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(共12张PPT)
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玻尔兹曼统计在固体中的应用
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平均能量
理想气体的内能
定容热容量
定压热容量
定压热容量与定容热容量之比
除了低温下的氢气外，理论结果与实验结果符合。
如果不考虑相对运动，有5个平方项
3
（3）固体中的原子
假设各原子的振动是相互独立的简谐振动，则原子在一个自由度上的能量
平均能量
固体的内能
定容热容量
定压热容量
在室温和高温范围内理论结果与实验结果相符。
实验发现当温度趋于绝对零度时，固体的热容也趋近于零。
与杜隆、珀蒂的实验结果符合。
4
（4）平衡辐射
平衡辐射：一个封闭的空窖，窖壁原子不断地向空窖发
射并从空窖吸收电磁波，经过一定的时间后，空窖内
的电磁辐射与窖壁原子达到平衡。
空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单个平面波叠加。
采用周期性边界条件，单色平面波的电场分量可表为：
波矢的三个分量：
有2个偏振方向，它们与k垂直。
5
具有一定波矢和一定偏振的单色平面波可以看作辐
射场的一个自由度。它以圆频率 随时间做简谐变化，
相应于一个振动自由度。
计及两个偏振方向，辐射场的振动自由度数：
，
体积V内，在dPxdPydPz范围内的振动自由度数
波动方程：
6
即在体积V内，dkxdkydkz 波矢范围内，振动自由度
数
在体积V内， 的圆频率范围内，辐射场的振
动自由度数
根据能量均分定理，温度为T时，每一振动自由度的
平均能量为
则在体积V内，在 d 范围内平衡辐射的内能为
此为瑞利—金斯公式
7
实验曲线
按瑞利-金斯
公式的曲线
v
py
此为瑞利-金斯公式的曲线和实验曲线以作比较。如图可见，在低频范围二者符合的很好，但在高频（紫外）范围二者有尖锐的歧义。
解释：根据公式，在有限温度下，平衡辐射的总能量是发散的。
但平衡辐射的能量与温度的四次方成正比，是一个有限值
(1)
(1)式与实验结果不符。由（1）还可得出平衡辐射的热容量也是发散的结论，与常识不符。
8
理想气体是非定域系，由于满足经典极限条件可用玻尔兹曼分布进行讨论。
固体属于定域系统。
能量均分定理讨论了固体的热容量，存在的问题：结果在高温和室温范围内与实验符合，但在低温范围内与实验不符。
爱因斯坦用量子理论分析了固体的热容量问题，成功地解决了固体热容量随温度下降的实验事实。
9
固体中原子的热运动看成3N个振子的振动，每一个振子都定域在其平衡位置附近作振动，振子是可分辨，遵从玻尔兹曼分布。爱因斯坦假设这3N个振子的频率都相同，振子的能级为：
I项：3N个振子的零点能量，与温度无关；
II项：温度为T时3N个振子的热激发能量。
10
引入爱因斯坦特征温度 ，
结论：Cv随温度降低而减少。
金刚石的实验结果
T/ E
CV/3R
E取1320K。
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
11
讨论高温和低温范围的极限结果
(1) 高温
，
与能量均分定理的结果一致。
解释：当 时，能级间距远小于kT，能量量子化的效应可忽略，经典统计适用。
12
(2) 当 时，
温度趋于零时，Cv也趋于零，结论与实验结果定性符合。
解释：当温度趋于零时，振子能级间距远大于kT，振子取得能量而跃迁到激发态的概率相当小。平均而言几乎全部振子都冻结在基态。

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