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系统微观运动状态的描述
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系统微观运动状态的描述
在经典力学基础上建立的统计物理学称为经典统计物理学, 在量子力学基础上建立的统计物理学称为量子统计物理学。
两者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。
经典力学描述：不考虑粒子的内部结构，以空间坐标、质量、速度或者动量来描述粒子整体的运动状况；
量子力学描述：粒子具有波粒二象性，具体位置无法准确确定，能量是量子化的，以波函数和能量来描述粒子的量子状态。
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一、全同粒子系统
具有完全相同属性（质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。
经典全同粒子组成的系统（近独立粒子系统）：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。经典全同粒子是可以分辨的。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：
i是第i个粒子的能量，N是系统的粒子总数。
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二、经典全同粒子及其系统运动状态的描述
粒子自由度为r，任一时刻，第i个粒子的力学运动状态由r个广义坐标qi1，qi2，…,qir 和r个广义动量pi1,pi2,…,pir 确定。
组成系统的N 个粒子在某一时刻的力学运动状态都确定时，也就确定了整个系统在该时刻的微观运动状态。
确定系统的微观运动状态需要2Nr个变量，2Nr个变量就是 qi1，qi2，…,qir; pi1，p i2,, … ,pir(i = 1,2,3,…,N)。
量子全同粒子：是不可分辨的，有玻色子（boson）和费米子(fermion)。
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经典物理中，全同粒子是可以分辨的。
将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。
一个粒子在某一时刻的力学运动状态用 d空间中的一点表示。
由N个全同粒子组成的系统在某一时刻的微观运动状态可在 d空间用N个点表示。
i
i
j
j
（a）
（b）
6
如果用坐标q和p来描述粒子的运动状态，一个状态必然对应于 d空间中的一个体积，称为一个相格。
对自由度为1的粒子，相格的大小为h（ q p h）。
粒子的自由度为r，各自由度的坐标和动量的不确定值为 qi和 pi分别满足不确定关系 qi pi h ，相格大小为
自由粒子的量子态数可以理解为，将 d空间的体积
除以相格大小h3而得到。
……
用不确定关系解释上式。
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动量空间球极坐标 描写自由粒子的动量。
体积V内，动量大小在p到p+dp, 动量方向 到 +d , 到 +d 的范围内，自由粒子可能的量子态数为：
x
y
z
r
0


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在体积V内，动量大小在p到p+dp范围内（动量方向为任意），自由粒子可能的状态数为：。
在体积V内，能量在 到 +d 范围内，自由粒子可能的状态数为
D( ):单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。
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自旋
一粒子，质量为m, 电荷为-e, 自旋角动量量子数为1/2 ，
粒子的自旋磁矩 与自旋角动量S之比为：
若沿z方向加上外磁场，磁感应强度为B, 则粒子自旋
角动量在外磁场方向的投影SZ有两个可能值
,
自旋磁矩在外磁场方向上的投影
,
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粒子在外磁场中的势能为：
Sz表示为
则描述粒子自旋状态只要一个量子数ms，它只取两个分立的值 1/2。
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n是表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数。
上式给出的能量值是分立的，分立的能量称为能级。
线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为 。
线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子，能量的可能值为
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转子
转子能量:
M:转子的角动量。经典理论中，M2可取任意正值，量子理论中M2只能取分立值：
对一定的l，角动量在z轴的投影Mz只能取分立值：
即对应每个l, m有2l+1个值。
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量子理论中自由度为2的转子的运动状态由l、m两个量子数表征。
m的取值与经典运动平面的取向相应。
经典理论中运动平面在空间的取向是任意的，量子理论中m只能取分立值，称空间量子化。
量子理论中转子的能量是分立的：
能级为 l 的量子态有2l+1个。

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