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人教A版（2019）选择性必修第三册《6.2 排列与组合》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）一次考试表彰大会上有名男生名女生一起上台领奖，要求男女生站成一排，如果男、女生各不相邻，则有种排法．
A. B. C. D.
2.（5分）有个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.（5分）从人中选人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.（5分）某校安排高一年级班共个班去，，，四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班被安排到基地的排法总数为
A. B. C. D.
5.（5分）甲、乙、丙名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是
A. B. C. D.
6.（5分）年月号，国家航天局探月与航天工程中心表示，中国首辆火星车全球征名活动已经完成了初次评审．评审委员会遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、星火个名称，将其作为中国首辆火星车的命名范围．某同学为了研究这些初选名称的涵义，计划从中选个名称依次进行分析，其中有个是祝融，其余个从剩下的个名称中随机选取，则祝融不是第个被分析的情况有
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.（5分）小华在学校里学习了二十四节气歌，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒个冬季节气与立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨个春季节气中一共选出个节气，若冬季节气和春季节气各至少选出个，则小华选取节气的不同方法种数是
A. B. C. D.
8.（5分）甲、乙、丙三家公司承包项工程，甲承包项，乙承包项，丙承包项，不同的承包方案有种.
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳约公元世纪所著，该书主要记述了：积算即筹算、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数种方法某研究性学习小组人分工搜集整理种方法的相关资料，其中一人种、另两人每人种，则不同的分配方法有
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
10.（5分）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有
A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
D. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
11.（5分）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》本书分给名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为
A. B.
C. D.
12.（5分）现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是
A. 共有不同的安排方法有种
B. 若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有种
C. 若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有种
13.（5分）等于
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分） 现将张连号的电影票分给甲乙等个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有______种不同的分法用数字作答．
15.（5分）从名骨科、名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是 ______用数字作答
16.（5分）为抗击新冠疫情，名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的分配方案有 ______ 种
17.（5分）从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数用数字作答
要从甲、乙等人中选人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有________种．用数字作答
18.（5分）若；则______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）甲、乙、丙、丁位同学在同一天的上午、下午参加“唱”“跳”“”“篮球”“数学”五个项目的测试，每位同学上午、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“篮球”项目，下午不测“数学”项目，其余项目上午、下午都各测试一人，求不同的安排方式种数．
20.（12分）已知名学生和名教师站在一排照相，求：
中间两个位置排教师，有多少种排法？
首尾不排教师，有多少种排法？
两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？
两名教师不能相邻的排法有多少种？
21.（12分）用，，，，，这六个数字：最后运算结果请以数字作答
能组成多少个无重复数字的四位偶数？
能组成多少个无重复数字且为的倍数的四位数？
能组成多少个无重复数字且比大的四位数？
22.（12分）名同学，站成一排排队：
甲站在最中间的排法共有多少种？
甲、乙两名同学相邻的排法共有多少种？
甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？
23.（12分）有 名男生和名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？
Ⅰ 男生甲不站排头和排尾．
Ⅱ 两名女生必须相邻．
Ⅲ 甲、乙、丙三名同学两两不相邻．
Ⅳ 甲不站排头，乙不站排尾．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：由题意可得，先将名男生排序，有 种方案，
将名女生插空到名男生产生的个间隔中，并排序，有种方案，
故满足条件的方案共有 种．
故选：
根据已知条件，结合插空法和分步计数乘法原理，即可求解．
此题主要考查了插空法和分步计数乘法原理，属于基础题．
2.【答案】B;
【解析】解：由题意，第一步将甲与丁乙绑定，两者的站法有种，第二步将此两人看作一个整体，与除丙丁之外的两人看作个元素做一个全排列有种站法，此时隔开了四个空，第三步将丙丁两人插入四个空，排法种数为
则不同的排法种数为．
故选：．
由题设中的条件知，可以先把甲和乙必须相邻，可先将两者绑定，又丙与丁不相邻，可把甲和乙看作是一个人，与丙丁之外的一个人作一个全排列，由于此个元素隔开了个空，再由插空法将丙丁两人插入个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．
此题主要考查排列、组合及简单计数问题，解答该题的关键是掌握并理解计数原理，计数时的一些技巧在解题时很有用，如本题中所用到的绑定，与插空，这些技巧都是针对某一类计数问题的，题后应注意总结一下，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了组合问题，属于基础题.
甲必须参加中推出题意只要从除甲之外的人中选人即可得解.

解：由题意可得甲必须参加，
因此只要从除甲之外的人中选人即可，
有种不同的选法.
故选
4.【答案】C;
【解析】解：高一班被安排到基地，
若基地有两个班，则只要把剩余的个班分到四个基地即可，有种，
若基地只有一个班，则只要把剩余的个班分到三个基地即可，有种，
共有种．
故选：
根据题意，分基地有两个班和基地只有一个班，分别求解即可．
此题主要考查了排列的计算，属于基础题．
5.【答案】D;
【解析】
此题主要考查古典概型，排列与排列数公式．
先求出基本事件总数，甲、乙两人站在一起包含的基本事件数为，由此能求出甲、乙两人站在一起的概率．
解：甲、乙、丙名学生排成一排，
基本事件总数，
甲、乙两人站在一起包含的基本事件数为，
则其中甲、乙两人站在一起的概率
故选
6.【答案】A;
【解析】解：其余个从剩下的个名称中随机选取，共有种，
则祝融不是第个被分析的情况有种，
故选：
其余个从剩下的个名称中随机选取，共有种，然后再给祝融选择一个位置，其他再排列即可求解．
此题主要考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查计数原理和组合数的应用，属于基础题.
根据题意， 小华可以选取个冬季节气个春季节气，个冬季节气个春季节气 从而利用组合数求出选取节气的不同方法的种数.

解：根据题意， 小华可以选取个冬季节气个春季节气， 个冬季节气个春季节气，
故小华选取节气的不同方法有种
故选
8.【答案】D;
【解析】此题主要考查计数原理的应用，考查组合与组合数的应用，由题意，甲承包项，有种方法，乙承包项，有种方法，丙承包项，有种方法，利用乘法原理可得结论． 解：甲、乙、丙三家公司承包项工程，甲承包项，乙承包项，丙承包项，
甲承包项，有种方法，乙承包项，有种方法，丙承包项，有种方法，
不同的承包方案有种，
故选
9.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查分组、分配问题，属于中档题.
先进行分组，注意平均分组问题，分组后一定要除以为均分的组数，避免重复计数，再分配给三人

解：先将种计算方法分为三组，方法有种，
再分配给个人，方法种，即种，
故，正确；
故选
10.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查排列的应用及分步乘法计数原理，属于基础题.
根据插空法和捆绑法以及特殊位置法逐个判断即可．

解：中；
中；
中；
中
故选
11.【答案】AD;
【解析】解：方法一：本分给名数学爱好者，每人至少一本，
则把本书为一组，再分配给名数学爱好者，故有种；
方法二：先从名数学爱好者选人得到本，其余一人一本，故有种．
故选：
方法一：本分给名数学爱好者，每人至少一本，则把本书为一组，再分配给名数学爱好者，
方法二：先从名数学爱好者选人得到本，其余一人一本．
此题主要考查了分组分配问题，关键是如何分配，属于基础题．
12.【答案】ABD;
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每个学生有种选法，则三个学生有种选法，正确；
对于，三人到个工厂，有种情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有种，
则工厂甲必须有同学去的安排方法有种，正确；
对于，若同学必须去工厂甲，剩下名同学安排到个工厂即可，有种安排方法，错误；
对于，若三名同学所选工厂各不相同，有种安排方法，正确；
故选：
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
13.【答案】CD;
【解析】解：，
故选：
由题意利用组合数的性质，得出结论．
此题主要考查组合数的性质，属于基础题．
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查了分步乘法计数原理及排列知识，属于基础题．
甲乙分得的电影票连号，有种情况，其余人，有种情况，即可得出结论．

解：甲乙分得的电影票连号，有种情况，其余人，有种情况，
共有种不同的分法．
故答案为：．
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查排列问题的应用，属于基础题.

直接法：名骨科、名脑外科和名内科医生，有种，
名骨科、名脑外科和名内科医生，有种，
名骨科、名脑外科和名内科医生，有种，
名骨科、名脑外科和名内科医生，有种，
名骨科、名脑外科和名内科医生，有种，
名骨科、名脑外科和名内科医生，有种，
共计种
故答案为
16.【答案】150;
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
①将为专家分为组，
若分为、、的三组，有种分组方法，
若分为、、的三组，有种分组方法，
则一共有种分组方法，
②将分好的三组分派到三家定点医院，有种情况，
则有种不同的分配方案，
故答案为：．
根据题意，分步进行分析：①将为专家分为组，②将分好的三组分派到三家定点医院，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
17.【答案】；
;
【解析】
此题主要考查排列组合及简单的计数问题，先选后排是解决问题的关键，属于综合题．
根据题意，分种情况讨论：①，取出的个数字中没有，②，取出的个数字中含有，由分步计数原理计算每一种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案．
此题主要考查排列、组合的应用.
根据题意，分步进行分析：①，在除甲乙之外的人中选出人，安排在甲乙人之间，安排好之后，将人看成一个整体；②，在剩下的人选出人，将这个整体全排列，由分步计数原理计算可得答案．

解：分两类，第一类，若取的个数字不包括，则可以组成的四位数的个数为；
第二类，若取的个数字包括，则可以组成的四位数的个数为综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为

依题意，第一步，从除甲、乙之外的人中选出人，安排在甲、乙人之间，有种方法，再将甲、乙进行排列，有种方法；
第二步，从其余的人中任选人，有种方法，再把甲、乙及第一步中所选出的人视为一个整体与第二步中所选出的这个人进行排列，有种方法．
故满足题意的不同的发言顺序共有种
18.【答案】7或3;
【解析】解：；则 ，或，求得或，
故答案为：或
由题意利用组合数的计算公式，组合数的性质，求得的值．
此题主要考查组合数的计算公式，组合数的性质，属于基础题．
19.【答案】解，根据题意，先安排4位同学参加上午的“唱”“跳”“RAP”“数学”测试，共有A44种不同安排方式；
接下来安排下午的“唱”“跳”“RAP”“篮球”测试，
假设A、B、C同学上午分别安排的是“唱”“跳”“RAP”测试，
若D同学选择“数学”测试，安排A、B、C同学分别交叉测试，有2种安排方法；
若D同学选择“唱”“跳”“RAP”测试中的1种，有A31种方式，安排A、B、C同学进行测试有3种；
根据计数原理共有安排方式的种数为A44（2+A31×3）=264，
故有264种安排方法．;
【解析】
根据题意，先安排上午的测试安排方法，再分析下午的测试安排方法，由分步计数原理计算可得答案．
此题主要考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题．
20.【答案】解：（1）4名学生和2名教师站在一排照相，
中间两个位置排教师，先排老师再排学生，
有=48种排法．
（2）首尾不排教师，先在中间四个位置选两个位置排老师，再排学生，
有=288种排法．
（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，先在中间四个位置选两个相邻位置排老师，再排学生，
有=144种排法．
（4）两名教师不能相邻，先排四名学生，再利用插空法排2名老师，
有=480种排法．;
【解析】
名学生和名教师站在一排照相，中间两个位置排教师，先排老师再排学生，能求出不同排法种法．
首尾不排教师，先在中间四个位置选两个位置排老师，再排学生，能求出不同排法种法．
两名教师不站在两端，且必须相邻，先在中间四个位置选两个相邻位置排老师，再排学生，能求出不同排法种法．
两名教师不能相邻，先排四名学生，再利用插空法排名老师，能求出不同排法种法．
该题考查不同的排法种数的求法，考查排列组合知识等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21.【答案】解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有个，
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个，
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个，
由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个．
（2）符合要求的数可分为两类：
第一类：个位数上的数字是0的四位数有个，
第二类：个位数上的数字是5的五位数有个，
故满足条件的五位数的个数共有个．
（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个，
第二类：形如14□□，15□□，共有个，
第三类：形如134□，135□，共有个，
第四类：形如123□，共有个，
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有：个．;
【解析】
根据题意，分在个位，在个位，在个位，根据分类计数原理可得；
的倍数则个位数字为或的数，根据分类计数原理可得；
根据题意，分种情况讨论，由分类计数原理可得．
此题主要考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
22.【答案】解：（1）先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列，
共有种排列方法．
（2）先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，再与其余的5个
元素（同学）一起进行全排列有种方法，
∴这样的排法一共有种方法．
（3）先将其余四个同学排好有种方法，此时他们留下五个“空”，
再将甲、乙和丙三名同学分别插入这五个“空”有种方法，
∴一共有种．;
【解析】
固定甲的位置，其他同学全排列即可；
利用捆绑法，将甲乙捆绑后和其余同学全排列即可；
利用插空法，将甲、乙和丙三名同学分别插到其余四个同学排好后形成的空中即可．
此题主要考查计数原理与排列组合计数规律，属于计数中的基本题，难度较低，解答的关键是搞清楚是排列问题还是组合问题，准确找到解决问题的方案是解答的难点
23.【答案】解：（Ⅰ）∵甲不站排头也不站排尾，
∴甲要站在除去排头和排尾的四个位置，
余下的五个位置使五个元素全排列，
根据分步计数原理知共有A41A55=480种；
（Ⅱ） 两名女生必须相邻，利用捆绑法，有A22A55=240种；
（Ⅲ）∵甲、乙、丙不相邻，
∴可以采用甲，乙和丙插空法，
首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有A33种结果，
再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A43，
根据分步计数原理知共有A33A43=144种．
（Ⅳ） 甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法，可得有A66-2A55+A44=504种．;
【解析】
Ⅰ甲不站排头也不站排尾，甲要站在除去排头和排尾的四个位置，余下的五个位置使五个元素全排列，根据分步计数原理得到结果．
Ⅱ 两名女生必须相邻，利用捆绑法；
Ⅲ甲、乙、丙不相邻，可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有种结果，再在三个元素形成的四个空中排列个元素，共有，根据分步计数原理得到结果．
Ⅳ 甲不站排头，乙不站排尾．利用间接法．
站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素，最后要用分步计数原理得到结果．

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