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中小学教育资源及组卷应用平台
7.1 复数的概念
【学习要求】
1、了解复数的概念，掌握复数的代数形式；
2、掌握复数相等的条件，及共轭复数的概念；
3、理解复数的几何意义与复数的模、复平面的概念
【思维导图】
【知识梳理】
一、复数的有关概念
1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是.
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
二、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分为：实数和虚数.
【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
三、复数相等
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
四、复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，
原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
五、共轭复数:如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.
【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
【高频考点】
高频考点1. 复数的概念与分类
【方法点拨】分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断.
1.（2022春·江苏盐城·高一校考期中）复数的实部是（ ）
A．2 B． C．2＋ D．0
【答案】A
【解析】由题意，可得复数的实部是，故选：A.
2.（2022春·山东青岛·高一统考期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．4
【答案】A
【解析】由是纯虚数，得，解得．故选：A.
3.（2022春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）给出下列几个命题：①若是实数，则可能不是复数；②若是虚数，则不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④没有平方根．其中真命题的个数为__________．
【答案】1
【解析】对于①，实数集是复数集的子集，故①错误，对于②，虚数都不是实数，②正确，
对于③，复数为纯虚数的充要条件是，故③错误，
对于④，的平方根为，故④错误，真命题只有1个
4．（2022春·上海崇明·高一统考期末）求实数的值，使得复数分别是：
(1)实数；(2)纯虚数．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）由题知，
复数为实数当且仅当，即或，
所以当或时，复数为实数.
（2）复数为纯虚数当且仅当，即，
唯一满足此条件的的值是，
所以当时，复数为纯虚数.
高频考点2 . 复数相等及简单应用
【方法点拨】复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解.
1．（2022春·广西·高二统考学业考试）若复数，为虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【详解】因为，所以.故选：C
2.（2022春·吉林·高一校联考期末）已知，，是虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，所以．故选：D.
3.（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）关于的方程有实根，则实数的值为____．
【答案】
【解析】设为方程的实根，则，
所以，所以，所以，得，所以.
4、（2022春·河南鹤壁·高一校考阶段练习）方程的实数解________.
【答案】
【解析】由得：，解得：.故答案为：.
5、（2022·山东高一课时练习）分别求满足下列条件的实数x，y的值．
（1） ；（2）.
【答案】（1）；（2）x＝3.
【解析】（1）因x，y∈R，，
则有，解得，所以.
（2）因x∈R，，
于是得，解得，所以.
高频考点3 . 复数与复平面内的点
【方法点拨】复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
1.（2022春·新疆阿克苏·高一校考期末）若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由于复数，则z在复平面内对应的点为，该点在第四象限，故选：D
2.（2022春·河南信阳·高一校考阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由题知，，
，
，，
在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.
3.（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】依题意，复数，
所以复数对应的点在第三象限.故选：C
4、（2022春·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得.故选：D.
5、（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件．（1）位于虚轴上；（2）位于第二象限；（3）位于直线上．
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【解析】（1）因为表示复数的点在虚轴上，故，
故或.
（2）因为表示复数的点位于第二象限，
故，故.
（3）因为表示复数的点位于位于直线上，
故即故或.
高频考点4. 复数与复平面内的向量
【方法点拨】
1.（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知复平面内的点A，B分别对应的复数为和，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得，故，
则向量对应的复数为.故选：D.
2.（2023·高一课时练习）在复平面上向量所对应的复数，与垂直，且，则对应的复数可以为______．
【答案】或
【解析】设，则在复平面上对应的点坐标为，
因为，所以在复平面上对应的点坐标为，
由，得，解得或，
所以或，由，得，
当时，；当时，，所以或.
3.（2022春·湖北·高一校联考期末）复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限.（1）求复数z；（2）复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设，则，为纯虚数，
则，且复数z在复平面内对应的点在第一象限，
则，可得，复数
（2）由题意可得，，，
由，得解得：.
4、（2022春·上海浦东新·高一校考期末）设复数，，在复平面的对应的向量分别为 ，则向量对应的复数所对应的点的坐标为___________.
【答案】
【解析】依题意，复数，，在复平面的对应的向量分别为 ，
所以，所以，
所以向量对应的复数所对应的点的坐标为.
5、（2022春·广东广州·高一广东实验中学校考期中）已知复数，m∈R．（1）若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．（2）若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．
【答案】（1）m＝1或；（2）m＝4，
【解析】（1）依题意得，，解得：m＝1或
（2）∵与共线，则
解得：m＝4或
当m＝4时，代入可以得到，满足在第一象限，成立
当时，代入可得到，不满足在第一象限，舍去
∵与共线且反向，则方向的单位向量为
高频考点5 . 复数的模及简单应用
1.（2022春·北京西城·高一校考阶段练习）若复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得.故选：A.
2.（2022春·北京延庆·高一统考期末）设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】设，因为，所以，
因为复数在复平面内对应的点分别为，，所以，
所以，
故当时，取得最大值，故选：C
3.（2022春·河南南阳·高一统考期末）已知，复数，，且为纯虚数，，则（ ）
A．0 B．0或-2 C．1 D．1或-2
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为为纯虚数，，所以，解得或，
所以或0.故选：B.
4．（2023·江苏·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点在第四象限，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，得，则，解得（2舍去），所以.
故选：D.
5．（2022·高一课时练习）已知复数在复平面内对应的点在二象限，且，则实数的取值范围是
A．或 B． C．或 D．
【答案】B
【详解】∵复数在复平面内对应的点在二象限，∴a<0，
∵∴|(a+i)(1+i)|>2，∴|a－1+ai+i|>2，
∴>2，∴>2，∴a2>1，∴a>1或a<－1，
又a<0，∴a<－1，故选：B．
高频考点6. 复数中的比较大小
【方法点拨】复数中只要实数能比大小，虚数是不能比大小的。
1.（2023秋·吉林·高一校考阶段练习）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，复数和是实数，成立，
当时，例如，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A
2．（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）若复数，则实数的值为_________.
【答案】4
【详解】由题意，可得.故答案为：4
3．（2022春·北京昌平·高二校考期中）若复数，则实数的值为________.
【答案】3
【详解】因为复数不能比较大小，所以为实数，
可得解得 所以实数的值为，故答案为：
4．（2022·高一课时练习）判断下列说法是否正确．
(1)大于；(2)若复数，则，一定都是实数．
【答案】(1)×；(2)√.
(1)和无法比较，故说法错误；
(2)因为复数无法比较，所以当时，必然都为实数，故说法正确.
高频考点7 . 共轭复数
【方法点拨】根据共轭复数的概念，进行求解即可.
1．（2022春·北京丰台·高一统考期中）复数，则等于（ ）
A． B．3 C．5 D．
【答案】A
【详解】因为，所以，故选：A
2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知a，，若与互为共轭复数，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【详解】与互为共轭复数，∴，则有.故选：D
3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】复数的共轭复数为，其对应的点在第一象限，故选：A.
4．（2022·高一课时练习）已知复数满足，且的共轭复数为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
【答案】B
【详解】因为，所以，所以．故选：B.
5．（2022·高一单元测试）已知复数满足，且，则______．
【答案】
【详解】设，则，
∴ ，∴ ，∴.故答案为：.
高频考点8. 与复数有关的图形问题
【方法点拨】主要根据复数的几何意义处理最值问题
1.（2022春·吉林长春·高一校考阶段练习）若z是复数，且，则的最大值是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
【答案】A
【解析】由已知得
表示复平面内z对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
而表示的是复平面内对应的点
到复数对应的点（6，－8）之间的距离，其最大值为，故选：A.
2．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）设是虚数单位，若复数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
【答案】A
【详解】解：因为，
所以=，当时，.故选：A.
3、（2022春·广东东莞·高一统考期末）复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为复数在复平面内对应的点为，且，
所以点的集合对应的图形是一个内半径为1，外半径为2的圆环，
所以所求面积为，故选：C
4、（2022春·上海青浦·高一校考期末）若，且，则的最大值是_______．
【答案】
【解析】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示到点的距离，∵，所以=的最大值为．
5．（2022春·河北张家口·高一校联考阶段练习）已知复平面内的点A，B对应的复数分别是．
(1)当为何值时，的模取得最大值，并求此最大值；
(2)若，设对应的复数是，若复数对应的点P在直线，求的值．
【答案】(1)，最大值为(2)或
(1)由复数模的定义可得：
，
显然当时最大，即，故最大值为.
(2)由（1）知点P的坐标是，代入，
得，即，又因为，所以或.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·河南南阳·高三校考阶段练习）已知复数，现有如下说法：①；②复数的实部为正数；③复数的虚部为正数，则正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【详解】由题意可得：，，故①正确；
∵，即为第四象限角，则有：复数z的实部为，为正数，故②正确；
复数z的虚部为，为负数，故③错误.故选：B.
2．（2022·江西上饶·校考模拟预测）已知复数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】解：因为，所以故选：D
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，而为实数，故，故选：B.
4．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
【答案】C
【详解】因为复数是纯虚数，所以且，所以．故选：C.
5．（2022·北京延庆·统考模拟预测）在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】由，可得，
在复平面内，复数对应的点为，位于第二象限 故选：B
6、（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数和 的值分别是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，
因此，解得，所以实数 和 的值分别是.故选：D
7．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是
C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部
【答案】B
【详解】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；
B： 由，可知的平方根是，故B正确；C： 当是实数，故C错误；
D： 若，则复数虚部为0，故D错误；故选：B
8.（2023·高一课时练习）复数，在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】令，则，恒成立；
令，则，恒成立；
对应的点为，
对应的点位于第四象限.故选：D
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2022·高一课时练习）在给出的下列几个命题中错误的是（ ）
A．若x是实数，则x可能不是复数
B．若z是虚数，则z不是实数
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．－1没有平方根
【答案】ACD
【解析】因实数是复数，故A错，根据虚数的定义可知B正确；
因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；
因－1的平方根为±i，故D错.故选：ACD
10、（2022·高一课时练习）（多选）若，且，则等于（ ）
A．4 B． C．2 D．0
【答案】AD
【解析】因为，且，
所以，解得或，所以或0．故选：AD
11、（2022·高一单元测试）下列关于的说法中正确的有（ ）
A．表示点与点之间的距离 B．表示点与点之间的距离
C．表示点到原点的距离 D．表示坐标为的向量的模
【答案】ACD
【解析】由复数的几何意义知复数、分别对应复平面内的点与点，
所以表示点与点之间的距离，故A正确；
，可表示为点到原点的距离，故C正确；
，故B错误；
与向量一一对应，
则可表示坐标为的向量的模，故D正确.故选：ACD.
12．（2022秋·河北保定·高三校考阶段练习）若复数的模为5，虚部为，则复数可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】因为复数的虚部为，故设，，
∴，解得，
∴，
故选：CD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022秋·云南·高二校联考开学考试）请写出一个能够说明“若复数，则”是假命题的复数：______．
【答案】i （答案不唯一，符合（，且）即可）．
【详解】若，（，且），则
，但，
故“若复数，则”是假命题.
故答案为：i（答案不唯一）.
14．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知(是虚数单位)，则实数的值为________．
【答案】
【详解】依题意，
所以，，
解得.
故答案为：
15．（2022春·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）已知，在复平面内，若复数所对应的点在第三象限，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】因为复数所对应的点在第三象限，
所以，即，，
得故答案为：
16、（2022秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）已知复数z满足，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】设，由，可得，
则，即，
复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆，
而表示复数对应的点到坐标原点的距离，
所以的最大值就是
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2022春·上海崇明·高一统考期末）求实数的值，使得复数分别是：
（1）实数； （2）纯虚数．
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）由题知，复数为实数当且仅当，即或，
所以当或时，复数为实数.
（2）复数为纯虚数当且仅当，即，
唯一满足此条件的的值是，
所以当时，复数为纯虚数.
18．（2022·全国·高一专题练习）已知，，其中均为实数，且，求.
【答案】或
【详解】，，解得：或.
19.（2022·高一单元测试）已知复数在复平面上对应的点为Z，
（1）求点Z在实轴上时，实数m的取值；
（2）求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
（3）求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
【答案】（1）或；（2）或；（3）或.
【解析】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部，
解得或.
（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0，
所以，解得或.
（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0，
即，解得或.
20．（2022·高一课时练习）已知复数，求为何值时，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．
【答案】当时，；当时，．
【详解】
．
∵，
∴当时，；
当时，．
21．（2022·高一课前预习）已知复平面内的点，对应的复数分别是，，其中．设对应的复数是.
(1)求复数；
(2)若复数对应的点在直线，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）因为点，对应的复数分别是
，，
所以点，的坐标分别是，，
所以
所以.
（2）由（1）知点的坐标是，代入，
得，即，所以，
又因为，所以，
所以或.
22．（2022秋·上海宝山·高二校考阶段练习）已知复数，，
(1)若，求角；(2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围；(3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)角(2)(3)
【详解】（1），，
由，得，，又，
（2）由复数的坐标表示得，，，
则，又，
，当时，取最大值为4，
当时，取最小值为，所以的取值范围为
（3）由题意得，，，， 又，，
化简得，，由小问2的结论可得，，
当，得 恒成立，
当，得，或，
综合所述，的取值范围为
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7.1 复数的概念
【学习要求】
1、了解复数的概念，掌握复数的代数形式；
2、掌握复数相等的条件，及共轭复数的概念；
3、理解复数的几何意义与复数的模、复平面的概念
【思维导图】
【知识梳理】
一、复数的有关概念
1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是.
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
3、表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
二、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分为：实数和虚数.
【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
三、复数相等
在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
四、复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，
原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
五、共轭复数:如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi.
【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．
【高频考点】
高频考点1. 复数的概念与分类
【方法点拨】分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断.
1.（2022春·江苏盐城·高一校考期中）复数的实部是（ ）
A．2 B． C．2＋ D．0
2.（2022春·山东青岛·高一统考期末）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．4
3.（2022春·北京·高一北京育才学校校考阶段练习）给出下列几个命题：①若是实数，则可能不是复数；②若是虚数，则不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④没有平方根．其中真命题的个数为__________．
4．（2022春·上海崇明·高一统考期末）求实数的值，使得复数分别是：
(1)实数；(2)纯虚数．
高频考点2 . 复数相等及简单应用
【方法点拨】复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解.
1．（2022春·广西·高二统考学业考试）若复数，为虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2.（2022春·吉林·高一校联考期末）已知，，是虚数单位，若，则（ ）
A． B．2 C．1 D．0
3.（2022春·湖南岳阳·高一统考期末）关于的方程有实根，则实数的值为____．
4、（2022春·河南鹤壁·高一校考阶段练习）方程的实数解________.
5、（2022·山东高一课时练习）分别求满足下列条件的实数x，y的值．
（1） ；（2）.
高频考点3 . 复数与复平面内的点
【方法点拨】复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系.每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
1.（2022春·新疆阿克苏·高一校考期末）若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.（2022春·河南信阳·高一校考阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4、（2022春·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、（2022春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件．（1）位于虚轴上；（2）位于第二象限；（3）位于直线上．
高频考点4. 复数与复平面内的向量
【方法点拨】
1.（2022春·福建福州·高一校联考期末）已知复平面内的点A，B分别对应的复数为和，则向量对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·高一课时练习）在复平面上向量所对应的复数，与垂直，且，则对应的复数可以为______．
3.（2022春·湖北·高一校联考期末）复数z满足，为纯虚数，若复数z在复平面内所对应的点在第一象限.（1）求复数z；（2）复数z，，所对应的向量为，，，已知，求的值.
4、（2022春·上海浦东新·高一校考期末）设复数，，在复平面的对应的向量分别为 ，则向量对应的复数所对应的点的坐标为___________.
5、（2022春·广东广州·高一广东实验中学校考期中）已知复数，m∈R．（1）若复数z在复平面上对应的点在虚轴上，求m的值．（2）若复数z在复平面上对应的点Z在第一象限，且与共线，求m的值以及方向的单位向量．
高频考点5 . 复数的模及简单应用
1.（2022春·北京西城·高一校考阶段练习）若复数（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2.（2022春·北京延庆·高一统考期末）设复数在复平面内对应的点分别为，则两点之间距离的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
3.（2022春·河南南阳·高一统考期末）已知，复数，，且为纯虚数，，则（ ）
A．0 B．0或-2 C．1 D．1或-2
4．（2023·江苏·高三专题练习）在复平面内，复数对应的点在第四象限，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·高一课时练习）已知复数在复平面内对应的点在二象限，且，则实数的取值范围是
A．或 B． C．或 D．
高频考点6. 复数中的比较大小
【方法点拨】复数中只要实数能比大小，虚数是不能比大小的。
1.（2023秋·吉林·高一校考阶段练习）已知复数和，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）若复数，则实数的值为_________.
3．（2022春·北京昌平·高二校考期中）若复数，则实数的值为________.
4．（2022·高一课时练习）判断下列说法是否正确．
(1)大于；(2)若复数，则，一定都是实数．
高频考点7 . 共轭复数
【方法点拨】根据共轭复数的概念，进行求解即可.
1．（2022春·北京丰台·高一统考期中）复数，则等于（ ）
A． B．3 C．5 D．
2．（河北省部分学校2023届高三上学期期末数学试题）已知a，，若与互为共轭复数，则（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2022·高一课时练习）已知复数满足，且的共轭复数为，则（ ）
A． B．2 C．4 D．3
5．（2022·高一单元测试）已知复数满足，且，则______．
高频考点8. 与复数有关的图形问题
【方法点拨】主要根据复数的几何意义处理最值问题
1.（2022春·吉林长春·高一校考阶段练习）若z是复数，且，则的最大值是（ ）
A．12 B．8 C．6 D．3
2．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）设是虚数单位，若复数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
3、（2022春·广东东莞·高一统考期末）复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4、（2022春·上海青浦·高一校考期末）若，且，则的最大值是_______．
5．（2022春·河北张家口·高一校联考阶段练习）已知复平面内的点A，B对应的复数分别是．
(1)当为何值时，的模取得最大值，并求此最大值；
(2)若，设对应的复数是，若复数对应的点P在直线，求的值．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·河南南阳·高三校考阶段练习）已知复数，现有如下说法：①；②复数的实部为正数；③复数的虚部为正数，则正确说法的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2022·江西上饶·校考模拟预测）已知复数，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知复数是纯虚数（i为虚数单位），则（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
5．（2022·北京延庆·统考模拟预测）在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6、（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数和 的值分别是 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是
C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部
8.（2023·高一课时练习）复数，在复平面内对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2022·高一课时练习）在给出的下列几个命题中错误的是（ ）
A．若x是实数，则x可能不是复数 B．若z是虚数，则z不是实数
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D．－1没有平方根
10、（2022·高一课时练习）（多选）若，且，则等于（ ）
A．4 B． C．2 D．0
11、（2022·高一单元测试）下列关于的说法中正确的有（ ）
A．表示点与点之间的距离 B．表示点与点之间的距离
C．表示点到原点的距离 D．表示坐标为的向量的模
12．（2022秋·河北保定·高三校考阶段练习）若复数的模为5，虚部为，则复数可以为（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022秋·云南·高二校联考开学考试）请写出一个能够说明“若复数，则”是假命题的复数：______．
14．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知(是虚数单位)，则实数的值为________．
15．（2022春·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）已知，在复平面内，若复数所对应的点在第三象限，则的取值范围是___________.
16、（2022秋·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）已知复数z满足，则的最大值为____________．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（2022春·上海崇明·高一统考期末）求实数的值，使得复数分别是：
（1）实数； （2）纯虚数．
18．（2022·全国·高一专题练习）已知，，其中均为实数，且，求.
19.（2022·高一单元测试）已知复数在复平面上对应的点为Z，
（1）求点Z在实轴上时，实数m的取值；（2）求点Z在虚轴上时，实数m的取值；
（3）求点Z在第一象限时，实数m的取值范围.
20．（2022·高一课时练习）已知复数，求为何值时，取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值．
21．（2022·高一课前预习）已知复平面内的点，对应的复数分别是，，其中．设对应的复数是.
(1)求复数；(2)若复数对应的点在直线，求的值．
22．（2022秋·上海宝山·高二校考阶段练习）已知复数，，
(1)若，求角；(2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围；(3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围．
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