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2023年中考数学第一轮复习
模块四 三角形
专题3 全等三角形
全 等 三 角 形 定义 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
性质 （1）全等三角形的对应边、对应角相等. （2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等. （3）全等三角形的周长相等、面积相等.
判定 （1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(简称“SAS”) （2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简称“ASA”) （3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简称“AAS”) （4）有三边对应相等的两个三角形全等.(简称“SSS”) （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)
题型一、全等三角形的判定
1．（2022·四川成都）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
3．（2022·浙江金华）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北黄冈）如图，已知，，请你添加一个条件________，使．
5．（2022·四川宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．
求证：．
6．（2022·四川乐山）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
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7．（2022·广西）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
(1)求证：△ABC≌△CDA ；(2)求草坪造型的面积．
8．（2022·福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
题型二、全等三角形的性质与判定综合
1．（2020·四川内江）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
2．（2022·湖南长沙）如图，AC平分，垂足分别为B，D．
(1)求证：；
(2)若，求四边形ABCD的面积．
3．（2020·湖北黄石）如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
4．（2022·湖南湘潭）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
5．（2022·湖南怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
6．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
2023年中考数学第一轮复习
模块四 三角形
专题3 全等三角形
全 等 三 角 形 定义 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
性质 （1）全等三角形的对应边、对应角相等. （2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等. （3）全等三角形的周长相等、面积相等.
判定 （1）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(简称“SAS”) （2）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简称“ASA”) （3）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简称“AAS”) （4）有三边对应相等的两个三角形全等.(简称“SSS”) （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)
题型一、全等三角形的判定
1．（2022·四川成都）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；
故选：B．
2．（2022·云南）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE
【答案】D
【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．
【详解】解：∵OB平分∠AOC∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS）∴D答案正确．故选：D．
3．（2022·浙江金华）如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．故选：B．
4．（2022·湖北黄冈）如图，已知，，请你添加一个条件________，使．
【答案】或或
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据全等三角形的判定方法添加条件．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断；
当添加时，根据可判断．
故答案为：或或．
5．（2022·四川宜宾）已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，．
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据，可得，根据证明，进而可得，根据线段的和差关系即可求解．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（2022·四川乐山）如图，B是线段AC的中点，，求证：．
【答案】证明过程见详解
【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵，
∴∠A=∠EBC，
∵，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
7．（2022·广西）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝
(1)求证：△ABC≌△CDA ；(2)求草坪造型的面积．
【答案】(1)见解析
(2)草坪造型的面积为
【分析】（1）根据“SSS”直接证明三角形全等即可；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，利用含30°的直角三角形的性质求出的长度，继而求出的面积，再由全等三角形面积相等得出，即可求出草坪造型的面积．
(1)在和中，
，
；
(2)
过点A作AE⊥BC于点E，
，
，
，
，
，
，
，
草坪造型的面积，
所以，草坪造型的面积为．
8．（2022·福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】证明：∵BF＝EC，
∴，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴，
∴∠A＝∠D．
题型二、全等三角形的性质与判定综合
1．（2020·四川内江）如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【解析】
【分析】
（1）根据角角边求证即可；
（2）根据已知可得，根据等边对等角可得结果．
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（2022·湖南长沙）如图，AC平分，垂足分别为B，D．
(1)求证：；
(2)若，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；
（2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形ABCD的面积求解即可．
(1)
AC平分，
，
，
；
(2)
，，
，
，
，
四边形ABCD的面积．
3．（2020·湖北黄石）如图，．
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】
（1）∵AB∥DE，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE≌△CBA（ASA），
∴AD=BC．
4．（2022·湖南湘潭）在中，，，直线经过点，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、．
(1)特例体验：如图①，若直线，，分别求出线段、和的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线从图①状态开始绕点旋转，请探究线段、和的数量关系并说明理由；②如图③，若直线从图①状态开始绕点A顺时针旋转，与线段相交于点，请再探线段、和的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段交线段于点，若，，求．
【答案】(1)BD=1；CE=1；DE=2
(2)DE=CE+BD；理由见解析；②BD=CE+DE；理由见解析 (3)
【分析】（1）先根据得出，根据，得出，，再根据，求出，，
即可得出，最后根据三角函数得出，，即可求出；
（2）①DE=CE+BD；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
②BD=CE+DE；根据题意，利用“AAS”证明，得出AD=CE，BD=AE，即可得出结论；
（3）在Rt△AEC中，根据勾股定理求出，根据，得出，代入数据求出AF，根据AC=5，算出CF，即可求出三角形的面积．
(1)解：∵，，∴，
∵，∴，，
∵BD⊥AE，CE⊥DE，∴，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
(2)DE=CE+BD；理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=CE+BD，
即DE=CE+BD；
②BD=CE+DE，理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥DE，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB=AC，
∴，
∴AD=CE，BD=AE，
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE，
即BD=CE+DE．
(3)
根据解析（2）可知，AD=CE=3，
∴，
在Rt△AEC中，根据勾股定理可得：，
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵AB=AC=5，
∴．
5．（2022·湖南怀化）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．
(1)求证：MP=NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
【答案】(1)见详解；
(2)0.5a．
【分析】（1）过点M作MQCN，证明即可；
（2）利用等边三角形的性质推出AH=HQ，则PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）．
(1)
如下图所示，过点M作MQCN，
∵为等边三角形，MQCN，
∴，
则AM=AQ，且∠A=60°，
∴为等边三角形，则MQ=AM=CN，
又∵MQCN，
∴∠QMP=∠CNP，
在，
∴，
则MP=NP；
(2)
∵为等边三角形，且MH⊥AC，
∴AH=HQ，
又由（1）得，，
则PQ=PC，
∴PH=HQ+PQ=0.5（AQ+CQ）=0.5AC=0.5a．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)cm
【分析】（1）利用ASA证明即可；
（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=x，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴（ASA）；
(2)
如图，过点E作EG⊥BC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴,
设AE=x，
∴EP=x，
由知，EP=CF=x，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,
即，
解得，，
∴BC=BG+GC= cm．

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