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2023年中考数学第一轮复习
模块五 四边形
专题1 平行四边形
多边形 n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.
正多边形 定义 在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.
对角线 在多边形中,连接互不相邻的两个顶点的线段.
平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形.
性质 （1）平行四边形的对边平行; （2）平行四边形的对边相等; （3）平行四边形的对角相等; （4）平行四边形的对角线互相平分.
判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形; （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形; （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形; （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形; （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
题型一、平行四边形的性质
1．（2022·四川内江）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
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2.（2022·四川乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
3．（2022·湖南湘潭）在中（如图），连接，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江大庆）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
5．（2022·广东广州）如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________
6．（2022·江苏连云港）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
7．（2022·江苏扬州）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
题型二、平行四边形的判定
1．（2022·四川达州）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏宿迁）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：．
3．（2022·新疆）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
题型三、平行四边形的性质与判定综合
1．（2022·浙江嘉兴）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
2．（2022·山东泰安）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022·四川泸州）如图，已知点E、F分别在 ABCD的边AB、CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．
4．（2022·江苏无锡）如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．求证：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．
5．（2022·浙江温州）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当，时，求的长．
6．（2022·湖北随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．
7．（2022·广西贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．
题型四、平行四边形的动态问题
1．（2022·湖北恩施）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时， D．当时，或6s
2．（2022·贵州毕节）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
2023年中考数学第一轮复习
模块五 四边形
专题1 平行四边形
多边形 n边形的内角和为(n-2)·180°，外角和为360°.
正多边形 定义 在平面内,各内角都相等,各边也都相等的多边形叫做正多边形.
对角线 在多边形中,连接互不相邻的两个顶点的线段.
平行四边形 定义 两组对边分别平行的四边形.
性质 （1）平行四边形的对边平行; （2）平行四边形的对边相等; （3）平行四边形的对角相等; （4）平行四边形的对角线互相平分.
判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形; （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形; （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形; （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形; （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
题型一、平行四边形的性质
1．（2022·四川内江）如图，在 ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC＝8，进而可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD，
∴∠ABM＝∠CMB，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM＝∠CBM，
∴∠CBM＝∠CMB，
∴MC＝BC＝8，
∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，掌握其相关性质是解题的关键．
2.（2022·四川乐山）如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F．若AB=6，AC=8，DE=4，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．
【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四边形ABCD=DE×AB=2××AC×BF，
∴4×6=2××8×BF，∴BF=3，故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．
3．（2022·湖南湘潭）在中（如图），连接，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴ABCD ∴∠DCA＝∠CAB，
∵∠DCA+∠ACB，，
∴40 +80 =120 ，故选：C．
4．（2022·黑龙江大庆）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处．若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出∠A的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴，，
根据折叠可知，，∴，
，∴，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键．
5．（2022·广东广州）如图，在□ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为________
【答案】21
【解析】
【分析】
根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10,
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=16+10=21．
故答案为：21．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分，属于中考基础题．
6．（2022·江苏连云港）如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2022·江苏扬州）如图，在中，分别平分，交于点．
(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)84
【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
(1)
证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴．
(2)
如图，作，
∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
题型二、平行四边形的判定
1．（2022·四川达州）如图，在中，点D，E分别是，边的中点，点F在的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且DE=AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．
【详解】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE=AC，
A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC=CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B．
2．（2022·江苏宿迁）如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE∥CF，AE=CF=AD，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
3．（2022·新疆）在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
(1)求证：；
(2)求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用SAS直接证明；
（2）利用和已知条件证明，即可推出四边形BCDE是平行四边形．
(1)
证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
(2)
证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键．
题型三、平行四边形的性质与判定综合
1．（2022·浙江嘉兴）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】C
【分析】根据，，可得四边形AEFG是平行四边形，从而得到FG=AE，AG=EF，再由，可得∠BFE=∠C，从而得到∠B=∠BFE，进而得到BE=EF，再据四边形的周长是2（AE+EF），即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴FG=AE，AG=EF，
∵，∴∠BFE=∠C，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BFE，∴BE=EF，
∴四边形的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=2AB=2×8=16．故选：C
2．（2022·山东泰安）如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
【详解】解：点为的中点，，
又，，
，是等边三角形，
，，
，即，故①正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，，
，，
四边形是平行四边形，
又，点为的中点，，
平行四边形是菱形，故③正确；
，在中，，
，故②正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，，故④正确；
综上所述：正确的结论有4个，故选：A．
3．（2022·四川泸州）如图，已知点E、F分别在 ABCD的边AB、CD上，且AE=CF．求证：DE=BF．
【答案】证明详见解析.
【分析】由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB=CD，AB∥CD．然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE=FD，易证四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∵AE=CF．
∴BE=FD，BE∥FD，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴DE=BF．
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
4．（2022·江苏无锡）如图，在 ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
(2)
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
5．（2022·浙江温州）如图，在中，于点D，E，F分别是的中点，O是的中点，的延长线交线段于点G，连结，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)当，时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据E，F分别是，的中点，得出，根据平行线的性质，得出，，结合O是的中点，利用“AAS”得出，得出，即可证明是平行四边形；
（2）根据，E是中点，得出，即可得出，即，根据，得出CD=2，根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出．
(1)
解：（1）∵E，F分别是，的中点，
∴，
∴，，
∵O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
(2)
∵，E是中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明
，是解题的关键．
6．（2022·湖北随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．(1)求证；(2)已知平行四边形ABCD的面积为，．求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）直接根据已知条件证明和全等即可得出答案．
（2）由平行四边形的面积公式求出，然后即可得出答案．
(1)四边形是正方形，是平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
；
(2)由题意可知：，
，
，
，，
由（1）得．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质及三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握相关性质并能灵活运用．
7．（2022·广西贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若AC平分，，求四边形AFCE的面积．
【答案】(1)详见解析；
(2)24．
【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；
（2）由平行线的性质可得，再根据角平分线的性质解得，继而证明，由此证明平行四边形AFCE是菱形，根据菱形的性质得到，结合正切函数的定义解得，最后根据三角形面积公式解答．
(1)证明：四边形ABCD是平行四边形
，即．
四边形AFCE是平行四边形．
(2)解：，
．
平分，
．
．
，由（1）知四边形AFCE是平行四边形，
平行四边形AFCE是菱形．
，
在中，，
．
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
题型四、平行四边形的动态问题
1．（2022·湖北恩施）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ）
A．当时，四边形ABMP为矩形 B．当时，四边形CDPM为平行四边形
C．当时， D．当时，或6s
【答案】D
【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D．
【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，
A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意；
B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意；
作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC=AE=8 cm，
∴DE=2 cm，
PM=CD，且PQ与CD不平行，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E，
∴四边形CEFM是矩形，
∴FM=CE；
∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），
∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，
∴AP=10-4-(8-t)=10-t，
解得t=6 s；
PM=CD，且PM∥CD，
∴四边形CDPM是平行四边形，∴DP=CM，∴t=8-t，解得t=4 s；
综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意；故选：D．
【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值．
2．（2022·贵州毕节）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵,
∴,
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题

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