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曲线运动
一、运动的合成与分解(多选会在题目前注明，没注明的是单选)
关联速度问题的常见模型
1.如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α 时，船的速率为（ ）
vsinα B．
C．vcosα D．
答案：C
解析：本题考查运动的合成与分解。本题难点在于船的发动机是否在运行、河水是否有速度。依题意船沿着绳子的方向前进，即船的速度是沿着绳子的，根据绳子连接体的两端物体的速度在绳子上的投影速度相同，即人的速度v在绳子方向的分量等于船速，故v船＝vcosα，C对。
2.如图，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则（ ）
A．细绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsin α
B．细绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcos α
C．物体B也做匀速直线运动
D．物体B做匀加速直线运动
答案　B
解析　如图所示，将A物体的速度按图示两个方向分解，知细绳速率v绳＝vcos α；而细绳速率等于物体B的速率，则有物体B的速率vB＝v绳＝vcos α，故A错误，B正确；因α减小，则vB＝v绳＝vcos α增大，B物体加速运动，但不是匀加速运动，故C、D错误。
3.如图所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰匀速上升。以下说法正确的是（ ）
A．物体B正向右做匀减速运动
B．物体B正向右做加速运动
C．地面对B的摩擦力减小
D．斜绳与水平方向成30°时，vA∶vB＝∶2
答案：D
解析：将B的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向上的分速度等于A的速度，如图所示，根据平行四边形定则有vBcos α＝vA，所以vB＝，当α减小时，物体B的速度减小，但B不是做匀减速运动，选项A、B错误；在竖直方向上，对B有mg＝FN＋FTsin α，FT＝mAg，α减小，则支持力FN增大，根据Ff＝μFN可知摩擦力Ff增大，选项C错误；根据vBcos α＝vA，知斜绳与水平方向成30°时，vA∶vB＝∶2，选项D正确。
二、平抛运动
1.（多选）如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（ ）
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同[m]
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
答案：BD
解析: 由平抛运动基本规律可求得：, 即平抛运动运动时间由高度决定，选项A错误，选项B正确。由平抛运动基本规律可知，a的用时比b短，但水平位移比b大，说明a的初速度较大，选项C错误；时间一定时，水平位移较大的，初速度较大，即D选项正确。
2.发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是（ ）
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案：C
解析：在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误。由v2＝2gh知，选项B错误。在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确。
3.（多选）如图(a)所示，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则（ ）
　
(a)　　　　　 　(b)　
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
答案：BD
解析：根据v t图线与横轴所围图形的面积表示位移，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的大，选项A错误；根据v t图线的斜率表示加速度，综合分析可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的小，选项C错误。
第二次滑翔过程中在竖直方向的位移比第一次的大，又运动员每次滑翔过程中竖直位移与水平位移的比值相同(等于倾斜雪道与水平面夹角的正切值)，故第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大，选项B正确；竖直方向上的速度大小为v1时，根据v t图线的斜率表示加速度可知，第二次滑翔过程中在竖直方向上的加速度比第一次的小，由牛顿第二定律有mg－f＝ma，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上所受阻力比第一次的大，选项D正确。
4.如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。
【解析】设圆半径为r，质点做平抛运动，则：
①
②
如图所示，过c点作cd⊥ab与ab相交于d点，Rt△acd ∽Rt△cbd可得, 即为： ③
由①②③得：r＝v02
例题3.结合斜面的考查问题
5. （多选）如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出（ ）
轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
答案：ABC
解析：根据题述，在落点处将速度沿水平方向和竖直方向进行分解，可得，通过图中几何关系可知：，H=h+y，y=gt2，联立上式可算出轰炸机的飞行高度H；轰炸机的飞行速度v，炸弹的飞行时间t，选项ABC正确。由于题述没有给出炸弹质量，不能得出炸弹投出时的动能，选项D错误。
方法提炼：
平抛运动解题的核心在于运动时间的求解，只要求解出时间，就能顺理成章解决其余问题。在本部分主要是利用位移偏角或速度偏角求解时间。
分类
典型 装置 速度偏角 位移偏角
常用 规律
推论 应用 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt θ与v0、t的关系：tan θ＝＝ 可求得飞行时间：t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平位移：x＝v0t 竖直位移： 位移偏角 可求得飞行时间：t＝
做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α。 (2)做平抛运动的物体，在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
6.在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
答案：A
解析：由于两个小球的起点和落点在同一斜面，因此甲乙两个小球的位移偏角相同，由推论：速度偏角正切值是位移偏角正切值的2倍，可知，甲乙两个小球的速度偏角也相同，因此速度的比等于落到斜面的合速度的比，由于初速度是2倍的关系，因此末速度也是2倍关系。
7.如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)（ ）
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
答案：D
解析：物体从抛出至落到斜面的过程中，位移方向与水平方向夹角为θ，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角为φ，由平抛运动的推论知tan φ＝2tan θ，选项D正确。
8.如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（ ）
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
答案：C
解析：小球从斜面某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan β＝＝，故可得tan β＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是β，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关，C选项正确。
三、圆周运动
1.如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则（ ）
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
答案　D
解析　传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，A错误；B、C两点绕同一轴转动，故B、C两点的角速度相等，故B错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由向心加速度an＝可知A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，C错误；由于B、C两点的角速度相等，由an＝ω2R可知B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2，又A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，故D正确。
2.如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落。则下列说法正确的是（ ）
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案：D
解析　小物体随圆筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，如图所示。故选项A错误；水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力越大，在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项B、C错误，D正确。
3. （多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
答案　AC
解析　小木块a、b做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R。当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa＝mωl，当Ffa＝kmg时，kmg＝mωa2l，ωa＝；对木块b：Ffb＝mωb2·2l，当Ffb＝kmg时，kmg＝mωb2·2l，ωb＝，所以b先达到最大静摩擦力，即b先开始滑动，选项A正确。两木块滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa4.如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的（ ）
A．运动周期不同
B．运动线速度大小相同
C．运动角速度大小相同
D．向心加速度大小相同
答案　C
解析　对其中一个小球受力分析，如图，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力：F＝mgtan θ①
由向心力公式得：F＝mω2r②
设小球与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htan θ③
由①②③得，ω＝，可知角速度大小与绳子的长度和转动半径无关，两球角速度大小相同，故C正确；又由T＝可知两球运动周期相同，故A错误；由v＝ωr可知，两球转动半径不等，线速度大小不同，故B错误；由a＝ω2r可知，两球转动半径不等，向心加速度大小不同，故D错误。
5.小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点（ ）
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案：C
解析：两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL＝mv2，v＝，因LPmQ，则两球的动能无法比较，选项A、B错误；在最低点绳的拉力为F，则F－mg＝m，则F＝3mg，因mP>mQ，则FP>FQ，选项C正确；向心加速度a＝＝2g，选项D错误。
6.如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（ ）
A．数据a与小球的质量有关
B．数据b与圆周轨道半径有关
C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
解析　在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有FT＋mg＝m，可得图线的函数表达式为FT＝m－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝m－mg，得g＝，则a＝gR，A错误；图线过点(2a，b)，则b＝m－mg，可得b＝mg，B错误；＝，C错误；由b＝mg得m＝，由a＝gR得R＝，则D正确。
答案　D
7.如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上作圆周运动。在此过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少
答案：C
解析：物体机械能守恒的条件是系统内只有重力或者弹力做功。小球在斜面上做圆周运动，在此过程中小球除了重力之外还有摩擦力做功，所以小球的机械能不守恒，故A错误；小球在斜面上做圆周运动，在此过程中小球在竖直方向上有位移产生，所以重力做功，故B错误；绳的张力始终与小球的速度方向垂直，所以绳的张力对小球不做功，故C正确；根据除了重力之外的力做功量度机械能的变化，在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球的机械能的减少，故D错误。所以选C。曲线运动
一、运动的合成与分解(多选会在题目前注明，没注明的是单选)
关联速度问题的常见模型
1.如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α 时，船的速率为（ ）
vsinα B．
C．vcosα D．
2.如图，物体A套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿杆匀速下滑(B始终未与滑轮相碰)，则（ ）
A．细绳与杆的夹角为α时，B的速率为vsin α
B．细绳与杆的夹角为α时，B的速率为vcos α
C．物体B也做匀速直线运动
D．物体B做匀加速直线运动
3.如图所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰匀速上升。以下说法正确的是（ ）
A．物体B正向右做匀减速运动
B．物体B正向右做加速运动
C．地面对B的摩擦力减小
D．斜绳与水平方向成30°时，vA∶vB＝∶2
二、平抛运动
1.（多选）如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向。图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（ ）
A．a的飞行时间比b的长
B．b和c的飞行时间相同[m]
C．a的水平速度比b的小
D．b的初速度比c的大
2.发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网，其原因是（ ）
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
3.（多选）如图(a)所示，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v t图象如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则（ ）
　
(a)　　　　　 　(b)　
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
4.如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆。ab为沿水平方向的直径。若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的c点。已知c点与水平地面的距离为圆半径的一半，求圆的半径。
5. （多选）如图，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A。已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出（ ）
轰炸机的飞行高度
B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间
D．炸弹投出时的动能
方法提炼：
平抛运动解题的核心在于运动时间的求解，只要求解出时间，就能顺理成章解决其余问题。在本部分主要是利用位移偏角或速度偏角求解时间。
分类
典型 装置 速度偏角 位移偏角
常用 规律
推论 应用 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt θ与v0、t的关系：tan θ＝＝ 可求得飞行时间：t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平位移：x＝v0t 竖直位移： 位移偏角 可求得飞行时间：t＝
做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α。 (2)做平抛运动的物体，在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
6.在一斜面顶端，将甲乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
7.如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(空气阻力不计)（ ）
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
8.如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（ ）
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
三、圆周运动
1.如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则（ ）
A．A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B．B、C两点的角速度之比为1∶2
C．A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
D．A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
2.如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落。则下列说法正确的是（ ）
A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
3. （多选）如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（ ）
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
4.如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的（ ）
A．运动周期不同
B．运动线速度大小相同
C．运动角速度大小相同
D．向心加速度大小相同
5.小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点（ ）
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
6.如图甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（ ）
A．数据a与小球的质量有关
B．数据b与圆周轨道半径有关
C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
7.如图，一轻绳的一端系在固定粗糙斜面上的O点，另一端系一小球。给小球一足够大的初速度，使小球在斜面上作圆周运动。在此过程中（ ）
A．小球的机械能守恒
B．重力对小球不做功
C．绳的张力对小球不做功
D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于小球动能的减少

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