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玻色分布和费米分布
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一、玻色分布
玻色系统
(N>>1，nm>>1，ωm>>1)
玻色分布和费米分布
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2.玻色系统
N个粒子不可分辨，可认为是量子全同粒子，且每个个体量子态容纳的粒子数不受限制。
能级εm非简并。由于粒子不可分辨，在任一能级上nm个粒子的分布只有一种方式。
能级εm简并。简并度为ωm，nm个粒子在ωm个不同量子态上的分布方式就象nm个相同的球在ωm个盒子中的分布一样。
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计算nm个粒子占据 m上 m个量子态的可能方式。
用小格代表量子态，用小圆圈代表微观粒子，将最左方固定为量子态1。
小方格和小圆圈的可能组合数（nm+ m -1）!。
由于粒子的不可分辨，扣除粒子之间的相互交换数nm!，和量子态之间的相互交换数( m -1)!
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能级εm的微观状态数为 ：
各能级的结果相乘，得玻色系统与分布{nm}相应的微观状态数为：
（Bose-Einstein）
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费米系统
N个粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 nm 个粒子占据εm上的ωm个量子态，相当于从ωm个量子态中挑选nm个来为粒子所占据（ωm≥ nm ）, 共有
可能方式。
各能级的结果相乘，得费米系统与分布{nm}相应的微观状态数为：
（Fermi-Dirac）
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经典极限条件
如在玻色系统和费米系统中，任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即
称经典极限条件(也称非简并条件),即在所有能级上，粒子数都远小于量子态数。
意味着，平均而言，处在每一个量子态上的粒子数均远小于1。
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在满足经典极限条件下，由于每个量子态上的粒子数远小于1，粒子间的关联可忽略，全同性的影响只表现在因子1/N!上。
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经典统计中的分布和微观状态数
系统在某一时刻的运动状态用N个粒子的坐标(qi1，qi2，…,qir)和动量(pi1,pi2,…,pir )确定,相应于 d空间的N个点。
为计算微观状态数, 将qi 和 pi 分为大小相等的小间隔, 使 ，对于具有r个自由度的粒子,
相应于 d空间中的一个相格。
假使h0足够小, 就可以由粒子运动状态代表点所在的相格确定粒子的运动状态。处在同一相格的代表点, 代表相同的运动状态。
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将 d 空间划分为许多体积元 (m=1,2,…) ，
以 表示运动状态处在 的粒子所具有的能量, N个粒子处在各 的分布可描述如下:
体积元
简并度
能量
粒子数
经典统计中与分布 {nm} 对应的微观状态数，参照玻尔兹曼系统得
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最可几分布
微观状态数出现最多（概率最大）的分布，是最具代表性的分布。
根据等几率原理，微观状态数最多的分布出现的几率最大。
最可几分布的两个重要特点：
1.当粒子数目很大时，其它分布中的微观状态数与之相比可以忽略；
2.最可几分布中的任一微观状态出现的几率最小，且随体系粒子数目的增多而进一步减小。
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玻尔兹曼分布
M-B系统中最可几分布，称玻尔兹曼分布。
斯特令公式：lnm！=m（lnm-1），（m>>1）
M-B系统中的最可几分布是使ΩM.B为极大的分布。lnΩM.B随ΩM.B的变化是单调的，可等价讨论使lnΩM.B为极大的分布。
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使ln M.B为极大的分布{nm} ，必使 ln M.B=0
注：这些 nm不完全独立，它们满足一定条件。
N>>1，考虑nm>>1，ωm>>1，利用斯特令公式
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、 称拉格朗日未定乘子。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布
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,
,
、 拉氏乘子 、 由下两式确定
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能级 m有 m个量子态，处在其中任何一个量子态的平均粒子数是相同的。
处在能量 s的量子态s上的平均粒子数fs
，
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思考题与习题
1.经典和量子方法对粒子运动状态描述的区别。
2.如何对系统微观运动状态进行描述。
3.什么是等概率原理？
4.玻尔兹曼、玻色和费米分布各自适合什么系统？在满足经典极限的情况下，三种分布的关系。
P120，5.1、5.2、5.3
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能级是简并的，一个能级对应于若干个波函数。
能级： ε1，ε2，…εm，……
简并度：ω1，ω2，...ωm，……
波函数：(ψ11，ψ12，… ψ1ω1)，(ψ21，ψ22，… ψ2ω2)…(ψm1，ψm2，… ψmωm)…
粒子数：n1， n2，… nm，……（m=1,2,3,…k）
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能级εm上的粒子有ωm个状态可取，则微观状态数就增大ωm倍。nm粒子中的每一个粒子都可有ωm个状态可取，则微观状态就增大 倍，则：
上式是体系所有可能分布总和的微观状态数。
（Maxwell-Boltzmann）

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