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最大值的最小值问题
知识与方法
求函数为参数,最大值中的最小值问题,在历年高考、自主招生、竞赛题中都有出现.由于含有两个参数,若分类讨论处理一般都异常复杂.此类问题的解决方法有:构造平口单峰函数、利用纵向距离、利用三点控制、三角换元等.
引理1:若为上连续的单峰函数,且为极值点,则当变化时,的最大值中的最小值为,当且仅当时取得.
这个引理的几何意义十分明显,如下图所示.
引理2:拉格朗日中值定理
如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在区间内至少存在一点,使等式成立.
【点睛】的解,就是与曲线相切且与封口直线平行切线的横坐标.
定义1:平口单峰函数
我们把满足引理1条件的函数称为平口单峰函数.
定义纵向距离
我们把称为与在处的纵向距离.的代数意义就是与在处的函数值之差的绝对值;的几何意义就是直线与两函数与图象交点间的距离.
【点睛】求函数最大值中的最小值时,用两条平行线去夹住曲线,当两平行线间的纵向距离最小时,其距离的一半就是最大值的最小值.
典型例题
二次函数型
【例1】设命题:存在,使得,其中.若无论取何值时,命题都是真命题,则的最大值为 .
【答案】
【解析】令,记在上的最大值为,
下面求的最小值.将图象进行左右平移不影响其最值,
点睛意到区间的长度为1,换成不影响结果
当时,取得最小值,
此时,
即的最小值为,故.
【例2】已知,若对于任意的恒成立,则 .
【答亲】-2
【解析】解法1:转化为二次函数
记,则,
当对称轴为且(平ロ单峰)
即时,在上的最大值取得最小值，
此时,所以.
解法2:切比雪夫最佳函数逼近
,令,则在上不变号,
如图
,令,即,
得切点,则的中点,
过且平行于的直线方程为,
令,得,
,所以.
解法3:绝对值三角不等式
记,则,
,
有,
而
则,
以上各不等式只能取等号,
则
或,
解得,所以.
解法构造平口单峰函数
,构造,由,
当,即时平口,即构造,
,
的中点,过且平行于的直线方程为,
令,得,所以.【点睛】记最大值的最小值为,则.
对勾函数型
【例3】已知函数,当时,设的最大值为,则的最小值为 .
【答案】
【解析】在上是“平口单峰”函数,极值点为1.
如图所示,经过与,方程为是与曲线相切且与平行的直线,方程为:的直线方程为:,故的最小值为:
单调函数型
【例4】设函数,若对任意实数,总存在实数,使得不等式成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】解法构造平口单峰函数
,记在上最大值的最小值为,
令,由得,
当即时平口,即得,
由得,则,
所以,故的取值范围是.
解法2:切比雪夫最佳函数逼近
,记在上最大值的最小值为,
令,则在上不变号,如图所示：
令,即,得切点.
过的中点,且与平行的切线方程为,令,所以,所以,故的取值范围是.
解法3:绝对值三角不等式
设,则,
记在上最大值的最小值为,
由,
得,
而
则,
所以,当且仅当时等号成立,
所以,故的取值范围是.
解法4:
记在上的最大值为,下面求的最小值。
令,则,记,
其图象为抛物线的一部分,
当对称轴为且时,取得最小值,
此时,即的最小值为,
所以,故的取值范围是.
三次函数型
【例5】设函数,若对任意实数,总存在实数使得不等式成立,求实数的取值范围.
【答案】
【解析】记,则,设在上的最大值为,\)
\)
因为,
所以,
于是,故.
【例6】已知函数,是否存在实数,使得对任意,均有.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】a.
【解析】解法1:四点控制
将代入(1)得;
将代入(2)得,故.
综上:.
解法2:三角代换
得
点睛意到,故.
【例7】已知函数的定义域为,记的最大值为,则的最小值为（）
A.4 B.3 C.2 D.
【答案】C
【解析】解法1:利用三次函数图像的对称性
令,故关于中心对称,
此时取最小值2.
解法2:三点控制
则,当即取得.
解法三角换元
令,得
则的最小值为2,当时取得.
解法:切比雪夫最佳逼近直线
设,用两条平行的直线夹住曲线,当两平行线间的铅锤距离最小时,距离的一半就是的最大值的最小值。
点睛意到,直线的方程为,
考虑与平行的直线与曲线相切,设切点为,
由,则,得或(舍),
所以切点为,切线方程为,
于是,得的最小值为2.
解法5:构造平口单峰函数
构造平口单峰,
不难发现在为平ロ单峰,
且极值点,故的最小值为,
故答案选.
强化训练
1.设函数,若对于任意实数,总存在,使得成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】给凑一个一次式,使得为上的“平口单峰”,由.此时,则,所以最大值的最小值为,所以
2.设函数,若对任意的实数和实数,总存在,使得,则实数的最大值是 .
【答案】
【解析】原问题等价于,
构造函数,且,则,解得:;
所以,
其中为平口单峰函数,
则函数可理解为函数与函数在横坐标相等时,两纵坐标的纵向距离,画出如下图像:
由图可知,
当函数位于直线与直线正中间时,函数取得最大值中的最小值,易知直线的方程为:,
又,令,解得或(舍去),在递减,在递增,所以.则直线的方程为.
所以;故,即实数的最大值是.故答案为:.
3.若对于任意的,都存在,使得不等式成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】解法1:
由得,即记的最大值为,
用两条平行的直线夹住曲线,
当两平行线间的纵向距离最小时,距离的一半就是的最大值的最小值.
设过的直线为,过的直线为,将坐标代入,得,点睛意到,则,故只需,即，,结合,解得,故的取值范围是.
解法2:绝对值三角不等式
由得,
即
记的最大值为,
则,点睛意到,
于是,
所以,故只需,化简得,
即,即，
结合,解得,
故的取值范围是.
4.已知函数对于任意的实数总存在使得恒成立.则取最大值时, .
A.7 B.4 C. D.
【答案】
【解析】解法1:三点控制
记时,,
今 ,
则.
因为,且,
所以
所以.
等号成立时,有,且
解得,
此时,易求得,故的最小值为2.
所以,即实数的最大值为2,此时.
解法2:三角换元法
因为,所以,
令,则,
结合三倍角余弦公式:,
可得
当时,,此时;
当或时,,
显然的最大值大于或等于2,此时.
综上所述:,当时取到最小值,
所以,即实数的最大值为2.
解法3:纵向距离
由题意,,从而.
设时,的最大值为,可以看作与图像上点的纵
向距离,则问题等价于求函数与图像上点的纵向距离的最大值的最小值.
记,连接,则,
所以直线方程为,此直线恰好与图像相切于点,
记直线为,设直线与平行且与的图像相切于点,,令,
解得或,所以切点,
从而切线的方程为
所以,当时取到最小值,
所以,即实数的最大值为2.
解法4:构造平口单峰函数
所以在递增,在递减,且,是"平口单峰"函数,
所以,所以,即实数的最大值为2.
5.已知函数,对任意的,都存在,使得成立,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】解法1:
因为,所以在上为增函数,
所以,
记在上的最大值为,
则有,
故只需,
因为,则对任意恒成立,
所以,解得,故的取值范围是.
解法2:
记在上的最大值为,则,当时,如图所示,
有,所以,
只需,即,即,
即对任意恒成立，
所以,解得,
故的取值范围是.
解法3:
设,记的最大值为,用两条平行的直线夹住曲线,当两平行线间的距离最小时,距离的一半就是最大值的最小值。
设过的直线为,过的直线为,
将坐标代入,得,
则,故只需,
因为,所以对任意恒成立,
所以,解得,故的取值范围是.
6.已知函数,当时,的最大值为,则的最小值为 .
【答案】
【解析】解法1:可以看作与的纵向距离.
设直线过点,且与相切于点,易得的方程为:0,切点,过点且与直线平行的直线方程为:,此时直线即为,故(的直线纵截距之析).
解法2:
所以
所以,当且仅当时等号成立.故的最小值为.最大值的最小值问题
知识与方法
求函数为参数,最大值中的最小值问题,在历年高考、自主招生、竞赛题中都有出现.由于含有两个参数,若分类讨论处理一般都异常复杂.此类问题的解决方法有:构造平口单峰函数、利用纵向距离、利用三点控制、三角换元等.
引理1:若为上连续的单峰函数,且为极值点,则当变化时,的最大值中的最小值为,当且仅当时取得.
这个引理的几何意义十分明显,如下图所示.
引理2:拉格朗日中值定理
如果函数满足在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在区间内至少存在一点,使等式成立.
【点睛】的解,就是与曲线相切且与封口直线平行切线的横坐标.
定义1:平口单峰函数
我们把满足引理1条件的函数称为平口单峰函数.
定义纵向距离
我们把称为与在处的纵向距离.的代数意义就是与在处的函数值之差的绝对值;的几何意义就是直线与两函数与图象交点间的距离.
【点睛】求函数最大值中的最小值时,用两条平行线去夹住曲线,当两平行线间的纵向距离最小时,其距离的一半就是最大值的最小值.
典型例题
二次函数型
【例1】设命题:存在,使得,其中.若无论取何值时,命题都是真命题,则的最大值为 .
【例2】已知,若对于任意的恒成立,则 .
对勾函数型
【例3】已知函数,当时,设的最大值为,则的最小值为 .
单调函数型
【例4】设函数,若对任意实数,总存在实数,使得不等式成立,则实数的取值范围是 .
三次函数型
【例5】设函数,若对任意实数,总存在实数使得不等式成立,求实数的取值范围.
【例6】已知函数,是否存在实数,使得对任意,均有.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【例7】已知函数的定义域为,记的最大值为,则的最小值为（）
A.4 B.3 C.2 D.
强化训练
1.设函数,若对于任意实数,总存在,使得成立,则实数的取值范围是 .
2.设函数,若对任意的实数和实数,总存在,使得,则实数的最大值是 .
3.若对于任意的,都存在,使得不等式成立,则实数的取值范围是 .
4.已知函数对于任意的实数总存在使得恒成立.则取最大值时, .
A.7 B.4 C. D.
5.已知函数,对任意的,都存在,使得成立,则实数的取值范围为 .
6.已知函数,当时,的最大值为,则的最小值为 .

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