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玻色—爱因斯坦凝聚
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玻色—爱因斯坦凝聚
当理想玻色气体的 等于或大于2.612的临界值时将
出现独特的玻色—爱因斯坦凝聚现象，这是爱因斯坦在
1925年理论上预言的。
考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的系统。温度为T
、体积为V。设粒子的自旋为零，处在能级 m的粒子数
为
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处在任意能级的粒子数不能取负值，则
粒子的最低能级
即理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级
的能量。
如果 0=0，则 <0。
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化学势由下面公式确定
化学势随温度的降低而升高，当温度降到某一临界
温度Tc时，化学势将趋于零， 趋于1 。
求和用积分代替
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Tc由下式定出：
令
上式变为
对给定的粒子数，
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在任何温度下 必为负，可知在T下式
右方将小于n，与n=N/V为给定的条件矛盾，产生的原因是用积分代替求和时， =0的项被弃掉。
T(1)
第一项是温度为T时处在能级 =0的粒子数密度，
第 二项是处在激发能级 >0 的粒子数密度。
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1.二维电子气体(Two-dimensional electron gas, 2DEG)
二维电子指在两个方向可以自由运动而在第三个方向运动受到限制的电子。它是许多场效应器件（例如MOSFET、HEMT -High Electron Mobility Transistor ）工作的基础。
假设电子在x，y平面可以自由运动，而在z方向的运动受到量子尺度L的限制。
目前, 二维电子气主要以下面三个方式实现：
① MOSFET；② 超晶格；③液He表面
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MOSFET 示意图
在金属Al和Si间施加适当的栅压Vg，半导体Si和氧化物SiO2界面处将形成电子导电层，厚度在几十nm。
层中电子在垂直于界面的z方向运动受到限制具有分立能级，而在平行界面的xy平面可自由运动，形成二维电子气。
在适当的栅压范围，界面电子密度与栅压成正比，改变栅压可以连续改变界面的电子密度。
~1013cm-2
电子在xy平面自由运动的能量可表示为
其中 和 分别表示电子在x和y方向的动量，M*是电子的有效质量。由于动量的可能值是准连续的，能量也形成准连续谱（能带）。
以 1、 2 表示电子在z方向运动的分立能级。电子的能量可表示为
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对应于每一个能级 j，电子二维运动的能量形成一个子能带。
霍尔电阻定义为
磁场恒定时霍尔电阻
与电子密度成反比；
电子密度恒定时霍尔
电阻与磁场成正比。
n:界面电子密度；B:磁感应强度
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1980年冯 克利青在测量Si-SiO2界面二维电子气体在低温（1.5K）强磁场（18T）下的霍尔效应时发现，磁场保持恒定时霍尔电阻 H在与界面电子密度（栅压）成反比的基础上出现了一系列具有一定宽度的平台。平台的霍尔电阻值是量子化的，精确等于
i=1,2,3,
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上述结果为整数量子霍尔效应。
1982年 崔崎等人在低温强磁场条件下GaAs/AlGaAs异质结界面的二维电子系统观察到霍尔电阻平台中，i为1/3和2/3，称分数量子霍尔效应。
其后更多的实验观测到 i可为4/3、5/3、1/5、2/5、3/5、4/5、 等有理分数。
分数量子霍尔效应在Si-MOS系统也得到了证实。
与整数量子霍尔效应相比分数量子霍尔效应在具
有高迁移率和高纯度的样品中才能观测到。

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