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7.2离散型随机变量及其分布列题型总结+跟踪训练
（答案）
一、知识梳理
1、离散型随机变量的分布列
(1)①取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量．
②取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．
(2)若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)．上式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．
(3)离散型随机变量的分布列的性质
①pi>0(i＝1，2，…，n，…)；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．
2、两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中0二、常见题型
题型一:离散型随机变量的概念
例1袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到球的个数
解：选项A，B表述的都是随机事件；
选项D是确定的值2，并不随机；
选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
跟踪训练
1、袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A．ξ＝4　　　B．ξ＝5　　　C．ξ＝6　　　D．ξ≤5
解：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
2、某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标
解：选C.击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝5，说明前4次均未击中目标．
3、抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　)
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
解：第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D.
4、袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5
解：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.
5、甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是___－1，0，1，2，3_____．
题型二：离散型随机变量的分布列及性质
例2 若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2] B.[1，2]
C.(1，2] D.(1，2)
解：由随机变量X的分布列知
P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].
跟踪训练
1、离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　D　)
A. B. C. D.
解：因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，
所以＋＋＋＝1，即a＝，
所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.
2、若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
解：由随机变量X的分布列知
P(X<－1)＝0.1，
P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，
则当P(X3、下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是(其中0A.
X 1 2 3
P p p－1 2－2p
B.
X 1 2 3
P
C.
X 1 2 3
P p p－p2 1－2p＋p2
D.
X 1 2 3
P p 1－p－
解：选项A中p－1<0，选项B中概率之和为p，事实上p<1，选项D中>1，都不符合概率的意义．选项C中，04、已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P x y z
则P(X≥2)＝(　D　)
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
解：P(X≥2)＝x＋＋y＋z＝1－＝0.6.
5、设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式不正确的是(　C　)
A.P(ξ<3)＝ B.P(ξ>1)＝
C.P(2<ξ<4)＝ D.P(ξ<0.5)＝0
解：P(ξ<3)＝＋＋＋＝，A错误；
P(ξ>1)＝＋＝，B错误；
P(2<ξ<4)＝P(ξ＝3)＝，C正确；
P(ξ<0.5)＝＋＝，D错误.
6、离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　D　)
A. B.
C. D.
解：因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝1，
解得a＝.
故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.故选D.
7、某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为__40%______.
8、设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________.
解：由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
9、随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是____－≤d≤____.
解：因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，所以b＝，
因此P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
所以－≤d≤.
10、已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝________．
11、设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝____.
解：由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
12、袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝___1_____.
解：由题意可得P(ξ＝2)＝＝＝，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5(m＋n＝－12舍去).
又取出的两个球为一红一黄的概率P＝＝＝，解得m＝3，故n＝2，所以m－n＝1.
题型三：求离散型随机变量的分布列
例3设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
①求2X＋1的分布列；
②求随机变量η＝|X－1|的分布列.
解　①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X 0 1 2 3 4
|X－1| 1 0 1 2 3
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
故η＝|X－1|的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
跟踪训练
1、在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.求随机变量X的分布列．
解：由题意知，x，y可能的取值为1，2，3，则|x－2|≤1，|y－x|≤2，所以X≤3，X的所有可能取值为0，1，2，3.
当X＝0时，只有x＝2，y＝2这一种情况；
当X＝1时，有x＝1，y＝1或x＝2，y＝1或x＝2，y＝3或x＝3，y＝3四种情况；
当X＝2时，有x＝1，y＝2或x＝3，y＝2两种情况；
当X＝3时，有x＝1，y＝3或x＝3，y＝1两种情况．所以P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
2、有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列.
解　(1)因为当X＝2时，有C种方法，
因为C＝6，即＝6，也即n2－n－12＝0，
解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，
由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝1－－－＝，
所以X的概率分布列为
X 0 2 3 4
P
3、甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.
解　随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
4、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ.
解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝.
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，
则P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
5、2022年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目.
(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列.
解　(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，
则P(E)＝＝，故a同学摸球三次后停止摸球的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
6、甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
(1)乙投篮次数不超过1的概率；
(2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列.
解　(1)记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B.
“乙投篮次数不超过1”包括三种情况：第一种是甲第1次投篮投中，第二种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，第三种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中.
故所求的概率P＝P(A＋·B＋··A)
＝P(A)＋P(·B)＋P(··A)＝P(A)＋P()·P(B)＋P()·P()·P(A)＝＋×＋××＝.
(2)甲、乙投篮次数总和ξ的值为1，2，3，4，P(ξ＝1)＝P(A)＝；
P(ξ＝2)＝P(·B)＝×＝；
P(ξ＝3)＝P(··A)＝××＝；
P(ξ＝4)＝P(··)＝××＝.
所以甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
7、某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员.招聘分笔试、面试这两个环节.笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取.现有甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人社团招聘.假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的概率分别为，，丙通过各环节的概率与甲相同.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(3)为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：
参与环节 笔试 面试
手机话费/元 20 30
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列.
解　(1)设事件A表示“甲被机器人社团录取为新成员”，事件B表示“乙被机器人社团录取为新成员”，事件C表示“丙被机器人社团录取为新成员”.
则P(A)＝P(C)＝×＝，P(B)＝×＝，
所以甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率p＝P(BC＋AC＋AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝2×××＋××＝.
(2)设事件D表示“甲、乙、丙三人都被机器人社团录取”，
则P(D)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝，
所以甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率p＝1－P(D)＝1－＝.
(3)X的所有可能取值为60，90，120，150.
P(X＝60)＝××＝，
P(X＝90)＝2×××＋××＝＝，
P(X＝120)＝2×××＋××＝，
P(X＝150)＝××＝＝.
所以X的分布列为
X 60 90 120 150
P
8、某地有A，B，C，D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.用“X＝k” (k＝1、2、3)表示被A直接感染的人数，求随机变量X的分布列．
解：由题意分析得X可取的值为1、2、3，四个人的传染情形共有6种：A→B→C→D，
每种情况发生的可能性都相等，所以A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．
“X＝1”表示A传染B，没有传染给C，D；
“X＝2”表示A传染给B，C，没有传染给D，或A传染给B，D，没有传染给C；
“X＝3”表示A传染给B，C，D.
于是有P(X＝1)＝1××＝，
P(X＝2)＝1××＋1××＝，
P(X＝3)＝1××＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
9、澳大利亚曾发现一颗28.84克拉的钻石原石，如图(1)，这颗钻石拥有完整的正八面体晶体．如图(2)，设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2.
(1)求ξ＝1的概率；
(2)求ξ的分布列．
解：(1)若两条棱平行，则它们之间的距离为1，一共有6对平行的棱，所以P(ξ＝1)＝＝＝.
(2)由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2.
若两条棱相交，则交点必为正八面体6个顶点中的1个，
又正八面体中过任意顶点有4条棱，所以共有6C对相交棱，所以P(ξ＝0)＝＝＝.
由(1)知，P(ξ＝1)＝，
所以P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－－＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
10、在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分(满分100分)．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．
(1)将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关？
良 优 合计
男 40
女 40
合计
(2)为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50,60)和[90,100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50,60)的顾客获得纪念品数为随机变量X，求X的分布列．
附表及公式：?2＝.
P(?2≥xα) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解：(1)列联表下：
良 优 合计
男 20 20 40
女 20 40 60
合计 40 60 100
由题得，
?2＝＝≈2.78>2.706＝x0.100，
所以，能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为评分为“优良”与性别有关．
(2)由已知得体验度评分为[50,60)和[90,100]的顾客分别有10人，20人，
则在随机抽取的6人中评分为[50,60)有2人，评分为[90,100]有4人．
则X可能的取值有0,1,2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则X的分布列为
X 0 1 2
P
11、今年4月， 教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长(单位：分钟)都在区间[50,100]内，书面作业时长的频率分布直方图如下：
(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数(计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表)估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？
(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[90,100]内的为A层次学生，在区间[80,90)内的为B层次学生，在区间[70,80)内的为C层次学生，在其它区间内的为D层学生．现对书面作业时长在70分钟以上(含70分钟)的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X个不同层次，求随机变量X的分布列．
解：(1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对应的值，设为x.
∵0.01×10＋0.01×10＋0.02×10＜0.5.
0．01×10＋0.01×10＋0.02×10＋0.03×10＞0.5，
∴0.01×10＋0.01×10＋0.02×10＋0.03×＝0.5
解得x＝，即中位数的故计值分钟．
又作业时长平均数估计值为
0．01×10×55＋0.01×10×65＋0.02×10×75＋0.03×10×85＋0.03×10×95＝81＜90
因为中位数的估计值分钟大于平均数估计值81分钟，
所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策
(2)由题意知，作业时长在70分钟以上(含70分钟)为[90,100]，[80,90]，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A，B，C三个层次．
∴各层次抽取的人数分别为3,3,2.
∴X的所有可能值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，
又P(X＝3)＝＝，
P(X＝2)＝1－－＝
∴X的分在列为
X 1 2 3
P
题型四：两点点分布
例4、某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表．
电影类型 第1类 第2类 第3类 第4类 第5类 第6类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
(好评率是指某类电影中获得好评的电影部数与该类电影的总部数的比值)假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第4类电影的概率；
(2)从第4类电影和第5类电影中各随机选取1部，求恰有1部获得好评的概率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1，2，3，4，5，6)，求随机变量ξ1的分布列．
解：　(1)设事件A表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第4类电影”，总的电影部数为140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，第4类电影中获得好评的电影有200×0.25＝50(部)．所以P(A)＝＝0.025.
(2)设事件B表示“从第4类电影和第5类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第4类电影中获得好评的有50部，第5类电影中获得好评的有800×0.2＝160(部)，所以P(B)＝＝0.35.
(3)由题意知，ξk＝
则ξ1服从两点分布．
对于第1类电影，ξ1的分布列如下．
ξ1 0 1
P 0.6 0.47.2离散型随机变量及其分布列题型总结+跟踪训练
一、知识梳理
1、离散型随机变量的分布列
(1)①取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量．
②取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量．
(2)若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…)．上式称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．
(3)离散型随机变量的分布列的性质
①pi>0(i＝1，2，…，n，…)；
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝1．
2、两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
其中0二、常见题型
题型一:离散型随机变量的概念
例1袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球
B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数
D.取到球的个数
跟踪训练
1、袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A．ξ＝4　　　B．ξ＝5　　　C．ξ＝6　　　D．ξ≤5
2、某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，记射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标
3、抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　)
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
4、袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)
A.ξ＝4 B.ξ＝5 C.ξ＝6 D.ξ≤5
5、甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
题型二：离散型随机变量的分布列及性质
例2 若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2] B.[1，2]
C.(1，2] D.(1，2)
跟踪训练
1、离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B. C. D.
2、若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
3、下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是(其中0A.
X 1 2 3
P p p－1 2－2p
B.
X 1 2 3
P
C.
X 1 2 3
P p p－p2 1－2p＋p2
D.
X 1 2 3
P p 1－p－
4、已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P x y z
则P(X≥2)＝(　　)
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
5、设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式不正确的是(　　)
A.P(ξ<3)＝ B.P(ξ>1)＝
C.P(2<ξ<4)＝ D.P(ξ<0.5)＝0
6、离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为(　　)
A. B.
C. D.
7、某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为________.
8、设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝________.
9、随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a b c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.
10、已知随机变量X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1，2，3)，则P(X＝2)＝________．
11、设随机变量X的概率分布列为
X 1 2 3 4
P m
则P(|X－3|＝1)＝____.
12、袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________.
题型三：求离散型随机变量的分布列
例3设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
①求2X＋1的分布列；
②求随机变量η＝|X－1|的分布列.
跟踪训练
1、在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.求随机变量X的分布列．
2、有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.
(1)求n的值；
(2)求随机变量X的分布列.
3、甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.
4、为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ.
5、2022年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目.
(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；
(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列.
6、甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，求：
(1)乙投篮次数不超过1的概率；
(2)记甲、乙两人投篮次数总和为ξ，求ξ的分布列.
7、某高校机器人社团决定从大一新生中招聘一批新成员.招聘分笔试、面试这两个环节.笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取.现有甲、乙、丙三名大一新生报名参加了机器人社团招聘.假设甲通过笔试、面试的概率分别为，；乙通过笔试、面试的概率分别为，，丙通过各环节的概率与甲相同.
(1)求甲、乙、丙三人中恰有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中至多有两人被机器人社团录取为新成员的概率；
(3)为鼓励大一新生积极报名参加机器人社团招聘，该机器人社团决定给参加应聘的大一新生赠送一定的手机话费，赠送标准如下表：
参与环节 笔试 面试
手机话费/元 20 30
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列.
8、某地有A，B，C，D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A，B和C感染的概率都是.用“X＝k” (k＝1、2、3)表示被A直接感染的人数，求随机变量X的分布列．
9、澳大利亚曾发现一颗28.84克拉的钻石原石，如图(1)，这颗钻石拥有完整的正八面体晶体．如图(2)，设ξ为随机变量，从棱长为1的正八面体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝2.
(1)求ξ＝1的概率；
(2)求ξ的分布列．
10、在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分(满分100分)．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．
(1)将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关？
良 优 合计
男 40
女 40
合计
(2)为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50,60)和[90,100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50,60)的顾客获得纪念品数为随机变量X，求X的分布列．
附表及公式：?2＝.
P(?2≥xα) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
11、今年4月， 教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长(单位：分钟)都在区间[50,100]内，书面作业时长的频率分布直方图如下：
(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数(计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表)估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？
(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[90,100]内的为A层次学生，在区间[80,90)内的为B层次学生，在区间[70,80)内的为C层次学生，在其它区间内的为D层学生．现对书面作业时长在70分钟以上(含70分钟)的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X个不同层次，求随机变量X的分布列．
题型四：两点点分布
例4、某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表．
电影类型 第1类 第2类 第3类 第4类 第5类 第6类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
(好评率是指某类电影中获得好评的电影部数与该类电影的总部数的比值)假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第4类电影的概率；
(2)从第4类电影和第5类电影中各随机选取1部，求恰有1部获得好评的概率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1，2，3，4，5，6)，求随机变量ξ1的分布列．

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