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§7.3 万有引力理论的成就
“称量”地球的质量
思考
天平可以用来测量物体的质量,对于巨大的地球,该如何来“称量”它的质量呢?
万有引力定律：????=????????????????????????????
?
忽略地球自转的影响(表面模型)：
????????=????????????????????
?
????=??????????????
?
????????=????????????
?
“称量”地球的质量
思考：为什么不考虑地球自转的影响？
假设有一质量为1kg的物体静止在赤道上，比较该物体受到的重力与向心力大小。（已知地球半径????=????.????×????????????????)
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????=????????=????????????????
?
????≈????.????????????????/????????
?
????向=????????=????.?????????????????????????=????.????????
?
原因:地球自转产生的向心力远小于重力。
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“称量”地球的质量
假设????=????.????????/????????,地球半径????=????.????×????????????,
其中引力常量????=????.????????×?????????????????????·????????/????????????,试计算地球质量。
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????=????????????????
?
代入数据：
????=????.????????/????????????.????×????????????????????????.????????×?????????????????????·????????/????????????≈????.????×?????????????????????????
?
计算天体的质量
能否用同样的方法称量太阳的质量?
行星间引力提供向心力(环绕模型)：
????=????????????太????????=????????????????
?
根据????和????的关系：????=????????????
?
????=????????????太????????=????????????????=????????????????????????????
?
????太=????????????????????????????????
?
计算天体的质量
已知太阳与地球的平均距离为????.????×????????????????????,引力常量????=????.????????×?????????????????????·????????/????????????,你能估算太阳的质量吗?换用其它行星的相关数据进行估算,结果会相近吗?为什么?
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对地球:????????????????????=????????????????????????????
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????=????????????????????????????????=????×????.????????????×????.????×????????????????????????.????????×?????????????????×????????????×????????×????????×????????????≈ ????.????×????????????????????????
?
换用其它行星,太阳皆为中心天体,行星绕太阳的轨道近似为圆,情况与地球类似,计算结果相近。
表面与环绕模型分析
表面模型
用万有引力提供向心力求解中心天体的质量
环绕天体在中心天体表面，r近似为中心天体半径
环绕模型
行星间的引力提供向心力求解中心天体质量
两天体距离较远，????为两天体中心的距离
?
表面与环绕模型分析
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}?
表面模型法
环绕模型法
情景
已知天体的半径R和天体表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
向心力
????????=????????????????????
????????????????????=????????????????????????????
天体
质量
天体质量：????=????????????????
中心天体质量：????=????????????????????????????????
天体
密度
????=????????????????????????=????????????????????????
????=????????????????????????=????????????????????????????????????????
说明
g为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平、抛、上抛等运动
这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量,T为公转周期;r：轨道半径，R：中心天体半径,若是近地卫星，则r＝R
双星模型
双星系统：指由两颗恒星组成，相对于其它恒星来说，位置看起来非常靠近的天体系统。两者之间仅通过万有引力相互作用，绕两者连线上的固定点做匀速圆周运动。双星的轨道半径之和等于两天体的距离，两者之间的向心力等大反向，角速度和周期相同，质量越大的天体旋转半径越小，距离中心越近。
????=????（????????+?????????）?????????
?
万有引力理论的意义
发现未知行星：18世纪，亚当斯和勒维耶计算出了海王星的运行轨迹，并在预言位置发现了这颗行星。
哈雷彗星回归：英国天文学家哈雷依据万有引力定律，大胆预言1531、1601、和1682年出现的彗星为同一颗，并预言在1958年底或1959年初将再次回归，1959年3月，彗星如期回归，周期约为76年。此外，牛顿还用万有引力定律解释了抄潮汐象……
1.有科学家推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”。由以上信息我们可能推知（　　）
????
?
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的自转周期与地球相等
C．这颗行星质量等于地球的质量
D．这颗行星的密度等于地球的密度
2.1789年英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1（地球自转周期），一年的时间为T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2。下列说法正确的是（　　）
????
?
A．地球的质量????地=????????????????
B．太阳的质量????太=????????????????????????????????????????
C．月球的质量????月=????????????????????????????????????????
D．由题中数据可求月球的密度
?
3.某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r，则下列说法正确的是（??）
????
?
A．根据公式????=????????可知，该卫星运行的线速度v与轨道半径r成正比
B．根据公式????=????????????可知，该卫星运行的线速度v与????成反比
C．根据公式????=????????????????可知，该卫星运行的线速度v2与轨道半径r成正比
D．根据公式????=????????????????????可知，该卫星需要的向心力与r2成正比
?
4.我国北斗卫星导航系统由空间段、地面段和用户段三部分组成。空间段由若干地球静止轨道卫星A（GEO）、倾斜地球同步轨道卫星B（IGSO）和中圆地球轨道卫星C（MEO）组成，如图所示。设三类卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径关系为????????????=????????????=????????????。下列说法正确的是（　　）
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????
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A．A的线速度比B的小
B．A的角速度比C的大
C．B和C的周期之比为????????????
D．B和C的线速度之比为????????
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5．2021年2月10日19时52分，我国首次执行火星探测任务的“天问一号”探测器实施近火捕获制动成功，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”目标的第一步——环绕火星成功。如图所示，P为“天问一号”探测器，P到火星表面的高度为h，环绕周期为T1，Q为静止在火星赤道表面的物体，Q到火星中心的距离为R，火星自转周期为T2，已知万有引力常量为G，则（　　）
????
?
A．地球的质量????地=????????????????
B．太阳的质量????太=????????????????????????????????????????
C．月球的质量????月=????????????????????????????????????????
D．由题中数据可求月球的密度

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