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高二下学期第一次月考测试卷（二）
范围：数列、一元导数及其应用、计数原理
说明：1．本试题共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第 I卷(选择题 共 60分)
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求.）
1．（2023·高二单元测试）在等比数列{an}中，an>0，且 a1+a2=1，a3+a4=9，则 a4+a5的值为（ ）
A．16 B．27
C．36 D．81
2．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）某公司为庆祝新中国成立 73周年，计划举行庆祝活动，共有 5个节
目，要求 A节目不排在第一个且 C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．60
3．（2022春·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）若函数 f (x) ex ax在 x= 1处有极值，则（ ）
1
A． a -1 B． a
e
C． a e D．a不存在
4．（2022秋·广东广州·高一广东实验中学校考期末）函数 f x cos x cos3 x的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
y2
5．（2023· · 3云南 高二云南师大附中校考阶段练习） x (x y) 展开式中 xy3的系数为（ ）
x
- 1 -
A．4 B．2 C． 2 D． 4
6．（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）已知数列 an 满足 an an 1 d，n 2， n N，则“ am an 2d ”
是“m n 2”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）记 Sn为数列 an 的前 n项和，满足
n n 1 1 1 1 1a1 1, Sn na ，则 n S S S S （ ）2 1 2 3 2022
2022 4044 2023 4043
A． B． C． D．
2023 2023 2022 2022
8．（2022春·广东广州·高二校考期中）已知 a，b，c 0,1 ，且 a lna 1 e ，b ln b 2 e2，c ln c 3 e3，
其中 e是自然对数的底数，则（ ）
A． c b a B．c a b
C． a c b D． a b c
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．（2022春·广东·高二校联考阶段练习）已知函数 f (x) x2 f (0) x f (0) cos x 2，其导函数为 f (x)，
则（ ）
A． f (0) 1 B． f (0) 1 C． f (0) 1 D． f (0) 1
10．（2021秋·广东惠州·高二统考阶段练习）记等差数列 an 的前 n项和为 Sn，已知a5 3， S3 9，则有
（ ）
A． a1 5 B．a4 0 C． S6 0 D． S3 S4
11．（2022春·广东茂名·高二校考阶段练习）如图是导函数 y f x 的图象，则下列说法错误的是（ ）
- 2 -
A． 1,3 为函数 y f x 的单调递增区间
B． 0,3 为函数 y f x 的单调递减区间
C．函数 y f x 在 x 0处取得极大值
D．函数 y f x 在 x 5处取得极小值
12．（2023 · · f x ex 1秋 广东 高二校联考期末）已知函数 ln x ，则过点 a,b 恰能作曲线 y f x 的两条
切线的充分条件可以是（ ）
A．b 2a 1 1 B．b f a
C． 2a 1 b f a D．b 2a 1 1
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．（2022春· 2 8广东东莞·高二统考期末）计算：A5 C10 ___________.（用数字作答）
14．（2023秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）函数 f x a ln x x的图象在 x 1处的切
线方程为 y x 2，则a ______.
15．（2022秋·广东深圳·高二统考开学考试）某车队有 6辆车，现要调出 4辆按一定的顺序出去执行任务，
要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__________种不同的调度方法.（用数字填写答
案）
16．（2023·广东梅州·高二梅州市梅县区南口中学校考阶段练习）已知函数 f x 2sin x sin 2x ，则 f x 的
最小值是_____________．
四、解答题（本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2022春·湖南怀化·高二沅陵县第一中学校考阶段练习）若 (2x 3)4 a a x a x2 a x30 1 2 3 a
4
4x ．
(1)求 a1 a2 a3 a4 的值；
(2) 2求 (a0 a2 a4 ) (a a )
2
1 3 的值．
18．（2022春·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六
- 3 -
艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．
(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；
(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．
19．（2023秋·广东清远·高二统考期末）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S6 2S4，a2n 2an 1．
(1)求 an 的通项公式．
n
(2)令bn b T T
1

2n 1 2 a2 ，数列 n 的前 n项和为 n．证明： n ．n 8
20．（2022秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn，a1 1，数
S
列 n 是以 1为公差的等差数列．
n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 an 2an 的前 n项和Tn．
21．（2022春· x广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数 f x e .
(1)求曲线 y f x 1的斜率等于 的切线方程；e
(2)设曲线 y f x 在点 t, f t t 0 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S t ，求 S t 的最大值.
22．（2022秋·广东东莞·高二统考期末）已知函数 f (x) (x 1)ex 2ax2．
(1)讨论 f (x)的单调性；
(2)设函数 g(x) (x 2)e x 2x sin x ，若对任意的 x 0，f (x) g (x)恒成立（ f (x)，g (x)分别是 f (x)，g(x)
的导函数），求实数 a的取值范围．
- 4 -高二下学期第一次月考测试卷（一）
范围：选择性必修一~选择性必修二
说明：1．本试题共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第 I卷(选择题 共 60分)
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求.）
1．（2022秋·湖北黄冈·高二校考阶段练习）已知直线 l1 : 2x my 1 0 与直线 l2 : x (m 1)y 1 0 ，则m 2
是"l1 l

2 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）函数 f (x)的导函数 f (x)的图象如图所示，
则下列说法正确的是（ ）
A． f (x)的极小值点为 x1，x2 B． f (x)的极大值点为x2
C． f (x)有唯一的极小值点 D．函数 f (x)在（a，b）上的极值点的个数为 2
3．（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）已知等差数列 an 满足
- 1 -
a2 4,a3 a5 4 a4 1 ，则数列 an 的前 5项和 S5为（ ）
A．15 B．16 C．20 D．30
4．（2023·湖北十堰·高二统考期末）直线3x 4 y 1 0被圆 x2 y2 x y 0所截得的弦长为（ ）
7 5 7 14
A． B． C． D．
10 7 5 5
5．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知数列 an 为等比数列，若a2·a3＝2a1，
5
且a4与 2a7的等差中项为 ，则 a1·a2·a3·a4的值为（ ）4
A．5 B．512 C．1024 D．2048
6．（2022·湖北·校联考）函数 f x x2 xsin x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考）已知函数 f x lg x 1 2x 2 x，则不等式 f x 1 f 2x
的解集为（ ）
A． , 1 1, B． 2, 1
C． , 2 1, D． , 13 1,
8．（2023春·河南郑州·高二郑州一中校考期中）若函数 f x x2 4x 2a ln x有两个不同的极值点，则实数
a的取值范围是（ ）．
A． 1 a 0 B． 0 a 1 C．a 1 D． a 1
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
- 2 -
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
2 2
9．（2022秋·湖北武汉· x y高二校考期中）已知曲线C的方程为 1（ k R），则下列结论正确的是
k 2 6 k
（ ）
A．当 k 4时，曲线C为圆
B．“ k 4 ”是“曲线C为焦点在 x轴上的椭圆”的充分而不必要条件
C．当 k 0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 y 3x
D．存在实数 k使得曲线C为双曲线，其离心率为 2
10．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）若 a,b为正实数，且 a b，则下列不等式成立的是（ ）
1 1
A． B． ln a lnb
a b
C． a1na b1nb D． a b ea eb
2
11．（2023春· x湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知椭圆C : y 2 1的左 右焦点分别
4
为F1，F2，椭圆的上顶点和右顶点分别为 A，B，若 P，Q两点都在椭圆 C上，且 P，Q关于坐标原点对称，
则（ ）
A． PF1 QF1 为定值 4 B．△AF1B的面积为1 3
C．直线 PB，QB的斜率之积为定值 D．四边形 PF1QF2不可能是矩形
12．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）已知函数 f (x) ax3 bx2 cx(a 0)的导函数
y f (x)的两个零点为 1，2，则下列结论正确的有（ ）
A．abc＜0 B． f (x)在区间[0，3]的最大值为 0
C． f (x)只有一个零点 D． f (x)的极大值是正数
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
f x 1 x3 1 213．（2023 · 2春 湖北武汉·高二校联考期中）若函数 x 2ax 在 ，

上存在单调递增区间，3 2 3
则 a的取值范围是_________.
14．（2022秋·湖北·高二校联考期中）已知 an 是等差数列， bn 是等比数列， Sn是数列 an 的前 n项和，
a
S11 11，b5b7 3
6
，则 log3 b2 =______．6
- 3 -
PA
15．（2022秋·湖北鄂州·高二统考期末）若平面内两定点 A，B间的距离为 2，动点 P满足 2PB ，则
PA PB 的最小值为_________.
1 16
16．（2022秋· 湖北黄石·高二统考开学考试）已知函数 f (x) 0 x ，则 f (x)的最小值cos x 2 cos x 2
为________．
四、解答题（本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·湖北孝感·高二校联考期中）已知函数 f x x ln x .
（1）求 f x 的图象在点 x 1处的切线方程；
（2）求函数 f x 的单调区间和极值.
18．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知数列 an 是等差数列， Sn是等比数列 bn 的前
n项和， a4 b1 8,a2 b3 ， S3 6 .
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)求 Sn的最大值和最小值.
19．（2023秋·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）若等差数列 an 的前 n项和为 Sn，数
列 bn 是等比数列，并且bn＞0 ， a1 3,b1 1,b3 S3 19,a4 2b2 a2 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
a
(2)求数列 n 的前 n项和Tn；
bn
1
(3)若 cn n N* a ·a ，求数列 cn 的前 n项和Mnn n 1
20．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，
AB//CD， BAD 90 ， PD DC BC 2PA 2AB 2 ， PD CD．
- 4 -
(1)求证： PA 平面 ABCD；
(2)求直线 BD与平面 BPC 所成角的正弦值．
2
21 2023 · · C x y
2
．（ 春 湖北荆州 高二统考阶段练习）已知双曲线 ： 2 2 1 a b 0 的左，右焦点分别为Fa b 1，
F ，且F 2 22 1，F2都在圆 x y 4上，连接双曲线 C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为 2 3．
(1)求双曲线 C的标准方程；
(2)设 P是双曲线 C与圆 x2 y2 4在第一象限的交点，求△PF1F2的面积．
22．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考阶段练习）已知函数 f x x lnx a a .
(1)当 a 1时，求 f (x)的极小值；
(2)若 f (x)在区间[1, e]上有且仅有一个零点，求实数 a的取值范围.
- 5 -高二下学期第一次月考测试卷（三）
范围：选择性必修一~选择性必修三第六章
说明：1．本试题共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第 I卷(选择题 共 60分)
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求.）
1．（2022秋·广东深圳·高二福田外国语高中校考期中）已知三棱柱 ABC - A1B1C1，点 P为线段 B1C1的中点，

则 AP （ ）
1 1
A． AB AC AA
1
1 B． AB AC
1
AA
2 2 2 2 1
1 1 1 1
C． AB AC AA1 D． AB AC AA2 2 2 2 1
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算求解即可
【详解】解：在三棱柱 ABC - A1B1C1，点 P为线段 B1C1的中点，则

AB A B ,BC BC ,B P PC 1

1 1 1 1 1 1 BC ，2 1 1
1
所以 AP AA1 A1P AA1 A1B1 BC2 1 1
1
AA1 AB (BA AC)2
1 1
AB AC AA ，
2 2 1
故选：D
- 1 -
2．（2023·广东深圳·高二校考期中）直线 l的倾斜角等于直线 3x y 0倾斜角的 2倍；则直线 l的斜率是（ ）
A 2 3． B． 3 C．2 3 D． 3
3
【答案】D
【分析】先求出直线 3x y 0倾斜角为60 ，进而得到直线 l的倾斜角，即可得到答案.
【详解】 直线 3x y 0的斜率为 3， 直线 3x y 0的倾斜角为60 ，
直线 l的倾斜角等于120 ，
直线 l的斜率是 tan120 3 ，
故选：D
2 2 3
3．（2023· x y广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知双曲线 C： =1(a>0，b>0)的离心率为 ，且与
a2 b2 2
x2
椭圆 y2 1有公共焦点，则双曲线 C的方程为（ ）
10
2
A x y
2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
． =1 B． =1 C． =1 D． =1
8 10 4 5 5 4 10 8
【答案】B
【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.
x2
【详解】椭圆 y2 1的焦点坐标为 3,0 ，则双曲线的焦点坐标为 3,0 ，可得 c=3，
10
x2 y2 3
又双曲线 C： 2 2 =1的离心率为 ，a b 2
c 3
所以 ，即 a=2，
a 2
所以 b= 5，
- 2 -
x2 y2
故所求的双曲线方程为 =1.
4 5
故选：B.
4 2 x 1．（2023春·广东广州·高二广州市协和中学校考期中）已知函数 f (x) x x 1 e ，则 f x 的大致图像
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，即可判断；
【详解】解：因为 f (x) x2 x 1 ex 1定义域为R ，
f (x) x2 x 1 x 1所以 x 2 e x 2 x 1 e ，
所以当 2所以 f x 在 2,1 上单调递减，在 , 2 和 1, 上单调递增，
又 f 0 e 0，故符合条件的函数图象为 A；
故选：A
5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）在“2，3，5，7，11，13”这 6个素数中，任取 2个不同的数，这两数之
和仍为素数的概率是（ ）
1 3 2
A． B． C 1． D．
5 10 5 2
【答案】A
- 3 -
【分析】计算出 6个数中任取 2个数的种数，再列出 2个素数之和仍为素数的情况，由古典概型概率计算
公式可得答案.
2
【详解】由题意得，6个数中任取 2个数，共有C6 15种可能，2个素数之和仍为素数，
3 1
则可能为（2和 3）、（2和 5）、（2和 11）共有 3种可能，所求概率 P ．
15 5
故选：A．

6 2
1 2 n
．（2023春·广东东莞·高二统考期末）已知 2x 1 x x 的展开式中各项系数和为 27，则 x4 项的系
x
数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．15
【答案】C
【分析】先由展开式中各项系数和为 27，求出n 3，直接求出展开式，得到 x4 项的系数.
1
【详解】由题意可得：令 x=1可得 2 1 1 1
n 27，解得： n 3 .
1
3 3 3
所以原式为 2x
2 1 1 1 x x2 2x2 1 x x2 1 x x2 .
x x
3
要求 x4项，只需求出 1 x x2 展开式中 x2和 x5项.
3 0 1 2 31 x x2 C03 1 x 3 x2 C1 2 2 23 1 x x C3 1 x 1 x2 C33 1 x 0 x 2
1 x 3 3x2 1 x 2 3x4 1 x x6
x6 3x5 6x4 7x3 6x2 3x 1
2 1 2 3 4 1 5 4
所以 2x 1 x x 的展开式中， x4 项为12x 3x 9x .
x x
故选：C
7．（2023· 2 2 2 2广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）已知圆C1 : (x 2) (y 3) 1,圆C1 : (x 3) (y 4) 16，
M，N分别是圆C1,C2 上的动点，P为 x轴上的动点，则 PM PN 的最小值为（ ）
A．5 2 4 B． 17 1 C．6 2 2 D．5 2 5
【答案】D
【分析】利用几何图形，把 PM PN 的最小值转化为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，
即可求解.
【详解】如图所示，
- 4 -
圆C1关于 x轴对称的圆的圆心坐标为 A(2, 3)，半径为 1，
圆C2的圆心坐标为 (3, 4)，半径为 4.
设M 为点M 关于 x轴对称的点，
由图象可知，当 P，M ， N三点共线时， PM PN PM PN 取得最小值，
且 PM PN 的最小值为圆A与圆C2的连心线的长减去两个圆的半径之和，
即 AC2 4 1 (3 2)
2 (4 3) 2 5 5 2 5 .
故选：D.
2 2
8．（2022 x y秋·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆 C： 2 2 1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过a b

F2的直线交椭圆与 A、B两点，∠AF1B＝90°，2 AF2 3F2B，则椭圆的离心率为（ ）
A 2 5 B 5 C 3 10 10． ． ． D．
5 5 10 10
【答案】B
【分析】由向量的关系可得线段的关系，设|F2A|＝3x，则|F2B|＝2x，由椭圆的定义可得|F1A|＝2a﹣3x，|F1B|
＝2a﹣2x，再由∠AF1B＝90°，由勾股定理可得 x的值，进而求出|AF1|，|AB|的值，进而求出∠F1AB的余弦
F AF c
值，由半角公式求出 sin 1 2 ，进而求出离心率.
2 a
【详解】如图所示：
- 5 -

因为 2 AF2 3F2B，
设|F2A|＝3x，|F2B|＝2x，|
所以 F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，
因为∠AF1B＝90°，
所以（5x）2＝（2a﹣3x）2+（2a﹣2x）2，
a
解得 x ，
3
5 4
则|F2A|＝a，|AB| a，|F1B| a，|F1A|＝a，3 3
所以可得 A为短轴的顶点，
AF 3
在△ABF1中，cos∠F1AB
1
AB 5 ，
c
sin F1AF2 1 cos F1AF 5所以 ，
a 2 2 5
则 e 5 .
5
故选：B.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，焦点三角形以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档
题.
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．（2023·广东广州·高二广州市协和中学校考期末）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 0，公差为d ，
a8 a9 0， a9 0，则（ ）
A．d 0
B．当 n 8时， Sn取得最大值
C． a4 a5 a18 0
- 6 -
D．使得 Sn 0成立的最大自然数 n是 15
【答案】ABC
【分析】根据等差数列等差中项的性质，求和公式及单调性分别判断.
【详解】因为 a8 a9 0， a9 0，
所以 a8 0，则 d 0，
当 n 8时, Sn取得最大值，
a4 a5 a18 3a1 24d 3a9 0 ，
因为 S15 15a8 0， S16 8 a8 a9 0， S17 17a9 0，
所以使得 Sn 0成立的最大自然数 n是16，
故选：ABC．
10．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）2023年北京冬奥会吉祥物冰墩墩，有着可爱的外表和丰富的寓
意，现有 5个不同造型的“冰墩墩”，则下面正确的是（ ）
A．把这 5个“冰墩墩”装入 3个不同的盒内，共有 129种不同的装法
B．从这 5个“冰墩墩”中选出 3个分别送给 3位志愿者，每人 1个，共有 60种没选法
C．从这 5个“冰墩墩”中随机取出 3个，共有 10种不同的取法
D．把这 5个“冰墩墩”装入 3个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 150种不同的装法
【答案】BCD
【分析】对于 A，根据分步乘法原理即可求解，对于 B，C，D，根据排列组合以及分组分配问题即可求解.
【详解】对于 A:5 个“冰墩墩”装入 3个不同的盒内,每个冰墩墩可选择 3个盒子中的任意一个，所以根据分
步乘法原理一共有35 243，故错误；
对于 B:5 个“冰墩墩”中选出 3 3 3个分别送给 3位志愿者共有C5A3 60 ,故正确；
3
对于 C:5 个“冰墩墩”中随机取出 3个,共有C5 10种，故正确；
对于 D：5个“冰墩墩”装入 3个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有两种情况：3个盒子的球数为 1，1，
3和 1，2，2 1 1 3 C3C1 2 1 1 2，若球数为 ，，，则有 5 3A2 60种，若球数为 1，2，2，则有C5C3C4 90 ,所以一共有60 90 150
种，故正确；
故选：BCD
11．（2023·广东肇庆·统考二模）已知圆C : (x 1)2 (y 2)2 25 ，直线 l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 ，则
- 7 -
（ ）
A．直线 l过定点 3,1
B．直线 l与圆C可能相离
C．圆C被 y轴截得的弦长为4 6
D．圆C被直线 l截得的弦长最短时，直线 l的方程为 x 2y 5 0
【答案】AC
2x y 7 0
【分析】直线 l :m(2x y 7) x y 4 0，由 求出定点 (3,1)，即可判断 A；由点 (3,1)与圆心
x y 4 0
距离判断直线与圆位置关系，即可判断 B；令 x 0，求出圆与 y轴交点纵坐标可得弦长，即可判断 C；根
据直线 l被圆 C截得弦长最短，只需 (3,1)与圆心 (1, 2)连线垂直于直线 l，求出直线 l的方程，即可判断 D．
2x y 7 0 x 3
【详解】直线 l :m(2x y 7) x y 4 0，由 ，得 y 1，即 l恒过定点
(3,1)，故 A正确；
x y 4 0
点 (3,1)与圆心 (1, 2)的距离 d 5 5，故直线 l与圆 C恒相交，故 B错误；
令 x 0，则 (0 1)2 (y 2)2 25，可得 y 2 2 6，故圆 C被 y轴截得的弦长为 4 6，故 C正确；
要使直线 l被圆 C截得弦长最短，只需 (3,1)与圆心 (1, 2)连线垂直于直线 l，
2m 1
所以直线 l的斜率 2，可得m
3
，故直线 l为 2x y 5 0，故 D错误．
m 1 4
故选：AC．
1
12．（2023·广东东莞·校考模拟预测）若直线 y x b(b R )是曲线 y f (x)的切线，则曲线 y f (x)的方
2
程可以是（ ）
A． f (x) x 3 2x 2 8 B． f (x) tan x
x 1
C． f (x) e 2 D． f (x) ln 2x 1
【答案】AC
【分析】函数的导数的几何意义是在某点处的切线斜率，对每个函数求导，判断是否有解即可.
y 1【详解】因为直线 x b b R 是曲线 y f x 的切线，所以 y f x 1在某点处的导数值为
2 2
．
对于 A，由 f x x3 2x2 8，可得 f x 3x 2 4x ，
令 f x 3x2 1 4x ，即6x2 8x 1 0，
2
82因为 4 6 1 0，所以 f x 1 有解，故 A正确．
2
- 8 -
f x tan x f x 1对于 B，由 ，可得 2 ，cos x
令 f x 1 1 2 ，可得 cos2 x 2，无解，故 B不正确．cos x 2
x
对于 C， f x 1 1 e 2 0，故 f x 有解，故 C正确．
2 2
1 1
对于 D， f x ln , 的定义域为
2x 1
，
2
令 f x 2 1 5 1 ，可得 x ，不符合 x ，
2x 1 2 2 2
所以 f x 1 无解，故 D不正确．
2
故选：AC
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点
后，发现有 A,B两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种.
【答案】24
【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到A队伍检测，②2人到A队伍检测，③1人到A队伍检
测，④0人到A队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.
3
【详解】先进行分类：①3人到A队伍检测，考虑三人在A队的排队顺序，此时有A3 6种方案；
②2人到A队伍检测，同样要考虑两人在A队的排队顺序，此时有 A2 6种方案；
3
③1人到A队伍检测，要考虑两人在 B队的排队顺序，此时有 A2 6种方案；
3
④0人到A 3队伍检测，要考虑两人在 B队的排队顺序，此时有A3 6种方案；
所以，甲、乙、丙三人不同的排队方案共有 24种.
故答案为：24
14．（2020·广东佛山· 1高二统考阶段练习）若等比数列{an}满足 a1 ，a2 2a3＝2，则 a7＝_____.
【答案】32
【解析】求出公比q后可得，
【详解】设数列的公比为q，则 a 12a3 q
1
q2 2， q = 2，
2 2
6 1 6
∴ a7 a1q 2 32．2
- 9 -
故答案为：32.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，解题方法是基本量法．
15．（2023·青海西宁·高二统考期末）若函数 f x ln x ax在区间 3, 4 上有极值点，则实数 a的取值范围
是______．
1 1
【答案】 ,
4 3
【分析】函数 f x 在区间 3, 4 上有极值点，转化为 f x 0在区间 3, 4 上有解即可求解.
1 ax
【详解】由已知得 f x ，若函数 f x ln x ax在 3, 4 上有极值点，则1 ax 0在 x 3,4 上有解，
x
1 1 1
即 x 3, 4 ，解得 a ．
a 4 3
1 1
故答案为： ,4 3
16．（2023春·广东汕头·高二金山中学校考期中）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的
制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、
竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，
匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”
相邻排课，则不同的排课方式有__________种．
【答案】1440
【分析】利用捆绑法和插空法求解.
【详解】先从剩余 5种乐器中任选 3种全排列，再将“土”“匏”捆绑与“竹”插入全排的 4个空中，
A3·A2∴共有 5 4 ·A
2
2 1440种．
故答案为：1440
四、解答题（本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 1 n
17．（2023· 高二课时练习）已知在 2 x 的展开式中，第 9项为常数项，求：
2 x
(1)n的值；
(2)展开式中 x5的系数；
(3)含 x的整数次幂的项的个数.
【答案】(1)10
105
(2)
8
- 10 -
(3)6项
【分析】（1）写出通项公式，根据 k = 8时， x的指数为 0，可求出 n；
（2）在通项公式中，令 x的指数为 5，可求出 k，从而可得展开式中 x5的系数；
（3）在通项公式中，由 x的指数为整数以及 0 k 10，k∈N，可求出 n的个数.
1 T Ck 1
n k 1 k 1 n k2 k k 2n 5 k【详解】（ ）由已知得二项展开式的通项为 k 1 2n x ( 1) C x .
2 x n 2
5
因为第 9项为常数项，所以当 k = 8时， 2n k 0，即 2n 20 0，解得 n 10 .
2
10 k
k 1 k 20 5 k（2）由（1）知Tk 1 ( 1) C 210x ，
2
4
令20
5
k 5 k 6 1 105，得 ，所以
2 x
5的系数为 ( 1)6 6 C10 .
2 8
（3）要使 20
5
k为整数，只需 k为偶数，由于 0 k 10，k∈N，因此含 x的整数次幂的项共有 6项，分别
2
为展开式的第 1，3，5，7，9，11项.
18．（2023春·广东韶关·高二校联考开学考试）已知等差数列 an 中， a1 a5 14， a6 16 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)若 bn 为正项等比数列，b6 b1b5 64，求数列 an bn 的前 n项和Tn .
【答案】(1)an 3n 2；
(2)T (3n 5) 2n 1n 10 .
【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列 an 的公差d ，即可求出通项作答.
（2）求出等比数列 bn 的通项公式，再利用错位相减法求解作答.
【详解】（1）在等差数列 an 中， 2a3 a1 a5 14 ，解得 a3 7，而 a6 16，
则等差数列 an d
a6 a的公差 3 3，
6 3
所以 an 的通项公式是an a3 (n 3)d 3n 2 .
（2 2）设正项等比数列 bn 的公比为q，b3 b1b5 64，解得b3 8，而b6 64，
3 a6
则有 q 8，解得 q = 2a ，3
- 11 -
bn b3q
n 3 8 2n 3 2n n，由（1）知， anbn (3n 2) 2 ，
则T 2 3 nn 1 2 4 2 7 2 (3n 2) 2 ，
于是得 2Tn 1 2
2 4 23 7 24 (3n 5) 2n (3n 2) 2n 1，
2 n 1
两式相减得： T 2 3(22 23 2 n) (3n 2) 2 n 1 2 3
2 (1 2 )
(3n 2) 2 n 1 (5 3n) 2 n 1n 10 ，1 2
所以数列 an bn 的前 n项和T (3n 5) 2n 1n 10 .
19．（2023·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 底面 ABCD，
AD AB， AB DC， AD DC AP 2， AB 1，点 E为棱 PC的中点．
(1)证明： BE DC；

(2)若 F 为棱 PC上一点，CF CP且满足BF AC，求平面 PAB与平面 FAB所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2) 3 10
10
【分析】（1）以A为原点， AB为 x轴， AD为 y轴， AP为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可证
明BE PD．
（2）根据 F 为棱 PC上一点，BF AC，求出 F 的坐标，进而求出平面 FAB的一个法向量.又 AD 平面 ABP，

所以 AD即为平面 ABP的一个法向量.进而根据法向量可求得结果.
【详解】（1）∵ PA 底面 ABCD， AD AB，所以 AB, AD, AP两两垂直.
以A为坐标原点， AB为 x轴， AD为 y轴， AP为 z轴，建立空间直角坐标系，
∵ AD DC AP 2， AB 1，点 E为棱 PC的中点.
- 12 -
∴B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)， E(1,1,1)，

∵BE (0,1,1)，DC (2,0,0)，

BE DC 0，即 BE DC，
∴BE DC .
uuur
（2）由（1）可得， BC (1, 2,0)，CP ( 2, 2, 2)， AC (2,2,0) .

则CF CP ( 2 , 2 , 2 ) (0 1)，

故BF BC CF (1 2 , 2 2 , 2 )，

由BF AC得， BF AC 0，即 (1 2 , 2 2 , 2 ) (2,2,0) 2 1 2 2 2 2 0，
3 1 1 3
解得 ，即 BF , ,

，4 2 2 2

设平面FAB的法向量为 n1 x1 , y1 , z1 ，

n AB 0 x1 0
由 1

，得 1 x 1 3
，
n BF 0 1 y1 z1 01 2 2 2

令 z1 1，则 n1 0,3, 1 ，
因为 PA 底面 ABCD， AD 底面 ABCD，所以 PA AD .
又 AD AB， PA 平面 ABP， AB 平面 ABP， AB PA A，
所以 AD 平面 ABP .

所以， AD即为平面 ABP的一个法向量， AD (0,2,0)，

则cos AD,n
A D n1 1
2 3 3 10

AD n 2 2 2 10 ，1 2 0 3 1
3 10
故平面FAB与平面 PAB夹角的余弦值为 .
10
2 2 120．（2022·广东深圳·统考）平面直角坐标系中，动圆C与圆 x 1 y 外切，且与直线 x 1 相切，
4 2
记圆心C的轨迹为曲线T .
(1)求曲线T的方程；
(2)设过定点Q m, 0 （m为非零常数）的动直线 l与曲线T交于A、B两点，问：在曲线T上是否存在点 P（与
A、B两点相异），当直线 PA、 PB的斜率存在时，直线 PA、PB的斜率之和为定值.若存在，求出点 P的坐
- 13 -
标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) y2 4x
m, 2 m (m 0) m, 2 m (m 0)
(2)存在点 P（与A、B 两点相异），其坐标为 ，或 ，使得直线 PA、PB
的斜率之和为定值．
【分析】（1）依据题设条件运用两圆位置关系建立方程求解；
（2）假设在曲线T上存在点 P满足题设条件，不妨设P x ,y ， A x1, y1 ，B x2 , y0 0 2 ，
y y y y
由 k
4 4
PA
1 0 ，k
2 0
PB x x y y x x y k k y 得 PA PB，显然动直线 l的斜率非零，故可设其方程为 x ty m，1 0 1 0 2 0 2 0
(t R)，联立 y2 4x，整理得 y2 4ty 4m 0，利用韦达定理求解．
（1）
解：不妨设动圆C的圆心为 x0 , y0 ，
易知圆 x 1 2 1 y2 的圆心为 1,0 1，半径为 2 ，4
1 1
∵动圆C与圆 x 1 2 y2 外切，且与直线 x 相切，
4 2
∴圆心C在直线 x 1 的右侧，且点C到点 1,0 的距离比点C x 1 1到直线 的距离大
2 2 2
，
x 1
1 1 2
即 0 ，且 x0 x 1 y2 ，2 2 2 0 0
2 2
∴ x0 1 x0 1 y20 ，两边平方并化简整理得 y0 4x0，
即曲线T的轨迹方程为 y2 4x．
（2）
解：假设在曲线T上存在点 P满足题设条件，不妨设P x ,y0 0 ， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
k y1 y0 y1 y0 4 k y2 y0 y2 y 4PA 2 2
0
则 x PB 2 2

1 x0 y1 y0 y1 y0， x2 x0 y2 y0 y2 y0，
4 4 4 4
4 y y 2y
∴ k k
4 4
1 2 0PA PB y1 y0 y2 y0 y
2 ①，
0 y1 y2 y0 y1y2
显然动直线 l的斜率非零，故可设其方程为 x ty m, t R ，
联立 y2 4x，整理得 y2 4ty 4m 0，
∴ y1 y2 4t， y1y2 4m，且 y1 y2，
- 14 -
4
k k 4t 2 y0 16t 8y代入①式得 0PA PB 2 ，y0 4ty0 4m 4y0t y20 4m
显然 y 0，于是 4y0 kPA kPB 16 t kPA kPB y20 4m 8y0 0②，
4y0 kPA kPB 16 0
欲使②式对任意 t R 成立，∴
kPA kPB y2
，
0 4m 8y0 0
2
显然 y0 4m 0 k k y2，否则由 PA PB 0 4m 8y0 0可知 y0 0，
从而可得m 0，这与m为非零常数矛盾，
k k 4 k k 8y∴ PA PB 0y ， PA
PB y2 4m，0 0
4 8y
0∴ 2 ，∴ y
2
0 4my y 4m ，0 0
于是，当m 0时，不存在满足条件的 y0，即不存在满足题设条件的点 P；
当m 0时， y0 2 m，
将此代入抛物线T的方程可求得满足条件的 P点坐标为 m, 2 m 或 m, 2 m ．
下面说明此时直线 PA、 PB的斜率必定存在，
∵ y1y2 4m y2 y2，∴ 1 2 16m
2 16x 21x2，∴ x1x2 m ，
显然 x1 x2 ，∴ x1 m，且 x2 m，∴直线 PA、 PB的斜率必定存在，
综上所述，存在点 P（与A、B两点相异），其坐标为 m, 2 m (m 0) ，或 m, 2 m (m 0)，使得直
线PA、 PB的斜率之和为定值．
21．（2023·广东珠海·高二校联考阶段练习）已知函数 f (x) x3 2ax2 a2x 7,a R．
(1)若 x 1是 f (x)的极大值点，求 a的值；
(2)若过点 A(0,1)可以作曲线 f (x)的三条切线，求 a的取值范围．
【答案】(1)3；
(2) (3, ) .
【分析】（1）根据给定的极值点，求出 a值，再验证即可作答.
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数，借助导数探讨三次函数有 3个零点
作答.
【详解】（1） f (x) 3x 2 4ax a 2 ，由 f (1) 3 4a a2 0解得 a 1或 a 3，
- 15 -
当 a 1时， f (x) 3x 2 4x 1 (3x 1)(x 1)
1
，由 f (x) 0得 x 或 x 1，
3
f (x) 1 1由 0 1 得 x 1，即 f (x)在 , ， (1, )上单调递增，在 ,13 3 3
上单调递减，

则函数 f (x)在 x 1处取得极小值，不符合题意，舍去，
当 a 3时， f (x) 3x2 12x 9 3(x 1)(x 3)，由 f (x) 0得 x 1或 x 3，
由 f (x) 0得1 x 3，即函数 f (x)在 ( ,1),(3, )上单调递增，在 (1,3)上单调递减， f (x)在 x 1处取得
极大值，
所以 a 3 .
（2）设过点 A(0,1)作曲线 f (x)的切线的切点为 P(x0 , y0 )，则切线方程为
y x3 2ax2 a2x 2 20 0 0 7 3x0 4ax0 a x x0 ，
将点 A(0,1) 3 2的坐标代入，整理得 x0 ax0 4 0，令 h(x) x 3 ax 2 4，
依题意， h(x)有三个零点， h (x) 3x2
2a
2ax 3x x ，
3
当 a 0时，h (x) 0,h(x)在 ( , )上单调递增，则 h(x)只有一个零点，
当 a<0时，由 f (x) 0得 x
2a
或 x 0，由 f (x) 0
2a
得 x 0，
3 3
即 h(x) ,
2a , (0, ) 2a , 0 2a在 上递增，在 上递减，函数 h(x)在 x 处取极大值，在 x 0处取极小值，
3 3 3
而 h(0) 4 0，则 h(x)只有一个零点，
当a 0时，由 f (x) 0 x
2a 2a
得 x 0或 ，由 f (x) 0得0 x ，
3 3
2a
即 h(x)在 ( , 0), ,
0, 2a 上递增，在 上递减，函数 h(x)
2a
在 x 0处取极大值，在 x 处取极小值，
3 3 3
3
而 h(0) 4 0
2a 4a
，要使 h(x)有三个零点，当且仅当 h 4 0，解得 a 3，
3 27
所以 a的取值范围是 (3, )．
2ln x
22．（2023· · 2全国 开滦第二中学校考模拟预测）已知函数 f x x a a R ．
x
(1)求函数 f x 的极值；
(2)当 a 11时，若函数 f x 有两个零点 x1, x2 x1 x2 ．
ln x ln x x1 x2①证明： 1 2 x1x
；
2
②证明： 0 x1x2 1．
- 16 -
【答案】(1) f x 有极小值 f 1 1 a，无极大值
(2)①证明见详解；②证明见详解
【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；
（2）对①：根据分析可得 ln x
x x
1 ln x 1 2
1 1
2 x x 等价于
t 2 ln t 0，构建 g x x 2 ln x ，利用导数证
1 2 t x
1 1 1
明；对②：令m ，整理可得 f m m m 2 lnm ，结合 g x 的单调性证明 f m 0x ，再结1 m m
合 f x 的单调性即可证明.
1 2 1 ln x 2 x
3 ln x 1
【详解】（ ）由题意可得： f x 2x ，
x2 x2
∵F x x3 ln x 1在 0, 上单调递增，且 F 1 0，
∴当 0 x 1时， F x 0，当 x 1时， F x 0，
即当 0 x 1时， f x 0，当 x 1时， f (x) > 0，
故 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
可得 f x 有极小值 f 1 1 a，无极大值.
（2）若函数 f x 有两个零点 x1, x2 x1 x2 ，则 f 1 1 a 0，解得 a 1，
2 4 2 2 4 4
当1 a 11时，则 f e e a 4e 0, f e e a 0，e2
结合 f x 的单调性可知： f x 在 0,1 ， 1, 内均只有一个零点，则0 x2 1 x1，
2
构建 g x 1 x 2 ln x x 1，则
x g x 1
2 1
2 0当 x 0时恒成立，x x x2
故 g x 在 0, 上单调递增，
x1 1
t x
2
1 1 ln x ln x
x
1
x2
①令 ，则 1 2 等价于 ln
x1 x 2 2 t 1 1
x x x x x ，等价于 ln t ，等价于
t 2 ln t 0，
2 1 2 2 1 t t
x2
∵ g x 在 1, 上单调递增，则 g t g 1 0，
1 x x
即 t 2 ln t 0，故 ln x1 ln x2 1 2 .
t x1x2
1 1
②若函数 f x 有两个零点 x1, x2 x1 x2 ，令m 0,1 ，即 x x 1 ，1 m
- 17 -
1
f x f 1 1
2 2ln 1
m 1则 1 a 1 2 a 2 mln m 0，可得 a m m m m2
2m lnm，
m
2 2 lnm 2 1 2 lnm 1 1
故 f m m a m 2 2m lnm m m 2 lnm ，m m m m m
由m 0,1 m 1，则 0，
m
∵ g x 在 0,1 上单调递增，则 g m g 1 0，即m 2 lnm 1 0，
m
f m 1 1 ∴ m m 2 lnm 0当m 0,1 时恒成立，
m m
又∵ f x 在 0,1 上单调递减，且 f m f x2 0，
1
∴m x2，即 xx 2 ，1
故0 x1x2 1 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形．
（2）构造新的函数 h(x)．
（3）利用导数研究 h(x)的单调性或最值．
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端
两个函数的最值问题．
- 18 -高二下学期第一次月考测试卷（一）
范围：选择性必修一~选择性必修二
说明：1．本试题共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第 I卷(选择题 共 60分)
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求.）
1．（2022秋·湖北黄冈·高二校考阶段练习）已知直线 l1 : 2x my 1 0 与直线 l2 : x (m 1)y 1 0 ，则m 2
"l l 是 1 2 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先证明充分性是否成立，即由 m＝2能否推出 l1⊥l2；再证必要性是否成立，即由 l1⊥l2 能否推出 m
＝2，从而做出结论．
【详解】当 m＝2时，直线 l1：2x﹣2y+1＝0，l2：x+y﹣1＝0，两直线的斜率之积等于﹣1，故 l1⊥l2，充分
性成立．
当 l1⊥l2时，
2 1
∵m﹣1≠0，m≠0，由斜率之积的等于﹣1得： 1，
m m 1
∴m＝2 或 m＝﹣1，
故不能由 l1⊥l2 推出 m＝2，故必要性不成立．
综上，“m＝2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，两直线垂直的条件和性质．
2．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）函数 f (x)的导函数 f (x)的图象如图所示，
- 1 -
则下列说法正确的是（ ）
A． f (x)的极小值点为 x1，x2 B． f (x)的极大值点为x2
C． f (x)有唯一的极小值点 D．函数 f (x)在（a，b）上的极值点的个数为 2
【答案】D
【分析】求得 f (x)的极小值点判断选项 A；求得 f (x)的极大值点判断选项 B；求得 f (x)的极小值点判断选
项 C；求得函数 f (x)在（a，b）上的极值点的个数判断选项 D.
【详解】由导函数 f (x)的图像可知， f (x)有 2个极小值点 x1，x4 .选项 C判断错误；
当a x x3时，f (x) 0，f (x)单调递增；当 x3 x x5 时，f (x) 0，f (x)单调递减；当 x5 x b时，f (x) 0，
f (x)单调递增.
则 f (x)的极小值点为 x5，选项 A判断错误；
f (x)的极大值点为 x3，选项 B判断错误；
函数 f (x)在（a，b）上的极值点为 x3， x5共 2个. 选项 D判断正确；
故选：D
3．（2023春·湖北武汉·高二华中科技大学附属中学校考阶段练习）已知等差数列 an 满足
a2 4,a3 a5 4 a4 1 ，则数列 an 的前 5项和 S5为（ ）
A．15 B．16 C．20 D．30
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出a4，再利用前 n项和公式计算作答.
【详解】等差数列 an 中， 2a4 a3 a5 4(a 4 1)，解得 a4 2，而 a2 4，
- 2 -
a S 5(a1 a5) 5(a2 a4)所以数列 n 的前 5项和 5 15 .2 2
故选：A
4．（2023·湖北十堰·高二统考期末）直线3x 4 y 1 0被圆 x2 y2 x y 0所截得的弦长为（ ）
7 5 7 14
A． B． C． D．
10 7 5 5
【答案】C
【解析】先由圆的方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，根据几何法，即可求出弦长.
2
x2 y2 x y 0 x 1 y 1
2

1
【详解】由 可得 2 2
，
2
1 1 2
则圆心坐标为 , ，半径2 2 r =
，
2
3 1 4 1 1
所以圆心到直线3x 4 y 1 0 的距离为 d 2 2 1 ，
32 42 10
2 r 2 d 2 7所以所求弦长为 .
5
故选：C.
5．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市黄陂区第一中学校考阶段练习）已知数列 an 为等比数列，若a2·a3＝2a1，
a 5且 4与 2a7的等差中项为 ，则 a1·a2·a3·a4的值为（ ）4
A．5 B．512 C．1024 D．2048
【答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式求出首项与公比，得出通项公式即可求出a1·a2·a3·a4的值.
【详解】设等比数列 an 的公比为 q，
因为 a2 a3 2a1，
a a a q a q2所以 2 3 1 1 2a
3
1，解得 a1q a4 2，
a
因为 a4与 2a
5 5 3
7的等差中项为 ，则有 a4 2a7 2 ，即 a4 2a4 q 2
5 1
，解得 q ，所以 a 4 16，
4 4 4 2 1 q3
1 n 1
故a 16 25 nn ，
2
则 a1 16,a2 8,a3 4,a4 2，
- 3 -
所以 a1 a2 a3 a4 16 8 4 2 1024．
故选：C
6．（2022·湖北·校联考）函数 f x x2 xsin x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性
【详解】解：函数的定义域为 R，
因为 f ( x) ( x) 2 ( x)sin( x) x 2 x sin x f (x) ，
所以 f (x)为偶函数，图像关于 y轴对称，所以排除 B，
设 g x x sin x g ' x 1 cos x 0，
所以当 x 0时， g x g 0 0
所以 f '(x) 2x sin x xcos x (x sin x) x(1 cos x) 0，
所以 f (x)在 (0, )上单调递增，所以排除 B，D，
故选：A
【点睛】此题考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考）已知函数 f x lg x 1 2x 2 x，则不等式 f x 1 f 2x
的解集为（ ）
A． , 1 1, B． 2, 1
- 4 -
C． , 2 1, D , 1． 3 1,
【答案】C
【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性、单调性及定义域将函数不
等式转化为自变量的不等式组，解得即可.
【详解】解：对于函数 f x lg x 1 2x 2 x，令 x 1 0，解得 x 1或 x 1，
所以函数的定义域为 , 1 1, ，
x x
又 f x lg x 1 2 2 lg x 1 2x 2 x f x ，所以 f x 为偶函数，
x 1 f x lg x 1 2x当 时 2 x ，则 y lg x 1 在 1, 上单调递增，
令 g x 2x 2 x， x 1, ，所以 g x 2x ln 2 2 x ln 2 2x 2 x ln 2 0，
g x 2x 2 x所以 在 1, 上单调递增，
则 f x 在 1, 上单调递增，从而得到 f x 在 , 1 上单调递减，
2x x 1
则不等式 f x 1 f 2x 等价于 x 1 1 ，解得 x 1或 x< 2，

2x 1
所以不等式的解集为 , 2 1, .
故选：C
8．（2023春· 2河南郑州·高二郑州一中校考期中）若函数 f x x 4x 2a ln x有两个不同的极值点，则实数
a的取值范围是（ ）．
A． 1 a 0 B． 0 a 1 C．a 1 D． a 1
【答案】B
【分析】求出函数的导数，由导函数在 (0, )上有两个零点可得实数 a的取值范围.
2
【详解】∵ f x x 4x 2a ln x有两个不同的极值点，
2
f (x) 2x 4 2a 2x 4x 2a∴ 0 在 (0, )上有 2个不同的零点，
x x
∴ 2x2 4x 2a 0在 (0, )有 2个不同的实数根，
- 5 -
Δ 16 4 4a 0

∴
x 2 4 4a
，解得 0 a 1．
1 0 2
故选：B
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
x2 y29．（2022秋·湖北武汉·高二校考期中）已知曲线C的方程为 1（ k R），则下列结论正确的是
k 2 6 k
（ ）
A．当 k 4时，曲线C为圆
B．“ k 4 ”是“曲线C为焦点在 x轴上的椭圆”的充分而不必要条件
C．当 k 0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 y 3x
D．存在实数 k使得曲线C为双曲线，其离心率为 2
【答案】AC
【解析】根据圆锥曲线的定义及几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐一对四个选项作出判
断即可.
2 2
【详解】当 k 4 x y时，曲线 C的方程为 1，即 x2 y2 2，显然曲线 C为圆心为 0,0 ，半径为
2 2 2的
圆，选项 A正确；
x2 y2
当曲线C的方程为 1（ k R）表示焦点在 x轴上的椭圆时需满足：k 2 6 k 0，解得 4 k 6，
k 2 6 k
所以“ k 4”是“曲线C为焦点在 x轴上的椭圆”的而必要不充分条件，选项 B错误；
y2 2
当 k 0时，曲线 C x的方程为 1，可得 a 6，b 2 ，双曲线 C的渐近线方程为 y 3x，选项
6 2
C正确；
C x
2 y2 c
当曲线 的方程为 1（ k R）表示离心率为 2的双曲线时， 2，即 a b，则 k 2 6 k ，
k 2 6 k a
解得 k 4，此时曲线 C的轨迹为圆，故不存在实数 k使得曲线C为双曲线，其离心率为 2，选项 D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：牢记椭圆、双曲线的标准方程及其几何意义是解题的关键.
10．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）若 a,b为正实数，且 a b，则下列不等式成立的是（ ）
- 6 -
1 1
A． B． ln a lnb
a b
C． a1na b1nb D． a b ea eb
【答案】BD
【分析】根据幂函数与对数函数单调性分别判断 AB；构造函数 y x ln x，进而研究其单调性判断 C；构造
函数 y ex x，进而研究其单调性判断 D.
1
【详解】解：对于 A选项，因为函数 y 在 0, 1 1x 上单调递减，故当a b 0时， a b，故 A选项错
误；
对于 B选项，由于函数 y ln x在 0, 上单调递增，故当a b 0时， ln a lnb，故 B选项正确；
对于 C选项，令 y x ln x，则 y = ln x +1，
故当 x

0,
1
时， y ln x 1 0， y x ln x单调递减，
e
当 x
1 , 时， y ln x 1 0， y x ln x单调递增，
e
所以 a1na与b1nb大小不定，故 C选项错误；
对于 D选项，令 y ex x，则 y ex 1 0在 0, 上恒成立，故函数 y ex x在在 0, 上单调递增，
所以，当a b 0时， eb b ea a，即 a b ea eb，故 D选项正确.
故选：BD
2
11．（2023 · x春 湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知椭圆C : y 2 1的左 右焦点分别
4
为F1，F2，椭圆的上顶点和右顶点分别为 A，B，若 P，Q两点都在椭圆 C上，且 P，Q关于坐标原点对称，
则（ ）
A． PF1 QF1 为定值 4 B．△AF1B的面积为1 3
C．直线 PB，QB的斜率之积为定值 D．四边形 PF1QF2不可能是矩形
【答案】AC
【分析】A.先判断四边形 PF1QF2 是平行四边形，再根据椭圆的定义求解即可；
B.先求出 BF1 ， A 0,1 ，然后利用三角形的面积公式求解；
C.设出点 P的坐标，利用斜率计算公式求直线 PB，QB的斜率之积即可；
D.利用椭圆的对称性求 F1PF2的最大值，结合 A选项即可得到结果.
- 7 -
【详解】A选项：根据对称性，连接 OP，OQ；则 OF2 OF1 ， OP OQ ，易知四边形 PF1QF2 是平行四
边形，
则 PF2 QF1 ，所以 PF1 QF1 PF1 PF2 4，故 A正确；
B选项：由题意知 BF1 a c 2 3， A 0,1 ，
1 3
所以△AF1B的面积为 2 3 1 1 ，故 B不正确；2 2
C选项：由题意得B 2,0 ，设 P x, y ，则Q x, y ，
x2
1
所以 k k y y y
2
4 1 ，故 C正确；PB QB x 2 x 2 x2 4 x2 4 4
c
D选项：因为 tan F1AO 3，所以 F1AO ，b 3
则 F AF
2
1 2 ，故椭圆上存在点 P，使得 F3 1
PF2 ，2
（点拨：根据椭圆的对称性知，当点 P位于椭圆的上顶点或下顶点处时，
F1PF2最大，找到此特殊位置，判断最大角的情况，即可判断满足题意的点 P是否存在）
又四边形 PF1QF2 是平行四边形，所以四边形 PF1QF2 可能是矩形，故 D不正确.
故选：AC
12．（2022春·湖北十堰·高二丹江口市第一中学校考阶段练习）已知函数 f (x) ax3 bx2 cx(a 0)的导函数
y f (x)的两个零点为 1，2，则下列结论正确的有（ ）
A．abc＜0 B． f (x)在区间[0，3]的最大值为 0
C． f (x)只有一个零点 D． f (x)的极大值是正数
【答案】BC
2 9
【解析】求导 f x 3ax 2bx c，根据 y f (x)的两个零点为 1，2，由 f 1 0，f 2 0，求得b a，
2
c 6a，再逐项验证.
- 8 -
3a 2b c 0
【详解】因为 f x 3ax2 2bx c，且 f 1 0， f 2 0 ，所以 9a 2b 0
12a 4b c 0
，化简得 ，

9
解得b a， c 6a，因为 a<0，所以b 0，c 0，所以 abc>0，故 A错误；
2
由 a<0 2，可知 f x 3ax 2bx c为开口向下的二次函数，且零点为 1，2，则当 x 1或x 2时， f x 0，
当1 x 2时， f (x) > 0，即 f (x)在 ，1 上单调递减，在 1，2 上单调递增，在 2， 上单调递减，所以
x=1为极小值点，x=2为极大值点，则 f (x)的极大值为 f 2 8a 4b 2c 8a 9 4 a 2 6a 2a 0 ，
2
故 D错误；
由函数 f (x)的单调性可知，函数 f (x)在 0，1 单调递减，在 1，2 上单调递增，在 2，3 上单调递减，且 f 0 0，
f 2 2a 0，所以 f (x)在区间[0，3]的最大值为 0，故选项 B正确；
函数 f (x)在 ，1 上单调递减，在 1，2 上单调递增，在 2， 上单调递减，且 f 0 0，
f 1 a b c a 9 a 6a
5
a 0 ， f 2 2a 0，所以 f (x)只有一个零点 0，故 C正确；
2 2
故选：BC.
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
1 1 2
13 3 2．（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）若函数 f x x x 2ax在 ， 上存在单调递增区间，
3 2 3
则 a的取值范围是_________.
1
【答案】 ，
9
2
【分析】先对函数求导，将问题转化为存在 x ， ，使 f (x) > 0成立，只需使 f x 0max 即可；进而 3
可求出结果.
f x 1 x3 1 x2 2ax f x x2 x 2a x 1
2 1
【详解】由 得
3 2
2a，
2 4
f x 1 x3 1 2为使函数 x2 2ax 在 ， 上存在单调递增区间，3 2 3
x 2 只需存在 ， ，使 f (x) > 0成立， 3
- 9 -
即只需 f x 0max 即可；
当 x
2
， 时， f x 显然单调递减， 3
f x f x f 2 2所以 的最大值为 2a max ， 3 9
由 f
2
2a
2
0，解得 a
1
，
3 9 9
1
所以 a的取值范围是 ， .
9
1
故答案为： ，

9
.

【点睛】本题主要考查由函数存在增区间求参数，根据导数的方法求解即可，属于常考题型.
14．（2022秋·湖北·高二校联考期中）已知 an 是等差数列， bn 是等比数列， Sn是数列 an 的前 n项和，
a
S 611 11，b5b7 3，则 log3 b2 =______．6
【答案】 1
【分析】根据等差数列的求和公式以及等差中项，求第六项，再根据等比数列的等比中项，解得第六项的
平方，结合对数运算可得答案.
【详解】因为 an
11 a a
是等差数列，且 Sn是数列 an 的前 n项和，所以 S 11 1 11 11a6 11，解得 a6 1，2
2
因为 bn 是等比数列，所以b5b7 b6 3，
则 log
a6
3 2 log
1
3 1b6 3
.
故答案为： 1 .
PA
15．（2022秋·湖北鄂州·高二统考期末）若平面内两定点 A，B间的距离为 2，动点 P满足 2PB ，则
PA PB 的最小值为_________.
【答案】36 242## 242+36
【分析】建立直角坐标系，设出 P的坐标，求出轨迹方程，然后推出 PA PB 的表达式，转化求解最小
值即可.
【详解】以经过 A，B的直线为 x轴，线段 AB的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系.
PA x 1 2 y2
则 A 1,0 ,B 1,0 ,设P x, y ，由 2，则 2PB ， x 1 2 y2
- 10 -
所以两边平方并整理得 x 3 2 y2 8，
所以 P点的轨迹是以(3，0)为圆心， 2 2为半径的圆，
所以 y2 8 x 3 2 ，3 2 2 x 3 2 2，
则有 PA |2 PB |2 2 x2 y2 2 2x2 18 2 x 3 2 12x 36 24 2，
则 PA PB 的最小值为36 24 2 .
故答案为：36 24 2 .
1 16
16．（2022 · 秋 湖北黄石·高二统考开学考试）已知函数 f (x) 0 x ，则 f (x)的最小值cos x 2 cos x 2
为________．
25
【答案】
2
【分析】利用导数求得 f x 的单调区间，由此求得 f x 的最小值.
【详解】 0 x

0 cos x 1 .
2
f ' x sin x 16sin x sin x 2 3cos x 2 5cos x 2 cos x ，2 cos x 2 cos2 x 2 cos x 2
2 2
所以当0 cos x '时， f x 0，当 cos x 1 '时， f x 0 .
5 5
2 1 16 25
结合复合函数单调性同增异减可知，当 cos x 时， f x 有最小值为 2
5 2
2
2 .
5 5
25
故答案为：
2
四、解答题（本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·湖北孝感·高二校联考期中）已知函数 f x x ln x .
（1）求 f x 的图象在点 x 1处的切线方程；
（2）求函数 f x 的单调区间和极值.
1
1 y x 1 2 0,
1
【答案】（ ） ；（ ）单调递减区间为 ，单调递增区间为 ,
1
e ，极小值
，无极大值
e . e
- 11 -
【分析】（1）利用导数的几何意义可求得 f x 的图象在点 x 1处的切线方程；
（2）分析导数的符号变化，可得出函数 f x 的单调递增区间和递减区间，进一步可求得函数 f x 的极小
值.
【详解】（1）由 f x x ln x，得 f x ln x 1，所以 f 1 1， f 1 0，
所以 f x 的图象在点 x 1处的切线方程为 y x 1；
（2）函数 f x 的定义域为 0, ，由 f x 0 x 1得 .
e
x 0, 1 当 时， f x 0；当 x
1 ,

时， f (x) > 0 .
e e
故 f x 1 1 的单调递减区间为 0, ，单调递增区间为 , ，
e

e
f x x 1 f x f 1 1从而函数 在 处有极小值 极小值 ，无极大值.e e e
18．（2023秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知数列 an 是等差数列， Sn是等比数列 bn 的前
n项和， a4 b1 8,a2 b3 ， S3 6 .
(1)求数列 an , bn 的通项公式；
(2)求 Sn的最大值和最小值.
1 n 1
【答案】(1)an 3n 4，bn 8 2
(2) Sn的最大值为8，最小值为 4.
【分析】(1)根据给定的条件，求出等差数列{an}的首项及公差，等比数列{bn}的公比即可求解作答；
16 1
(2)由（1）可得 Sn [1 ( )
n]，再分n为奇数和偶数时，结合 Sn的单调性求解即可.3 2
【详解】（1）设 an 的公差为 d , bn 的公比为q，
3
S 3b b 1 q3 1，所以 q 1
1
，由 S 13 6，解得： q ，1 q 2
n 1
b 8 1 n 2
，

又 d
a4 a 2 ,a2 b3 2,a4 8，所以d 3，2
- 12 -
an a2 n 2 d 3n 4；
（2）由（1）和等比数列的前 n项和公式可知：
n
8 1 1
16 16 1
n
2 n ,n 2k 1,k Z 16 1 3 3 2Sn 1
，
1 1


3

2
n
16 16 1
2 ,n 2k,k Z 3 3 2
16
显然，当 n为奇数时， Sn ,S3 n
单调递减；
当n S 16为偶数时， n ,S3 n
单调递增，
n 1时， Sn有最大值为8，
n 2时， Sn有最小值为 4.
19．（2023秋·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考期末）若等差数列 an 的前 n项和为 Sn，数
列 bn 是等比数列，并且bn＞0 ， a1 3,b1 1,b3 S3 19,a4 2b2 a2 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
a
(2)求数列 nb
的前 n项和Tn；
n
1
(3)若 cn n N* ca ·a ，求数列 n 的前 n项和Mnn n 1
【答案】(1)an 2n 1,b 2
n 1
n
(2)Tn 10 2n 5 21 n
n
(3)M n 6n 9
【分析】（1）根据条件列方程组求出 d ,q ；
（2）运用错位相减法求解；
（3）运用裂项相消法求解；
【详解】（1）设 an 的公差为 d， bn 的公比为 q，
依题意有： a1 3,a2 3 d ,a3 3 2d ,a4 3 3d ,b1 1,b2 q,b q
2
3 ，
q2 3 3 d 3 2d 19 d 5 d 2
，解得 （舍）， , ，
3 3d 2q 3 d q 5 q 2
- 13 -
an 3 2 n 1 2n 1,b 1 2n 1 2n 1n ；
a
（2）令 d n d 1 nn b ， n
2n 1 2 ，
n
Tn 3 1 5 2
1 7 2 2 9 2 3 2n 1 21 n …①，
Tn 3 2 1 5 2 2 7 2 3 9 2 4 2n 1 2 n …②，
2
①-②得：
Tn 3 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 21 n 2n 1 2 n
2
1 n 11 2
3 2 2 1 2 n 1 · 2 n 5 2n 5 ·2 n ，
1 2 1
T 10 2n 5 21 nn ；
c 1 1 1 1 1 （3） n an an 1 2n 1 2n 3 2 2n 1 2n 3
，

M 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n



2 3 5 5 7

7 9 2 n 1 2 n 3
1 1 1 n
2 3 2n 3
.
6n 9
20．（2022秋·湖北襄阳·高二襄阳四中校考阶段练习）如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，
AB//CD， BAD 90 ， PD DC BC 2PA 2AB 2 ， PD CD．
(1)求证： PA 平面 ABCD；
(2)求直线 BD与平面 BPC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 21
7
【分析】（1）取CD的中点 E，连接 BE，证明出 PA AB， PA AD，再利用线面垂直的判定定理可证得
结论成立；
（2）点A为坐标原点， AB、 AD、 AP所在直线分别为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量
- 14 -
法可求得直线 BD与平面 BPC所成角的正弦值.
【详解】（1）证明：由于 AB//CD， BAD 90 ，所以CD AD，
由于 PD CD， PD AD=D， PD、 AD 平面 PAD，所以CD 平面 PAD，
AB 平面 PAD，由 PA 平面 PAD，得 AB PA .
取CD的中点 E，连接 BE，
因为底面 ABCD是直角梯形，DE //AB且DC 2DE 2AB 2， BAD 90 ，
故四边形 ABED为矩形，且 AD BE且 BE CD， AD BE BC2 CE2 3，
所以在 PAD中， PA 1， PD 2， AD2 PA2 PD2 ，即 PA AD，
由于 AD AB A， AB、 AD 平面 ABCD，所以 PA 平面 ABCD .
（2）解： PA 平面 ABCD， AB AD ，以点A为坐标原点， AB、AD、 AP所在直线分别为 x、 y、 z轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 A 0,0,0 、 B 1,0,0 、C 2, 3,0 、D 0, 3,0 、 P 0,0,1 ，
BD 1, 3,0 ， PB 1,0, 1 ， BC 1, 3,0 ，
n PB x z 0
设平面BPC 的法向量为 n x, y, z ，则 ，取 x 3，可得 n 3, 1, 3 ，
n BC x 3y 0

cos BD, n BD n 2 3 21所以，
BD n 2 7 7
.
21
所以，直线BD与平面 BPC所成角的正弦值为 .
7
2 2
21．（2023春·湖北荆州· x y高二统考阶段练习）已知双曲线 C： 2 2 1 a b 0 的左，右焦点分别为Fa b 1
，
F2，且F1，F2都在圆 x2 y2 4上，连接双曲线 C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为 2 3．
(1)求双曲线 C的标准方程；
(2)设 P是双曲线 C与圆 x2 y2 4在第一象限的交点，求△PF1F2的面积．
- 15 -
2
【答案】(1) x y2 1
3
(2)1
【分析】(1)根据焦点F1， F2都在圆 x2 y2 4上得出 c 2，再根据菱形的面积为 2 3和 a,b,c的关系可得
a 3，b 1，进而求解；

(2)根据题意得到 F1PF2 ，然后利用勾股定理得出 PF1 PF2 ，进而求解即可.2
【详解】（1）由双曲线方程知：焦点 F1( c,0),F2 (c,0) ，
∵F1， F2都在圆 x2 y2 4，
∴ c2 02 4，解得 c 2（负值舍去），
∵连接双曲线 C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为2 3，
1
∴ 2a 2b 2 3，得 ab 3，①2
又a2 b2 c2 4，②
联立①②，解得 a 1，b 3或a 3，b 1，
∵ a b，∴ a 1，b 3舍去，∴ a 3，b 1，
x2
故双曲线 C的标准方程为 y2 1．
3
（2）由（1）知： F1 2,0 ，F2 2,0 ，
F 2 2 ∴ 1F2是圆 x y 4的直径，∴ F1PF2 ，2
2 2 2 2
∴ PF 2 21 PF2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 4 a 2 PF1 PF2 F1F2 4 c，
PF PF 4c
2 4a2
∴ 1 2 2 b
2 2，
2
1
∴ S△PF F PF
1
PF 2 1．
1 2 2 1 2 2
22．（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考阶段练习）已知函数 f x x lnx a a .
(1)当 a 1时，求 f (x)的极小值；
(2)若 f (x)在区间[1, e]上有且仅有一个零点，求实数 a的取值范围.
【答案】(1)0
,1 e (2) , e 1
- 16 -
【分析】（1）求导，判断函数的单调性，即可求得函数的极小值；
（2）将 f (x)在区间[1, e]
a a
上有且仅有一个零点转化为 lnx a 0 在[1,e]上有唯一解. 令 x lnx a，
x x
可知 (1) 0，讨论 a的取值范围，判断函数单调性，解不等式，求得参数范围.
【详解】（1）当 a 1时， f (x) x(ln x 1) 1， f (x) ln x, (x 0)，
当0 x 1时， f (x) 0， f (x)在(0,1)上单调递减；
当 x 1时， f (x) 0， f (x)在 (1, )上单调递增，
故当 x 1时， f (x)取得极小值 f (1) 0；
（2）由题意， x lnx a a 0 a在[1, e]上有唯一解，即 lnx a 0在[1,e]上有唯一解.
x
令 x lnx a a x a ，显然 (1) 0， x ，
x x2
∴当 a 1时， (x) 0在[1,e]上恒成立，故 (x)在[1, e]上单调递增，
此时 g(x)在[1,e]上只有一个零点 1；
当a e时， (x) 0在[1, e] ]上恒成立，故 (x)在[1,e] ]上单调递减，
此时 g(x)在[1,e]上只有一个零点 1；
当1 a e时，当1 x a时， (x) 0，当 a x e时， (x) 0，
可知 (x)在[1,a]上单调递减，在[a,e]上单调递增，
结合 (1) 0
a e
，要使原函数只有一个零点，只需 e lne a 0 ，解得 a ，
e e 1
e
∴ a e，
e 1
e
综上所述，实数 a的取值范围是 ,1 , .
e 1
【点睛】方法点睛：解答本题 f (x)在区间[1,e]上有且仅有一个零点，求实数 a的取值范围问题时，将问题
a
转化为方程有唯一解的问题，进而设函数 x lnx a，分类讨论，利用导数判断其单调性，进而求得
x
参数范围.
- 17 -高二下学期第一次月考测试卷（二）
范围：数列、一元导数及其应用、计数原理
说明：1．本试题共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第 I卷(选择题 共 60分)
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求.）
1．（2023·高二单元测试）在等比数列{an}中，an>0，且 a1+a2=1，a3+a4=9，则 a4+a5的值为（ ）
A．16 B．27
C．36 D．81
【答案】B
2
【分析】根据数列的基本量的运算，由 a3 a4 q (a1 a2 )，根据 an>0可得 q=3，再根据 a4 a5 q (a3 a4 )，
即可得解.
【详解】∵a1+a2=1，a3+a4=9，
∴q2=9.
∴q=3（q=-3舍去），
∴a4+a5=（a3+a4）q=27.
故选：B
2．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）某公司为庆祝新中国成立 73周年，计划举行庆祝活动，共有 5个节
目，要求 A节目不排在第一个且 C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．60
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答.
【详解】因为 C、D节目相邻，则视 C、D节目为一个整体与其它 3个节目排列，
- 1 -
A A 3 A1 3又 节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排 ，再排余下 个，有 3A3种，
2
其中的每一种排法，C、D节目的排列有A2 ，
1 3 2
所以节目安排的方法总数为A3A3A2 3 6 2 36 （种）.
故选：C
3．（2022春·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）若函数 f (x) ex ax在 x= 1处有极值，则（ ）
1
A． a -1 B． a
e
C． a e D．a不存在
【答案】B
【分析】函数 f (x) ex ax在 x= 1处有极值，即 f ( 1) 0，求解导数，代入 x= 1即可求解.
【详解】解：因为函数 f (x) ex ax，故 f (x) ex a
又函数 f (x) ex ax在 x= 1处有极值，故 f ( 1) e 1 a 0，
1
解得 a .经检验满足题意
e
故选：B.
4 3．（2022秋·广东广州·高一广东实验中学校考期末）函数 f x cos x cos x的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性判断 AD，再根据函数在 0, π 的符号排除 C得答案.
【详解】解：由题知函数的定义域为R ，
f x cos x cos3 x cos x cos3 x f x ，
所以函数 f x cos x cos3 x为偶函数，图像关于 y轴对称，
故排除 AD，
- 2 -
因为 f x cos x 1 cos2 x ，1 cos2 x 0，
x π f x 0 x π 所以，当 0, 时， 2 ；当
, π 时， f x 0； 2
所以 C选项不满足，B选项满足.
故选：B
y2
5．（2023· 3云南·高二云南师大附中校考阶段练习） x (x y) 展开式中 xy3的系数为（ ）
x
A．4 B．2 C． 2 D． 4
【答案】D
【分析】根据二项式定理的运算性质展开求解即可.
y2 2x (x y)3 x(x y y)3 (x y)3【详解】解： ，
x

x
2
含 xy3的项为 xC33( y)
3 y C13x
2( y) xy3 3xy3 4xy3，
x
y2
所以 x (x y)
3
展开式中 xy3的系数为 4 .
x
故选：D．
6．（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）已知数列 an 满足 an an 1 d，n 2， n N，则“ am an 2d ”
是“m n 2”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意可得 an 为等差数列，后据此判断 am an 2d与m n 2间关系可得答案.
【详解】设 an 首项为 a1，由 an an 1 d，可得 an an 1 d，
则可得an a1 n 1 d .
则 am an a1 m 1 d a1 n 1 d m n d 2d m n 2
m n 2 m n d 2d a 1 m 1 d a 1 n 1 d a m a n 2d .故“ am an 2d ”是
“m n 2”的充分必要条件.
- 3 -
故选：A
7．（2022秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）记 Sn为数列 an 的前 n项和，满足
a 1, n n 1 1 1 1 11 Sn nan ，则 2 S1 S
（ ）
2 S3 S2022
2022 4044 2023 4043
A． B． C． D．
2023 2023 2022 2022
【答案】B
1
【分析】先由 Sn与 an 的关系可得 an 是以 1为公差的等差数列，进而可得 Sn , S ，再利用裂项相消法求和n
即可
n n 1 2S
【详解】由 Sn nan 得
n n 2an 1，即 2S
2
n n 2nan n①，2 n
当n 2时， 2S 2n 1 n 1 2 n 1 an 1 n 1 ②，
①-②得， 2Sn n
2 2S 2n 1 n 1 2nan n 2 n 1 an 1 n 1 ，
即2an 2n 1 2nan 2 n 1 an 1 1，
即2 n 1 an 2 n 1 an 1 2 n 1 ，
所以 a *n an 1 1， n 2且 n N ，
所以 an 是以 1为公差的等差数列，
又 a1 1，
所以 an n，
n 1 n
则 Sn n n 1 3 2 1

， n 1时也符合，
2
n 1 nS , 1 2则 n 2
1 1

2 S n 1 n ，n n n 1
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4044则

S1 S2 S S
．
3 2022 2 2 3 2022 2023 2023 2023
故选：B．
8．（2022春·广东广州·高二校考期中）已知 a，b，c 0,1 ，且 a lna 1 e ，b lnb 2 e 2，c lnc 3 e 3，
其中 e是自然对数的底数，则（ ）
A． c b a B．c a b
C． a c b D． a b c
- 4 -
【答案】D
【分析】设 f x x ln x x，g x e x，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得
答案.
【详解】∵a，b， c 0,1 ， a lna e 1，b lnb e2 2， c ln c e3 3，
令 f x x ln x， x 0,1 f x 1 1 x 1， ，
x x
当 x 0,1 时， f x 0， f x 在 0,1 上单调递减，
g x ex令 x， x 1, ， g x ex 1，当 x 1时， ex 1 0，
所以 g x 在 1, 上单调递增，即 e 1 e2 2 e3 3，
∴a lna b lnb c lnc，即 f a f b f c ，
∴ a b c .
故选：D.
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．（2022春·广东·高二校联考阶段练习）已知函数 f (x) x2 f (0) x f (0) cos x 2，其导函数为 f (x)，
则（ ）
A． f (0) 1 B． f (0) 1 C． f (0) 1 D． f (0) 1
【答案】BC
【分析】先令 x 0代入函数可得 f 0 2 f 0 ，再对函数求导后把 x 0代入导函数中可得 f 0 f 0 ，
从而可求得 f 0 f 0 1
【详解】因为 f (x) x 2 f (0) x f (0) cos x 2 ，
所以 f 0 2 f 0 ．
因为 f (x) 2x f (0) f (0) sin x，所以 f 0 f 0 ．
故 f 0 f 0 1．
故选：BC
- 5 -
【点睛】此题考查导数的运算，属于基础题
10．（2021秋·广东惠州·高二统考阶段练习）记等差数列 an 的前 n项和为 Sn，已知a5 3， S3 9，则有
（ ）
A． a1 5 B．a4 0 C． S6 0 D． S3 S4
【答案】ACD
a a
【分析】先由 S3 9，以及等差数列的性质可得a 3，d 5 22 2，然后根据等差数列通项公式，求3
和公式依次判断即可.
【详解】由 S3 a1 a2 a3 3a2 9，得 a2 3，
设等差数列 an 的公差为d ，则有 a5 a2 3d，
d a5 a2 3 ( 3)所以 2，
3 3
所以 an a2 (n 2)d 3 (n 2) 2 2n 7，
所以 a1 2 7 5， a4 8 7 1 0，
S6 6 ( 5)
6 5
2 0，
2
由 S4 S3 a4 1 0，得 S4 S3，
故选：ACD.
11．（2022春·广东茂名·高二校考阶段练习）如图是导函数 y f x 的图象，则下列说法错误的是（ ）
A． 1,3 为函数 y f x 的单调递增区间
B． 0,3 为函数 y f x 的单调递减区间
C．函数 y f x 在 x 0处取得极大值
D．函数 y f x 在 x 5处取得极小值
【答案】BC
【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分
- 6 -
析，即可判断和选择.
【详解】由图可知，当 x 1时， f x 0，故 f x 单调递减；当 x 1,3 ， f x 0，故 f x 单调递
增；当 x 3,5 ，f x 0，故 f x 单调递减；当 x 5，f x 0，故 f x 单调递增，且 f 1 0，f 3 0，
f 5 0，
则该函数在 x= 1和 x 5处取得极小值；在 x 3处取得极大值.
故选：BC
12．（2023秋· · x 1广东 高二校联考期末）已知函数 f x e ln x ，则过点 a,b 恰能作曲线 y f x 的两条
切线的充分条件可以是（ ）
A．b 2a 1 1 B．b f a
C． 2a 1 b f a D．b 2a 1 1
【答案】ABD
x 1 x 1 x 1 1
【分析】设切点坐标为 (x0 ,e 0 ln x )，则有 e
0
0 ln x0 b (e
0 )(x
x 0
a)，所以问题转化为方程
0
ex0 1(x0 a 1) ln x
a
0 b 1 0(x 0) x 1
a
x 0 恰有两个解，令
g(x) e (x a 1) ln x b 1 (x 0)，然后利
0 x
用导数求解其零点即可.
f x ex 1【详解】由 ln x ，得 f (x) ex 1 1 (x 0)，
x
x 1 x0 1 1
设切点为 (x0 ,e 0 ln x0 )，则切线的斜率为 k e x ，0
x
所以有 e 0 1 ln x b (ex0 1
1
0 )(x a)x 0 ，0
x 1 a
整理可得： e 0 (x0 a 1) ln x0 b 1 0(x 0)x 0 ，0
x 1 a
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令 g(x) e (x a 1) ln x b 1 (x 0)，
x
g(1) e1 1(1 a 1) ln1 a b 1 b 1 2a，
1
g (x) ex 1(x a) 1 a 2 (x a)(e
x 1 1 2 )(x 0)，x x x
x 1 1
令F(x) e 2 (x 0)，则 F (x) e
x 1 2 3 0(x 0)，x x
所以 F (x)在 (0, )上单调递增，因为 F(1) e1 1 1 0，
- 7 -
所以当0 x 1时， F (x) 0；当 x 1时， F (x) 0，
①当 1 2a 1 1，即 0 a 1时，
当0 x a时， g (x) 0，则函数 g(x)单调递增，
当 a x 1时， g (x) 0，则函数 g(x)单调递减，
当 x 1时， g (x) 0，则函数 g(x)单调递增，
所以只要 g(a) 0或 g(1) 0，即b ea 1 ln a f a 或b 2a 1 ( 1,1)；
②当 2a 1 1，即 a 0时，
当0 x 1时， g (x) 0，则函数 g(x)单调递减，
当 x 1时， g (x) 0，则函数 g(x)单调递增，
所以只要 g(1) 0，即b 2a 1，而 2a 1 1；
③当 2a 1 1，即 a 1时，
当0 x 1时， g (x) 0，则函数 g(x)单调递增，
当1 x a时， g (x) 0，则函数 g(x)单调递减，
当 x a时， g (x) 0，则函数 g(x)单调递增，
当 x a时， g(a) b ea 1 ln a，
所以只要 g(1) 0或 g(a) 0，由 g(1) 0可得：b 2a 1 1，
由 g(a) 0得b ea 1 ln a f (a)；
④当 a 1时， g (x) (x 1)(e x 1
1
) 0 ，所以函数 g(x)在 (0, )2 上单调递增，所以函数至多有一个零点，x
不合题意；
综上：当 a 0时，b 2a 1 1；
当 0 a 1 b ea 1时， ln a f a 或b 2a 1 ( 1,1)；
当 a 1时，b 2a 1 1或b ea 1 ln a f (a)，
所以选项A正确，B正确，C错误，D正确，
故选：ABD .
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数
的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)
利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决
- 8 -
生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．（2022春·广东东莞·高二统考期末）计算：A25 C
8
10 ___________.（用数字作答）
【答案】65
【分析】根据排列数、组合数的运算法则，计算即可得答案.
2
【详解】因为A5 5 4 20 C
8 C2 10 9， 10 10 452 1
所以A25 C
8
10 20 45 65 .
故答案为：65
14．（2023秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）函数 f x a ln x x的图象在 x 1处的切
线方程为 y x 2，则a ______.
【答案】 2
【分析】利用导数和斜率的关系列方程，由此求得 a的值.
'
【详解】依题意 f x a 1，由于函数 f x a ln x x的图象在 x 1处的切线方程为 y x 2，直线
x
y x 2 '的斜率为1，所以 f 1 a 1 a 1 1 a 2 .
1
故答案为： 2
【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
15．（2022秋·广东深圳·高二统考开学考试）某车队有 6辆车，现要调出 4辆按一定的顺序出去执行任务，
要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__________种不同的调度方法.（用数字填写答
案）
【答案】72
【解析】分 3种情况讨论，甲车排第 1号，乙车可排 2、3、4号；当甲车排第 2号，乙车可排 3、4号；当
甲车排第 3号，乙车只可排 4号；根据分类计数加法和分步计数乘法原理得到结果．
【详解】当甲车排第 1号，乙车可排 2、3、4号，有 3种选择；
当甲车排第 2号，乙车可排 3、4号，有 2种选择；
当甲车排第 3号，乙车只可排 4号，只有 1种选择；
- 9 -
2
除甲、乙两车外，在其余 4辆车中任意选取 2辆按顺序排列，有 A4 种选法；
2
因此共有：（3+2+1） A4 ＝72种不同的调度方案．
故答案为：72
【点睛】本题考查分类计数和分步计数，是一个计数原理的综合应用，对于复杂一点的计数问题，有时分
类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步．
16．（2023·广东梅州·高二梅州市梅县区南口中学校考阶段练习）已知函数 f x 2sin x sin 2x ，则 f x 的
最小值是_____________．
【解析】
f (x) 2cos x 2cos 2x 2cos x 2 2cos2 x 1 4cos2 x 2cos x 2
2(cos x 1) (2cos x 1)．
令 f (x) 0
1 π π
，得 cos x ，即 f (x)在区间 2kπ , 2kπ (k Z)内单调递增；
2 3 3
令 f (x) 0
π 5π
，得 cos x
1
，即 f (x)

在区间 2kπ , 2kπ

(k Z)内单调递减．2 3 3
则[ f (x)] min f 2kπ
π 3 3 ．
3 2
3 3
故答案为： .
2
四、解答题（本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2022春·湖南怀化·高二沅陵县第一中学校考阶段练习）若 (2x 3)4 a0 a1x a2x
2 a3x
3 a4x
4．
(1)求 a1 a2 a3 a4 的值；
(2) (a 2求 0 a2 a4 ) (a1 a )
2
3 的值．
【答案】(1)88 56 3
(2)1
【分析】(1)对二项式进行赋值即可求解；
(2)先观察式子特征，注意到可进行平方变形，然后根据 x 1时的值来计算最终结果.
【详解】（1）∵ (2x 3)4 a0 a1x a2x
2 a3x
3 a x44 ，
令 x 1，可得 (2 3)4 a0 a1 a2 a3 a4，
- 10 -
令 x 0，可得 (0 3)4 a0，
∴a1 a2 a3 a4 a0 a1 a2 a3 a4 a0 (2 3)
4 (0 3)4 88 56 3．
（2）∵ (2x 3)4 a a x a x2 a x3 40 1 2 3 a4x ，
令 x 1，可得 (2 3)4 a0 a1 a2 a3 a4①，
令 x= 1，可得 ( 2 3)4 a0 a1 a2 a3 a4②，
2 2
结合①②可得， (a0 a2 a4 ) (a1 a3 ) (a0 a1 a2 a3 a4 )(a0 a1 a2 a3 a4 )
(2 3)4 ( 2 3)4
1．
18．（2022春·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六
艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．
(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；
(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．
【答案】(1)144
(2)504
【分析】（1）利用捆绑法和插空法，将“射”和“乐”两门课程捆绑，看作一个元素将之与“数”分别插入另外 3
个元素隔开的空档中，由此计算即可得出答案；
（2）根据题意，分两种情况讨论：“射”排在第四节；“射”不排在第四节，由加法原理计算可得答案．
2 3
【详解】（1）将“射”和“乐”两门课程捆绑，内部先全排，有A2种，然后“礼”“御”“书”全排排，有A3种，此
2
时有四个空挡，最后将捆绑的课程与“数”插入空挡中，有A4 种，
2 3 2
则不同的排课顺序有A2A3A4 144种．
（2 5）若“射”排在第四节，则有A 5 120种不同的排课顺序；
若“射” 1 1 4不排在第四节，则有A4A4A4 384种不同的排课顺序．
由加法原理得，共有120 384 504种不同的排课顺序．
19．（2023秋·广东清远·高二统考期末）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 S6 2S4，a2n 2an 1．
(1)求 an 的通项公式．
- 11 -
n
(2)令bn 2 2 ，数列 b
1
n 的前 n项和为T T 2n 1 a n．证明： n ．n 8
【答案】(1)an 2n 1
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
1 1 1
（2）化简得到bn 2 2 ，裂项相消法求和，证明出结论.8 2n 1 2n 1
【详解】（1）设等差数列 an 的公差为 d，
6a1 15d 2 4a1 6d
则
a1
，
2n 1 d 2 a1 n 1 d 1
解得a1 3,d 2，因此 an 3 2 n 1 2n 1；
（2）证明：因为 an 2n 1，
n 1 1 1
所以bn 2 ， 2n 1 2n 1 2 8 2 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以Tn 1 8 32
2 2 3 5 2n 1 2
.
2n 1
2
8 8 2n 1
2 8
20．（2022秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知数列 an 的前 n项和为 Sn，a1 1，数
S
列 n 是以 1为公差的等差数列．
n
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 an 2an 的前 n项和Tn．
【答案】(1)an 2n 1 n N* ；
10 6n 5
(2)Tn 2
2n 1 .
9 9
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合 Sn与 an 之间的关系进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
S S
【详解】（1））∵数列 n 是以 1为公差的等差数列，且 1 a 1，
n 1 1
S
∴ n 1 n 1 1 n，
n
- 12 -
∴ Sn n
2
，
当n 2 2时， an Sn Sn 1 n (n 1)2 2n 1．
*
当 n 1时，上式也成立．∴ an 2n 1 n N ；
a
（2） an 2 n 2n 1 22n 1
T 1 21 3 23 5 25 2n 1 22n 1∴ n ①
3 5 2n 1 2n 1
∴4Tn 1 2 3 2 2n 3 2 2n 1 2 ②
①-②得：
3Tn 2 2 23 25 22n 1 2n 1 22n 1，
232 2 2
2n 1 4
2 n 1 2 2n 1，
1 4
10 6n 5
22n 1，
3 3
T 10 6n 5 22n 1∴ n .9 9
21．（2022春·广东佛山· f x e x高二校考阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 y f x 1的斜率等于 的切线方程；e
(2)设曲线 y f x 在点 t, f t t 0 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S t ，求 S t 的最大值.
【答案】(1) x ey 2 0
2
(2)
e
【分析】（1）求得 y f x x得导数，设切点 x0 , e 0 ，可得切线斜率，解方程得 x0 1，进而得切线方程；
（2）求得切线的斜率和方程，分别令 x 0， y 0，求得切线的横纵截距，可得三角形面积考虑 t 0的情
况，求得导数和单调区间和极值，然后得最值.
（1）
解：因为 f x e x x，所以 f x e ，
x x 1 1
设切点为 x 00 , e ，则 e 0 ，即 x0 1，所以切点为 1,e ，e
1 1
由点斜式可得切线方程为 y x 1 ，即 x ey 2 0；
e e
- 13 -
（2）
解：因为 y f x 在点 t,e t 处的切线方程为 y e t e t x t ，
令 x 0，得 y t 1 e t y 0
1
x t 1 S t t 1 2 e t，令 ，得 ，所以 2 t 0
，
1 1
所以 S t 2 t 1 e
t t 1 2 e t e
t
t 1 1 t ，2 2
S t 0 0 t 1， S t 0 t 1，所以 S t 在 0,1 上递增，在 1, 上递减，
所以 t 1时， S t 取得极大值，也是最大值为 S 1 2e 1 2 .e
22．（2022秋·广东东莞·高二统考期末）已知函数 f (x) (x 1)ex 2ax2．
(1)讨论 f (x)的单调性；
(2)设函数 g(x) (x 2)e x 2x sin x ，若对任意的 x 0，f (x) g (x)恒成立（ f (x)，g (x)分别是 f (x)，g(x)
的导函数），求实数 a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
1
(2)a ．
4
【分析】（1）求出导函数 f (x)，分类讨论确定 f (x)的正负，得单调性；
x
2 x 0 x 0 4a e 2 cos x（ ） 时不等式成立， 时，不等式变形为 ，然后引入函数
x
x
n(x) e x 2 cos x x(x 0) ，证明 x 0时，m(x) 0 e 2 cos x，从而得 1，由此可得 a的范围．
x
【详解】（1） f (x)的定义域是 ( , )，
f (x) e x (x 1)e x 4ax x(e x 4a) ，
a 0时， x 0时， f (x) 0， x 0时， f (x) 0，
f (x)的减区间是 ( , 0)，增区间是 (0, )；
a 0时，由 f (x) 0得 x 0或 x ln(4a)，
0 1 a 时， ln(4a) 0， x ln(4a)或 x 0时， f (x) 0， ln(4a) x 0时， f (x) 0，
4
f (x)的增区间是 ( , ln(4a))和 (0, )，减区间是 (ln(4a),0)；
a 1 时， ln(4a) 0， f (x) 0恒成立， f (x)的增区间是 ( , )，无减区间；
4
a 1 时， ln(4a) 0， x ln(4a)或 x 0时， f (x) 0，0 x ln(4a)时， f (x) 0，
4
f (x)的增区间是 ( , 0)和 (ln(4a), )，减区间是 (0, ln(4a))；
- 14 -
综上所述，a 0时， f (x)在区间 ( , 0) 1上是减函数，在区间 (0, )上是增函数；0 a 时， f (x)在区间
4
( , ln(4a))和 (0, )上是增函数，在区间 (ln(4a),0) a
1
上是减函数； 时， f (x)在区间 ( , )上是增函
4
数； a
1
时， f (x)在区间 ( , 0)和 (ln(4a), )上是增函数，在区间 (0, ln(4a))是减函数；
4
（2） g (x) (x 1)e x 2 cos x ，
f (x) g (x)，即 x(ex 4a) (x 1)ex 2 cos x ， ex 2 cos x 4ax 0，
x 0时，此不等式成立，
x
x 0 e 2 cos x时，不等式变形为 4a ，
x
设n(x) ex 2 cos x x(x 0)，则 n (x) e x sin x 1，
令 p(x) n (x) e x sin x 1 ，则 p (x) e x cos x， x 0时， ex 1 cos x，即 p (x) 0，所以 p(x)单调递
增，所以 p(x) p(0) 0，即 n (x) 0，
所以 n(x)单调递增，所以 x 0时， n(x) n(0) 0，
x 0 x x h(x) e
x 2 cos x
所以 时， e 2 cos x x 0， e 2 cos x x，∴ 1，
x
所以 4a
1
1， a ．
4
【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数范围问题的两种思路：一是用分离参数法，转化为求新函数的最
值，从而得出参数范围，二是直接求函数的最值，由这个最值满足的不等关系求得参数范围．
- 15 -高二下学期第一次月考测试卷（三）
范围：选择性必修一~选择性必修三第六章
说明：1．本试题共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答
案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第 I卷(选择题 共 60分)
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要
求.）
1．（2022秋·广东深圳·高二福田外国语高中校考期中）已知三棱柱 ABC - A1B1C1，点 P为线段 B1C1的中点，

则 AP （ ）
1
A． AB AC
1
AA 1 1
2 2 1
B． AB AC AA
2 2 1
1 1 1 1
C． AB AC AA1 D． AB AC AA2 2 2 2 1
2．（2023·广东深圳·高二校考期中）直线 l的倾斜角等于直线 3x y 0倾斜角的 2倍；则直线 l的斜率是（ ）
A 2 3． B． 3 C．2 3 D． 3
3
2 2 3
3 x y．（2023·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）已知双曲线 C： 2 2 =1(a>0，b>0)的离心率为 ，且与a b 2
x2
椭圆 y2 1有公共焦点，则双曲线 C的方程为（ ）
10
x2 y2 x2 y2 2 2 2 2A． =1 B． =1 C x y x y． =1 D． =1
8 10 4 5 5 4 10 8
4．（2023春·广东广州·高二广州市协和中学校考期中）已知函数 f (x) x2 x 1 ex 1，则 f x 的大致图像
为（ ）
- 1 -
A． B．
C． D．
5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）在“2，3，5，7，11，13”这 6个素数中，任取 2个不同的数，这两数之
和仍为素数的概率是（ ）
1 3 2
A． B． C． D 1．
5 10 5 2
1 n
6．（2023 · · 2 2春 广东东莞 高二统考期末）已知 2x 1 x x 的展开式中各项系数和为 27，则 x4 项的系
x
数为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．15
7 2023· · C : (x 2)2 (y 3)2 1, C : (x 3)2 2．（ 广东湛江 高二湛江二十一中校考期中）已知圆 1 圆 1 (y 4) 16，
M，N分别是圆C1,C2 上的动点，P为 x轴上的动点，则 PM PN 的最小值为（ ）
A．5 2 4 B． 17 1 C．6 2 2 D．5 2 5
2 2
8．（2022秋·广东茂名· x y高二统考期末）已知椭圆 C： 2 2 1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，过a b

F2的直线交椭圆与 A、B两点，∠AF1B＝90°，2 AF2 3F2B，则椭圆的离心率为（ ）
A 2 5 B 5． ． C 3 10． D 10．
5 5 10 10
二、多项选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．（2023·广东广州·高二广州市协和中学校考期末）设等差数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 0，公差为d ，
a8 a9 0， a9 0，则（ ）
- 2 -
A．d 0
B．当 n 8时， Sn取得最大值
C． a4 a5 a18 0
D．使得 Sn 0成立的最大自然数 n是 15
10．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）2023年北京冬奥会吉祥物冰墩墩，有着可爱的外表和丰富的寓
意，现有 5个不同造型的“冰墩墩”，则下面正确的是（ ）
A．把这 5个“冰墩墩”装入 3个不同的盒内，共有 129种不同的装法
B．从这 5个“冰墩墩”中选出 3个分别送给 3位志愿者，每人 1个，共有 60种没选法
C．从这 5个“冰墩墩”中随机取出 3个，共有 10种不同的取法
D．把这 5个“冰墩墩”装入 3个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有 150种不同的装法
11．（2023·广东肇庆·统考二模）已知圆C : (x 1)2 (y 2)2 25 ，直线 l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 ，则
（ ）
A．直线 l过定点 3,1
B．直线 l与圆C可能相离
C．圆C被 y轴截得的弦长为4 6
D．圆C被直线 l截得的弦长最短时，直线 l的方程为 x 2y 5 0
1
12．（2023·广东东莞·校考模拟预测）若直线 y x b(b R )是曲线 y f (x)的切线，则曲线 y f (x)的方
2
程可以是（ ）
A． f (x) x 3 2x 2 8 B． f (x) tan x
x
f (x) ln 1C． f (x) e 2 D． 2x 1
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）甲、乙、丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点
后，发现有 A,B两支正在等待检测的队伍，则甲、乙、丙三人不同的排队方案共有______种.
1
14．（2020·广东佛山·高二统考阶段练习）若等比数列{an}满足 a1 ，a2a3＝2，则 a7＝_____.2
15．（2023·青海西宁·高二统考期末）若函数 f x ln x ax在区间 3, 4 上有极值点，则实数 a的取值范围
是______．
- 3 -
16．（2023春·广东汕头·高二金山中学校考期中）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的
制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金，石，土，革，丝，木，匏、
竹”，其中“金，石、木，革”为打击乐器，“土，匏，竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土，
匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”
相邻排课，则不同的排课方式有__________种．
四、解答题（本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
1 1 n
17．（2023· 高二课时练习）已知在 x
2 的展开式中，第 9项为常数项，求：
2 x
(1)n的值；
(2)展开式中 x5的系数；
(3)含 x的整数次幂的项的个数.
18．（2023春·广东韶关·高二校联考开学考试）已知等差数列 an 中， a1 a5 14， a6 16 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)若 bn 为正项等比数列，b6 b1b5 64，求数列 an bn 的前 n项和Tn .
19．（2023·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 底面 ABCD，
AD AB， AB DC， AD DC AP 2， AB 1，点 E为棱 PC的中点．
(1)证明： BE DC；

(2)若 F 为棱 PC上一点，CF CP且满足BF AC，求平面 PAB与平面 FAB所成角的余弦值．
20．（2022·广东深圳·统考）平面直角坐标系中，动圆C与圆 x 1 2 1 1 y2 外切，且与直线 x 相切，
4 2
记圆心C的轨迹为曲线T .
(1)求曲线T的方程；
(2)设过定点Q m, 0 （m为非零常数）的动直线 l与曲线T交于A、B两点，问：在曲线T上是否存在点 P（与
A、B两点相异），当直线 PA、 PB的斜率存在时，直线 PA、PB的斜率之和为定值.若存在，求出点 P的坐
- 4 -
标；若不存在，请说明理由.
21．（2023·广东珠海·高二校联考阶段练习）已知函数 f (x) x3 2ax2 a2x 7,a R．
(1)若 x 1是 f (x)的极大值点，求 a的值；
(2)若过点 A(0,1)可以作曲线 f (x)的三条切线，求 a的取值范围．
2ln x
22．（2023· 2全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知函数 f x x a a R ．
x
(1)求函数 f x 的极值；
(2)当 a 11时，若函数 f x 有两个零点 x1, x2 x1 x2 ．
①证明： ln x1 ln x
x1 x 22 x x ；1 2
②证明： 0 x1x2 1．
- 5 -

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