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2.2.2　直线的方程
(教师独具内容)
课程标准：1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式.2.能将直线方程的几种形式进行相互转换，并理解各种形式的适用范围．
学法指导：通过确定直线位置的几何要素，探索直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，进而总结发现直线方程的一般式．
教学重点：直线方程的几种形式．
教学难点：各种形式的相互转化及适用范围.
生活中常常会遇到这样的场景，起重机在起吊重物时，首先将起重臂扬起某一角度，然后将起重臂伸长，最后将吊钩放下，将重物吊起．起重臂是绕着轴旋转的，旋转到某一角度可以停下．在平面中，如果将起重臂看成直线，轴看成点，那么是否可以认为，由直线上的一定点和直线的倾斜角可以确定这条直线？
知识点一　　　直线的方程
一般地，如果直线l上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解，而且以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在直线l上，则称F(x，y)＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F(x，y)＝0的直线．
知识点二　　　直线的点斜式方程
(1)经过点P(x0，y0)且斜率为k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，称为直线的点斜式方程．
(2)经过点P(x0，y0)且斜率为0的直线方程为y＝y0，经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线方程为x＝x0.
知识点三　　　直线的斜截式方程
(1)一般地，当直线l既不是x轴也不是y轴时：若l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a；若l与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b.一条直线在y轴上的截距简称为截距．
(2)斜率为k，截距为b的直线方程为y＝kx＋b，称为直线的斜截式方程．
(3)直线y＝kx＋b中k的几何意义是直线的斜率，b的几何意义是直线的截距(即直线在y轴上的截距).
知识点四　　　直线的两点式方程
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x2－x1≠0且y2－y1≠0)的直线方程为＝，这种形式的直线方程称为直线的两点式方程.
知识点五　　　直线的截距式方程
直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为＋＝1，这种形式的方程称为直线的截距式方程.
知识点六　　　直线的一般式方程
(1)所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
(2)把方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)称为直线的一般式方程．
(3)在方程Ax＋By＋C＝0中，如果B≠0，则方程可以化为y＝－x－，它表示的是斜率为－且截距为－的直线；如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为x＝－，它表示的是斜率不存在且过点的直线．
(4)v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量．
1．关于点斜式方程的几点说明
(1)直线的点斜式方程的前提条件：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)且不垂直于x轴的无数条直线．
2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．
3．要注意方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线．
4．直线的截距式方程
我们把直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.
方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以称为直线的截距式方程．
(1)截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线．
(2)直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如－＝－1就不是直线的截距式方程．
(3)由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便．
(4)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负．
5．二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响
(1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行．
(2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直．
(3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合．
(4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合．
(5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　)
(2)直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．(　　)
(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．(　　)
(4)过原点的直线没有截距式方程．(　　)
(5)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是＝.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．做一做
(1)已知A(2,5)，B(3，－1)，则线段AB的方程是(　　)
A．6x＋y－17＝0 B．6x＋y－17＝0(x≥3)
C．6x＋y－17＝0(x≤3) D．6x＋y－17＝0(2≤x≤3)
(2)过点P(－1,2)，斜率为的直线的点斜式方程为________.
(3)已知直线l：y＝2－x，则直线l的斜率是________，在y轴上的截距为________.
(4)斜率为2，过点A(0,3)的直线的斜截式方程为______________，一般式方程为____________.
答案　(1)D　(2)y－2＝(x＋1)　(3)－　2
(4)y＝2x＋3　2x－y＋3＝0
题型一　直线的点斜式方程
例1　求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(－5,2)且平行于y轴；
(2)过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1的斜率相等．
[解]　(1)∵直线平行于y轴，∴直线斜率不存在，
∴直线方程为x＝－5.
(2)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，
∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
直线的点斜式方程的适用范围
已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，点斜式应在直线斜率存在的条件下使用，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.
[跟踪训练1]　求满足下列条件的直线方程．
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行．
解　(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，
∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，
即y＝－3x－9.
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4.
题型二　直线的斜截式方程
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)斜率为－，在y轴上的截距是－2；
(3)斜率为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
[解]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)由斜截式可得所求直线方程为y＝－x－2.
(3)由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，则直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图像就一目了然．因此，在解决直线的图像问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
[跟踪训练2]　(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程；
(3)已知直线方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标．
解　(1)易知k＝－1，b＝－2，由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2.
(2)由于直线斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线方程的点斜式得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化为斜截式为y＝－x＋4.
(3)直线方程2x＋y－1＝0，可化为y＝－2x＋1，由直线方程的斜截式知，直线的斜率k＝－2，截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1).
题型三　直线的两点式方程
例3　已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．
[解]　过点A(－5,0)，C(0,2)的直线的两点式方程为＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程．
AC边上的中线是顶点B与AC边中点的连线．设线段AC的中点为D(x，y)，则即D.
由两点式得直线BD的方程为＝，整理可得8x＋11y＋9＝0，此即为AC边上的中线所在直线的方程．
直线的两点式方程的适用范围及注意事项
(1)已知不垂直于两坐标轴的直线上的两点，便可以利用直线的两点式求其方程，也可以先求斜率，再用点斜式求其方程．
(2)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误．
[跟踪训练3]　已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解　∵A(2，－1)，B(2,2)，A，B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4,1)，∴由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0.
∵B(2,2)，C(4,1)，
∴由直线方程的两点式可得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
题型四　直线的截距式方程
例4　直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程．
[解]　设直线l的方程为＋＝1，
由已知，得a＋b＝12.①
又直线l过点(－3,4)，∴＋＝1.②
由①②解得或
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0.
用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．
[跟踪训练4]　已知直线过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．
解　设直线与两坐标轴的交点为(a,0)，(0，b)．
(1)当ab≠0时，直线方程为＋＝1.
由点P在此直线上，有＋＝1，①
又由已知得|a|＝|b|，②
联立方程①②可得a＝b＝5或a＝－1，b＝1.
所以直线方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0.
(2)当a＝b＝0时，直线过原点和P(2,3)，易知直线方程为3x－2y＝0.
综上所述，所求直线的方程为x＋y－5＝0或x－y＋1＝0或3x－2y＝0.
题型五　直线的一般式方程与其他形式的互化
例5　设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.
[解]　(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为 y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.
(2)直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
1．一般式化为斜截式的步骤
(1)移项得By＝－Ax－C；
(2)当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
2．一般式化为截距式的步骤
方法一：
(1)把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
(2)当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
(3)化为截距式：＋＝1(AB≠0)．
方法二：
(1)令x＝0求直线在y轴上的截距b；
(2)令y＝0求直线在x轴上的截距a；
(3)代入截距式方程＋＝1.
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．
[跟踪训练5]　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．∴a＝2，直线l的方程为3x＋y＝0.
若a≠2，由截距存在且均不为零有＝a－2，
即a＋1＝1，∴a＝0.此时直线l的方程为x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2.
∴或
解得a≤－1.
∴a的取值范围是(－∞，－1].
题型六　直线的一般式方程
例6　直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线l的一般式方程．
[解]　设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，
则由已知可得　①
当a≥b时，①可化为
解得或(舍去)，
当a解得或(舍去)．
所以直线l的截距式方程为＋y＝1或x＋＝1，
化为一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0.
[条件探究]　若直线l与两坐标轴相交的截距之积为4，截距之差为3，求直线l的一般式方程．
解　设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则
由已知可得
解方程组可得或或或
故直线l的一般式方程为x＋4y－4＝0或4x＋y＋4＝0或4x＋y－4＝0或x＋4y＋4＝0.
1．求直线的一般式方程的策略
当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
2．不同条件下各种直线方程的选用
在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为：
(1)已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式；
(2)已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式；
(3)已知直线上两点坐标时，选用两点式；
(4)已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用截距式．
[跟踪训练6]　已知点A(8，－6)，B(2,2)．
(1)求线段AB的垂直平分线的方程；
(2)求过点P(2，－3)且方向向量为的直线方程．
解　(1)由＝5，＝－2，得AB的中点坐标为(5，－2)，又＝(－6,8)，所以直线AB的一个法向量v＝(8,6)，即与AB垂直的直线的斜率为＝，则线段AB的垂直平分线的方程为y＋2＝(x－5)，即3x－4y－23＝0.
(2)解法一：由＝(－6,8)，得所求直线斜率为＝－，又所求直线过点P(2，－3)，所以所求直线方程为y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0.
解法二：设M(x，y)是所求直线上任一点，则＝(x－2，y＋3)，又∥，所以8(x－2)＝－6(y＋3)，即4x＋3y＋1＝0.
1．直线3x＋2y＋6＝0的斜率为k，截距为b，则有(　　)
A．k＝－，b＝3 B．k＝－，b＝－2
C．k＝－，b＝－3 D．k＝，b＝2
答案　C
解析　将3x＋2y＋6＝0转化为y＝－x－3.
2．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，截距为b(b≠0)，那么(　　)
A．k·b<0 B．k·b≤0
C．k·b>0 D．k·b≥0
答案　B
解析　当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0.∴k·b<0.当k＝0，b>0时，l也不经过第三象限，综上，k·b≤0.
3．(多选)下面说法中错误的是(　　)
A．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程x－x0＝m(y－y0)表示
C．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
答案　ABCD
解析　当直线的斜率不存在时，经过定点P(x0，y0)的直线方程为x＝x0，不能写成y－y0＝k(x－x0)的形式，故A错误；当直线的斜率等于零时，经过定点P(x0，y0)的直线方程为y＝y0，不能写成x－x0＝m(y－y0)的形式，故B错误；当直线的斜率不存在时，经过定点A(0，b)的直线方程为x＝0，不能用方程y＝kx＋b表示，故C错误；当直线不经过原点，且与坐标轴垂直时，不能用方程＋＝1表示，故D错误．故选ABCD.
4．直线5x－2y－10＝0在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________.
答案　2　－5
解析　直线方程5x－2y－10＝0可化为＋＝1，则直线在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为－5.
5．分别求出经过点P(3,4)且满足下列条件的直线方程，并画出图形：
(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．
解　(1)直线经过点P(3,4)，斜率k＝2，故点斜式方程为y－4＝2(x－3)，可化为2x－y－2＝0.如图①所示．
(2)由于直线经过点P(3,4)且与x轴平行，所以直线方程为y＝4.如图②所示．
(3)由于直线经过点P(3,4)且与x轴垂直，所以直线方程为x＝3.如图③所示．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．过点且斜率为的直线的一般式方程为(　　)
A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0
答案　C
解析　依题意，直线点斜式方程为y－＝(x＋1)，转化为一般式方程为3x－2y＋6＝0.故选C．
2．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A．过点(－2,0)的一切直线
B．过点(2,0)的一切直线
C．过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线
D．过点(2,0)且除去x轴的一切直线
答案　C
解析　方程y＝k(x－2)表示的直线要求斜率一定存在．故选C．
3．已知直线l经过点O(0,0)，而且v＝(3，－4)是直线l的一个法向量，则直线l的方程为(　　)
A．4x＋3y＝0 B．4x－3y＝0
C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0
答案　C
解析　因为v＝(3，－4)是直线l的一个法向量，所以可设l的方程为3x－4y＋C＝0，代入点O(0,0)，得C＝0.
4．在x轴和y轴上的截距分别是－2和3的直线方程是(　　)
A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0
答案　C
解析　由直线的截距式方程得＋＝1，即3x－2y＋6＝0.故选C．
5．(多选)关于直线的方程，下列说法中正确的是(　　)
A．方程k＝与方程y－2＝k(x－1)可表示同一条直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0 ，则其方程为y＝y1
D．所有直线都有点斜式和斜截式方程
答案　BC
解析　k＝中，x≠1，y－2＝k(x－1)中，x∈R，定义域不同，不能表示同一条直线，故A不正确；B，C正确；斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，故D不正确．
二、填空题
6．经过点P(－3，－2)且在两坐标轴的截距互为相反数的直线方程为________.
答案　y＝x或x－y＋1＝0
解析　①当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，有－2＝k×(－3)，k＝，∴直线方程为y＝x.②当截距不为0时(不过原点)，设直线方程为x－y＝a，将(－3，－2)点代入，得a＝－3＋2＝－1，直线方程为x－y＝－1，即x－y＋1＝0，综上，所求直线方程为y＝x或x－y＋1＝0.
7．斜率为2的直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为________.
答案　y＝2x＋2或y＝2x－2
解析　设直线方程为y＝2x＋b，当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x＝－，则S＝|b·|＝1，b＝±2，故所求直线方程为y＝2x＋2或y＝2x－2.
8．已知△ABC的三个顶点A(1，－1)，B(2,2)，C(4,1)，则BC边上的中线所在的直线方程为________.
答案　5x－4y－9＝0
解析　线段BC的中点坐标为D，即D，所以直线AD的方程为＝，即BC边上的中线所在的直线方程为5x－4y－9＝0.
三、解答题
9．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率是 ，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴、y轴上的截距分别是－3，－1.
解　(1)由点斜式方程，可知所求直线的方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0.
(2)由斜截式方程，可知所求直线的方程为y＝4x－2，
化为一般式方程为4x－y－2＝0.
(3)由两点式方程，可知所求直线的方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0.
(4)由截距式方程，可知所求直线的方程为＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.
10．一光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在直线方程．
解　∵A(3,2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即2x＋y－4＝0.同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，直线AB′的方程为＝，即2x－y－4＝0.故入射光线、反射光线所在直线方程分别为2x－y－4＝0和2x＋y－4＝0.
B级：“四能”提升训练
1．直线l过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
解　(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意知，a＋b＋＝12，①
又因为直线l过点P，
所以＋＝1，②
①②联立消去b，得5a2－32a＋48＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b，
得a2－6a＋8＝0，解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
2．已知A(－2,2)，B(－3，－1)，试在直线l：2x－y－1＝0上求一点P，使|PA|2＋|PB|2最小．
解　设P(x，y)为直线l上任意一点，
则y＝2x－1.
∴|PA|2＋|PB|2＝[(x＋2)2＋(y－2)2]＋[(x＋3)2＋(y＋1)2]
＝(x＋2)2＋(2x－3)2＋(x＋3)2＋(2x)2
＝10x2－2x＋22＝102＋，
∴当x＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，
此时y＝－.
故所求的点的坐标为.
12．2　直线及其方程
2.2.1　直线的倾斜角与斜率
(教师独具内容)
课程标准：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.理解直线的倾斜角与斜率的变化关系.3.理解直线的方向向量和法向量的概念，掌握通过直线的方向向量和法向量确定直线的斜率与倾斜角．
学法指导：体验用代数方法刻画直线斜率，结合具体图形，探索直线的方向向量和法向量．
教学重点：直线倾斜角概念，直线的斜率公式，直线的方向向量与法向量的应用．
教学难点：直线的倾斜角与斜率的变化关系，直线的斜率公式.
我们知道，在交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路相对于水平方向的倾斜程度，那么在平面直角坐标系中，如何刻画一条直线的倾斜程度呢？直线的方向又该怎样描述呢？这节课我们就来研究这些问题．
知识点一　　　直线的倾斜角
(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；如果这条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为0°.
(2)范围：[0°，180°)．
知识点二　　　直线的斜率
(1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.
(2)公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝，当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.
知识点三　　　直线的方向向量
(1)定义：给定平面直角坐标系中的一条直线l，在l上任意取A，B两个不同的点，显然，向量也能描述直线l相对于x轴的倾斜程度，如图所示，此时，我们称是直线l的一个方向向量．
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(2)性质：①如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线.
②如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量．
③若θ为直线l的倾斜角，则(cosθ，sinθ)一定是直线l的一个方向向量．
④如果已知a＝(u，v)为直线l的一个方向向量，则当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；当u≠0时，直线l的斜率是存在的，k＝，即tanθ＝.
知识点四　　　直线的法向量
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
1．对直线倾斜角的理解
(1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线l向上的方向与x轴正方向所成的角．
(2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度．
(3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．
(4)当直线的倾斜角α≠90°时，其正切值等于直线的斜率k，即k＝tanα.
2．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：
斜率k k＝tanα>0 k＝0 k＝tanα<0 不存在
倾斜角α 锐角 0° 钝角 90°
在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：
(1)当α取值在内，由0增大到时，k由0增大并趋向于正无穷大；
(2)当α取值在内，由增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.
解决此类问题，常采用数形结合思想．
3．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论．斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．
4．三点共线问题
(1)已知三点A，B，C，若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；
(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋|BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线；
(3)利用向量和向量共线也能断定A，B，C三点共线．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意一条直线都有倾斜角．(　　)
(2)任意一条直线都有斜率．(　　)
(3)直线倾斜角取值范围为[0°，180°]．(　　)
(4)若θ为直线l的倾斜角，则向量(sinθ，－cosθ)是直线l的一个法向量．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．做一做
(1)过下列两点的直线不存在斜率的是(　　)
A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0)
C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5)
(2)如图1所示，直线l的倾斜角为________.
(3)过点(a，b)与y轴垂直的直线的斜率为________.
(4)如图2所示，直线l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为________.
(5)过点(0,1)和(－3,0)的直线的斜率为________.
答案　(1)D　(2)135°　(3)0　(4)k1题型一　直线的倾斜角
例1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当α∈[0°，135°)时，倾斜角为α＋45°；当α∈[135°，180°)时，倾斜角为α－135°
[解析]　通过画图(如图所示)可知，当α∈[0°，135°)时，倾斜角为α＋45°；当α∈[135°，180°)时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
[答案]　D
求直线倾斜角的注意点
(1)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析．
(2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
[跟踪训练1]　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________.
答案　60°或120°
解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
题型二　直线的斜率
例2　如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，试计算直线l1，l2，l3的斜率．
[解]　由已知条件可得，直线l1，l2，l3的斜率都存在，设l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝(x1≠x2)．
(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．
[跟踪训练2]　已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(－1，－1)，C(2＋，－2－)，求三角形的三边所在直线的斜率．
解　边AB所在直线的斜率kAB＝＝1；
边AC所在直线的斜率kAC＝＝＝－；
边BC所在直线的斜率kBC＝＝＝－.
题型三　直线的方向向量和法向量的应用
例3　(1)已知直线l通过点A(2,3)，B(－1,0)，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率与倾斜角；
(2)已知v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量，求直线l的一个方向向量，并确定直线l的斜率k与倾斜角θ的取值范围．
[解]　(1)由已知，可得＝(－1,0)－(2,3)＝(－3，－3)是直线l的一个方向向量．因此直线l的斜率k＝＝1，直线l的倾斜角θ满足tanθ＝1，从而可知θ＝45°.
(2)∵v＝(sinα，1)是直线l的一个法向量，
∴u＝(1，－sinα)是直线l的一个方向向量，
∴k＝－sinα，
又－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，∴－1≤tanθ≤1，
又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤或≤θ＜π，
即斜率k的取值范围为[－1,1]，
倾斜角θ的取值范围为∪.
(1)直线的法向量与方向向量互相垂直．
(2)若a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则k＝(u≠0)．
(3)直线斜率与倾斜角的关系可利用正切函数y＝tanx的图像分析．
[跟踪训练3]　已知直线l通过点A(－1,2)与B(m,3)．
(1)若a＝(－2,2)是直线l的一个方向向量，求m的值；
(2)当m∈时，求直线AB的倾斜角θ的取值范围．
解　(1)∵A(－1,2)，B(m,3)，∴＝(m＋1,1)，
又∥a，∴(m＋1)×2＝1×(－2)，即m＋1＝－1，解得m＝－2.
(2)∵直线l的斜率为＝，
又－≤m＋1<0，∴≤－，即tanθ≤－，
又0≤θ＜π，∴<θ≤，即倾斜角θ的取值范围为.
题型四　三点共线问题
例4　已知三点A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一直线上，求a的值．
[解]　解法一：∵5≠－4，
∴三点所在直线的斜率存在，
∴kAB＝＝，kBC＝＝.
∵点A，B，C在同一直线上，∴kAB＝kBC．
∴＝，解得a＝2或a＝.
解法二：∵＝(5－a，－1)，＝(－4－a,2a－2)，
点A，B，C在同一直线上，
∴(5－a)×(2a－2)＝－1×(－4－a)，
即2a2－11a＋14＝0，解得a＝2或a＝.
斜率公式解决三点共线问题
(1)利用斜率证明三点A，B，C共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线．
(2)由于同一条直线上任意两点确定的直线的斜率都相等，因此A，B，C三点共线 A，B，C中任意两点确定的直线的斜率相等(如kAB＝kAC)．
斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，同一条直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的直线的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
(3)利用向量和向量是否共线也能判断A，B，C三点是否共线．
[跟踪训练4]　已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．
解　由题意可知，
kAB＝，kAC＝，kAD＝，
所以k＝2＝＝，
解得a＝4，b＝－3.
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
1．过点A(1，－3)和B(2,4)的直线的斜率为(　　)
A．1 B．－7
C．7 D．
答案　C
解析　k＝＝7.
2．已知A(a,2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为(　　)
A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2
C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1
答案　D
解析　由直线AB的倾斜角是90°，可知直线AB垂直于x轴，所以A，B两点的横坐标相等，纵坐标不相等，于是a＝3，b∈R且b≠1.故选D.
3．斜率为2的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________.
答案　1
解析　由题意，得2＝＝，∴a＝4，b＝－3，
∴a＋b＝1.
4．若直线l的一个方向向量a＝，则直线l的倾斜角θ＝________.
答案　
解析　由tanθ＝k＝＝tan，且0≤θ＜π，得θ＝.
5. 如图，已知三点A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解　直线AB的斜率kAB＝＝；
直线BC的斜率kBC＝＝＝－；
直线CA的斜率kCA＝＝＝1.
由kAB>0及kCA>0知，直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知直线l经过点A(1,2)与B(0,2)，则下列向量可作为直线l的法向量的是(　　)
A．(－1,0) B．(0，－1)
C．(1,0) D．(2,1)
答案　B
解析　由＝(－1,0)，结合法向量定义可知B正确．
2．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　　)
A．(5,8) B．(8，＋∞)
C． D．
答案　D
解析　由k＝>1，解得53．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则(　　)
A．k1C．k3答案　D
解析　k2>k3>0>k1.
4．若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．aC．c答案　B
解析　＝表示函数y＝ln x图像上的点(x，y)与点D(1,0)连线的斜率，如图所示．令a＝kDA，b＝kDB，c＝kDC，由图知kDC5．(多选)下列各组点中，在同一直线上的是(　　)
A．(－2,3)，(－7,5)，(3，－5)
B．(3,0)，(6,4)，(－3，－8)
C．(4,5)，(3,4)，(－2，－1)
D．(1,3)，(2,5)，(－2,3)
答案　BC
解析　利用斜率公式求解．
二、填空题
6．已知点A(3,4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点坐标为________.
答案　(1,0)或(0，－2)
解析　设B(x,0)或B(0，y)，则kAB＝或kAB＝，由kAB＝2，解得x＝1或y＝－2.
7．已知直线l的斜率k＝－2，A(5，－3)，B(4，x)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，则x＝________，y＝________.
答案　－1　9
解析　由k＝－2＝kAB＝kAC，得＝－2，＝－2，∴x＝－1，y＝9.
8．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________.
答案　
解析　∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝.∴a＋b＝ab，∴＋＝.
三、解答题
9．四边形ABCD的四个顶点是A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，D(－2,2)，分别求四条边所在直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解　kAB＝＝4，kBC＝＝，kCD＝＝－4，kDA＝＝.
∵kAB>0，kBC>0，kCD<0，kDA>0，
∴直线AB，BC，DA的倾斜角为锐角，直线CD的倾斜角为钝角．
10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解　(1)如图，由题意可知，直线PA的斜率，kPA＝＝－1，直线PB的斜率kPB＝＝1，∵l与线段AB相交，∴k≥kPB或k≤kPA，则k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由(1)知tanα≤－1或tanα≥1，又0°≤α<180°，∴90°<α≤135°或45°≤α<90°，又α＝90°时，直线l垂直于x轴，与线段AB有公共点，也满足要求，∴45°≤α≤135°.
B级：“四能”提升训练
1．求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
解　当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为α＝90°.
当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝.
①当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°.
②当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°.
2．已知直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，直线l2的斜率为，求l1，l3，l4的斜率．
解　设直线l1，l2，l3，l4的倾斜角分别为α，2α，3α，4α.
由0≤4α<π，得0≤α<.
由已知，得tan2α＝＝，
解得tanα＝(tanα＝－3舍去)，则
tan3α＝tan(α＋2α)＝＝，
tan4α＝＝，
即直线l1，l3，l4的斜率分别为，，.
1第二章　平面解析几何
2．1　坐标法
(教师独具内容)
课程标准：1.掌握数轴上向量的坐标公式，会用向量法推导出数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式.2.了解并掌握平面直角坐标系内的两点之间的距离公式、中点坐标公式及其推导过程.3.能用坐标法解决几何问题．
学法指导：经历运用向量法推导平面直角坐标系中的基本公式的过程，体会利用坐标法研究几何问题的思想，并学会运用坐标法来解决几何问题．
教学重点：两点之间的距离公式、中点坐标公式；坐标法．
教学难点：用坐标法解决相关问题.
我们知道，在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应关系，那么在平面直角坐标系中，如果已知两点的坐标，你能计算出这两点的距离吗？如果已知一条线段两端点的坐标，你能求出这条线段中点的坐标吗？
知识点一　　　数轴上的基本公式
如果数轴上点A(x1)，B(x2)，线段AB的中点为M(x)，则|AB|＝||＝|x2－x1|；x＝.
知识点二　　　平面直角坐标系中的基本公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段AB的中点．
(1)|AB|＝||＝ ；
(2)x＝，y＝.
知识点三　　　坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法．
1．对两点间距离公式的几点说明
(1)公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|＝.
(2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广．
(3)若B点为原点，则|AB|＝|OA|＝.
(4)若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－x1|.
(5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－y1|.
注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易．
(6)在数轴上，点A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为d(A，B)＝|x1－x2|.若A，B，C是数轴上任意三点，则d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)．
2．中点公式的两个应用
(1)知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量．
(2)从图像上看，只要知道图像上任意的两点，可求第三个点．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A，B两点的距离与A，B的顺序无关．(　　)
(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序．(　　)
(3)数轴上点P(x)到O(0)的距离为x.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)×
2．做一做
(1)已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)，B(a,0)和C，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
(2)设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得|PA|＝5，则x等于________.
(3)点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为________.
答案　(1)C　(2)0或6　(3)(4,9)
题型一　数轴上基本公式的运用
例1　已知数轴上三点A(－1)，B(5)，C(x)．
(1)当|AB|＋|BC|＝8时，求x；
(2)若B是AC的中点，求x.
[解]　(1)由A(－1)，B(5)，C(x)，可知|AB|＝|5－(－1)|＝6，|BC|＝|x－5|.当|AB|＋|BC|＝8时，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.
(2)由B是AC的中点，得5＝，解得x＝11.
熟记公式并正确地理解数学符号的含义．
[跟踪训练1]　已知数轴上的三点A，B，P的坐标分别为A(－1)，B(3)，P(x)．
(1)当P与B的距离是P与A的距离的3倍时，求P(x)；
(2)点P到A，B两点的距离都是2时，求P(x)，此时点P与线段AB是什么关系？
(3)在线段AB上是否存在一点P(x)，使得P到A和B的距离都是3？若存在，求P(x)；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意得，|x－3|＝3|x＋1|，
即3(x＋1)＝x－3或3(x＋1)＝3－x，
解得x＝－3或x＝0，所以P(－3)或P(0)．
(2)由题意知可以化为或
或或
解得x＝1.
所以点P的坐标为P(1)，此时P为AB的中点．
(3)不存在这样的P(x)，因为|AB|＝|3＋1|＝4<6，因而在线段AB上找一点P使|PA|＋|PB|＝3＋3＝6是不可能的.
题型二　平面直角坐标系内两点之间距离公式的应用
例2　已知平面直角坐标系中的点A(3,6)，x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标．
[解]　设点P的坐标为(x,0)，
由|AP|＝10，得 ＝10，
解得x＝11或x＝－5，所以点P的坐标为(－5,0)或(11,0)．
求平面直角坐标系中两点距离的步骤
(1)给两点的坐标赋值：x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？；
(2)代入公式求解．
[跟踪训练2]　已知三点A(2,1)，B(6,3)，C(1,3)，求证：△ABC为直角三角形．
证明　由两点间的距离公式，得|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形.
题型三　中点坐标公式的应用
例3　已知△ABC的顶点坐标是A(2,1)，B(－2，3)，C(0,1)，求△ABC的三条中线的长．
[解]　设AB，BC，CA的中点坐标分别为D(x1，y1)，E(x2，y2)，F(x3，y3)，
则x1＝＝0，y1＝＝2，即D(0,2)．
x2＝＝－1，y2＝＝2，即E(－1,2)．
x3＝＝1，y3＝＝1，即F(1,1)．
故|CD|＝＝1，
|AE|＝＝，
|BF|＝＝.
中点坐标公式的应用
(1)线段的中点问题是常见问题，中点法也是数形结合中常考查的方法，这一方法常借助于图像的线段中点特征加以研究，确定解题策略．
(2)若点P的坐标为(x，y)，则点P关于点M(x0，y0)对称的点的坐标为(2x0－x,2y0－y)．利用中点公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心坐标为.
[跟踪训练3]　已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(2,4)，B(3,5)，C(4,8)，求顶点D的坐标．
解　平行四边形的两条对角线相交且互相平分，即AC与BD的中点重合．设D的坐标为(x，y)，由中点坐标公式，得解得即D点坐标为(3,7).
题型四　坐标法的应用
例4　如图所示，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
[证明]　如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，
则A(－a,0)，E，C(c,0)，D，
于是|AE|＝
＝＝，
|CD|＝＝
＝.
所以|AE|＝|CD|.
对于平面几何的有关证明问题，如线段成比例、中点等等，可把几何图形放到坐标系中，利用距离公式证明比较简捷．
[跟踪训练4]　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系．求证：|AM|＝|BC|.
证明　如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点间距离公式得|BC|＝，|AM|＝＝，所以|AM|＝|BC|.
题型五　构造几何模型解决代数问题
例5　求函数y＝ －的值域．
[解]　显然函数的定义域为R，
y＝－
设P(x,0)，A，B为平面上三点，
则|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
y＝|PB|－|PA|.
∵||PB|－|PA||<|AB|，且|AB|＝1，
∴|y|<1，即－1对于涉及无理式，其中含二次三项式的，我们可以联想到两点间的距离公式，即构造两点间的距离公式，再结合平面几何知识求解(证)．
[跟踪训练5]　求函数y＝＋的最小值．
解　∵函数的解析式可化为y＝＋
令A(0,1)，B(2,2)，P(x,0)，则问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|取最小值．
∵A关于x轴的对称点为A′(0，－1)，
∴|PA|＝|PA′|，
∵|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A′B|＝＝＝.
即函数y＝＋的最小值为.
1．已知点B(－2，－2)，C(4,3)，则线段BC的中点坐标为(　　)
A． B．
C． D．
答案　C
解析　依据中点坐标公式，易得线段BC的中点坐标为M，即M.
2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P(2，－1)，则|AB|＝(　　)
A．5 B．2
C．4 D．2
答案　B
解析　根据点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点为P(2，－1)，可得A(4,0)，B(0，－2)，因此|AB|＝＝2.
3．数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它到点B(－4)的距离的2倍，则P点的坐标x＝________.
答案　0或－
解析　|x－(－8)|＝2|x－(－4)|，
解得x＝0或x＝－.
4．函数y＝|－|的最小值为________，最大值为________.
答案　0　
解析　函数可化为
y＝|－|，表示点M(x,0)到定点A(1,2)与B(2,1)的距离之差的绝对值．当|MA|＝|MB|时，y取最小值0；当A，B，M三点共线且点M不在线段AB上时，||MA|－|MB||＝|AB|，
此时ymax＝|AB|＝＝.
5．已知AD是△ABC底边的中线，用坐标法证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
证明　以BC所在直线为x轴，中点D为原点建立平面直角坐标系，如图：
令B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，A(x，y)．
∵|AB|2＝(x＋a)2＋y2，
|AC|2＝(x－a)2＋y2，
又∵|AD|2＝x2＋y2，|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(x2＋y2＋a2)
＝2(|AD|2＋|DC|2)．
命题得证．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|等于(　　)
A．2 B．4
C． D．
答案　A
解析　设D(x，y)，由题意知∴
∴D(1,7)．∴|CD|＝＝2.故选A．
2．已知两点A(x，－)和B(y，)，则|AB|等于(　　)
A．x＋y B．|x－y|
C．－x－y D．|x＋y|
答案　D
解析　|AB|＝
＝＝＝|x＋y|.
3．已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为(　　)
A．3 B．
C．2 D．
答案　D
解析　∵|AB|＝
＝≥(当且仅当x＝时等号成立)，∴|AB|min＝.
4．已知菱形的三个顶点分别为(a，b)，(－b，a)，(0,0)，则它的第四个顶点是(　　)
A．(2a，b) B．(a－b，a＋b)
C．(a＋b，b－a) D．(a－b，b－a)
答案　B
解析　令A(a，b)，B(－b，a)，C(0,0)，因为三条线段AB，AC，BC中必有一条为对角线，另两条为相邻两边，由菱形的性质(相邻两边长度相等)及|AC|＝|BC|＝，得AB为对角线．设D(x0，y0)，由中点坐标公式，得解得
5．(多选)已知A(1,2)，B(－3，b)两点间的距离为4，则b的值可以是(　　)
A．3 B．－2
C．5 D．6
答案　BD
解析　|AB|＝＝4，解得b＝6或－2.
二、填空题
6．已知两点P(1，－4)，A(3,2)，则点A关于点P的对称点的坐标为________.
答案　(－1，－10)
解析　设对称点为A′(x，y)，则P为线段AA′的中点，即解得
7．若点A(x,5)关于点C(－2，－3)的对称点是点B(1，y)，则点P(x，y)到原点的距离是________.
答案　
解析　由中点坐标公式，得
解得
则P(－5，－11)．设原点为O，
所以|PO|＝＝.
8．已知M(x，－x－a)，A(2,0)．若a＝0，则|MA|的最小值为________；若|MA|＝2|MO|(O为坐标原点)，则实数a的取值范围为________.
答案　　
解析　由a＝0，得M(x，－x)，A(2,0)，
|MA|＝＝＝≥(当且仅当x＝1时等号成立)，故|MA|的最小值为.
由|MA|＝2|MO|，得
(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，
整理，得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0.
由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，
解得≤a≤，
故a的取值范围为.
三、解答题
9．已知四边形ABCD的顶点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求|CE|，|DE|，|AF|，|DF|.
解　设线段AB的中点E的坐标为(x，y)，
则x＝＝－1，y＝＝4，
则|CE|＝＝5，
|DE|＝＝2，
设线段BC的中点F的坐标为(m，n)，
则m＝＝4，n＝＝4，
则|AF|＝＝，
|DF|＝＝.
10．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
B级：“四能”提升训练
1．已知函数f(x)＝＋，求f(x)的最小值．
解　f(x)＝＋
＝＋，它表示点P(x,0)到点A(1,1)的距离与点P(x，0)到点B(2,2)的距离之和，问题转化为在x轴上求一点P(x,0)，使它与点A(1,1)，B(2,2)的距离之和最小．
如图，作点A(1,1)关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为(1，－1)，连接A′B，则A′B与x轴的交点即点P，
∴f(x)的最小值为点A′与点B的距离，
即＝.
2．在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形．
证明　如图，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d，0)(b因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以由距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.
所以|AB|＝|AC|，即△ABC为等腰三角形．
12.2.3　两条直线的位置关系
第1课时　两条直线的相交、平行与重合
(教师独具内容)
课程标准：1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜率判定两条直线平行.3.理解并掌握利用直线(方程一般式)的法向量判断两条直线位置关系的推导过程．
学法指导：通过解方程组探求两直线平行、相交、重合的条件，并用直线的法向量来加以处理，加深对两条直线位置关系的理解．
教学重点：两直线平行、相交、重合的条件．
教学难点：运用两条直线位置关系的判定方法解决问题.
在平面直角坐标系中，怎样判断两条直线平行呢？你能根据直线方程的特征来确定两条直线是否平行吗？
坐标平面内的两条直线若互相平行，它们的直线方程有何关系？你能得出怎样的结论？
知识点　　　　两条直线的相交、平行与重合
(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则两条直线的位置关系，可以用方程组的解的情况进行判断，得出结论：
l1与l2相交 k1≠k2；
l1与l2平行 k1＝k2且b1≠b2；
l1与l2重合 k1＝k2且b1＝b2.
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的位置关系可以用法向量来处理．
因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，不难看出：
①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1；
②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即A1B2＝A2B1，其中l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ(λ≠0)，使得
(3)直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件是C1＝C2.
1．对两直线平行与斜率的关系要注意的几点
(1)l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论：l1∥l2 k1＝k2或l1，l2的斜率都不存在．
2．过两直线交点的直线系方程
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线平行，则这两条直线斜率相等．(　　)
(2)若两条不重合的直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行．(　　)
(3)若两条直线平行，则两条直线的倾斜角一定相等．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)已知过A(－2，m)和B(m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m的值是(　　)
A．－8 B．0
C．2 D．10
(2)直线(m2＋1)x＋3y－3m＝0和直线3x－2y＋m＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交 D．不确定
(3)若过点P(1,4)和Q(a,2a＋2)的直线与直线2x－y－3＝0平行，则a的值为(　　)
A．a＝1 B．a≠1
C．a＝－1 D．a≠－1
(4)过点A(1,2)且平行于直线x－3y＋1＝0的直线方程为________.
答案　(1)A　(2)C　(3)B　(4)x－3y＋5＝0
题型一　两条直线的相交、平行与重合
例1　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：
(1)相交？(2)平行？(3)重合？
[解]　因为直线l1：x＋my＋6＝0，
直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
所以A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m.
(1)若l1与l2相交，
则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0，
即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，
即m≠3，且m≠－1.
故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交．
(2)若l1∥l2，则有
即即
即所以m＝－1.
故当m＝－1时，直线l1与l2平行．
(3)若l1与l2重合，
则有即
所以所以m＝3.
故当m＝3时，直线l1与l2重合．
两直线斜率存在时位置关系的判断方法
若两直线斜率都存在，则把直线方程化成斜截式．根据直线的斜率和在y轴上的截距来判断．
(1)若两直线斜率不相等，则两直线相交．
(2)若两直线斜率相等，在y轴上的截距不等，则两直线平行．
(3)若两直线斜率和在y轴上的截距都相等，则两直线重合．
[跟踪训练1]　若直线l1：x＋(1＋a)y＋a－2＝0与直线l2：ax＋2y＋8＝0平行，则实数a＝________.
答案　1
解析　当a＝－1时，l1的斜率不存在，l2的斜率为，显然两直线不平行．当a≠－1时，l1的斜率为－，l2的斜率为－，
∵l1∥l2，∴－＝－，解得a＝1或a＝－2.
当a＝－2时，l1与l2的方程都是x－y－4＝0，此时两直线重合，∴a＝1.
题型二　利用平行关系求直线方程
例2　求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
[解]　解法一：由方程组
得即交点坐标为.
∵所求直线和直线3x＋y－1＝0平行，
∴所求直线的斜率k＝－3，
∴根据点斜式有y－＝－3，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
解法二：由得
即交点坐标为.
设所求直线方程为3x＋y＋C＝0，由于直线过，因此3×－＋C＝0，解得C＝.
∴所求直线方程为3x＋y＋＝0，即15x＋5y＋16＝0.
平行直线的求法
(1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值．
(2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可．
其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．
[跟踪训练2]　若直线l与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为，求直线l的方程．
解　设直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
令x＝0，则在y轴上的截距为b＝－；
令y＝0，则在x轴上的截距为a＝－.
由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，
所以直线l的方程为2x＋3y－1＝0.
题型三　过定点的直线系问题
例3　求证：不论m为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点．
[证明]　证法一：当m＝1时，直线方程为y＝－4；
当m＝时，直线方程为x＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．
又当x＝9，y＝－4时，9(m－1)＋(－4)(2m－1)＝m－5，即点(9，－4)在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，故无论m取何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过定点(9，－4)．
证法二：将已知方程以m为未知数整理，得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0.
由m取值的任意性，得解得
所以所给直线不论m取什么实数，都经过定点(9，－4)．
解含有参数的直线恒过定点的问题
方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
[跟踪训练3]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
解　(1)证法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴l的斜率为a，且过定点A.
而点A在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．
证法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A.以下同证法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
要使l不经过第二象限，需使直线l斜率大于等于3即可，即a≥3.
1．平行于直线4x＋3y－3＝0，且不过第一象限的直线的方程是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
答案　B
解析　平行于直线4x＋3y－3＝0的直线具有形式4x＋3y＋c＝0，故排除A，D.但选项C中直线的截距为正，直线过第一象限，不符合条件，故应选B.
2．设集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0，x，y∈R}，若A∩B＝ ，则a的值为(　　)
A．4 B．－2
C．4或－2 D．－4或2
答案　C
解析　由A∩B＝ ，可得直线4x＋ay－16＝0过点(1,3)或与y－3＝2(x－1)平行，则有4×1＋a×3－16＝0或－＝2.∴a＝4或a＝－2.
3．(多选)平面上三条直线x－2y＋2＝0，x－2＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值为(　　)
A．0 B．－2
C．－1 D．1
答案　ABC
解析　设l1：x－2y＋2＝0，l2：x－2＝0，l3：x＋ky＝0，如图，l1与l2交于点A(2,2)，显然l3恒过坐标原点，当l3∥l2时，符合题意，此时k＝0；当l3∥l1时，符合题意，此时k＝－2；当l3过点A(2,2)时，符合题意，此时k＝－1.当k≠0，－2，－1时，三条直线将平面分成7个部分．综上可知，k可能的取值为0，－2，－1.故选ABC．
4．已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为________.
答案　－3或2
解析　解法一：A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4，A2＝m，B2＝3，C2＝－2，
若A2＝m＝0时，此时直线l1：2x＋y＋4＝0，l2：3y－2＝0，显然l1不平行于l2，故m≠0.
∵l1∥l2，∴＝≠，即＝≠.
由＝，得m2＋m－6＝0，即m＝2或m＝－3，满足上式．
∴m＝2或m＝－3.
解法二：当m＋1＝0时，直线l1的斜率k1不存在，直线l2的斜率k2＝－，显然不满足l1∥l2这一条件．
当m＋1≠0时，直线l1的方程化为y＝－x－，直线l2的方程化为y＝－x＋，
∵l1∥l2，∴－＝－，且－≠，
解得m＝－3或m＝2，且m≠－7.
∴m＝－3或m＝2.
5．求过点P(2，－1)且与直线3x－2y－6＝0平行的直线方程．
解　解法一：由直线3x－2y－6＝0得k1＝，∵已知直线与所求直线平行，∴所求直线的斜率k＝，由点斜式得所求直线的方程为y＋1＝(x－2)，即3x－2y－8＝0.
解法二：设所求直线的方程为3x－2y＋D＝0，由点P(2，－1)在直线上得，3×2－2×(－1)＋D＝0，
∴D＝－8，故所求直线的方程为3x－2y－8＝0.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．直线ax＋y－4＝0与直线x－y－2＝0的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1－1
C．a<2 D．a<－1或a>2
答案　A
解析　由得
所以交点为.
由于交点在第一象限，故解得－12．若直线x＋(1＋m)y＋m－2＝0与直线2mx＋4y＋16＝0平行，则实数m的值是(　　)
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－1或－2
答案　A
解析　由两直线平行可得(1＋m)·2m－4＝0，解得m＝1或m＝－2.当m＝－2时，经验证两直线重合，故舍去．所以只有A正确．
3．已知直线l1：x－2y＋3＝0，l2：2x－4y－5＝0在直角坐标平面上，集合{l|l：x－2y＋3＋λ(2x－4y－5)＝0，λ∈R}表示(　　)
A．过l1和l2交点的直线集合
B．过l1和l2交点的直线集合，但不包括直线l2
C．平行于直线l1的集合
D．平行于直线l2的集合
答案　D
解析　∵l1与l2平行，∴排除A，B.∵当λ＝0时集合表示l1，不与l1平行，∴排除C．故选D.
4．P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)＝0上一点，P2(x2，y2)是直线l外一点，则方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0所表示的直线与l的关系是(　　)
A．重合 B．平行
C．相交 D．位置关系不定
答案　B
解析　∵P1点在直线l上，∴f(x1，y1)＝0，又∵P2点不在直线上，∴f(x2，y2)≠0，∴f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0，即f(x，y)＋f(x2，y2)＝0，∴直线l与方程表示的直线平行．
5．(多选)三条直线x－2y＋1＝0，x＋3y－1＝0和ax＋2y－3＝0共有两个不同的交点，则a的值可能为(　　)
A．－1 B．－2
C． D．
答案　AD
解析　三条直线中有两条平行时，三条直线才可能有两个交点．易知x－2y＋1＝0与x＋3y－1＝0不平行．若x－2y＋1＝0与ax＋2y－3＝0平行，则＝≠，∴a＝－1.若x＋3y－1＝0与ax＋2y－3＝0平行，则＝≠，∴a＝.∴a的值为－1或.
二、填空题
6．直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点________.
答案　(3,1)
解析　将直线方程整理得2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，由得则直线过定点(3,1)．
7．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________.
答案　－6
解析　由题意得l1∥l2，∴kAB＝kMN.∵kAB＝＝－，kMN＝＝3，∴－＝3，∴a＝－6.
8．已知直线l：(m2＋m－2)x＋(m2＋3m＋2)y－5＝0，若l与x轴平行，则m＝________；若l与y轴平行，则m＝________.
答案　1　－1
解析　若l与x轴平行，则m2＋m－2＝0，
且m2＋3m＋2≠0，∴m＝1.
若l与y轴平行，则m2＋m－2≠0，且m2＋3m＋2＝0，∴m＝－1.
三、解答题
9．(1)求过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程；
(2)求过点P(3,2)且与经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线平行的直线方程．
解　(1)解法一：已知直线的斜率为－，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是－，根据点斜式，得到所求直线的方程是y＋4＝－(x－1)，即2x＋3y＋10＝0.
解法二：设与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线l的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，
∵l经过点A(1，－4)，
∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10，
∴所求直线方程为2x＋3y＋10＝0.
(2)经过点A(0,1)，B(－2，－1)的直线的斜率为
k＝＝1.
∵所求直线经过点P(3,2)，
∴所求直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.
10．已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件：
(1)l1与l2相交；(2)l1∥l2；(3)l1与l2重合．
解　(1)由A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4，即m－2≠±2，
∴当m≠4且m≠0时，l1与l2相交．
(2)由A1B2－A2B1＝0，得m＝0或m＝4，
当m＝0时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0,2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2；当m＝4时，两直线方程为2x＋2y＋2＝0,2x＋2y＋3＝0，此时l1∥l2，
故m＝0或m＝4时，l1∥l2.
(3)由(2)知，直线l1与l2不可能重合．
B级：“四能”提升训练
1．对于直线l上任一点(x，y)，点(4x＋2y，x＋3y)也在直线l上，求直线l的方程．
解　设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，①
∵点(4x＋2y，x＋3y)在直线l上，
∴A(4x＋2y)＋B(x＋3y)＋C＝0，②
∵①②为同一条直线，
∴当C≠0时，＝＝，此时无解；
当C＝0时，＝，
∴(2A＋B)(A－B)＝0，
∴x－2y＝0或x＋y＝0.
2．当实数m为何值时，三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形？
解　由解得
将x＝1，y＝－1代入l1：3x＋my－1＝0，得m＝2，
即m＝2时，三条直线相交于一点，此时l1，l2，l3不能构成三角形．
∵l2与l3不平行，∴当l1∥l2时，＝，
∴m＝－2，即m＝－2时，l1，l2，l3不能构成三角形．
当l1∥l3时，＝，∴m＝，
即m＝时，l1，l2，l3不能构成三角形．
综上，当m＝±2或m＝时，l1，l2，l3不能构成三角形．
12.2.4　点到直线的距离
(教师独具内容)
课程标准：1.探索并掌握点到直线的距离公式.2.会求两条平行直线间的距离．
学法指导：经历由两点之间的距离公式和向量数量积公式推导点到直线距离的过程，使学生再次体会坐标法及数学的转化与化归思想，从而加深对公式的理解．
教学重点：点到直线的距离公式，两条平行直线之间的距离．
教学难点：点到直线的距离公式的推导过程.
如图，在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来．怎样设计才能使公路最短？你能算出最短路程吗？这就是今天我们要学习的距离公式．
知识点一　　　点到直线的距离
(1)点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(2)点到特殊直线的距离
点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|，到平行于x轴的直线y＝a的距离d＝|y0－a|，到y轴的距离d＝|x0|，到平行于y轴的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
知识点二　　　两条平行直线之间的距离
(1)两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)两条平行线之间的距离公式
①P(x1，y1)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2之间的距离为d＝.
②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝.
1．应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
2．对两条平行直线之间的距离公式的理解
(1)求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．
(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是.(　　)
(2)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．(　　)
(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√
2．做一做
(1)已知点A(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
A． B．2－
C．－1 D．＋1
(2)点P(1,2)到直线2x＋y－4＝0的距离等于________.
(3)若点(4,3)到直线3x－4y＋C＝0的距离为1，则C＝________.
(4)两平行线4x＋6y＝16与2x＋3y＋18＝0间的距离等于________.
答案　(1)C　(2)0　(3)±5　(4)2
题型一　点到直线的距离
例1　已知P1(2,3)，P2(－4,5)与点A(－1,2)，求过点A且与P1，P2距离相等的直线l的方程．
[解]　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，即x＋1＝0，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0，因为P1，P2到直线l的距离相等，
所以＝，
化简得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－，
故直线l的方程为x＋3y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0.
[解法探究]　本例还有其他解法吗？
解　因为l过点A且与P1，P2距离相等，所以l有两种情况(如图所示)．
①当P1，P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
②当P1，P2在l的异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1，即x＋1＝0.
所以所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＋1＝0.
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
[跟踪训练1]　求点P0(－1,2)到下列直线的距离．
(1)2x＋y－10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y－1＝0.
解　(1)根据点到直线的距离公式得
d＝＝2.
(2)直线方程可化为x＋y－2＝0，
所以d＝＝.
(3)因为直线y－1＝0平行于x轴，
所以d＝|2－1|＝1.
题型二　两条平行直线之间的距离
例2　求与直线2x－y－1＝0平行，且与直线2x－y－1＝0距离为2的直线方程．
[解]　由已知，可设所求的直线方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，
则它与直线2x－y－1＝0的距离d＝＝＝2，
∴|C＋1|＝2，
即C＝2－1或C＝－2－1.
∴所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
[解法探究]　本例还有其他解法吗？
解　解法一：设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，在直线2x－y－1＝0上任取一点A(0，－1)，点A(0，－1)到直线2x－y＋C＝0的距离为＝，
由题意得＝2，
解得C＝2－1或C＝－2－1.
故所求直线的方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
解法二：设P(x，y)为所求直线上任意一点，
则P到2x－y－1＝0的距离为
d＝＝＝2，
∴2x－y－1＝±2.
∴所求直线的方程为
2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.
求两平行直线间距离的两种思路
(1)利用“化归”法将求两条平行线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
[跟踪训练2]　两条平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2之间的距离为5，求两直线方程．
解　依题意，两直线的斜率存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
因为l1与l2之间的距离为5，
所以＝5，解得k＝0或.
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
题型三　距离公式的应用
例3　已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
[解]　(1)联立 交点P(2,1)．
当直线斜率存在时，
设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
∴＝3，解得k＝.
∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.
而直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意，
故所求l方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由解得交点P(2,1)．
过P任意作直线l，设d为A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，
∴dmax＝|PA|＝.
[解法探究]　本例(1)还有其他解法吗？
解　设经过两条已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或.
∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
两种距离公式在解析几何中的应用
(1)点到直线的距离公式及两条平行直线之间的距离公式是解析几何的基本公式，在解析几何中具有重要的作用．
(2)在使用距离公式时要首先把直线方程化为一般式．
[跟踪训练3]　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时两条直线的方程．
解　(1)解法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，
则它们之间的距离为9.
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为
l1：y－2＝k(x－6)，
l2：y＋1＝k(x＋3)，
即l1：kx－y－6k＋2＝0，
l2：kx－y＋3k－1＝0，
∴d＝＝，
即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.
∵k∈R，且d≠9，d>0，
∴Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，
即0综合①②可知，所求d的变化范围为(0,3]．
解法二：如图所示，显然有0而|AB|＝＝3，
故所求的d的变化范围为(0，3]．
(2)由图可知，当d取最大值时，两条直线均垂直于AB.
而kAB＝＝，
∴所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
1．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意的点，则|PQ|的最小值为(　　)
A． B．
C．3 D．6
答案　C
解析　∵＝≠，∴两直线平行，方程可化为3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0.|PQ|的最小值为平行线间的距离d＝＝3.
2．已知点A(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为，则点A的坐标为(　　)
A．(0，－2) B．(2,4)
C．(0，－2)或(2,4) D．(1,1)
答案　C
解析　(1＋t,1＋3t)到直线2x－y－1＝0的距离d＝＝，解得t＝±1，当t＝1时，A(2，4)，当t＝－1时，A(0，－2)．故选C．
3．(多选)若点P到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，则点P的坐标应满足的方程可以是(　　)
A．32x－56y＋65＝0 B．4x－8y＋9＝0
C．7x＋4y＝0 D．x－4y＋4＝0
答案　AC
解析　由点P(x，y)到直线5x－12y＋13＝0和直线3x－4y＋5＝0的距离相等，可得＝.∴32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.故选AC．
4．经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________.
答案　2
解析　由可解得故两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点坐标为(1,3)．又知过该点的直线与原点的距离为1，分类讨论如下：若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题意；若直线的斜率存在，则可设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原点的距离为1，由公式＝1，故有1＋k2＝9－6k＋k2，即9－6k＝1，得k＝.所以所求直线方程为y－3＝(x－1)．综上，满足条件的直线有2条．
5．已知直线l1：2x＋3y－1＝0与l2：4x＋6y－5＝0，直线l∥l1∥l2，且直线l在直线l1与l2的正中间位置，求直线l的方程．
解　∵直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0，
∴可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0，
又直线l在直线l1与l2的正中间位置，
∴＝，
即|C＋2|＝|C＋5|，解得C＝－.
∴直线l的方程为4x＋6y－＝0，
整理得8x＋12y－7＝0.
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．直线l经过点P(－2,1)且点A(－2，－1)到直线l的距离等于1，则直线l的方程是(　　)
A．x－y＋1＋2＝0
B．－x－y＋1－2＝0
C．x－y＋1＋2＝0或－x－y＋1－2＝0
D．x－y＋1＋2＝0或x＋y－1－2＝0
答案　C
解析　设直线l的方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
∵过P点，∴b－2k＝1，①
点A(－2，－1)到直线kx－y＋b＝0的距离为
＝1，②
由①②得或∴直线l的方程为x－y＋1＋2＝0或－x－y＋1－2＝0.
2．已知两直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离等于(　　)
A．4 B．
C． D．
答案　D
解析　因为3x＋2y－3＝0与6x＋my＋1＝0互相平行，所以－＝－，所以m＝4.所以6x＋my＋1＝0为6x＋4y＋1＝0，即3x＋2y＋＝0.所以两平行线间的距离d＝＝＝.
3．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
答案　D
解析　设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知＝.∴C＝－6(舍去)或C＝8.故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.
4．已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图像上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
答案　A
解析　设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式，得＝，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．
5．(多选)S＝，下列结论中正确的是(　　)
A．当θ＝时，S中直线的斜率为
B．S中所有直线均经过同一个定点
C．当m≥n时，S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n
D．当m＝n时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离相等
答案　CD
解析　当θ＝时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为－，故A不正确；根据x＋y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；当m≥n时，S中的两条平行直线之间的距离为d＝≥2n，即最小值为2n，C正确；当m＝n时，方程为xsinθ＋ycosθ＝m，存在定点(0,0)，该定点到S中的所有直线的距离均相等，D正确．故选CD.
二、填空题
6．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________.
答案　－3或
解析　d＝＝，由题意知＝4，即＝1，得k＝－3或k＝.
7．若直线m被两条平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线m的倾斜角是________.
答案　75°或15°
解析　如图，两平行线间的距离为|AH|＝＝，
直线m被平行线截得线段的长为|AB|＝|AC|＝2，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
8．已知M(x，y)是直线x＋y＋1＝0上的任意一点，则式子S＝的最小值为________，此时点M的坐标为________.
答案　　
解析　∵x2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，∴上式可看成是一个动点M(x，y)到一个定点N(1，1)距离的平方，即为点N与直线l：x＋y＋1＝0上任意一点M(x，y)距离的平方．∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，即|MN|min＝d＝＝.由得x＝y＝－，即此时点M的坐标为.
三、解答题
9．在△ABC中，已知点A(3,3)，B(2，－2)，C(－7,1)，求∠A的平分线AD所在的直线方程．
解　设点M(x，y)为∠A的平分线上的任意一点，由两点式易得AC所在的直线方程为x－5y＋12＝0，AB所在的直线方程为5x－y－12＝0.由角平分线的性质可知，直线AD上任意一点到直线AC，AB的距离相等，
即＝，
∴x－5y＋12＝5x－y－12或x－5y＋12＝y－5x＋12，
整理，得y＝－x＋6或y＝x.
结合图形，可知kAC则y＝－x＋6不符合题意，舍去．
故∠A的平分线AD所在的直线方程为y＝x.
10．已知点P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点，求(m－1)2＋(n－2)2的最小值．
解　解法一：因为P(m，n)是直线3x＋4y－12＝0上的一点，
所以3m＋4n－12＝0，即n＝，
所以(m－1)2＋(n－2)2＝(m－1)2＋2＝m2－m＋2.
所以当m＝＝时，
(m－1)2＋(n－2)2有最小值.
解法二：因为点(1,2)到直线3x＋4y－12＝0的距离
d＝＝，
所以(m－1)2＋(n－2)2的最小值为2＝.
B级：“四能”提升训练
1．在△ABC中，点B(4,4)，角A的内角平分线所在直线的方程为y＝0，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋2＝0.
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
解　(1)由题意知直线BC的斜率为－2，又点B(4,4)，
∴直线BC的方程为y－4＝－2(x－4)，
即2x＋y－12＝0.
解方程组
得
∴点A的坐标为(－2,0)．
又∠A的内角平分线所在直线的方程为y＝0，
∴点B(4,4)关于直线y＝0的对称点B′(4，－4)在直线AC上，
∴直线AC的方程为y＝－(x＋2)，
即2x＋3y＋4＝0.
解方程组得
∴点C的坐标为(10，－8)．
(2)由(1)知|BC|＝＝6.
∵直线BC的方程是2x＋y－12＝0，
∴点A到直线BC的距离
d＝＝，
∴△ABC的面积是|BC|·d＝×6×＝48.
2．设a，b∈R，利用点到直线的距离公式证明≥2.
证明　如图，设M(a，b)为平面内任一点，则M到直线y＝－x的距离为，点M到原点的距离为，由图可直观得出≥，即≥2.
1第2课时　两条直线的垂直
(教师独具内容)
课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用．
学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条件．
教学重点：两条直线垂直的条件．
教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
在平面直角坐标系中，如何判断两条直线垂直？能否利用直线的斜率关系来确定两直线垂直的条件？
两直线垂直，则它们的斜率有何关系？依此你能解决哪些问题呢？
知识点　　　　两条直线的垂直
(1)一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，可得l1⊥l2 k1k2＝－1.
(2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，所以l1⊥l2 v1⊥v2 A1A2＋B1B2＝0.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点
(1)l1⊥l2 k1k2＝－1成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2 k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例
(1)A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
(2)B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
(3)C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
(4)D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；
(5)P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；
(6)Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　)
(2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与x轴垂直．(　　)
(3)两条直线的斜率分别为k1，k2，若k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂直．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√
2．做一做
(1)若直线ax＋2y－1＝0与直线2ax－2y＋1＝0垂直，则a值为(　　)
A．0或 B．－
C．±2 D．±
(2)已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝3，l1⊥l2，则k2＝________.
(3)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0,5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________.
答案　(1)D　(2)－　(3)l1⊥l2
题型一　两条直线的垂直
例1　当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解]　解法一：由题意，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直；
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：
5x－4＝0不垂直；
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2存在，
k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1k2＝－1，
即·＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
解法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
∴a＝±1时，l1⊥l2.
(1)判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直．
(2)直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．
[跟踪训练1]　已知直线l1：mx＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋n＝0垂直且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为(　　)
A．－24 B．20
C．0 D．－4
答案　B
解析　由已知，得A1A2＋B1B2＝2m＋(－5)×4＝0，∴m＝10，l1的方程为5x＋2y－1＝0，∴5×1＋2×p－1＝0，∴p＝－2，∴垂足为(1，－2)，∴2×1－5×(－2)＋n＝0，∴n＝－12，∴m－n＋p＝10＋12－2＝20.故选B.
题型二　利用垂直关系求直线方程
例2　求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[解]　解法一：联立l1，l2的方程得交点P(0,2)，设过P点与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋D＝0，代入P点坐标得4×0＋3×2＋D＝0，所以D＝－6.
所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
解法二：由解法一知，l1与l2交点P(0,2)，
∵直线l与l3垂直，
∴kl＝－＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
解法三：设过l1，l2交点的直线方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(λ＋1)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，①
∵l与l3：3x－4y＋5＝0垂直，
∴3(λ＋1)－4(λ－2)＝0，
∴λ＝11，代入①式得4x＋3y－6＝0，
即直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
(1)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．
(2)与直线y＝kx＋m平行的直线方程可设为y＝kx＋b(b≠m)；与它垂直的直线方程可设为y＝－x＋n(k≠0)．
[跟踪训练2]　求过点P(1，－1)与直线2x＋3y＋10＝0垂直的直线l的方程．
解　解法一：由直线2x＋3y＋10＝0得直线的斜率为k＝－，故所求直线的斜率k′＝－＝，由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋1＝(x－1)，即3x－2y－5＝0.
解法二：因为直线l与直线2x＋3y＋10＝0垂直，可设直线l的方程为3x－2y＋D＝0，又因为直线l过点P(1，－1)，所以3×1－2×(－1)＋D＝0，所以D＝－5.
所以直线l的方程为3x－2y－5＝0.
题型三　对称问题
例3　(1)点关于线对称
点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(－2,5)
C．(2，－5) D．(4，－3)
(2)线关于点对称
与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(　　)
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
(3)点关于点对称
过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
(4)线关于线对称
求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程．
[解析]　(1)设对称点Q的坐标为(a，b)，
解得即Q(－2,5)．
(2)由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.
在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，
(3,0)关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，
则点(－1，－2)必在所求直线上，
∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，∴C＝8.
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
(3)设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P(0,1)的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
∴由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
(4)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′的坐标为(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
[答案]　(1)B　(2)D　(3)见解析　(4)见解析
有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
(2)轴对称
①设点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
[跟踪训练3]　已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
解　(1)易知A，B两点在直线l的同侧．
设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则解得
故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解得
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，
||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，
点P即是直线AB与直线l的交点，
又直线AB的方程为y＝x－2，
解得
故所求的点P的坐标为(12,10).
题型四　平行与垂直的综合应用
例4　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
[解]　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得
kAB＝＝，
kCD＝＝，
kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，
由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，
由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形．
[条件探究]　已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
解　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，∵kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
①若CD是直角梯形的直角腰，
则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3，
此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3,3)．
②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝，kCD＝，
∴·3＝－1，·＝－1.
即＝－，－·＝－1.
解得x＝，y＝，
∴点D的坐标为.
综上可知，点D的坐标为(3,3)或.
(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．
(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．
[跟踪训练4]　已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0)，B(3，－2)，C(5,1)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状．
解　如图，∵kAB＝＝－，kAD＝＝，kCD＝＝－，kBC＝＝.
∴kAB＝kCD，kBC＝kAD.∴AB∥CD，BC∥AD.
又kAD·kAB＝×＝－1，
∴AD⊥AB.∴四边形ABCD为矩形．
∵B(3，－2)，D(2,3)，
由勾股定理得|AB|＝＝，
|AD|＝＝，
∴|AB|＝|AD|，∴矩形ABCD为正方形．
因此四边形ABCD为正方形．
1．在平面直角坐标系中，直线l1：x－ay＋1＝0和直线l2：ax＋y＋10＝0的位置关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．垂直 D．无法判断
答案　C
解析　∵1·a＋(－a)·1＝0，∴l1⊥l2.
2．过点P(1,2)与直线2x＋y－5＝0垂直的直线的截距为(　　)
A．3 B．
C．5 D．－
答案　B
解析　设直线为x－2y＋m＝0，将P(1,2)代入得m＝3，即x－2y＋3＝0，令x＝0，得y＝.
3．(多选)下列直线与直线x－2y＋1＝0垂直的是(　　)
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．2x－4y＋5＝0 D．4x＋2y－5＝0
答案　BD
解析　直线x－2y＋1＝0的斜率为，与直线x－2y＋1＝0垂直的直线的斜率为－2.对于A，直线2x－y－3＝0的斜率为2，不符合；对于B，直线2x＋y＋3＝0的斜率为－2，符合；对于C，直线2x－4y＋5＝0的斜率为，不符合；对于D，直线4x＋2y－5＝0的斜率为－2，符合．故选BD.
4．已知直线l：3x－y＋3＝0，则点P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为________.
答案　(－2,7)
解析　令P′(x，y)，
解得
5．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，使直线CD⊥AB且CB∥AD.
解　设点D的坐标为(x，y)，由已知得，直线AB的斜率kAB＝3，直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－2，直线AD的斜率kAD＝，由CD⊥AB且CB∥AD，得×3＝－1，－2＝，所以x＝0，y＝1，所以点D的坐标是(0,1)．
A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．若直线ax＋y－1＝0与直线4x＋(a－3)y－2＝0垂直，则实数a的值等于(　　)
A．－1 B．4
C． D．－
答案　C
解析　由4a＋(a－3)＝0得a＝.故选C．
2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2且l1⊥l2，则(　　)
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．α1＋α2＝180° D．|α1－α2|＝90°
答案　D
解析　①l1⊥l2，当直线l1，l2的倾斜角分别为α1＝90°，α2＝0°或α1＝0°，α2＝90°时，|α1－α2|＝90°.
②当直线l1，l2的斜率都存在时，如图，则α2－α1＝90°或α1－α2＝90°，因此|α1－α2|＝90°.综上可得|α1－α2|＝90°.故选D.
3．过A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线l：2x＋y－1＝0互相垂直，则m等于(　　)
A．－8 B．8
C．0 D．2
答案　D
解析　∵kAB＝，kl＝－2，∴＝，m＝2.
4．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于直线x＋y＝0对称，则a与b的值分别为(　　)
A．－3，－9 B．3，－9
C．－9,3 D．9，－3
答案　C
解析　解法一：在直线ax＋3y－9＝0上取一点(0,3)，它关于x＋y＝0的对称点(－3,0)在直线x－3y＋b＝0上，所以b＝3，同理在直线x－3y＋b＝0上取一点(0,1)，它关于x＋y＝0的对称点(－1,0)在直线ax＋3y－9＝0上，∴a＝－9.故选C．
解法二：把(－y，－x)代入ax＋3y－9＝0，得－ay－3x－9＝0，即3x＋ay＋9＝0，它与x－3y＋b＝0重合，
∴＝＝，∴a＝－9，b＝3.故选C．
5．(多选)已知A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下列四个结论正确的为(　　)
A．AB∥CD B．AB⊥AD
C．AB⊥BD D．AC⊥BD
答案　ABD
解析　由题意，得kAB＝－，kAD＝，kCD＝－，kAC＝，kBD＝－4，∴kAB＝kCD，kAB·kAD＝－1，kAC·kBD＝－1.∴AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD，A，B，D正确．又kAB·kBD≠－1，∴C错误．故选ABD.
二、填空题
6．已知△ABC，其顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,3)，C(4，－1)，则BC边上的高所在的直线方程为________.
答案　x－2y＋1＝0
解析　∵kBC＝＝－2，∴高线所在直线斜率为.又∵A在此直线上，∴BC边上的高所在的直线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.
7．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是________.
答案　4x－2y－5＝0
解析　因为kAB＝＝－，所以线段AB的垂直平分线的斜率是2.又线段AB的中点为，所以所求直线的方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0.
8．已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m＝________时，两直线平行；当m＝________时，两直线垂直．
答案　±　0
解析　当m＝0时，l1与l2显然不平行．当m≠0时，l1的斜率k1＝－，在y轴上的截距b1＝－4，l2的斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－.
∵l1∥l2，∴k1＝k2，且b1≠b2，
即－＝－，且－4≠－，∴m＝±.
综上可知，当m＝±时，两直线平行．
当m＝0时，l1显然与l2垂直．
当m≠0时，l1的斜率为k1＝－，l2的斜率为k2＝－.
∵l1⊥l2，∴－·＝－1，此时无解．
综上可知，当m＝0时，两直线垂直．
三、解答题
9．在一个矩形花园ABCD内需要铺两条笔直的小路，已知|AD|＝5 m，|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直？
解　以点B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(如图所示)，由|AD|＝5 m，|AB|＝3 m，
可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
设点M的坐标为(x,0)，
∵AC⊥DM，由图可知直线AC，DM的斜率都存在，
∴kAC·kDM＝－1，
即·＝－1，解得x＝.
即|BM|＝ m时，两条小路AC与DM互相垂直．
10．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形的面积为4.
解　(1)解法一：直线l：3x＋4y－12＝0的斜率为kl＝－，又l′∥l，所以kl′＝kl＝－.
所以直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
解法二：设直线l′的方程为3x＋4y＋m＝0，点(－1,3)在直线l′上，所以3×(－1)＋4×3＋m＝0，解得m＝－9，
所以直线l′的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)解法一：因为l′⊥l，所以kl′＝.
设l′在y轴上的截距为b，则直线l′的方程为y＝x＋b，l′在x轴上的截距为－b.
由题意可知，S＝|b|·|－b|＝4，
解得b＝±.
所以直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－，即4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.
解法二：设直线l′的方程为4x－3y＋m＝0，则l′在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为，由题意可知
S＝||·|－|＝4，解得m＝±4，
所以直线l′的方程为4x－3y＋4＝0或4x－3y－4＝0.
B级：“四能”提升训练
1．直线y＝2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若A，B两点的坐标分别为A(－4,2)，B(3,1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．
解　把A，B两点坐标代入y＝2x知，A，B均不在直线y＝2x上，因此直线y＝2x为∠C的平分线所在的直线．
设点A(－4,2)关于y＝2x的对称点为A′(a，b)，
则kAA′＝，线段AA′的中点坐标为，
则解得
∴A′(4，－2)．
∵y＝2x是∠C的平分线所在直线的方程，
∴点A′在直线BC上，
∴直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0，
由解得∴C(2,4)．
∴kBC＝＝－3，kAC＝＝，kBC·kAC＝－1，
∴∠ACB＝90°，即△ABC为直角三角形．
△ABC的形状还可用下列方法判断：通过计算三边长判断△ABC的形状：|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
|BC|2＋|AC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形．
2．已知直线l：3x－y－1＝0，在l上求一点P，
(1)使得点P到点A(4,1)和点B(0,4)的距离之差最大；
(2)使得点P到点A(4,1)和点C(3,4)的距离之和最小．
解　(1)如图，设点B关于直线l的对称点为B′(a，b)，
则
解得即B′(3,3)．
所以直线AB′的方程为＝，即2x＋y－9＝0.
解得
所以l与AB′的交点为(2,5)，即P(2,5)．
所以P点坐标为(2,5)时，P到A，B的距离之差最大．
(2)如图所示，设点C关于直线l的对称点为C′，同(1)可求得C′的坐标为.所以AC′所在直线的方程为
19x＋17y－93＝0，由方程组
可求得AC′和l的交点P.
所以P点坐标为时，P到A，C的距离之和最小．
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