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2023年中考数学专项拔高训练——圆内接四边形的性质
一、综合题
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是∠ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F.
（1）求证△AED≌△CFD；
（2）若AB＝10，BC＝8，∠ABC＝60°，求BD的长度.
2．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC ．
（1）若∠DFC=40 ，求∠CBF的度数．
（2）求证： CD⊥DF ．
3．如图，AB是 的直径，弦 于点E，G是 上的点，AG，DC的延长线交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求AD的长.
4．如图，已知是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD.
（1）求证：DA平分∠EDC.
（2）若∠EDA＝72°，求的度数.
5．
（1）解方程： .
（2）如图， 四点都在 上， 为直径，四边形 是平行四边形，求 的度数.
6．如图，在 中， ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作 ，交⊙O于点F，
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形
（2）求证：
7．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
8．已知：如图，在△ABC中，4B-AC，E为B4延长线上一点，连接EC交△ABC的外接圆于点D，连接AD、BD.
（1）求证：AD平分∠BDE；
（2）若∠BAC=30°，AE=AB，BC-2，求CD的长，
9．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE= ，AB=6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
10．如图，四边形 中， ， ， ，点M、N是边 、 上的动点，且 ， 、 与对角线 分别交于点P、Q.
（1）求 的值：
（2）当 时，求 的度数；
（3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比 的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相度的位置.
11．在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD.
（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　 　；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明.
12．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），以AB为直径的⊙M与y轴的正半轴交于点C．点P是劣弧BC上的一动点．
（1）求sin∠ABC的值．
（2）当△PCB中有一边是BP的两倍时，求相应AP的长．
（3）如图2，以BC为边向上作等边△CBD，线段MD分别交BC和于点H，N．连结DP，HP．点P在运动过程中，DP与HP存在一定的数量关系．
【探究】当点P与点N重合时，求的值；
【探究二】猜想：当点P与点N不重合时，【探究】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．
13．已知：在 中，C、D分别为BM、AM上的点，四边形ABCD内接于 ，连接AC， ；
（1）如图①，求证：弧 弧BD；
（2）如图②，若AB为直径， ，求 值；
（3）如图③，在 的条件下，E为弧CD上一点 不与C、D重合 ，F为AB上一点，连接EF交AC于点N，连接DN、DE，若 ， ， ，求AN的长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点B作BD⊥AB，点C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圆⊙O于点E.
（1）求证：∠CAB＝∠AEC.
（2）若BC＝3.
①EC∥BD，求AE的长.
②若△BDC为直角三角形，求所有满足条件的BD的长.
（3）若BC＝EC＝ ，则 ＝　 　.（直接写出结果即可）
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE＝ ，AB＝6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
16．如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE．
（1）证明：AB＝CE；
（2）证明：DC与⊙O相切；
（3）若⊙O的半径r＝5，AB＝8，求sin∠ACE的值．
17．如图，在正方形 中，E是 边上一点，连接 ，过A作 于P，交 于F．
（1）如图1，连接 ，当 ， 时，求 的长；
（2）如图2，对角线 ， 交于点O．连接 ，若 ，求 的长；
（3）如图3，对角线 ， 交于点O．连接 ， ，若 ，试探索 与 的数量关系，并说明理由．
18．如图，四边形ABCD内接于，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF.
（1）求证：；
（2）当时，则　 　；　 　；　 　.（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由.
②当，时，试用含m，n，p的式子表示.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°， 又∵∠DCF＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCF ∵BD是∠ABC的角平分线，又∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∠DEA＝∠F＝90°， ∴△AED≌△CFD.
（2）解：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，BE＝BF， 设AE＝CF＝x，则BE＝10－x，BF＝8＋x， 即10－x＝8＋x，解得x＝1， 在Rt△BFD，∠DBC＝30°，设DF＝y，则BD＝2y， ∵BF2＋DF2＝BD2， ∴y2＋92＝（2y）2，y＝3 ， BD＝6 .
2．【答案】（1）解：∵∠BAD=∠BFC，
∠BAD=∠BAC+∠CAD， ∠BFC=∠BAC+∠ABF，
∴∠CAD=∠ABF
又∵∠CAD=∠CBD，
∴∠ABF=∠CBD
∴∠ABD=∠FBC，
又
，
，
，
，
．
（2）证明：令 ，则 ，
∵四边形 是圆的内接四边形，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴ ，即 ．
3．【答案】（1）证明：∵ ，∴
∴ .
∵四边形ADCG是 的内接四边形，
∴ ，
∴ .
（2）如图，连接OD.
∵ ， ，
∴ .
在 中，∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ .
4．【答案】（1）解：∵四边形ABCD内接于，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，
∴∠ACB＝∠ADE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）解：由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴，
∴，
∴的度数为72°.
5．【答案】（1）解： ，
，
即 ，
即 ，
解得 .
（2）解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是菱形，即 是等边三角形，
∴ ，
∴ .
6．【答案】（1）证明： ，
，
，
，
又 ,
四边形 是平行四边形
（2）证明：如图，连接
，
四边形 是 的内接四边形
7．【答案】（1）解：∠E=∠F，
∵∠DCE=∠BCF，
∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，
∴∠ADC=∠ABC
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠EDC=∠ABC，
∴∠EDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD=∠A，
∵∠ECD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°﹣ ．
8．【答案】（1）证明：由题可知，四边形ABCD内接于圆O，
∴∠EDA=∠ABC∵AB=AC，∴∠ACD=∠ABC，∴∠EDA=∠ACB
又： ∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠EDA，∴AD平分∠BDE
（2）解：CD=2
9．【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD，BD=CD，
∴ ，
∴OD⊥BE；
（2）解：∵∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°，
∵BD=CD，
∴BC=2DE=2 ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE=180°，
∵∠CDE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ，即 ，
∴CE=2，
∴AE=AC-CE=AB-CE=4
（3）解：∵BD=CD，
∴S△CDE=S△BDE，
∵BD=CD，AO=BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴ ，
∴S△ABE=4S△OBF，
∵ ，
∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，
∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ，
∴ ，
∵BD=CD，AB=AC，
∴ ，即AC= BC
10．【答案】（1）解：连接AC，
∵ ，
∴AC垂直平分BD
∴∠ACB=∠ACD= ∠BCD=∠MCN
在Rt△ABC中，AB=4，AC=3
∴AC=
∴ =sin∠ACB=
（2）解：延长AB至G点，使BG=DN，连接CG，
∵CB=CD
∠CBG=∠CBN=90°
∴△BCG≌△DCN
∴∠G=∠CND，CN=CG，∠BCG=∠DCN
∴∠MCN= ∠BCD
∴∠MCB+∠NCD= ∠BCD
∴∠GCM=∠GCB+∠GCM= ∠BCD=∠MCN
∵CM=CM，
∠G=∠CND，
∴△GMC≌△NMC
∴∠G=∠MNC=∠DNC
当DN=NC时
∠DNC=∠DCN=45°
∴∠DNC=∠CNM=45°
（3）解：连接NP， ∵∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°
∠ADO+∠CDO=90°
∴∠ADO=∠COD= ∠BCD=∠MCN
∴∠NDP=∠NCP
∴D、C、N、P四点共圆，
∴∠NPC+∠NDC=180°
∵∠NDC=90°
∴∠NPC=90°
∴∠CPD=∠CND=∠MNC
∴△CPQ∽△CNM
∴
在Rt△CPN中， =cos∠MCN=cos∠ACB=
∴不会发生变化
11．【答案】（1）135°
（2）解：①补全图形，如图：
由题意得：CA=CD=CB，
∴点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的⊙C上，如图，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，
∴∠ADB=45°；
②2BE-AD=CE.理由如下：
过点C作CH⊥EC于点C，交ED的延长线于点H，如图：
∵CD=CB，CE是∠BCD的平分线，
∴CE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，∠EFD=90°，
由①知∠ADB=45°，
∴∠DEF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠H=45°，CE=CH，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA，则∠CAE=∠CDH，
∴△AEC≌△DHC，
∴AE=DH，
∴EH=2ED-AD=2BE-AD，
∵△CEH是等腰直角三角形，
∴2BE-AD=CE.
12．【答案】（1）解：如图所示，
∵A（-1，0），B（3，0）
∴AB=3-（-1）=4，圆M的半径为2，
∵AB为直径，C在圆M上
∴∠ACB=90°
又∠BOC=90°
∴∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠CBO=90°
∴∠ACO=∠CBO
∴△AOC∽△COB
∴，
即
解得：OC=
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=2
∴sin∠ABC=．
（2）解：分两种情况讨论
①当BC=2PB时，
由（1）知，BC==，
∴PB=
∵AB为直径
∴∠APB=90°
∴AP===．
②当PC=2PB时，如图所示，过B作BH⊥CP于H
由sin∠ABC=得，∠ABC=30°，
∴∠CAO=60°
∵A、C、P、B四点共圆，
∴∠CPB=180°－∠CAO=120°
∴∠BPH=60°，
∴∠PBH=30°
设PH=x，则BP=2x，CP=4x，BH=x，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
即
解得：x=
∴AP===．
综上所述，△PCB中有一边是BP的两倍时，AP的长度为或．
（3）解：当点P与点N重合时，的值为，理由如下：
连接CM，BP，
∵△BCD为等边三角形，
∴BD=CD=BC，∠DBC=∠DCB=∠CDB=60°，
∵CM=BM，CD=BD，
∴DM是CB的垂直平分线，
∴DM⊥BC，
∴H是BC中点，HM∥AC，
∴∠PMB=60°，即△BMP是等边三角形，
∴H是PM中点，
∴AH=PH=1，DH=BH=3，
∴PD=2
故=．
【探究二】
=仍然成立，理由如下：
如图，连接MP，
由【探究】知，HM=1，MP=2，DM=4，
∴，，
又∠HMP=∠DMP，
∴△HMP∽△PMD，
∴，
即=仍然成立．
13．【答案】（1）证明： ，
，
又
，
弧 弧BD
（2）解：作 于点G，连结 如图
为直径
弧 弧
，
又
，
又
（3）解：连结BD交AC，EF分别为点P，点L，连结OP，OE，PE，再作 于点H， 于点 如图3所示 ， ， ， 由 得 ，
即P为BD的中点
， 四边形OPLH为矩形 设 ，则 ． 又 垂直平分NE ， 又 为等腰直角三角形 ， 解得 ，
14．【答案】（1）证明：∵四边形BCED内接于⊙O
∴∠AEC＝∠DBC
又∵DB⊥AB
∴∠ABC+∠DBC＝90°
又∵∠ACB＝90°
∴在Rt△ABC中，∠CAB+∠ABC＝90°
∴∠DBC＝∠CAB
∴∠CAB＝∠AEC
（2）解：①如图1延长AC交BD于点F，延长EC交AB于点G.
∵在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3
∴由勾股定理得，AC＝4
又∵BC⊥AF，AB⊥BF
∠AFB＝∠BFC
∴Rt△AFB∽Rt△BFC
∴
∴BC2＝CF AC
即9＝CF 4，解得，CF＝
又∵EC∥BD
∴CG⊥AB
∴AB CG＝AC BC
即5CG＝4×3，解得，CG＝
又∵在Rt△ACG中，AG＝ =
又∵EC∥DB
∴∠AEC＝∠ADB
由（1）得，∠CAB＝∠AEC
∴∠ADB＝∠CAB
又∵∠ACB＝∠DBA＝90°
∴Rt△ABC∽Rt△DBA
∴
得AD＝
又∵EG∥BD
∴
得AE＝
②当△BDC是直角三角形时，如图二所示
∵∠BCD＝90°
∴BD为⊙O直径
又∵∠ACB＝90°
∴A、C、D三点共线
即BC⊥AD时垂足为C，此时C点与E点重合.
又∵∠DAB＝∠BAC，∠ACB＝ABD＝90°
∴Rt△ACB∽Rt△ABD
∴
得AD＝
又∵在Rt△ABD中，BD＝
③如图三，由B、C、E都在⊙O上，且BC＝CE＝
∴
∴∠ADC＝∠BDC
即DC平分∠ADB
过C作CM⊥BD，CN⊥AD，CH⊥AB垂足分别为M、N.，H.
∵在Rt△ACB中AB＝5，BC＝
∴AC＝2
又∵在Rt△ACB中CH⊥AB
∴AB CH＝AC BC
即5CH＝2 ×
解得，CH＝2
∴MB＝2
又∵DC平分∠ADB
∴CM＝CN
又∵在Rt△CHB中BC＝5，CH＝2
∴HB＝1
∴CM＝CN＝1
又∵在△DCN与△DCM中
∴△DCN与△DCM（AAS）
∴DN＝DM
设DN＝DM＝x
则BD＝x+2，AD＝x+
在Rt△ABD中由AB2+BD2＝AD2得，
25+（x+2）2＝（x+ ）2
解得，x＝
∴BD＝BM+MD＝2+ ＝
又由（1）得∠CAB＝∠AEC，且∠ENC＝∠ACB
∴△ENC∽△ACB
∴
∴NE＝2
又∵在Rt△CAN中CN＝1，AC＝2
∴AN＝ ＝
∴AE＝AN+NE＝ +2
（3） .
15．【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，BD＝CD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BE；
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝2 ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4.
（3）解：∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∵ ＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴ ＝ ，
即AC＝ BC．
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC
∵四边形ABCE是圆的内接四边形
∴∠DEC＝∠B
∴∠D＝∠DEC
∴CD＝CE
∴AB＝CE
（2）证明：如图，连接CO，并延长CO交AB于E，
∵AC＝BC
∴ ，且CO是半径，
∴CE⊥AB，AE＝BE
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，且CE⊥AB
∴CE⊥CD，且CO是半径，
∴DC与⊙O相切
（3）证明：如图，连接OE，OA，过点F作CF⊥AD于点F，过点O作OM⊥AE于点E，
∵AE＝BE，AB＝8
∴AE＝BE＝4，且AO＝5，CE⊥AB
∴OE＝ ＝3
∴CE＝CO+OE＝5
∴AC＝
∴AC＝BC＝AD＝
∵∠B＝∠D，∠CFD＝∠CEB，
∴△CDF∽△CBE
∴
∴
∴DF＝
∵CD＝CE，CF⊥DA
∴DF＝EF＝
∴AE＝AD﹣DF﹣EF＝
∵OE＝OA，OM⊥AD
∴AM＝EM＝ AE＝ ，∠EOM＝ ∠AOE
∵∠ACE＝ ∠AOE
∴∠ACE＝∠EOM
∴sin∠ACE＝sin∠EOM＝ .
17．【答案】（1）解：∵正方形ABCD.
∴∠DAB=∠D=∠C=90°，AB=BC=DC=AD=4
∵ 于P.
∴∠EBA+∠FAB=90°，又∠DAF+FAB=90°．
∴∠EBA=∠DAF
又∠DAB=∠D，AB=DA.
∴△ABE≌△DAF．
∴DF=AE=1，
∴CF=DC DF=3
在Rt△BFC中， .
∴BF=5
（2）解：∵正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，
∴∠CAB=∠ADB=45°，∠AOB=90°
又 于P. ∴∠APB=∠AOB=90°．
∴A，P，O，B四点共圆. ∴∠OPB=∠OAB=45°（也可由相似证得）.
∴∠OPB=∠ADB
又∠OBP=∠DBE，∴△OPB∽△EDB，可得
又DE=2AE=4，可得AD=AB=6，BD= ， ， ，
∴ .
∴
（3）解：
理由如下：连接EF.
∵ ，由（2）问可知∠APB=∠AOB=90° ，∴A，P，O，B四点共圆，
∴∠OPB=∠OAB=45°，∴∠DPE=∠OPB=45°，
又A，P，O，B四点共圆有∠POA=∠PBA
∴ DEP=∠DAB+∠PBA=∠AOB+∠POA=∠POB，
又∠DPE=∠OPB，∴△DEP∽△BOP，
∴
又AF⊥BE，∠EDF=90°，∴ EDF+∠EPF=180°，
∴D，E，P，F四点共圆
∴∠DFE=∠DPE=45°，∴∠DEF=∠DFE=45°，有DE=DF
又AE=DF，于是AE=DE= ，
∴ ，
∴
18．【答案】（1）证明：，
，
即，
又，
（2）0；1；0
（3）解：①记的面积为，
则，
，
①
，
即，
②
由①②可得，
即，
，
，
即，
，
，
，
，
都为等腰三角形；
②，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
则，
，

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