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能量均分定理
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双原子分子的振动特征温度是103量级，常温下T<< v,
在常温范围内，振动自由度对热容量的贡献接近于零。
原因:常温范围双原子分子的振动能级间距 远大于kT。由于能级分立，振子必须取得能量 才有可能跃迁到激发态。
常温下振子冻结在基态。
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（3）转动
（a）双原子分子是异核（如CO、NO、HCl）
转动能级为
能级的简并度为2l+1，配分函数为
，
4
引入转动特征温度
r取决于分子的转动惯量，可由分子光谱的数据定出。
常温范围， , 近似看成准连续变量。
令 ， ， dl=1
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结论：经典统计能量均分定理的结果。
常温范围转动能级间距远小于kT，转动能量可看成连续的变量，量子统计和经典统计得到的热容量相同。
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（b）双原子分子是同核（如H2、O2和N2）
氢为例，氢分子的转动状态与两个氢核的自旋状态有关。
正氢
仲氢
两个氢核的自旋平行，
转动量子数 l 只能取奇数。
两个氢核的自旋反平行，
转动量子数 l 只能取偶数
氢分子
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通常实验条件下，正氢占四分之三，仲氢占四分之一。
正氢
仲氢
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由于氢分子的转动惯量小，氢的 r较其它气体的 r要
大些。在低温(92K)下，能量均分定理对氢就不适用了。
在T》 r时，氢分子可处在 l 大的转动状态
100
200
300
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
T(K)
Cv/Nk
用积分代替求和，仍得
9
解释一般情形下不考虑电子对气体热容量贡献的原因：
如果不考虑能级的精细结构，原子内电子的激发态与基态能量之差大体是1—10eV 。
一般温度下热运动难以使电子取得足够的能量而跃迁到激发态。电子冻结在基态，对热容量没有贡献。
在玻尔兹曼分布适用的情形下，如果任意两个相邻能级的能量差远小于热运动能量kT ，粒子的能量就可看作准连续的变量，由量子统计和由经典统计得到的内能和热容量是相同的。
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一、能量均分定理及其证明：
对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量
中每一个平方项的平均值等于 。
证明：经典系统
（系数ai都是正数，有可能是坐标的函数，但与动量无关）
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同样可证明
分部积分得
若势能中有一部分可表为平方项
（系数bi都是正数，有可
能是qr’+1, qr的函数。）
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平均能量
理想气体的内能
定容热容量
定压热容量
定压热容量与定容热容量之比
二、能量均分定理的应用
（1）单原子分子（只有平动能）
能量
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（2）双原子分子
第一项：质心的平动能量；
第二项：分子绕质心的转动能量；
第三项：两原子相对运动的动能；
第四项：两原子的互相作用能量。

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