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北师大版初中数学七年级下册第四单元《三角形》单元测试卷（标准困难）（含答案解析）
考试范围：第四单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一个三角形的两边长分别是和，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为( )
A. B. C. D.
2. 题目：“如图，，，在射线上取一点，设，若对于的一个数值，只能作出唯一一个，求的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是( )
A. 只有甲答的对
B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整
D. 三人答案合在一起才完整
3. 在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
4. 如图，≌，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5. 如图，在长方形中，延长到，使，连接动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，存在这样的，使和全等，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6. 如图为个边长相等的正方形的组合图形，则的度数为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，平分交于点，于点，如果，：：，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
8. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是( )
A. B. C. D.
9. 如图，已知一条线段的长度为，作边长为的等边三角形的方法是：
画射线；连接、；分别以、为圆心，以的长为半径作圆弧，两弧交于点；在射线上截取；
以上画法正确的顺序是( )
A. B. C. D.
10. 尺规作图“作一个角等于已知角“的依据是( )
A. B. C. D.
11. 为了测量池塘两侧，两点间的距离，在地面上找一点，连接，，使，然后在的延长线上确定点，使，得到，通过测量的长，得的长．那么≌的理由是( )
A. B. C. D.
12. 如图，要测量河两岸相对的、两点的距离，可以在与垂直的河岸上取、两点，且使，从点出发沿与河岸的垂直方向移动到点，使点与，在一条直线上，可得≌，这时测得的长就是的长．判定≌最直接的依据是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么 ．
14. ，分别是的边，上的点，若≌≌，则的度数为______．
如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动．则当与全等时，时间为
16. 如图，已知，，以，为顶点作三角形，使所作的三角形全等，这样的三角形最多可以作出______个．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，是等边三角形，点在线段上且不与点、点重合，延长至点使得，连接．
如图，若为中点，求；
如图，连接，求证：．
18. 本小题分
如图所示，已知中，，，点是中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动．设运动的时间为秒．
求的长用含的式子表示；
若以点、、为顶点的三角形和以点、、为顶点的三角形全等，并且和是对应角，求和的值．
19. 本小题分
如图，已知≌，，连接与相交于点，连接、，求证：．
本小题分
如图，，，，求证：．
21. 本小题分
根据要求画图
画线段；
画；
线段的延长线与线段的反向延长线相交于点。
22. 本小题分
数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量某段河流的宽度该段河流两岸是平行的，在数学老师带领下他们是这样做的：
在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树为参照点；
沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；
从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；
测得的长为．
河流的宽度为______；
请你说明他们做法的正确性．
23. 本小题分
如图，小亮要测量水池的宽度，但没有足够长的绳子，聪明的他设计了一个方案．请将方案补充完整，并说明方案成立的理由．
方案：先在地上取一个可以直接到达点和点的点；连接并延长到点，使______，连接并延长到点，使得______；连接并测量出它的长度，则的长度就是的长．
请说明为什么等于？
24. 本小题分
如图，已知，求证：．
25. 本小题分
如图，在和中，，，，且点在线段上，连接．
求证：≌；
若，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
先根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】
解：设第三边为，根据三角形的三边关系，得：，
即，
为整数，
的最大值为，
则三角形的最大周长为．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题意知，当或时，能作出唯一一个，
当时，
，，
，
即此时，
当时，
，，
此时，
即，
综上，当或时能作出唯一一个，
故选：．
由题意知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可．
本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中线的性质以及等底同高的三角形面积相等的知识，连接构建等底同高的三角形是解题的关键．
先证明和是等底同高的三角形，其面积相等，再说明和是等底同高的三角形，它们面积相等，从而得出的面积是面积的倍．
【解答】
解：连接，作，
点是的中点，
，
，，
，
同理：和也是等底同高的三角形，
，
，
．
故选C．

4.【答案】
【解析】解：≌，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由全等三角形的性质可求得，由垂直可得，进而可求解的度数．
本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解的度数是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
【分析】
分情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
本题考查了全等三角形的性质熟练运用分类讨论思想是解题的关键．
【解答】
解：当在上时，由题意得，
为公共边，
要使≌，则需，如图所示：
，
，
即当时，；
当在上时，不存在使和全等；
当在上时，由题意得，
，，
，
为公共边，
要使，则需，如图所示：
即，
，
即当时，；
综上所述，当或时，和全等．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识图并判断出全等的三角形是解题的关键，标注字母，利用“边角边”证明和全等，
根据全等三角形对应角相等可得，从而求出，再判断出，进而计算即可得解．
【解答】
解：如图，
在和中，
≌，
，
，
，
又，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
由“”可证，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．
【解答】
解：，：：，
，，
平分，
，且，，
≌
，
故选B．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
由作法易得，，，根据可得到三角形全等．
【解答】
解：由作法易得，，，依据可判定≌，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：已知一条线段的长度为，作边长为的等边三角形的方法是：
第一步：画射线；
第二步：在射线上截取；
第三步：分别以、为圆心，以的长为半径作圆弧，两弧交于点；
第四步：连结、．
即为所求作的三角形．
故正确的顺序为
故选：．
10.【答案】
【解析】分析
通过对尺规作图过程的探究，找出三条对应边相等，因此判定三角形全等的依据是．
本题考查了三角形全等的判定方法；可以让学生明确作图的依据，也是全等三角形在实际中的运用．
解答
解：在尺规作图中，作一个角等于已知角是通过构建三边对应相等的两个全等三角形来证明，
因此这个作法的判定依据是．
故选C．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，全等三角形的判定方法有：，，，，解答此题根据即可证明≌，据此可得结论．
【解答】
解：，
，
在和中，
≌，
全等三角形的对应边相等．
故选A．
12.【答案】
【解析】解：因为证明在≌用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选：．
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
此题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、，做题时注意选择．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13.【答案】
【解析】 ，，
，
为的角平分线，
平分，
，
为的高，
，
，
．
14.【答案】
【解析】解：≌≌，
，，
，
，
在中，，
．
故答案为：
根据全等三角形对应角相等，，，根据，可以得到，再利用三角形的内角和定理求解即可．
本题主要考查全等三角形对应角相等的性质，做题时求出是正确解本题的突破口．
15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于的方程是解题的关键．
由条件分两种情况，当≌时，则有，由条件可得到关于的方程，当≌，则有，同样可得出的方程，可求出的值．
【解答】
解：，，，
，，，
当≌时，则有，即，解得，
当≌时，则有，即，解得，
故答案为：或．
16.【答案】
【解析】解：如图，可以作出这样的三角形个
故答案为：
能画个，分别是：
以为圆心，为半径画圆；以为圆心，为半径画圆．两圆相交于两点上下各一个，分别于，连接后，可得到两个三角形．
以为圆心，为半径画圆；以为圆心，为半径画圆．两圆相交于两点上下各一个，分别于，连接后，可得到两个三角形．
因此最多能画出个．
本题考查了学生利用基本作图来做三角形的能力，关键是根据全等三角形的判定解答．
17.【答案】解：是等边三角形，
，
为中点，
，
，
，
，
，，
，
；
过点作交于点，
，
，，
是等边三角形，
，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
即，
，，
，
，
，
在和中
≌
，
．
【解析】由等边三角形的性质可得，由，可得；
过点作交于点，由“”可证≌，可得，可得结论；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18.【答案】解：，，
；
时，
，为的中点，
，
计算得出，
≌，
，
即，
计算得出；
时，，
计算得出，
≌，
，
即，
计算得出，
综上所述，的值为或，的值为或．
【解析】本题考查了全等三角形的性质及其几何动态问题．
用的长度减去的长度即可
根据全等三角形对应边相等，分时，先列式求出时间的值，再根据列式计算求出的值；时，先列式求出时间的值，再根据列式计算求出的值．
19.【答案】证明：连接，
≌，
．
等边对等角．
又≌，
．
．
即．
．
【解析】根据≌，得出，，，，，从而推出，≌，由≌，得到．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20.【答案】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质有关知识，先通过得出，
从而证明≌，得到．
【解析】证明：，
．
即，
在和中，
≌．
．
21.【答案】解：如图所示：

【解析】根据几何语句，按要求作图即可。
本题考查了直线、射线、线段的知识，注意根据三者的特点作图。
22.【答案】
【解析】解：河流的宽度为，
故答案为：；
证明：如图，由作法知：，，，
，
在和中，
，
≌，
，
即他们的做法是正确的．
根据全等三角形的性质就得到结论；
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．
23.【答案】
【解析】解：连接并延长到，使得，连接并延长到，使得；连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，
故答案为：，；
在和中，
，
≌，
．
根据题意填空即可；
直接利用全等三角形的判定方法和性质即可得到答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
24.【答案】证明：如图所示：
在和中
≌
．
【解析】结合图形，，，还差一个条件证明三角形全等，只需从图中找到隐含条件公用，即可求解两个三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定方法，重点是熟悉常用的几种判定方法，从图形中找出隐含条件公共边，公共角或对顶角相等都是常见证明三角形全等的条件．
25.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：≌，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
．
【解析】可利用证明结论；
由全等三角形的性质可得，利用等腰直角三角形的性质可求得，再根据三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求可求解
本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
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