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2023年中考数学第一轮复习
模块四 三角形
专题6 锐角三角函数
锐角三角函数 概念 （1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数. （2）在△ABC中，∠C=90°， ∠A的正弦sin A=， ∠A的余弦cos A=， ∠A的正切tan A=.
特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a 1
解直角三角形 在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
①已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A),其解法为：∠B=90°-∠A；c=； ②已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B=90°-∠A；a=； ③已知两直角边(如a，b)，其解法为：c2=a2+b2,tan A=； ④已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b2=c2-a2，sin A=.
（1）仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. （2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角. （3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比)，记作i=.坡面与水平面的夹角(α)，叫做坡角.
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题型一、锐角三角函数
1．(2022 滨州)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 .
2．（2021·云南）在中，，若，则的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
3．（2022·广西贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．(2022 陕西)如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为(　 　)
A．3 B．3
C．6 D．3
6．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．3
7．（2022·湖北武汉）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
10．（2022·四川宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·内蒙古通辽）如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
12．（2022·江苏常州）如图，在四边形中，，平分．若，，则______．
题型二、特殊的锐角三角函数值
1．（2022·天津）的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2021·广东深圳）计算的值为（ ）
A． B．0 C． D．
3．(2022 荆门)计算：＋cos 60°－(－2 022)0＝ .
4．（2022·湖南）计算：．
5．（2022·广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·黑龙江大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）
题型三、解直角三角形
1．（2022·辽宁）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·贵州黔南）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
3．（2020·内蒙古赤峰）如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D.
（1）求证:PD是的切线；
（2）若tan∠PAC= ，AC = 12.求直径AB的长.
4．（2020·广西贵港）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；
（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．
①求证：四边形是平行四边形：
②当时，求四边形的面积．
题型四、锐角三角函数的实际问题
类型一、方位角
1．（2022·辽宁）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
2．（2021·辽宁鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）
类型二、仰角俯角
1．（2022·内蒙古包头）如图，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角为，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角为，已知，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物的高度．
2．（2022·山东聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
3．（2022·海南）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：___________度，___________度；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
类型三、坡度、坡角
1．（2022·贵州毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江牡丹江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　)
A．(600－250)米 B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500米
3．（2022·湖南郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m）
4．（2022·四川遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：，，，）
5．（2022·四川宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）
2023年中考数学第一轮复习
模块四 三角形
专题6 锐角三角函数
锐角三角函数 概念 （1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数. （2）在△ABC中，∠C=90°， ∠A的正弦sin A=， ∠A的余弦cos A=， ∠A的正切tan A=.
特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a 1
解直角三角形 在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
①已知一条直角边和一个锐角(如a，∠A),其解法为：∠B=90°-∠A；c=； ②已知斜边和一个锐角(如c，∠A)，其解法为：∠B=90°-∠A；a=； ③已知两直角边(如a，b)，其解法为：c2=a2+b2,tan A=； ④已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b2=c2-a2，sin A=.
（1）仰角与俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. （2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角. （3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比)，记作i=.坡面与水平面的夹角(α)，叫做坡角.
题型一、锐角三角函数
1．(2022 滨州)在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为 .
2．（2021·云南）在中，，若，则的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，
∴AB==80，
故选D．
3．（2022·广西贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，解得，
∴，故选：C．
4．（2022·内蒙古通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出，，计算出即可得到．
【详解】
解：∵为直径，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：B．
5．(2022 陕西)如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan C＝2，则边AB的长为(　 　)
A．3 B．3
C．6 D．3
6．（2022·湖北荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵，
则∠BAO=45°，为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴．
7．（2022·湖北武汉）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=．故选：C．
8．（2022·广西）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，
∴BC= sinαAB=12 sinα（米），故选：A．
9．（2022·福建）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据：，，）
A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得cm，根据等腰三角形的性质及，可得，在中，由，求得AD的长度．
【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴，
∵BC＝44cm，
∴cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC，，
∴．
∵AD为BC边上的高，，
∴在中，
，
∵，cm，
∴cm．故选：B．
10．（2022·四川宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，，
根据折叠可知，，，，
∴在△AFD和△EFB中，
∴（AAS），
∴，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，则，
∴，故C正确．
故选：C．
11．（2022·内蒙古通辽）如图，在矩形中，为上的点，，，则______．
【答案】##
【解析】
【详解】
解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
12．（2022·江苏常州）如图，在四边形中，，平分．若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解．
【详解】
解：过点作的垂线交于，
，
四边形为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
题型二、特殊的锐角三角函数值
1．（2022·天津）的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
2．（2021·广东深圳）计算的值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
3．(2022 荆门)计算：＋cos 60°－(－2 022)0＝ .
4．（2022·湖南）计算：．
【答案】
【分析】先将各项化简，再算乘法，最后从左往右计算即可得
【详解】解：原式
．
5．（2022·广西贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得，
故选A．
6．（2022·黑龙江大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）
【答案】这条江的宽度AB约为732米
【分析】在和中，利用锐角三角函数，用表示出的长，然后计算出AB的长；
【详解】解：如图，∵，
∴，
在中，∵，
∴米，
在中，∵，
∴（米），
∴（米） ，
答：这条江的宽度AB约为732米．
题型三、解直角三角形
1．（2022·辽宁）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形可知为直角三角形，根据勾股定理可得的长度，在中得到，又由题知为的垂直平分线，于是 ，于是在中，利用锐角三角函数即可求出的长．
【详解】解：设与的交点为，
四边形为矩形，
，，，
为直角三角形，
，，
，
，
又由作图知为的垂直平分线，
，，
在中，
，
，
，
．
故选：D．
2．（2020·贵州黔南）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】
解：在中，
∵，
∴．
在中，
．
故答案为：10．
3．（2020·内蒙古赤峰）如图，AB是的直径，AC是的一条弦，点P是上一点，且PA=PC，PD//AC，与BA的延长线交于点D.
（1）求证:PD是的切线；
（2）若tan∠PAC= ，AC = 12.求直径AB的长.
【答案】（1）证明过程见解析；（2）AB=13，过程见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP，因为PDAC，两直线平行内错角相等，且PA=PC，可得∠DPA =∠PAC=∠PCA=∠PBA，又因为直径所对圆周角为直角，故∠APO+∠OPB=90°，其中∠OPB=∠OBP，即可证得∠DPO=90°，即PD为⊙O的切线；
（2）作PEAC，在等腰PAC中，三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知tan∠PAC=，AC=12，用勾股定理可得AP的长度，且∠PAC=∠PBA，故PB的长度也可算得，再用勾股定理即可求得AB的长度．
【详解】
解：（1）如图所示，连接OP，
∵PDAC，
∴∠DPA =∠PAC（两直线平行，内错角相等），
又∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，∠PAC=∠PCA，∠PAC是所对圆周角，∠PCA是所对圆周角，
∴=，且∠PBA是所对圆周角，故∠PAC=∠PCA=∠PBA，
∵AB是⊙O的直径，直径所对圆周角为直角，
∴∠APB=90°，故∠APO+∠OPB=90°，
又∵OP=OB，故OPB为等腰三角形，∠OPB=∠OBP，
∴∠APO+∠DPA=90°，即∠DPO=90°，
∴PD为⊙O的切线；
（2）如下图所示，作PEAC，
∵PA=PC，故PAC为等腰三角形，等腰三角形三线合一，PE既为高线，也为AC边的中垂线，已知AC=12，
∴AE=6，且tan∠PAC==，故PE=4，
由勾股定理可得：，
由（1）已证得∠PAC=∠PCA=∠PBA，故tan∠PBA=，
∴，故，
由勾股定理可得：．
4．（2020·广西贵港）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；
（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．
①求证：四边形是平行四边形：
②当时，求四边形的面积．
【答案】（1）2，4；（2）①见解析；②
【解析】
【分析】
（1）过点F作FH⊥AB，由翻折的性质可知：AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，∠G＝∠A＝90°根据平行线的性质和等量代换可得∠CFE＝∠FEC，由等角对等边可得：CF＝CE，设AE＝CE＝x，BE＝6﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，进而可得BE、DF的长，由矩形的判定可得四边形DAHF是矩形，进而可求FH、EH的长，最后由勾股定理可得EF的长；
（2）①根据折叠的性质可得，进而可得，根据已知条件可得，从而易证，进而根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可求证结论；
②连接与交于点，则且，又由①知：， ，则，继而易证∠MAD＝PAB，接根据三角函数求得PB，设，则，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程可得PE的长，继而代入数据即可求解．
【详解】
解：（1） 2 ， 4 ；
过点F作FH⊥AB，
∵折叠后点A、P、C重合
∴AE＝CE，∠FEA＝∠FEC，
∵CD∥AB
∴∠CFE＝∠FEA，
∴∠CFE＝∠FEC，
∴CF＝CE＝AE，
设AE＝CE＝CF＝x，BE＝AB﹣AE＝6﹣x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，即
解得： x＝4，即AE＝CE＝CF＝4
∴BE＝2、DF＝2，
∵∠D＝∠A＝∠FHA＝90°
∴四边形DAHF是矩形，
∴FH＝、EH＝AB﹣BE﹣AH＝6﹣2﹣2＝2
在Rt△EFH中，由勾股定理可得: ＝4
（2）①证明：如图2，
∵在矩形中，，
由折叠（轴对称）性质，得：，
∴，
∵点是的中点，∴，
又，∴，
∴，∴四边形是平行四边形：
②如图2，连接与交于点，则且，
又由①知：，∴，则，
又，∴，∴
在，，
而，∴，
又在中，若设，则，
由勾股定理得：，则，
而且，
又四边形是平行四边形，
∴四边形的面积为．
题型四、锐角三角函数的实际问题
类型一、方位角
1．（2022·辽宁）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD=15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．（2021·辽宁鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走到达C处，再沿北偏东方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：，，，）
【答案】
【解析】
【分析】
作于E，于F，易得四边形BCFE是矩形，则，，设，则，在中利用含30度的直角三角形三边的关系得到，在中，，根据题意得到，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
【详解】
解：如图，作于E，于F，
，
四边形BCFE是矩形，
，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
，
答：公园北门A与南门B之间的距离约为．
类型二、仰角俯角
1．（2022·内蒙古包头）如图，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角为，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角为，已知，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物的高度．
【答案】19米
【分析】设米．在中，得到．在中，得到，．根据，列方程．
【详解】解：如图．根据题意，，
．
设米．在中，
∵，
∴．
在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵，
∴（米）．
答：建筑物的高度为19米．
2．（2022·山东聊城）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【答案】古槐的高度约为13米
【分析】过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，在Rt△AME中，根据锐角三角函数求出AM=12米，进而求出CN=8米，再在Rt△ENC中，根据锐角三角函数求出EN=32.08米，即可求出答案．
【详解】解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，
由题意知，AM=BH，CN=DH，AB=MH，
在中，∠EAM=26.6°，
∴，
∴米，
∴BH=AM=12米，
∵BD=20，
∴DH=BDBH=8米，
∴CN=8米，
在中，∠ECN=76°，
∴，
∴米，
∴（米），
即古槐的高度约为13米．
3．（2022·海南）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：___________度，___________度；
(2)求楼的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面的高度．
【答案】(1)75；60
(2)米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求；
（2）在中，求出DE的长度再根据计算即可；
（3）作于点G，交于点F，证明即可．
(1)
过点A作于点E，
由题意得：
∴
(2)
由题意得：米，．
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米．
(3)
作于点G，交于点F，
则
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴（AAS）．
∴．
∴
∴无人机距离地面的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
类型三、坡度、坡角
1．（2022·贵州毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长．
【详解】∵，，∴，解得：，
则．故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．
2．（2022·黑龙江牡丹江）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高(　 　)
A．(600－250)米 B．(600－250)米 C．(350＋350)米 D．500米
【答案】B
【详解】解：如答图，∵BE：AE=5：12，∴可设BE=5k，AE=12k，
∵AB=1300米，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，
即，解得k=100．
∴AE=1200米，BE=500米．
设EC=x米，
∵∠DBF=60°，∴DF=x米．
又∵∠DAC=30°，∴AC=CD．
∴1200+x=（500+x），解得x=600﹣250．
∴DF=x=600﹣750．
∴CD=DF+CF=600﹣250（米）．
∴山高CD为（600﹣250）米．故选B．
3．（2022·湖南郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高，背水坡BC的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：，．结果精确到0.1m）
【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m
【分析】通过解直角三角形和，分别求出AD和BD的长，由求出AB的长．
【详解】解：在中，∵背水坡BC的坡度，
∴，
∴．
在中，∵背水坡AC的坡度，
∴，
∴，
∴．
答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度．
4．（2022·四川遂宁）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．
（参考数据：，，，）
【答案】塔顶到地面的高度EF约为47米
【分析】延长EF交AG于点H，则，过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，设，则，根据解直角三角形建立方程求解即可．
【详解】如图，延长EF交AG于点H，则，
过点B作于点P，则四边形BFHP为矩形，
∴，．
由，可设，则，
由可得，
解得或（舍去），
∴，，
设米，米，
在中，
即，则①
在中，，
即②
由①②得，．
答：塔顶到地面的高度EF约为47米．
5．（2022·四川宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）
【答案】
【分析】根据，，设，则，根据勾股定理求得，又设，则，，求出DE，根据列出方程，解方程进而根据即可求解．
【详解】解：在中，，，
设，则，由，
得，
解得：，
∴，
又设，则，
在中，，
则，
∴，
在中，，则，
∴，
∴，
解得：，
∴．
∴东楼的高度约为40m．

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