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粒子运动状态的量子描述
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粒子运动状态的量子描述
微观粒子（光子、电子、质子、中子乃至原子、
分子等）普遍地具有粒子和波动的二象性。
德布罗意波：能量为 ，动量为p的自由粒子联
系着圆频率为 ，波矢为k 的平面波。
德布罗意关系：
适用于一切微观粒子。
一、德布罗意关系和测不准关系
1.德布罗意关系
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普朗克常数的量纲：
【时间】*【能量】=【长度】*【动量】
=【角动量】。
这样的物理量通常称为作用量。普朗克常数也称为基本的作用量子。
判别是否采用量子描述的判据：当物质系统的任何具有作用量纲的物理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个物质系统就是量子系统；反之，如果物质系统的每一个作用量纲的物理量用普朗克常数来度量都非常大时，这个系统就可以用经典力学来研究。
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2.测不准关系
微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。
说明：
1.如果粒子的坐标具有完全确定的数值，粒子的动量将完全不确定，即
2.如果粒子的动量具有完全确定的数值，粒子的坐标将完全不确定，即
结论：微观粒子的运动不是轨道运动。
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经典力学中，粒子可同时具有确定的坐标和动量。
量子力学中微观粒子的运动状态称为量子态。
量子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由度数（微观粒子的能量是不连续的，不连续的能量用能级表示）。
当粒子能量量子数确定时，其它力学量还可以取不同的值，粒子的运动状态还不能完全确定。
简并态：如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的，量子态数称为该能级的简并度；
一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。
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根据波矢量kx与波长的关系 及在一维空间中波动可以有两个传播方向得
二、量子描述的讨论实例
1. 一维自由粒子
设粒子处在长度为L的一维容器中，周期性边界条件要求，粒子可能的运动状态，其德布罗意波波长 的整数倍等于容器的长度L。
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nx：一维自由粒子的运动状态的量子数。
由德布罗意关系得
一维自由粒子能量的可能值为
nx=0基态非简并，激发态均为二度简并。
在长度为L的一维容器中，在Px-Px+dPx范围内的粒子量子态数
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驻波模型讨论：
由驻波边界条件得：
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2. 三维自由粒子
设粒子处在边长为L的立方容器内，粒子三个动量分量的 可能值为
是表征三维自由粒子运动状态的量子数。
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①微观体积
粒子局限在微观大小的空间范围内运动，动量值和能量值的分立性是显著的。
粒子的运动状态由三个量子数 表征。
能级只取决于 的数值。
三维自由粒子能量的可能值为：
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能级
有6个量子态，简并度为6
基态非简并。
nx=0, ny=0, nz= 1;
nx=0, ny= 1, nz=0;
nx = 1, ny=0, nz=0
如：
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② 宏观体积
粒子在宏观大小（V=L3）的容器内运动，动量值和能量值是准连续的。
px到px+dpx动量范围内，可能的px数
py到py+dpy动量范围内，可能的py数
pz到pz+dpz动量范围内，可能的pz数
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体积V=L3内，px到px+dpx，py到 py+dpy， pz到pz+dpz的动量范围内，自由粒子的量子态数：
作业:用驻波模型求dnx、dny和dnz。

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