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2023年中考数学第一轮复习
模块四 三角形
专题1 线与角
线与角 线 直线 经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.
线段 1、直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点. 2、两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
角 角度换算 1°=60'，1'=60″. 1周角=2平角=4直角=360°.
余角 如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角； 同角或等角的余角相等.
补角 如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角； 同角或等角补角相等.
对顶角 一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
角平分线 性质 角平分线上的点到角两边的距离相等
判定 到角两边距离相等的点在角平分线上.
线段垂直平分线 定义 垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,
判定 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
垂线 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
平行线 过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
性质 ① 两条直线平行,同位角相等; ② 两条直线平行,内错角相等; ③ 两条直线平行,同旁内角互补.
判定 ① 同位角相等,两条直线平行; ② 内错角相等,两条直线平行; ③ 同旁内角互补,两条直线平行.
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题型一、线与角的有关概念
1．(2022 连云港)已知∠A的补角为60°，则∠A＝ .
2．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（2022·广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
5．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______
6．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
题型二、相交线与平行线
1．(2022 广东)如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝(　 　)
A．30° B．40°
C．50° D．60°
2．（2022·甘肃兰州）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
3．（2022·湖南郴州）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2022·湖北鄂州）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
7．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．（2022·海南）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（ ）
A．57° B．63° C．67° D．73°
10．（2022·湖北恩施）已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
题型三、角平分线
1．（2021·湖南益阳）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
2．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度．
3．（2022·湖南郴州）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
题型四、线段的垂直平分线
1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
2．（2022·四川成都）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
3．（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
2023年中考数学第一轮复习
模块四 三角形
专题1 线与角
线与角 线 直线 经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.
线段 1、直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点. 2、两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
角 角度换算 1°=60'，1'=60″. 1周角=2平角=4直角=360°.
余角 如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角； 同角或等角的余角相等.
补角 如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角； 同角或等角补角相等.
对顶角 一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
角平分线 性质 角平分线上的点到角两边的距离相等
判定 到角两边距离相等的点在角平分线上.
线段垂直平分线 定义 垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线.
性质 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,
判定 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
垂线 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段公理：直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
平行线 过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
性质 ① 两条直线平行,同位角相等; ② 两条直线平行,内错角相等; ③ 两条直线平行,同旁内角互补.
判定 ① 同位角相等,两条直线平行; ② 内错角相等,两条直线平行; ③ 同旁内角互补,两条直线平行.
题型一、线与角的有关概念
1．(2022 连云港)已知∠A的补角为60°，则∠A＝ .
2．（2022·北京）如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【分析】利用对顶角相等求解．
【详解】解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得，．故选A．
3．（2022·广西贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠A=90°-∠B=90°-56°=34°；
故选：A．
4．（2022·河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
【答案】B
【分析】根据垂直的定义可得，根据平角的定义即可求解．
【详解】解： EO⊥CD，，
，．故选：B ．
5．（2022·广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC的大小为______
【答案】135°##135度
【分析】根据三角板及其摆放位置可得，求解即可．
【详解】，
，
故答案为：135°．
6．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，直线AB与CD相交于点O，，，则的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【答案】D
【分析】根据对顶角相等可得，之后根据，即可求出．
【详解】解：由题可知，
，
．
故选：D．
题型二、相交线与平行线
1．(2022 广东)如图，直线a∥b，∠1＝40°，则∠2＝(　 　)
A．30° B．40°
C．50° D．60°
2．（2022·甘肃兰州）如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，，垂足为C．若，则（ ）
A．52° B．45° C．38° D．26°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质可得∠ABC=52°，根据垂直定义可得∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【详解】
解：∵ab，
∴∠1=∠ABC=52°，
∵AC⊥b，
∴∠ACB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=38°，
故选：C．
3．（2022·湖南郴州）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
【详解】解：A、当时，；故A不符合题意；
B、当时，；故B不符合题意；
C、当时，；故C符合题意；
D、∵，则，∵，则，∴；故D不符合题意；故选：C
4．（2022·内蒙古通辽）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，然后平行线的性质可得∠BCD =70°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠ABM=∠OBC， ∠BCO=∠DCN，
∵∠ABM=35°，∴∠OBC=35°，∴∠ABC=180°-∠ABM-∠OBC=180°-35°-35°=110°，
∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠ABC=70°，
∵∠BCO+∠BCD+∠DCN=180°， ∠BCO=∠DCN，
∴．故选：A
5．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，把一块三角板的直角顶点B放在直线上，，ACEF，则（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【分析】根据三角板的角度，可得，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：，
ACEF，故选C
6．（2022·湖北鄂州）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【分析】由作图得为等腰三角形，可求出，由l1l2得，从而可得结论．
【详解】解：由作图得，，∴为等腰三角形，∴
∵∠BCA＝150°，∴
∵l1l2∴故选B
7．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，∴∠A＝∠D=30°，故选：C．
8．（2022·海南）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=140°，
∴∠AEF=∠1-∠A=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，
∵，∴∠2=∠BEF=100°．故选：B
9．（2022·黑龙江齐齐哈尔）如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（ ）
A．57° B．63° C．67° D．73°
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质可求出，可得出，再根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：∵AC=BC，∴是等腰三角形，
∵ ∴
∴
∵a∥b，∴ 故选：D
10．（2022·湖北恩施）已知直线，将含30°角的直角三角板按图所示摆放．若，则（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质可得∠3=∠1=120°，再由对顶角相等可得∠4=∠3=120°，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得：∠5=30°，
∵，∴∠3=∠1=120°，∴∠4=∠3=120°，
∵∠2=∠4+∠5，∴∠2=120°+30°=150°．故选：D
题型三、角平分线
1．（2021·湖南益阳）如图，与相交于点O，是的平分线，且恰好平分，则_______度．
【答案】60
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义、平角的定义可得，再根据对顶角相等即可得．
【详解】
解：设，
是的平分线，
，
平分，
，
又，
，
解得，即，
由对顶角相等得：，
故答案为：60．
2．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则_________度．
【答案】15
【分析】根据，，判断OB是的角平分线，即可求解．
【详解】解：由题意，，，，
即点O到BC、AB的距离相等，
∴ OB是的角平分线，
∵ ，
∴．故答案为：15．
3．（2022·湖南郴州）如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
【答案】8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
【详解】解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
题型四、线段的垂直平分线
1．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
【答案】C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，
∵，，∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故选：C
2．（2022·四川成都）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．
【答案】7
【分析】连接EC，依据垂直平分线的性质得．由已知易得，在Rt△AEC中运用勾股定理求得AE，即可求得答案．
【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线，
连接EC，如图，
所以，
所以，
所以∠BEC=∠CEA=90°，
因为，，
所以，
在中，，
所以，
因此的长为7．
故答案为：7．
3．（2022·四川达州·中考真题）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为_____．
【答案】##50度
【分析】根据作图可知，，根据直角三角形两个锐角互余，可得，根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由作图可知是的垂直平分线，
，
，
，
故答案为：．

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