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第22讲 “取点”的技巧
知识与方法
运用“零点存在性定理”来判断零点的存在性时,其中的“点”如何选取,这是一个难点.本节介绍取点的常用方法和技巧,通过学习后自然会解开这个困惑.让“取点”不再神秘.
1.零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0,那么函数在区间内必有零点,即,使得.
2.关于“取点”
所谓的“取点”,是指在某个范围内取一点,使得或.
3.“取点”的方法
下面介绍一些常用的“取点”方法,来寻找合理有效的数与,使得.
(1)直接赋值法;
(2)局部为零法;
(3)揷值取点法;
(4)放缩取点法.
典型例题
直接取点法
当函数相对简单时,可以将区间端点或等特殊数值代入尝试,通过计算判断正负;
【例1】已知函数,其中.
(1)当时,求的单调区间;
(2)证明:对任意的在区间内均存在零点.
【解析】(1),解得或,
当时,在单调递增,在单调递减;
当时,在单调递增,在单调递减;
(2)证明:
(1)当,即时,在内单调递减.
所以在区间内均存在零点.
(2)当,即时,在内单调递减,在内单调递增;
若
,
所以在内存在零点.
若,
所以在内存在零点.
所以,对任意在区间内均存在零点.
综上,对于任意在区间内均存在零点.
【点睛】由于是我们熟悉的函数,于是直接取区间端点,再判断正负就好了.
局部为零法
【例2】若,求函数在上的零点个数.
【解析】因为单调递增,且,所以在上有且只有唯一个零点.
【点睛1】取用到了局部为零法.点睛意到中,有,于是分离出,即,令,得,便有.
【点睛2】点睛意到,也可以分离出,即,令,得,
便有.
【例3】若,求的零点个数.
【解析】易知
设,因为,所以,
设的两根为,则.
从而可得在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
所以在上单调递减,且,所以,所以.
又,
,
且,所以在上各有唯一零点.
综上所述,因此有3个零点,因此函数与直线有3个交点.
【点睛】其中取用了局部为0法:点睛意到,其中,只需让,即可满足要求.目解得,便有.
插值取点法
【例4】.求的零点个数.
【解析】,故在上单调递增,
而
所以在上存在唯一零点,
又因为
故在上存在唯一零点.
综上可知,有且仅有两个零点.
【点睛;我们在与之间揷入常数,使得
(2)取极限:当时,,于是取,则;
(3)解不等式组,得,即,于是取,即有
【例5】已知,证明:存在,使得.
【解析】令得,在与之间揷入一个二次式和一个一次式,,由解得,于是取,即有.
【例6】已知函数(为常数)的图象与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值;
(2)证明:当时,;
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有.
【解析】(1)由,得.
又,解得,
所以.
由,得,
当时,单调递减;当时,单调递增;
所以当时,有极小值为无极大值.
(2)令,则,
由得,,即,
所以当时,,即;
(3)首先证明当时,恒有.证明如下:
令,则.
由知,当时,,
从而在单调递减,
所以,即,
取,当时,有.
因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.
【点睛】第(3)问我们采用了揷值取点的方法,即在与之间揷入一个三次式.于是先证明了,则,于是只需令即可.解不等式
得,于是取,则当时,就有,故,问题得证.
事实上,我们还可以结合不等式进行取点,过程与前面类似,不 .
放缩取点法
一般情形下,放缩的目标应锁定于对函数的变化趋势起不了主导作用的那些项.即在要取点的极限处不改变函数的极限,这样就能保证取的的值在对应范围内.放缩目的为化超越方程为一般方程.
(1)对数放缩
由熟知不等式可得,再对作简单的代换,可以进一步将放大或缩小:
放大:由可得,于是,作用:将放大,可以根据需要选择合适的常数(其中).
如分别取,可得.
缩小:由可得,于是,作用:将缩小,可以根据需要选择合适的常数.
如分别取,可得.
(2)指数放缩
由熟知不等式可得,进而有.
当时,有;
分别取,可得.
当时,有;
分别取,可得.
【例7】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【解析】(1)由,求导,
当时,,所以在上单调递减,
当时,在上单调递减,在上单调递增;
(2)由题意知,且,
当时,,故只有一个零点;
当时,由,故没有零点;
当时,,
由,且,
因为,所以,
解得,即,且故在上共有2个零点,
综上所述,的取值范围是.
【点睛1】在中,当趋近于正无穷时起主导地位,故可以放缩其他非主导部分.利用,所以,解得,即.
【点睛2】在中当趋近于正无穷时起主导地位,所以,解得,即.
【例8】已知函数.若函数有两个零点,证明:.
【解析】(1).
当时,单调递减,此时至多有一个零点,不合题意;
当时,令,得.
当时,单调递减;
当时,单调递增.
所以的最小值为.
因为有两个零点,必须满足,从而解得.
又因为,所以在内有一个零点;
取,且,
因为,从而,
所以,得
所以.
所以存在,使得.即在内有一个零点.
从而可知,实数满足.
【点睛1】,这是在处的泰勒展开式.从而,所以,令,解得,从而可取.
【点睛2】为何不利用放缩,而改为更为复杂的 因为在1中为主导项,若放缩成为一次幂则丧失了主导项,而放缩为二次幂函数主导项仍保堲.
【例9】已知函数.证明:只有一个零点.
【解析】因为,
所以等价于,
令,
则,仅当时,,所以在上是增函数;
至多有一个零点,从而至多有一个零点.
又因为,
故有一个零点,
综上,只有一个零点.
【点睛】与这两个点是怎么来的
点睛意到,则
又,所以,
于是
要取点使得,只需令,即,得;
要取点使得,只需令,即,
于是取,便得.
【例10】已知函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【解析】,则1),令,解得或,令,解得,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为;
(2),则,
(1)当时,,函数只有一个零点,不符合题意;
(2)当时,,易知此时函数在上单调递减,在上单
调递增,
所以,
又,
所以当时,存在,使得,
当时,,则,所以,
取,则,
所以,即函数在有一个零点,
所以函数有两个零点;
(3)当时,由得,或,
(i)当,即时,由得,或,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,
所以至多有一个零点,不合题意;
(ii)当,即时,在上递增,
所以至多有一个零点,不合题意;
(iii)当,即时,得,或,
所以在上递增,在上递减,
因为时,,所以,
又,所以至多有一个零点,不合题意;
综上,实数的取值范围为.
【例11】已知函数.
(1)若时,求函数的最小值;
(2)若,证明:函数有且只有一个零点;
(3)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【解析】(1)当时,,
所以.
令,得,当时,;当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
所以当时,有最小值;
证明:(2)由,得,
所以当时,,函数在上单调递减,
所以所以当时,在上最多有一个零点.
因为当时,,
所以当时,函数在上有零点.
综上,当时,函数有且只有一个零点;(3)由(2)知,当时,在上最多有一个零点.
因为有两个零点,所以.
由,得.
令,
因为,所以在上只有一个零点,设这个零点为,
当时,;
当时,;
所以函数在上单调递减;在上单调递增.
要使函数在上有两个零点,
只需要函数的极小值,即.
因为,
所以
,
可得,
又因为在上是增函数,且,
所以,
由,得,
所以,即.
以下验证当时,函数有两个零点.
当时,,
所以.
因为,且,
所以函数在上有一个零点.
又因为,
且在上有一个零点.
所以当时,函数在内有两个零点.
综上,实数的取值范围是.
【例12】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)试求的零点个数,并证明你的结论.
【解析】(1)由函数,得.
令,得.列表如下:
0
递减 极小值 递增
因此,函数的单调递增区间为,单调减区间为.
(2)由(1)可知,.
(i)当时,由,得函数的零点个数为0.
(ii)当时,因在上是单调增,在上单调减,
故时,.
此时,函数的零点个数为1.
(iii)当时,.
(1)当时,因为当时,,
所以,函数在区间上无零点;
另一方面,因为在单调递增,且,
由,且,
此时,函数在上有且只有一个零点.
所以,当时,函数零点个数为1.
(2)当时,因为在上单调递增,且
所以函数在区间上有且只有一个零点;
另一方面,因为在上是单调递减,且
又,且,(当时,成立)
此时,函数在上有且只有一个零点.
所以,当,函数的零点个数为2.
综上所述,当时,的零点个数为0;
当时,或时,的零点个数为1;
当时,的零点个数为2.
强化训练
1.已知函数,其中是自然对数的底数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,讨论函数零点的个数,并说明理由.
【解析】(1)因为,
所以.
由,得;由,得.
所以的增区间是,减区间是.
(2)因为.
由,得或.
设,又,即不是的零点,
故只需再讨论函数零点的个数.
因为,
所以当时,单调递减;当时,
单调递增.
所以当时,取得最小值.
(1)当,即时,无零点;
(2)当,即时,有唯一零点;
(3)当,即时,
因为,所以在上有且只有一个零点.
令,则.
设,则,所以在上单调递
增,
所以,,都有.
所以.
所以在上有且只有一个零点.
所以当时,有两个零点.
综上所述,当时,有一个零点;
当时,有两个零点;
当时,有三个零点.
2.设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)讨论函数的零点个数.
【解析】(1)函数的定义域为
因为
当时，令得；令得或，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，无减区间；
当时，令得；令得或，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为．
(2)由(1)可知，当时，
函数的单调增区间为和，单调减区间为，
所以，
点睛意到，
所以函数有唯一零点，当时，函数在上单调递增，
又点睛意到所以函数有唯一零点；
当时，函数的单调递增是和上，单调递减是上，
所以，
点睛意到，
所以函数有唯一零点，
综上，函数有唯一零点．
3.已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)讨论的零点个数．
【解析】(1)当时，，
则，
因为，则，
所以时，时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故的单调递减区间是，单调递增区间是．
(2)因为，
则．
(1)当时，因为，则，
当时，，所以时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，．
①当时，即时，，
所以当时，函数没有零点，即函数零点个数为0；
②当，即时，，
所以当时，函数有且只有一个零点，即函数的零点个数为1；
③当，即时，，
则存在一个实数，使得，
当时，，对任意的，
则，取，因为，则，
则，则存在，使得，
即时，函数的零点个数为2．
(2)当时，令，则，则，
即函数有且只有一个零点
即函数的零点个数为1．
(iii)当时，令，
故在上单调递增．点睛意到，
令，则，则一定存在，使得，
所以时，时，．
因为，
①当，即时，，
所以，
所以时，，所以时，，
则在上单调递增，且，
则存在，使得，
所以函数有且只有一个零点，
即函数的零点个数为1．
因为，
②当时，，当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
③当时，，当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为时，，即，
所以在上没有零点，上至多有一个零点，
而，
令，则，则，
故在上单调递增，而，即，
故存在，使得，所以函数有且只有一个零点，
即函数的零点个数为1，综上所述：当时，函数的零点个数为0；
当或时，函数的零点个数为1；
当时，函数的零点个数为2．
4.已知函数．(e是自然对数的底数)
(1)求的单调区间；
(2)记，试讨论在上的零点个数．(参考数据：
【解析】(1)的定义域为，
由，得，解得，
由，得，解得：，
所以的递增区间是，单调递减区间，
(2)由已知得，所以，
令，则，
因为，所以时，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，
①当，即时，，所以，
所以，使得，所以当；
当时，，所以在上单调递增，在单调递减；
因为，所以，
又因为，所以由零点存在定理得，此时在上仅有一个零点，
②若时，，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，使得，
且当时，，当时，，
所以在和上单调递减，在单调递增．
因为，所以，因为，
所以，又因为，
由零点存在定理可得，在和内各有一个零点，
即此时在上有两个零点，
综上所述，当时，在上仅有一个零点，
当时，在上有两个零点．第22讲 “取点”的技巧
知识与方法
运用“零点存在性定理”来判断零点的存在性时,其中的“点”如何选取,这是一个难点.本节介绍取点的常用方法和技巧,通过学习后自然会解开这个困惑.让“取点”不再神秘.
1.零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0,那么函数在区间内必有零点,即,使得.
2.关于“取点”
所谓的“取点”,是指在某个范围内取一点,使得或.
3.“取点”的方法
下面介绍一些常用的“取点”方法,来寻找合理有效的数与,使得.
(1)直接赋值法;
(2)局部为零法;
(3)揷值取点法;
(4)放缩取点法.
典型例题
直接取点法
当函数相对简单时,可以将区间端点或等特殊数值代入尝试,通过计算判断正负;
【例1】已知函数,其中.
(1)当时,求的单调区间;
(2)证明:对任意的在区间内均存在零点.
局部为零法
【例2】若,求函数在上的零点个数.
【例3】若,求的零点个数.
插值取点法
【例4】.求的零点个数.
【例5】已知,证明:存在,使得.
【例6】已知函数(为常数)的图象与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
(1)求的值及函数的极值;
(2)证明:当时,;
(3)证明:对任意给定的正数,总存在,使得当时,恒有.
放缩取点法
一般情形下,放缩的目标应锁定于对函数的变化趋势起不了主导作用的那些项.即在要取点的极限处不改变函数的极限,这样就能保证取的的值在对应范围内.放缩目的为化超越方程为一般方程.
(1)对数放缩
由熟知不等式可得,再对作简单的代换,可以进一步将放大或缩小:
放大:由可得,于是,作用:将放大,可以根据需要选择合适的常数(其中).
如分别取,可得.
缩小:由可得,于是,作用:将缩小,可以根据需要选择合适的常数.
如分别取,可得.
(2)指数放缩
由熟知不等式可得,进而有.
当时,有;
分别取,可得.
当时,有;
分别取,可得.
【例7】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【例8】已知函数.若函数有两个零点,证明:.
【例9】已知函数.证明:只有一个零点.
【例10】已知函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【例11】已知函数.
(1)若时,求函数的最小值;
(2)若,证明:函数有且只有一个零点;
(3)若函数有两个零点,求实数的取值范围.
【例12】已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)试求的零点个数,并证明你的结论.
强化训练
1.已知函数,其中是自然对数的底数,.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,讨论函数零点的个数,并说明理由.
2.设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)讨论函数的零点个数.
3.已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)讨论的零点个数．
4.已知函数．(e是自然对数的底数)
(1)求的单调区间；
(2)记，试讨论在上的零点个数．(参考数据：

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