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【北师大版七年级数学（下）单元测试卷】
第一章 整式的乘除
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意得：
，
故选：B．
2．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
解：A．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知，A符合题意；
B．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知，B不符合题意；
C．根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”知，C不符合题意；
D．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知，D不符合题意，
故选：A．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A.，故此选项不符合题意，
B.，故此选项不符合题意，
C.，故此选项符合题意，
D.，故此选项不符合题意，
故选：C．
4．若，则常数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
解：∵
，
∴，则，
故选：A．
5．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
解：
．
故选：D．
6．下列从左到右的变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A．，原变形错误，故此选项不符合题意；
B．，原变形错误，故此选项不符合题意；
C．，原变形正确，故此选项符合题意；
D．，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．化简求值，其中，时，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
解：
，
当，时，
原式
，
故选：B．
8．，为实数，整式的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：，
∵，
∴当时，原式有最小值，最小值为．
故选：A．
9．我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
解∵，，
∴，，
∵，∴，
①，故正确；
②，故错误；
③，故正确；
故选：B．
10．若，，，……，是2022个由1和组成的数，且满足，则的值为（ ）
A．2122 B．2422 C．3844 D．4244
解：
故选：C．
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．__________．
解：，
故答案为：．
12．已知：，则__________．
解：∵，
∴．
故答案为：．
13．现有如图所示的，，三种纸片若干张．
（1）现取1张纸片，2张纸片，其面积和为______．
（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片______张．
解：（1）取1张纸片，2张纸片，其面积和为：；
故答案为：；
（2）∵取纸片9张，取纸片1张，
∴面积为，
∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，
∴还需6张丙纸片，即，
故答案为：6．
14．我们学方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是______．
解：
，
∵，，，，，…，
∴末尾是2，4，8，6四个一组循环，
∵，
∴的的个位数是6，
∴的的个位数是4，
故答案为：4．
15．已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．
解：∵，，．
∴，，，
∴a+2＝b+1＝c，
即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，
于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，
所以a+c＝2b，因此①正确；
②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，
所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；
③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；
④b＝a+1，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③三个，
故选：C．
三.解答题:(共55分)
16．计算：
(1)；
(2)．
（1）解：原式
（2）解：原式
17．（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
解：（1）
，
当时， 原式；
（2），
．
18．如图，有一块边长为米的正方形铁片，欲在正方形铁片中央剪去一个小正方形铁片，按图纸要求剪去小正方形后的工件的宽度为米，问剪去小正方形工件的面积是多少？
解：由题意得，小正方形工件的边长为米，
∴剪去的小正方形工件的面积为平方米，
答：剪去的小正方形工件的面积为平方米．
19．已知关于的代数式，满足．
(1)求，的值．
(2)求的值．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
，
当时，原式．
20．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（m，n为常数），求mn的值；
(3)解决问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出k的值，并说明理由．
（1）解：，
∴；
（2）解：∵
，
又∵，
∴，，
∴；
（3）解：当时，S是完美数，
理由如下：
，
，
∵x，y是整数，
∴，也是整数，
∵S是一个“完美数”，
∴，
∴．
21．如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求；（用含.的式子表示）
(2)请直接写出..这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，完成下列计算：
①若，，求的值；
②已知，，求的值．
（1）解： ①∵大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：，
∵组成大正方形的四个长方形的长宽是，
∴四个长方形的面积：；
∴阴影部分的面积为：，
②∵阴影部分的边长为：，
∴阴影部分的面积为：．
（2）解：∵，，
∴，
∴．
（3）解：①∵，，
∴，
∴．
②∵，，
∴．
22．（1）若满足，求的值；
（2）将正方形和正方形按如图所示摆放，点在边上，与交于点，且，，长方形的面积为24，以为边作正方形．设，
用含的代数式直接表示和的长；
求图中阴影部分的面积．
解：（1）设，则，
，
，
，
，
即；
的值为37；
（2）四边形为正方形，，
，
，四边形为正方形，
，
，
的长为，的长为；
长方形的面积为24，
，
设，，则，
，
，
，
，
，
或，
∵．
∴
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第一章 整式的乘除
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若，则常数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．－3 D．－2
5．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．下列从左到右的变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．化简求值，其中，时，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8．，为实数，整式的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9．我们知道下面的结论：若（，且），则．利用这个结论解决下列问题：设．现给出m，n，p三者之间的三个关系式：①，②，③．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①
10．若，，，……，是2022个由1和组成的数，且满足，则的值为（ ）
A．2122 B．2422 C．3844 D．4244
二.填空题:(每小题3分共15分)
11．__________．
12．已知：，则__________．
13．现有如图所示的，，三种纸片若干张．
（1）现取1张纸片，2张纸片，其面积和为______．
（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片______张．
14．我们学方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是______．
15．已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是____（填序号）．
三.解答题:(共55分)
16．计算：
(1)；
(2)．
17．（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
18．如图，有一块边长为米的正方形铁片，欲在正方形铁片中央剪去一个小正方形铁片，按图纸要求剪去小正方形后的工件的宽度为米，问剪去小正方形工件的面积是多少？
19．已知关于的代数式，满足．
(1)求，的值．
(2)求的值．
20．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
(1)解决问题：已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式；
(2)解决问题：若可配方成（m，n为常数），求mn的值；
(3)解决问题：已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出k的值，并说明理由．
21．如图，图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线（对称轴）剪开，用得到的四个全等的小长方形，拼成如图2所示的大正方形（无重叠无缝隙），设图2中小正方形（阴影部分）面积为．
(1)用两种不同方法求；（用含.的式子表示）
(2)请直接写出..这三个代数式之间的数量关系；
(3)利用（2）中结论，完成下列计算：
①若，，求的值；
②已知，，求的值．
22．（1）若满足，求的值；
（2）将正方形和正方形按如图所示摆放，点在边上，与交于点，且，，长方形的面积为24，以为边作正方形．设，
用含的代数式直接表示和的长；
求图中阴影部分的面积．
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