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热力学统计因kT<<μf（0），即T <<TF，电子气体的分布与0 K时的分布差异不大，只是在μf（0）附近数量级为kT的能量范围内占据情况发生改变。μ（T）与μf（0）十分接近。即在低温下，f=1, [ε<μf（0）-kT]f=1/2, [ε= μf（0）]f=0, [ε>μf（0）+kT] kT<<μf（0），恒有<<1。费米气体的强简并条件<<1，也表达为T <<TF。 估算低温下热容量的数量级由于只有在μf（0）附近宽度为kT大范围内的电子才受热激发，对热容有贡献。因此对热容有贡献的电子数Neff占全部电子的 倍，即室温范围内T/TF≈1/260。结论：室温范围，金属中自由电子对热容量的贡献远小于经典理论值。与离子振动的热容量相比，电子的热容量可忽略不计。 每一有效电子对热容量的贡献为 ，则金属中自由电子对热容量的贡献分别为 和 ，常数电子气体的内能U自由电子气体的热容量进行定量计算电子数N满足变数变换右方第一项被积函数分母中的ex因子，使对积分的贡献主要来自x小的范围，将被积函数的分子展开为x的幂函数。代替(1)(2)由(1)得自由电子气体的内能上式带入(2)利用了(1){ }电子气体的定容热容量与前面粗略分析的结果只有系数的差别。结论：常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量；低温范围，离子振动的热容量按T3随温度减小；电子热容量与T成正比、减小比较缓慢。足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量，成为对金属热容量的主要贡献。考虑电子和离子振动对热容量的影响，低温下金属的定容热容量为（Cv/T)(mJ mol- K-）481216(T/K)20.40.81.21.6-12Cu的实验结果:本节将金属的公有电子近似为金属内部做自由运动的近独立粒子。实际上电子是在离子产生的周期场中运动的，离子对电子的运动有影响，电子之间也有库仑相互作用。真实世界中，弱简并的理想费米子气体的例子不多，极高温度的电子气体可看成弱简并的理想费米子气体。强简并的理想费米子气体的例子较多，如室温下的金属中的电子等。一、二维电子气体与量子霍尔效应1980年德国物理学家冯 克利青发现了量子霍尔效应，为此获得了1985年的诺贝尔物理奖。1998年诺贝尔物理奖授予Horst Stomer,崔琦和Robert Laughlin,以表彰他们发现分数量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深刻理解。for their discoveryof a new form ofquantum fluid withfractionally chargedexcitations.

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