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第五章 三角函数
5.3 诱导公式
1
课程导入
公式一
sin(????+?????2????)=sin????
?
cos(????+?????2????)=cos????
?
tan(????+?????2????)=tan????
?
其中????∈????.
?
知识回顾
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2????（或0°~360°）角的三角函数值.
?
Part 01
诱导公式二~公式四
sin(α+2kπ)= sinα
cos(α+2kπ)= cosα
tan(α+2kπ)= tanα
公式一
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
公式二
sin(-α)= - sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
公式三
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=- cosα
tan(π-α)= -tanα
公式四
诱导公式
(公式一~公式四)
简记：
函数名不变，符号看象限.
负化正，正化小，小化锐
360°/2????±角
?
180°/????±角
?
????+???? ????????? ?????

?
2????+???? 2?????????

?
问题探究
点????(????，????)关于????轴、????轴、坐标原点的对称点的坐标是什么？
?
点????(????，????)
?
问题
关于????轴对称的点
?
关于????轴对称的点
?
关于坐标原点对称的点
?
????1(????，?????)
?
????2(?????，????)
?
????3(?????，?????)
?
????(????，????)
?
????
?
????
?
????
?
????2(?????，????)
?
????1(????，?????)
?
????3(?????，?????)
?
问题探究
????1与????2关于什么对称？
?
????
?
????
?
????
?
????1
?
????2
?
????
?
追问
01
????
?
????+????
?
原点
(????，????)
?
(?????，?????)
?
公式二
sin(????+????)=?sin????
?
cos(????+????)=?cos????
?
tan(????+????)=tan????
?
课堂练习
利用公式求下列三角函数值
将180°~360°的角化为锐角
?????
?
问题探究
????1与????3关于什么对称？
?
追问
02
x轴
(????，????)
?
(????，?????)
?
公式三
????
?
????
?
????
?
????1
?
????3
?
????
?
????
?
sin(?????)=?sin????
?
cos(?????)=cos????
?
tan(?????)=?tan????
?
课堂练习
利用公式求下列三角函数值
将负角化为正角
问题探究
????1与????4关于什么对称？
?
追问
03
y轴
(????，????)
?
(?????，????)
?
公式四
????
?
????
?
????
?
????1
?
????4
?
????
?
????
?
?????????
?
sin(?????????)=sin????
?
cos(?????????)=?cos????
?
tan(?????????)=?tan????
?
课堂练习
利用公式求下列三角函数值
将90°~180°的角化为锐角
sin(α+2kπ)= sinα
cos(α+2kπ)= cosα
tan(α+2kπ)= tanα
公式一
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
公式二
sin(-α)= - sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
公式三
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=- cosα
tan(π-α)= -tanα
公式四
诱导公式
(公式一~公式四)
简记：
函数名不变，符号看象限.
负化正，正化小，小化锐
360°/2????±角
?
180°/????±角
?
????+???? ????????? ?????

?
2????+???? 2?????????

?
sin(α+2kπ)=sinα
cos(α+2kπ)=cosα
tan(α+2kπ)=tanα
公式一
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
公式二
sin(-α)=-sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
公式三
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=- cosα
tan(π-α)= -tanα
公式四
诱导公式
(公式一~公式四)
简记：
函数名不变，符号看象限.
负化正，正化小，小化锐
360°/2????±角
?
180°/????±角
?
2. 已知cos3?????????=45，????∈(????2,????)求????????????(?????????)
?
化简求值问题：
3. 已知???????????? (????6?????)=33,求???????????? (????+5????6)的值.
?
给式求值问题：
3. 已知???????????? (????+5????4)=34,求???????????? (????4+????)的值.
?
给式求值问题：
4. 已知???????????? (?????75°)=?13,且????为第四象限角，
求???????????? (105°+????)的值.
?
解：∵???????????? (?????75°)=?13<0,且????为第四象限角,
∴???????????? (?????75°)=?1????????????? (?????75°)2=?1?(?13)2=?233.
∴???????????? (105°+????)=???????????? [180°+(?????75°)]=?????????????(?????75°)=233.
?
问题探究
????1与????5关于直线 ????=???? 对称
?
追问
04
(????，????)
?
(????，????)
?
公式五
P1
O
x
α
y
P5
y=x
????
?
问题探究
????5与????6关于 ????轴 对称
?
追问
04
(????，????)
?
(????，????)
?
公式六
P1
O
x
α
y
P5
????
?
P6
(?????，????)
?
公式五
公式六
公式七
公式八
公式三：
公式一：
公式四：
公式二：
奇变偶不变，符号看象限.
公式五：
公式六：
公式七：
公式八：
（一）化简求值：
1.若????????????(????+????)=13，那么????????????(3????2?????)的值为（ ）.
A.???????? B.-???????? C.???????????? D.?????????????
?
解：∵????????????(????+????)=??????????????????=13，

?
∴????????????(3????2?????)=?????????????????=13.
故选A.
?
3. 已知???????????? (????6?????)=33,求???????????? (????+5????6)的值.
?
（二）给式求值
4. 已知???????????? (????+5????4)=34,求???????????? (????4+????)的值.
?
（二）给式求值
（二）给式求值
（三）与三角形的综合运用：
在△????????????中，若????????????????=?23，则????????????(????+????)=
?
????+????+C= ????
?
0?
0?
0?
（三）与三角形的综合运用：
在△????????????中，若????????????????=?23，则????????????(????+????)=
?
例题解析
例1
利用公式求下列三角函数值：
（1）cos225°； （2）sin8????3；
（3）sin(?16????3)； （4）tan(?2040°).
?
解：
（1）cos225°
?
=cos(180°+45°)
?
=?cos45°
?
=?22
?
（2）sin8????3
?
=sin(2????+2????3)
?
=sin2????3
?
=sin(?????????3)
?
=sin????3
?
=32
?
例题解析
例1
利用公式求下列三角函数值：
（1）cos225°； （2）sin8????3；
（3）sin(?16????3)； （4）tan(?2040°).
?
解：
（3）sin(?16????3)
?
（4）tan(?2040°)
?
=?sin16????3
?
=?sin(5????+????3)
?
=?(?sin????3)
?
=32
?
=?tan2040°
?
=?tan(6×360°?120°)
?
=tan120°
?
=tan(180°?60°)
?
=?tan60°
?
=?3
?
问题探究
问题6
由例1，你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
问题探究
利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
用公式
三或一
0~2????的角的三角函数
?
锐角的三角函数
用公式一
用公式
二或四
口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再求值”.
例题解析
例2
化简
cos180°+????sin(????+360°)tan??????180°cos(?180°+????)
?
解：
tan??????180°
?
=tan[?180°+????]
?
=?tan180°+????
?
=?tan????
?
cos(?180°+????)
?
=cos[?180°?????]
?
=?cos180°?????
?
=?cos????
?
所以
原式=?cos????sin????(?tan????)(?cos????)=?cos????
?
cos180°+????=?cos????
?
sin(????+360°)=sin????
?
Part 02
小结及随堂练习
课堂小结
公式一
sin(????+?????2????)=sin????
?
cos(????+?????2????)=cos????
?
tan(????+?????2????)=tan????
?
其中????∈????.
?
公式二
sin(????+????)=?sin????
?
cos(????+????)=?cos????
?
tan(????+????)=tan????
?
公式三
sin(?????)=?sin????
?
cos(?????)=cos????
?
tan(?????)=?tan????
?
公式四
sin(?????????)=sin????
?
cos(?????????)=?cos????
?
tan(?????????)=?tan????
?
课堂小结
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}公式
一
二
三
四
角
2????????+????(????∈????)
????+????
?????
?????????
正弦
sin????
?sin????
?sin????
sin????
余弦
cos????
?cos????
cos????
?cos????
正切
tan????
tan????
?tan????
?tan????
诱导公式
记忆口诀
“函数名不变，符号看象限”.
随堂练习
1、sin585°的值为（ ）
?
A. ?22 B. 22 C. ?32 D. 32
?
【解析】
sin585°=sin(360°+180°+45°)=?sin45°=?22
?
随堂练习
2、 cos1030°=（ ）
?
A. cos50° B.?cos50° C. sin50° D. ?sin50°
?
【解析】
cos1030°=cos(3×360°?50°)=cos(?50°)=cos50°
?
随堂练习
3、求下列各三角函数值：
【解析】
（1）cos476????=cos(116????+6????)=cos116????=cos(????+56????)=?cos56????=32
?
（1）cos476????； （2）sin(?73????)； （3）tan(?855°).
?
随堂练习
3、求下列各三角函数值：
【解析】
（2）sin(?73????)=?sin73????=?sin2????+????3=?sin????3=?32
?
（1）cos476????； （2）sin(?73????)； （3）tan(?855°).
?
随堂练习
3、求下列各三角函数值：
【解析】
（3）tan(?855°)=?tan855°=?tan2×360°+135°=?tan135°
?
（1）cos476????； （2）sin(?73????)； （3）tan(?855°).
?
=?tan180°?45°=tan45°=1
?
谢谢观看

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