，则可列方程为( ) .
A.(30－x)(20－x)= ×20×30
B. 30x＋2×20x= ×20×30
C. (30－x)(20－x)= ×20×30
D. (30－2x)(20－x)= ×20×30
练习巩固
3
4
1
4
1
4
3
4
D
30m
20m
xm
xm
练习巩固
2.如图，长方形ABCD的周长为20m，以AB、AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68m2.则长方形ABCD的面积为( ).
A
B
C
D
E
F
G
H
A.24m2 B.21m2
C.16m2 D.9m2
C
练习巩固
3.如图，小明用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积积为 21 cm 的无盖长方体纸盒，他将纸板 的四个角各剪去一个同样大小的正方形， 将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的的正方形边长为xcm，则可列出关于的方程为 .
(11－2x)(7－2x)=21
11cm
7cm
xcm
xcm
练习巩固
4.如图，在一块长10m、宽8m的长方形空地上，修筑宽相等的小路(图中阴影部分)，余下部分种草.要使草坪的面积为48m2，则小路的宽应是 m .
2
练习巩固
解：设BC边的长为x米，根据题意，得
x· =120，
解得 x1=12，x2=20.
∵20＞16，
答：该矩形草坪BC边的长为12米．
∴x2=20不合题意，舍去.
32－x
2
5.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的长方形草坪ABCD.求该长方形草坪BC边的长．
∴x=12.
作业布置
今天作业
课本P47页第1题
课本P48页第7题
谢谢
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