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2023年中考数学二轮复习
《动点问题》强化练习
一 、选择题
1.点A为数轴上表示-2的动点，当点A 沿数轴移动4个单位长到B时，点B所表示的实数是( )
A.1 B.-6 C.2或-6 D.不同于以上答案
2.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是(　　)
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
3.已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(　　)
A.3 B.4 C.8 D.9
4.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是(　　)
5.如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是(　　)
A. B. C. D.
6.如图，⊙B的半径为4 cm，∠MBN＝60°，点A、C分别是射线BM、BN上的动点，且直线AC⊥BN.当AC平移到与⊙B相切时，AB的长度是(　 　)
A.8 cm B.6 cm　 C.4 cm D.2 cm
7.如图，⊙O直径为10，弦AB长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是( )
A.3≤OM≤5 B.4≤OM≤5 C.3＜OM＜5 D.4＜OM＜5
8.如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝80°，点P是线段AB延长线上的一动点，连结PC，则∠APC的度数不可能的是( )
A.40°　　　　B.30°　　　　C.20°　　　　D.15°
9.如图，点F是正方形ABCD边CD上的一个动点，BF的垂直平分线EM与对角线AC相交于点E，与BF相交于点M，连接BE、FE，EM＝3，则△EBF的周长是( )
A.6＋3 B.6＋6 C.6﹣3 D.3＋3
10.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　)
A.4≥x＞2.4 B.4≥x≥2.4 C.4＞x＞2.4 D.4＞x≥2.4
11.如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点(不与端点A，B重合)，作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y＝上(k＞0，x＞0)，则k的值为(　　)
A.25 B.18 C.9 D.9
12.如图，CB是⊙O的弦，点A是优弧BAC上的一动点，且AD⊥BC于点D，AF是⊙O的直径，请写出三个一定正确的结论.
小明思考后，写出了三个结论：
①∠BAD＝∠CAF；②AD＝BD；③AB AC＝AD AF.你认为小明写正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二 、填空题
13.如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°.当OP＝ 时，△AOP为等边三角形.
14.已知⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 .
15.如图，点A是反比例函数y＝图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为4，则k＝ .
16.如图，已知点P是双曲线y=上的一个动点，连结OP，若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OQ，则经过点Q的双曲线的表达式为　 　.
17.点A、C为半径是8的圆周上两动点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为　 　.
18.如图，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q分别在AB和BC边上运动，且PQ＝AB＝8，若点Q从点B出发，沿BC向点C运动，则点P随之沿AB下滑，当Q到达C点时停止运动.则点Q从B到C的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长为　 　.
三 、解答题
19.直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，﹣2).
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)若直线AB上有一动点C，且S△BOC＝2，求点C的坐标.
20.如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝在第二象限的图象的交点，B，D两点在坐标轴上，且矩形ABOD的面积为3.
(1)求两函数的解析式；
(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标.
21.如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y＝(k＞0)的图象与BC边交于点E．当F为AB的中点时，求该函数的解析式；
22.如图，⊙O的直径AB＝4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)填空：
①当CE＝　　　　　时，四边形AOCE为正方形；
②当CE＝　　　　　时，△CDE为等边三角形.
23.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
(2)当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
(3)当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
24.如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)t为　 　时，△PBQ是等边三角形？
(2)P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由.
25.抛物线y＝ax2＋bx的顶点M（，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E.
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜2时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
26.如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△DOC，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A、B、C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t，设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求以 C、E、F 为顶点三角形与△COD 相似时点 P 的坐标．
参考答案
1.C
2.D
3.C.
4.D.
5.A
6.A.
7.B
8.A.
9.B.
10.C.
11.D.
12.C
13.答案为：5.
14.答案为：4≤OP≤5.
15.答案为：－4.
16.答案为：y=﹣.
17.答案为：4或4.
18.答案为：2π.
19.解：(1)设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b.
∵直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，﹣2)，
∴解得
∴直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2.
(2)设点C的坐标为(x，2x﹣2).
∵S△BOC＝2
∴×2×|x|＝2，解得x＝2或x＝﹣2.
当x＝2时，2x﹣2＝2;当x＝﹣2时，2x﹣2＝﹣6，
∴点C的坐标为(2，2)或(﹣2，﹣6).
20.解：(1)由图象知k＜0，由已知条件得|k|＝3，
∴k＝－3.
∴反比例函数的解析式为y＝－，
一次函数的解析式为y＝－x＋2.
(2)由解得
∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1).　
(3)设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点为M，则M的坐标为(0，2).
∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝×PM×(|－1|＋|3|)＝5，
∴PM＝，即|m－2|＝.
∴m＝或m＝－.
∴点P的坐标为(0,)或(0,－).　
21.解：∵在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，
∴B(3，2)，
∵F为AB的中点，
∴F(3，1)，
∵点F在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，
∴k＝3，
∴该函数的解析式为y＝ (x＞0)；
22.证明：(1)如图，连接AC、OE.
∵AD为⊙O的切线，
∴∠OAE＝90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴△ACD是直角三角形.
∵点E是AD的中点，
∴EA＝EC.
又OA＝OC，OE＝OE，
∴△OCE≌△OAE，
∴∠OAE＝∠OCE＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线.
(2)① 2;②.
23.解：(1)OE＝OF．
证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠1＝∠2．
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3．
∴∠2＝∠3．
∴OE＝OC．
同理可证OC＝OF．
∴OE＝OF．
(2)四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，而由(1)可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．
(3)当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形(∠ACB＝90°)时，四边形AECF是正方形．
理由如下：∵O为AC中点，
∴OA＝OC，
∵由(1)知OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，∠1＋∠2＋∠4＋∠5＝180°，
∴∠2＋∠5＝90°，即∠ECF＝90°，
∴ AECF为矩形，
又∵AC⊥EF．
∴ AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．
24.解：(1)要使，△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm.
∴AB＝36cm，
可得：PB＝36﹣2t，BQ＝t，
即36﹣2t＝t，解得：t＝12
故答案为；12
(2)当t为9或时，△PBQ是直角三角形，
理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝18cm
∴AB＝2BC＝18×2＝36(cm)
∵动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发
∴BP＝AB﹣AP＝36﹣2t，BQ＝t
∵△PBQ是直角三角形
∴BP＝2BQ或BQ＝2BP
当BP＝2BQ时，
36﹣2t＝2t，解得t＝9
当BQ＝2BP时，
t＝2(36﹣2t)
解得t＝
所以，当t为9或时，△PBQ是直角三角形.
25.解：（1）由于抛物线的顶点为M（，3），则
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x.
当y＝0时，x＝0或2，
∴A（2，0）；
（2）存在.
∵点M，B关于x轴对称，点A，A′关于原点O对称，
∴A′（－2，0），B（，－3）.
∵C为A′B的中点，
∴CD＝|yB|＝.
∵CD⊥x轴，PE⊥x轴，
∴CD∥PE.
要使四边形CDPE为平行四边形，则CD＝PE＝，即yP＝，
∴令－x2＋2x＝，∴x＝，
∴点P的坐标为(,).
26.解：(1)在 Rt△AOB 中，OA＝1，tan∠BAO＝3，
∴OB＝3OA＝3
∵△DOC 是由△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1．
∴A，B，C 的坐标分别为(1，0)，(0，3)，(﹣3，0)，
代入解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；
(2)∵抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x＋3，
∴对称轴为 l＝﹣1，
∴E 点坐标为(﹣1，0)，如图，
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，
此时点 P 在对称轴上，即点 P 为抛物线的顶点，P(﹣1，4)；
②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点 P 作 PM⊥x 轴于 M 点，△EFC∽△EMP，
∴ ＝ ＝ ＝
∴MP＝3ME，
∵点 P 的横坐标为 t，
∴P(t，﹣t2﹣2t＋3)，
∵P 在第二象限，
∴PM＝﹣t2﹣2t＋3，ME＝﹣1﹣t，
∴﹣t2﹣2t＋3＝3(﹣1﹣t)，
解得 t1＝﹣2，t2＝3，(与 P 在二象限，横坐标小于 0 矛盾，舍去)，
当 t＝﹣2 时，y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)＋3＝3
∴P(﹣2，3)，

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