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专题03 分式与二次根式
【考情预测】
分式与二次根式是历年浙江中考的考察重点，年年考查，分值为10分左右。预计2023年浙江各地市中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1、分式
1）分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注意：①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3）约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
4）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注意：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5）通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
6）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7）分式的运算
（1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示：．
（3）分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示：．
（4）分式的乘方：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数，．
（5）分式的混合运算：含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
2、二次根式
1）二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
注意：被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
2）二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
3）二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除：乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
【重难点突破】
考点1. 分式的有关概念
【解题技巧】
1．分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均为整式；（3）分母中含有字母．
2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．
（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．
【典例精析】
例1.（2023·浙江·中考模拟）下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0
【答案】C
【分析】分母不为0时，分式有意义，分母为0时，分式无意义，分子等于0，分母不为0时分式值为0，由此判断即可.
【解析】解：A选项当，即时，分式有意义，故A正确；
B选项当，即时，分式无意义，故B正确；
C选项当，即时，分式有意义，故C错误；
D选项当，且即时，分式的值为0，故D正确.故选C.
【点睛】本题主要考查了分式有意义、无意义、值为0的条件，熟练掌握分式的分母不为0是确定分式有意义的关键.
例2.（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
【答案】2
【分析】直接把a的值代入计算即可．
【详解】解：当a=1时，．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．
变式2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
【答案】0
【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，故答案为：0．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．
变式3．（2023·杭州·中考模拟）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数
C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，无意义
【答案】B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
【详解】解：A、当x＝2时，分母x 2＝0，分式无意义，故A错误；
B、分母中x2＋3≥3，因而第二个式子一定成立，故B正确；
C、当x＋1＝1或 1时，的值是整数，故C错误；D、不是分式，故D错误．故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式各种结果的判断标准：分式的值是正数的条件是分子、分母同号；值是负数的条件是分子、分母异号；分式值是0的条件是分子是0，分母不是0．
考点2. 分式的基本性质
【解题技巧】
分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：
（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；
（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
【典例精析】
例1.（2022·浙江·一模）若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（ ）
A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变
【答案】B
【分析】根据分式的加法进行计算，再把同时扩大2倍，观察分式值变化即可．
【详解】解：，同时扩大2倍得，
分式的值是原来的，故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加法和分式的基本性质，解题关键是熟练进行分式加法和约分．
例2.（2022·湖州中考模拟）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【详解】∵a≠b，∴，选项A错误；，选项B错误；
，选项C错误；，选项D正确；故选：D．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
【变式训练】
变式1．（2022·广东·一模）如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得：
化简后的结果和原式相同，故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
变式2．（2022·河北·三模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．
变式3. （2022·浙江·九年级期末）下列各式中，与分式相等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：原式＝＝，故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
变式4.（2022·杭州·中考模拟）分式可变形为( )
A． B．- C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.
【解析】A. ≠，故A选项错误；B. -=≠，故B选项错误；
C. =-，故C选项错误；D. ==，故D选项正确，故选D.
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
考点3. 分式的约分与通分
【解题技巧】
约分与通分的区别与联系：
1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；
3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．
【典例精析】
例1.（2022·浙江·二模）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1 D．化简﹣的结果是1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．
【详解】A、＝ ，故本选项错误；B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；
C、＝ ，故本选项错误；D、﹣＝1，故本选项正确；故选D．
【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.
例2.（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，∴，即，
∴，∴，故选：C．
【点睛】本题关键是异分母通分，掌握通分法则．
【变式训练】
变式1．（2022·上海崇明·二模）化简：＝_____．
【答案】
【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．
【详解】解：＝＝．故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
变式2．（2023·河北·一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解．
【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数，
∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式，∴公分母为： ．故选择：A．
【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键．
变式3．（2022·上海·二模）计算：________．
【答案】
【分析】将式子通分计算即可．
【详解】
【点睛】本题考查分式通分，正确寻找分母的最小公倍数是解题关键．
考点4.分式的运算
【解题技巧】
（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．
（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．
【典例精析】
例1.（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
【答案】2
【分析】利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果．
【详解】解：，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键．
例2.（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【答案】，10．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
==2(x+4)=2x+8
当-2，0，2时，分式无意义 当x=1时，原式=10．
【点睛】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．
【变式训练】
变式1.（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，则的值为_____．
【答案】##
【分析】根据题意得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，原式，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法以及分式有意义的条件，把条件变形得出是解本题的关键．
变式2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
【答案】B
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：====1；故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
2．
变式3．（2022·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】运用分式化简法则：先算括号里，再算括号外，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：，
∵，
代入得：原式；故答案为：；．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
考点5. 二次根式的概念与性质
【解题技巧】
1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．
2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
【典例精析】
例1.（2021·浙江丽水市·中考真题）要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一，）
【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，∴x﹣3≥0，∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，．
【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
例2.（2021·浙江杭州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：，故A正确，C错误；，故B、D错误；故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
【变式训练】
变式1．（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
变式2．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
【答案】2
【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案．
【详解】解：由数轴可得：，则
∴= = = =2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
变式3．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式4．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
【答案】
【分析】原式可变形为，然后因式分解为，从而得到，进而分析得出
，，则答案可得．
【详解】解：，
变形为，
∴，∴，∴，
∵x，y均为整数，，∴最小值时，，
∴最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到．
考点6. 二次根式的运算
【解题技巧】
1．二次根式的运算
（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．
（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．
（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
2．比较分式与二次根式的大小
（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；
（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．
【典例精析】
例1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由合并同类二次根式判断A，B，由二次根式的乘除法判断C，D．
【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的乘方运算，掌握以上知识是解题关键．
例2．（2022·重庆·中考真题）估计的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【答案】B
【分析】先化简，利用，从而判定即可．
【详解】 ，
∵，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算及无理数的估算，熟练掌握无理数估算方法是解题的关键．
3．（2022·上海·中考真题）计算：
【答案】
【分析】原式分别化简，再进行合并即可得到答案．
【详解】解：==
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·贵州毕节·中考真题）计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化简二次根式并代入特殊角的锐角三角比，再按照正确的运算顺序进行计算即可．
【详解】解：＝＝＝．故选：B
【点睛】此题考查了二次根式的运算、特殊角的锐角三角比等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式2．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．
【详解】解：== =2．故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．
变式3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．
考点7. 二次根式与分式中的探究规律问题
【典例精析】
例1．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据定义逐项分析判断即可．
【详解】解：，是完美方根数对；故①正确；
不是完美方根数对；故②不正确；
若是完美方根数对，则即解得或
是正整数则故③正确；
若是完美方根数对，则,即故④正确故选C
【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键．
例2．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
【答案】
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】数字可以化成：，，，；，，，；
∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，28是第14个偶数，而 ∴的位置记为故答案为：
【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．
【变式训练】
变式1．（2022·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
【答案】①②④
【分析】将和代入即可求得和，再按照可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列’中的每一项除以所得的余数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第项的值．
【详解】，故正确；
，故错误；
“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，，故正确；
，，，，，，，除以所得的余数分别是，，，，，，，，，，，，，
，故在新数列中，第项的值是，故正确．故答案为：．
【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关键．
变式2．（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：；
；；……
根据以上规律，计算______．
【答案】
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
【详解】解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝2020+1﹣﹣2021＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
变式3．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100， ，利用规律求解即可．
【详解】解：，，，
，
，
…，
故答案为：5050
【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
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专题03 分式与二次根式
【考情预测】
分式与二次根式是历年浙江中考的考察重点，年年考查，分值为10分左右。预计2023年浙江各地市中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【考点梳理】
1、分式
1）分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注意：①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3）约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
4）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注意：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5）通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
6）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7）分式的运算
（1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示：．
（3）分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示：．
（4）分式的乘方：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数，．
（5）分式的混合运算：含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
2、二次根式
1）二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
注意：被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
2）二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
3）二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除：乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．
【重难点突破】
考点1. 分式的有关概念
【解题技巧】
1．分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均为整式；（3）分母中含有字母．
2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．
（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．
【典例精析】
例1.（2023·浙江·中考模拟）下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．当时，分式无意义
C．不论取何值，分式都有意义 D．当时，分式的值为0
例2.（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
变式1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
变式2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
变式3．（2023·杭州·中考模拟）下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为零 B．无论为何值，的值总为正数
C．无论为何值，不可能得整数值 D．当时，无意义
考点2. 分式的基本性质
【解题技巧】
分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：
（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；
（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．
【典例精析】
例1.（2022·浙江·一模）若把分式中的同时扩大2倍，则分式的值（ ）
A．是原来的2倍 B．是原来的 C．是原来的 D．不变
例2.（2022·湖州中考模拟）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·广东·一模）如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
变式2．（2022·河北·三模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
变式3. （2022·浙江·九年级期末）下列各式中，与分式相等的是（　　）
A． B． C． D．
变式4.（2022·杭州·中考模拟）分式可变形为( )
A． B．- C． D．
考点3. 分式的约分与通分
【解题技巧】
约分与通分的区别与联系：
1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；
3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．
【典例精析】
例1.（2022·浙江·二模）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1 D．化简﹣的结果是1
例2.（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·上海崇明·二模）化简：＝_____．
变式2．（2023·河北·一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·上海·二模）计算：________．
考点4.分式的运算
【解题技巧】
（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．
（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．
【典例精析】
例1.（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
例2.（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【变式训练】
变式1.（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，则的值为_____．
变式2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．① B．② C．③ D．①或②
2．变式3．（2022·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
考点5. 二次根式的概念与性质
【解题技巧】
1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．
2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．
【典例精析】
例1.（2021·浙江丽水市·中考真题）要使式子有意义，则x可取的一个数是__________．
例2.（2021·浙江杭州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．
变式3．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
考点6. 二次根式的运算
【解题技巧】
1．二次根式的运算
（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．
（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．
（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
2．比较分式与二次根式的大小
（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；
（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．
【典例精析】
例1．（2022·湖北武汉·中考真题）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·重庆·中考真题）估计的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
3．（2022·上海·中考真题）计算：
【变式训练】
变式1．（2022·贵州毕节·中考真题）计算的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
变式3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）计算：．
考点7. 二次根式与分式中的探究规律问题
【典例精析】
例1．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
…
若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________．
【变式训练】
变式1．（2022·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
变式2．（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：；
；；……
根据以上规律，计算______．
变式3．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
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专题03 分式与二次根式
【考场演练1】
练基础/练热点
1．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；
【详解】解：由题意得：x+1≥0且x≠0，∴x≥-1且x≠0，故选： C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键．
2．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
【答案】A
【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．
【详解】解：＝2，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．
3．（2022·浙江九年级专题练习）下列关于分式的说法，错误的是(　　)
A．当x>-2时，分式的值一定为负数 B．当x=0时，分式没有意义
C．当x<-2时，分式的值一定为正数 D．当x=-2时，分式的值为0
【答案】A
【分析】根据“分式的分子分母同号时，分式的值为正数，当分式的分子分母异号时，分式的值为负数”判断A，C选项；根据“分式的分母为0时，分式没有意义”判断B选项；根据“当分式的分母不为0，且分子为0时，分式的值为0”判断D选项．
【详解】解：A项：当x=1时，分式的值为正数，故此选项错误，符合题意；
B项：当x=0时，分式没有意义，正确，故此选项不合题意；
C项：当x<-2时，分式的值一定为正数，正确，故此选项不合题意；
D项：当x=-2时，分式的值为0，正确，故此选项不合题意．故选A．
【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式无意义的条件，以及分式的值为正数或负数的条件．正确掌握相关性质是解题的关键．
4．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的相关计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、2与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．（2023·浙江·中考模拟）下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．
【详解】，A选项成立，不符合题意；
，B选项成立，不符合题意；
，C选项不成立，符合题意；
，D选项成立，不符合题意； 故选C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
6．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
【答案】A
【分析】先把分子分母进行分解因式，后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中 原式故选A.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
7．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；D、当x=-1时，，故不合题意；故选C．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
8．（2022·山西·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；
B、改变分式分子和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意；
C、改变分式分母的符号，其分式的值变为原来的相反数，此选项错误，符合题意；
D、改变分式本身的符号和分母的符号，其分式的值不变，此选项正确，不符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，熟记分式符号变化规律是解答的关键．
9．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵，∴28nm=2.8×10-8m．故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查分式的化简及平方差公式，属于基础题，掌握通分、约分等基本步骤是解题的关键．
11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．
【详解】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，是无理数，不符合题意；C、，是有理数，符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．
12．（2022·山东青岛·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
【详解】解： 故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．
13．（2021·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．
【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. 和不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；D. ，原选项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．
14．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
【答案】B
【分析】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意可知：，∴，故选：B．
【点睛】本题考察了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．
15.（2023·渝中·重庆巴蜀中学九年级月考）若分式的值为正数，则x的取值范围为_____．
【答案】
【分析】先说明分母是非负数，再根据分式的值是正数列式进行计算即可得解．
【详解】∵∴∵分式的值为正数∴∴故答案为．
【点睛】此题考查了根据分式的值的求解，利用非负数的性质判断出分子大于0是解题的关键．
16．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）当a，b满足关系式______时，分式的值为．
【答案】
【分析】直接根据分式有意义的条件作答即可．
【详解】∵，∴，∴，故答案为．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．
17．（2022·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【答案】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
【详解】解：＝＝
＝＝＝．
，移项得，左边提取公因式得，
两边同除以2得，∴原式＝．故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2022·浙江杭州·二模）已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则________．
【答案】
【分析】对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：当x+y=-5，xy=4时，
=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（2022·浙江·二模）分式的最简公分母是________， =__________
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
20．（2023·杭州九年级专题练习）若代数式 的值为整数，则 的值为__________．
【答案】或
【分析】将代数式变形为4＋，从而求出满足条件的整数x的值．
【详解】∵＝4＋，代数式的值为整数，∴为整数，
∴x 1＝1或x 1＝ 1，∴x＝2或0．故答案是：2或0．
【点睛】本题考查了将分式变形为整数加上分式的求值问题，可以根据对应项相等的原则解答．
21．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
∵，
∴原式=．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
22．（2022·四川雅安·中考真题）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
【答案】（1）5；（2） 当时，分式的值为1．
【分析】（1）先计算二次根式的乘方运算，求解绝对值，负整数指数幂的运算，再合并即可；
（2）先计算括号内的分式的加法运算，同步把除法转化为乘法运算，再约分可得化简后的结果，再结合分式有意义的条件可得 从而可得分式的值．
【详解】解（1）（）2+|﹣4|﹣（）﹣1
（2）（1+）÷
且
当时，原式
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的乘法运算，分式的化简求值，负整数指数幂的含义，掌握以上基础运算是解本题的关键．
23．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
(1)解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，……
∴第（n+1）个式子；
(2)解：∵右边==左边，
∴．
【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．
24．（2023·浙江金华·校考一模）先化简，再求值：，从，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后结合分式有意义的条件确定，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义
∴，
∴且且，
∴当，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟知相关知识是解题的关键．
25．（2022·浙江舟山·校联考三模）先化简，再求值：，其中，且x为整数．小海同学的解法如下：
解：原式．．．．．．①
．．．．．．②
．．．．．．③
．．．．．．④
当时．．．．．．⑤
原式．．．．．．⑥
．．．．．．⑦
请指出他解答过程中第______步开始错误（写出相应的序号），并写出正确的解答过程．
【答案】第②步错误，正确过程见解析
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：第②步错误，
正确解答过程为：原式
，
由，得到，即整数，0，1，
∵或时，原式分母为，
∴当时，原式，
故答案为：②．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．
26．（2022·浙江台州·校考二模）计算：．
【答案】1
【分析】先计算有理数的乘方，化最简二次根式，特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．涉及有理数的乘方，化最简二次根式，特殊角的三角函数值．掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
27．（2022·浙江·三模）计算：．
【答案】-1
【分析】先计算零指数幂，并化简二次根式和绝对值，把特殊角三角函数值代入，最后计算加减法即可．
【详解】解：
=-1．
【点睛】本题考查实数混合运算，涉及知识有：零指数幂运算，二次根式化简，求无理数绝对值，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【考场演练2】
练重点/练难点
1．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则关于的方程无实数根；④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由，可得或，再验证这两个方程是否有实数根；④列代数式，再化简，直接代数验证即可．
【详解】解：①∵，∴，解得：，∴①正确；
②∵，∴，
∴，当时，，解得（不符合题意，舍去），
当时，恒成立，
当时，，解得（不符合题意，舍去），∴②正确；
③∵，∴，∴或，
当时，，该方程无实数根，
当时，，该方程无实数根，
∴若，关于的方程无实数根，∴③正确；
④∵，
∵为整数，且值为整数，
∴，，，∴的取值个数为个，∴④不正确．故选：C．
【点睛】本题考查分式化简，一元二次方程，含绝对值一元一次方程，根的判别式等知识点．能够正确解方程是本题的关键．
2．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（　　　）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
【答案】B
【分析】根据分母有理化进行计算逐项分析判断即可求解．
【详解】解：甲：，正确；
乙：设有理数a，b满足：，则，故乙错误；
丙：
，故丙正确；
丁：，，
则，故丁错误；
戊：
，故戊正确
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
3．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：，
∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，
∵，∴，∴，
∵a>b>0，∴，∴原式=，故选：B．
【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．（2023·广西中考模拟）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【详解】设，且，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴原式，故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
5．（2020·四川攀枝花市·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴===-2故选A.
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
6．（2021·湖北黄冈市·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
【答案】10
【分析】先根据求出（为正整数）的值，从而可得的值，再求和即可得．
【详解】解：，（为正整数），
，，，
，则，故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．
7．（2022·湖南茶陵·中考模拟）2010年8月19日第26届国际 数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖，根据蔡勒公式可以得出中华人民共和国成立100周年纪念日（2049年10月1日）是星期_______________.
（注：蔡勒（德国数学家）公式： 其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即)，d——日期数，——表示取数a的整数部分，如：［15.6］=15）．
【答案】五
【分析】由代数式的运算法则，结合参数对应的数值，即可求得答案．
【解析】
∴∴故答案为：五．
【点睛】本题考察了代数式和分式的知识；求解的关键是熟练掌握代数式和分式的性质，结合实际问题的特点，从而完成求解．
8．（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
【答案】4或7或8
【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值．
【详解】解：∵∴
∵为正整数∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8
∵为整数∴为4或7或8故答案为：4或7或8．
【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
9．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解：；；
；，，
当时，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
10．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
【答案】
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】=
故答案为
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
11．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
【答案】
【分析】据周长为18的三角形的三边满足，求得，代入公式即可求解．
【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足，设
∴解得
故答案为：
【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．
12．（2023·广东·中考模拟）若，则_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【详解】∵，∴．由，得，
∴，∴．∴．故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
13．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵，是大于1的整数，∴．
∵n为正整数∴n的值可以为3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
14．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．
【分析】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；
（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x2-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．
【详解】（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，
正确的计算过程：
解：
=28；
（2）
=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．
【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．
15．（2023·湖南湘潭市·中考模拟）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
【答案】2
【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：，
当时，原式
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16．（2022·北京中考模拟）阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
【答案】
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解后约分得到原式利用倒数法由已知条件得到然后把左边化为真分式后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：原式，
∵，∴，
∴原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17．（2023·江苏涟水·中考模拟）阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；
（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．
【分析】（1）根据“真分式”的定义可得；（2）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式；
（3）先将分式化为带分式，再根据分式部分为整数求得的值；
（4）将分式化为带分式，再判断的取值范围即可．
【详解】（1）的分母次数大于分子次数，故分式是真分式；故答案为：真分式；
（2）故答案为：；
（3）分式的值为整数，，
即是整数，则；解得或或或；的值为：4，2，5，1；
（4）
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，不等式的应用，掌握计算法则，理解题意是解题的关键．
18．（2023贵州西·中考模拟）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝　，＝　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
【答案】（1），；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝13．
【解析】 (1)∵，∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．
(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
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专题03 分式与二次根式
【考场演练1】
练基础/练热点
1．（2022·黑龙江绥化·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
2．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．2
3．（2022·浙江九年级专题练习）下列关于分式的说法，错误的是(　　)
A．当x>-2时，分式的值一定为负数 B．当x=0时，分式没有意义
C．当x<-2时，分式的值一定为正数 D．当x=-2时，分式的值为0
4．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江·中考模拟）下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
7．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山西·二模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·山西·中考真题）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·山东青岛·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B．1 C． D．3
13．（2021·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A． B． C． D．≤-1
15.（2023·渝中·重庆巴蜀中学九年级月考）若分式的值为正数，则x的取值范围为_____．
16．（2022·浙江杭州·杭州育才中学校考模拟预测）当a，b满足关系式______时，分式的值为．
17．（2022·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
18．（2022·浙江杭州·二模）已知x＋y＝﹣5，xy＝4，则________．
19．（2022·浙江·二模）分式的最简公分母是________， =__________
20．（2023·杭州九年级专题练习）若代数式 的值为整数，则 的值为__________．
21．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
22．（2022·四川雅安·中考真题）（1）计算：（）2+|﹣4|﹣（）﹣1；
（2）化简：（1+）÷，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
23．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
24．（2023·浙江金华·校考一模）先化简，再求值：，从，0，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．
25．（2022·浙江舟山·校联考三模）先化简，再求值：，其中，且x为整数．小海同学的解法如下：
解：原式．．．．．．①
．．．．．．②
．．．．．．③
．．．．．．④
当时．．．．．．⑤
原式．．．．．．⑥
．．．．．．⑦
请指出他解答过程中第______步开始错误（写出相应的序号），并写出正确的解答过程．
26．（2022·浙江台州·校考二模）计算：．
27．（2022·浙江·三模）计算：．
【考场演练2】
练重点/练难点
1．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）已知两个多项式、（为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则关于的方程无实数根；④若为整数，且值为整数，则的取值个数为个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（　　　）
A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁
3．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西中考模拟）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·四川攀枝花市·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A． B．0 C． D．
6．（2021·湖北黄冈市·中考真题）人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，…，．则____．
7．（2022·湖南茶陵·中考模拟）2010年8月19日第26届国际 数学家大会在印度的海德拉巴市举行，并首次颁出陈省身奖，该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖，根据蔡勒公式可以得出中华人民共和国成立100周年纪念日（2049年10月1日）是星期_______________.
（注：蔡勒（德国数学家）公式： 其中：W——所求的日期的星期数(如大于7，就需减去7的整数倍)，c——所求年份的前两位，y——所求年份的后两位，m——月份数(若是1月或2月，应视为上一年的13月或14月，即)，d——日期数，——表示取数a的整数部分，如：［15.6］=15）．
8．（2022·四川南充·中考真题）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．
9．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
10．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
11．（2022·四川宜宾·中考真题）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
12．（2023·广东·中考模拟）若，则_____．
13．（2022·湖北随州·中考真题）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______，最大值为______．
14．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
____________________________________________________________________________．
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
15．（2023·湖南湘潭市·中考模拟）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
16．（2022·北京中考模拟）阅读下面的解题过程：
已知，求代数式的值．
解：∵，∴，∴．
∴，∴．
这种解题方法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面的题目：
已知，求的值．
17．（2023·江苏涟水·中考模拟）阅读下列材料：
分式和分数有着很多的相似点，例如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则．我们知道，分子比分母小的叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．
类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：，这样的分式就是假分式，例如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式），例如．
解决下列问题：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式_____形式；
（3）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
（4）若分式的值为，则的取值范围是______（直接写出答案）．
18．（2023贵州西·中考模拟）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝　，＝　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
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